Nottions sur les techniques d'ordonnancement (partie 1/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir l’ordonnancement et expliquer son rôle dans la gestion de production. - Construire et interpréter un diagramme de Gantt adapté à un projet industriel ou artisanal camerounais. - Élaborer un réseau PERT, calculer les dates au plus tôt et au plus tard, identifier le chemin critique et déterminer la marge totale. - Appliquer ces outils à des situations réelles (atelier de menuiserie, chantier de construction, bureau d’études). **Prérequis** : - Notions de base en gestion de production (flux, stocks, capacité de production). - Lecture et interprétation de simples tableaux et graphiques. - Maîtrise des opérations arithmétiques de base et du système métrique. --- ## Introduction contextualisée Dans les entreprises camerounaises, qu’il s’agisse d’une unité de transformation du cacao à Yaoundé, d’un atelier de soudure à Douala ou d’un chantier de construction de logements sociaux à Bamenda, la maîtrise du temps est un facteur décisif de compétitivité. L’ordonnancement permet de planifier les opérations, d’éviter les goulots d’étranglement et de respecter les délais contractuels souvent imposés par les marchés publics ou les cahiers des charges des partenaires étrangers. Les outils présentés dans ce chapitre – le diagramme de Gantt et le réseau PERT – sont issus des méthodes de gestion de projet développées dans les années 1950‑1960 et restent aujourd’hui des références incontournables pour l’enseignement technique et professionnel. --- ## I. Leçon 9 : La gestion de l’ordonnancement ### 1. Définition et enjeux de l’ordonnancement L’ordonnancement consiste à déterminer, pour chaque opération d’un processus de fabrication, le moment de début et de fin ainsi que la ressource (machine, poste de travail, ouvrier) affectée. Il vise à : - Minimiser le makespan (durée totale du projet). - Équilibrer la charge de travail entre les postes. - Respecter les contraintes de séquence (prédécesseurs, disponibilité des matières). > L’ordonnancement est une fonction décisionnelle qui se situe au niveau tactique de la gestion de production. ### 2. Principes généraux - **Discrétisation du temps** : on travaille souvent en unités de temps (heure, jour, semaine) adaptées à la périodicité de l’activité. - **Contraintes** : - *Contraintes de précédence* : une opération ne peut commencer que lorsque toutes ses prédécesseurs sont terminées. - *Contraintes de capacité* : chaque poste ne peut traiter qu’une opération à la fois (sauf cas de parallélisme explicite). - **Objectifs multiples** : on peut chercher à minimiser le temps total, le coût de retard, ou le stock en cours de fabrication. ### 3. Méthodes classiques d’ordonnancement | Méthode | Type de problème | Principe | Exemple d’application au Cameroun | |---------|------------------|----------|-----------------------------------| | Règle du plus court délai (SPT) | Ordonnancement d’une machine | Classer les opérations par durée croissante | Atelier de découpe de bois : prioriser les pièces les plus rapides à scier | | Règle du premier entré, premier sorti (FCFS) | Flux continu | Traiter dans l’ordre d’arrivée | Ligne de montage de bouteilles de boisson gazeuse à Douala | | Algorithme de Johnson | Deux machines en série | Minimiser le makespan pour un flux de deux postes | Chaîne de soudure puis de peinture dans un atelier de métallerie à Yaoundé | ### 4. Exemple chiffré : ordonnancement d’une machine (SPT) Un atelier de menuiserie doit réaliser cinq opérations sur une scie à ruban. Les durées (en heures) sont : - Opération A : 4 - Opération B : 2 - Opération C : 5 - Opération D : 1 - Opération E : 3 **Étapes** : 1. Classer par durée croissante → D (1), B (2), E (3), A (4), C (5). 2. Séquence obtenue : D → B → E → A → C. 3. Calcul du makespan : 1+2+3+4+5 = **15 h**. > La règle SPT minimise le temps moyen d’attente dans une file d’attente à une seule machine. ### 5. Limites et recours aux outils graphiques Lorsque le nombre d’opérations augmente ou que plusieurs postes sont présents, les règles simples deviennent insuffisantes. C’est ici que le diagramme de Gantt et le réseau PERT interviennent, offrant une visualisation claire des dépendances et des marges. --- ## II. Leçon 10 : Le diagramme GANTT ### 1. Origine et objet Inventé par Henry Gantt autour de 1910, le diagramme de Gantt représente sous forme de barres horizontales la planification temporelle des tâches d’un projet. Chaque barre indique la date de début, la durée et la date de fin d’une tâche. ### 2. Construction pas à pas 1. **Liste des tâches** : identifier toutes les activités nécessaires (ex. : réception des matières, usinage, assemblage, contrôle qualité, expédition). 2. **Détermination des prédécesseurs** : établir quelles tâches doivent être achevées avant qu’une autre puisse commencer. 3. **Estimation des durées** : attribuer une durée réaliste à chaque tâche (en jours ou heures). 4. **Mise à l’échelle du temps** : choisir une unité (ex. : 1 cm = 1 jour) et dessiner l’axe horizontal. 5. **Tracé des barres** : pour chaque tâche, dessiner une barre dont la longueur correspond à sa durée, positionnée selon ses dates de début et de fin. 6. **Ajout des dépendances** : représenter les flèches ou les liens entre barres lorsqu’une tâche dépend d’une autre. ### 3. Exemple concret : fabrication d’un lot de 100 chaises en atelier de menuiserie (Yaoundé) | Tâche | Prédécesseurs | Durée (jours) | |-------|---------------|---------------| | T1 : Réception du bois | – | 2 | | T2 : Sciage des planches | T1 | 3 | | T3 : Usinage des tenons | T2 | 4 | | T4 : Assemblage du siège | T3 | 2 | | T5 : Peinture | T4 | 3 | | T6 : Contrôle qualité | T5 | 1 | | T7 : Emballage et expédition | T6 | 1 | **Diagramme de Gantt (texte simplifié)** ``` Jour : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 T1 : ████ T2 : █████ T3 : ██████ T4 : ███ T5 : █████ T6 : █ T7 : █ ``` Le makespan (durée totale du projet) est de **16 jours**. > Dans un diagramme de Gantt, le chevauchement de barres indique la possibilité d’exécuter des tâches en parallèle, sous réserve du respect des prédécesseurs. ### 4. Avantages et limites - **Avantages** : lisibilité immédiate, facilité de suivi de l’avancement, outil de communication avec les équipes et les clients. - **Limites** : ne montre pas explicitement le chemin critique, difficile à mettre à jour lorsqu’il y a de nombreuses dépendances ou des variations de durée. ### 5. Utilisation professionnelle au Cameroun Dans les projets de construction de routes financés par l’État, les bureaux d’études établissent un diagramme de Gantt mensuel pour suivre les étapes : terrassement, pose de la couche de fondation, revêtement, signalisation. Les chefs de chantier mettent à jour le diagramme chaque semaine lors de la réunion de suivi, permettant d’alerter rapidement sur les retards dus aux intempéries ou aux pénuries de matériaux. --- ## III. Leçon 11 : Le réseau PERT ### 1. Présentation du PERT Program Evaluation and Review Technique (PERT) a été développé par la marine américaine dans les années 1950 pour le programme Polaris. Il s’agit d’un réseau orienté où les nœuds représentent les événements (début/fin d’une tâche) et les arcs représentent les activités. Le PERT intègre l’incertitude sur les durées grâce à trois estimations : optimiste (o), la plus vraisemblable (m) et pessimiste (p). ### 2. Calcul de la durée moyenne et de la variance Pour chaque activité : \[ \text{Durée moyenne } te = \frac{o + 4m + p}{6} \] \[ \text{Variance } \sigma^2 = \left(\frac{p - o}{6}\right)^2 \] > La formule de la durée moyenne pondère davantage l’estimation la plus vraisemblable (coefficient 4). ### 3. Étapes de construction d’un réseau PERT 1. **Liste des activités** avec leurs trois estimations. 2. **Détermination des prédécesseurs** pour chaque activité. 3. **Dessin du réseau** : événements (cercles) reliés par des flèches (activités). 4. **Calcul des dates au plus tôt (TE)** : forward pass, en partant du nœud de départ (TE=0). - TE d’un nœud = max( TE prédécesseur + te de l’activité ). 5. **Calcul des dates au plus tard (TL)** : backward pass, en partant du nœud de fin (TL = TE du nœud de fin). - TL d’un nœud = min( TL successeur – te de l’activité ). 6. **Marge totale (ou slack)** : \[ \text{Marge } = TL - TE \] Les activités dont la marge nulle forment le **chemin critique**. 7. **Analyse du risque** : somme des variances sur le chemin critique donne la variance du projet ; l’écart‑type permet d’estimer la probabilité de respecter une date butoir via la loi normale. ### 4. Exemple complet : montage d’un lot de 50 tables métalliques (atelier de soudure, Douala) | Activité | Prédécesseurs | o (j) | m (j) | p (j) | te (j) | σ² | |----------|---------------|-------|-------|-------|--------|-----| | A : Découpe des profilés | – | 2 | 3 | 5 | (2+4·3+5)/6 = **3,17** | ((5‑2)/6)² = **0,25** | | B : Perçage des trous | A | 1 | 2 | 4 | (1+8+4)/6 = **4,17** | ((4‑1)/6)² = **0,25** | | C : Soudure des pieds | A | 3 | 4 | 6 | (3+16+6)/6 = **6,17** | ((6‑3)/6)² = **0,25** | | D : Assemblage du plateau | B, C | 2 | 3 | 4 | (2+12+4)/6 = **5,17** | ((4‑2)/6)² = **0,25** | | E : Peinture | D | 1 | 2 | 3 | (1+8+3)/6 = **3,00** | ((3‑1)/6)² = **0,11** | | F : Contrôle et expédition | E | 0,5 | 1 | 1,5 | (0,5+4+1,5)/6 = **4,00** | ((1,5‑0,5)/6)² = **0,11** | **Calcul des dates au plus tôt (TE)** - Événement départ (0) : TE = 0 - Après A : TE = 0 + 3,17 = **3,17** - Après B : TE = 3,17 + 4,17 = **7,34** - Après C : TE = 7,34 + 6,17 = **13,51** - Après D : TE = 7,34 + 5,17 = **12,51** - Après E : TE = 12,51 + 3,00 = **15,51** - Après F : TE = max(13,51 , 15,51) + 4,00 = 15,51 + 4,00 = **19,51** **Calcul des dates au plus tard (TL)** (en partant de la fin, TE fin = 30,51) - TL(F) = 30,51 - TL(E) = TL(F) – te(F) = 30,51 – 4,00 = **26,51** - TL(D) = TL(E) – te(E) = 26,51 – 3,00 = **23,51** - TL(C) = TL(D) – te(D) = 23,51 – 5,17 = **18,34** - TL(B) = TL(D) – te(B) = 23,51 – 4,17 = **19,34** - TL(A) = min( TL(B) – te(A) , TL(C) – te(A) ) = min(19,34‑3,17 , 18,34‑3,17) = **15,17** - TL(départ) = TL(A) – te(A) = 15,17 – 3,17 = **12,00** (on ramène à 0, marge négative indique que le départ est fixé à 0). **Marge totale** | Activité | TE | TL | Marge (TL‑TE) | |----------|----|----|---------------| | A | 3,17 | 3,17 | 0,00 | | B | 7,34 | 7,34 | 0,00 | | C | 13,51 | 15,51 | 2,00 | | D | 12,51 | 12,51 | 0,00 | | E | 15,51 | 15,51 | 0,00 | | F | 19,51 | 19,51 | 0,00 | Après remise à zéro des marges négatives, le **chemin critique** est : **A → B → D → E → F** (durée totale = 3,17+4,17+5,17+3,00+4,00 = **19,51 jours**). > Le chemin critique représente la séquence d’activités qui détermine la durée minimale du projet ; toute variation sur ces activités affecte directement la date de fin. > La variance du chemin critique est la somme des variances des activités critiques : 0,25+0,25+0,25+0,11+0,11 = **0,97** jours² ; l’écart‑type ≈ 0,99 jours, permettant d’estimer une probabilité de finir en moins de 21 jours d’environ 84 % (loi normale). --- ## Synthèse du chapitre - **Ordonnancement** : définition, principes (contraintes de précédence et de capacité), méthodes classiques (SPT, FCFS, Johnson). - **Diagramme de Gantt** : représentation graphique des tâches, construction pas à pas, lecture du makespan et des parallélismes, avantages/limites. - **Réseau PERT** : réseau orienté, trois estimations (o,m,p), calcul de la durée moyenne et de la variance, forward/backward pass, marge totale, chemin critique, analyse de risque. - **Outils complémentaires** : le Gantt excelle pour la communication et le suivi ; le PERT fournit une analyse critique et probabiliste indispensable aux projets complexes. > La maîtrise de ces deux outils permet à un technicien supérieur de passer d’une planification intuitive à une planification fondée sur des données quantifiables, améliorant ainsi la compétitivité des entreprises camerounaises. --- ## Glossaire - **Ordonnancement** : processus de détermination du moment et de la ressource affectée à chaque opération d’un processus de production. - **Makespan** : durée totale nécessaire pour réaliser l’ensemble des opérations d’un projet ou d’un lot de fabrication. - **Diagramme de Gantt** : représentation graphique sous forme de barres horizontales indiquant le début, la durée et la fin des tâches d’un projet. - **Chemin critique** : séquence d’activités dont la marge totale est nulle ; il détermine la durée minimale du projet. - **Marge totale (slack)** : différence entre la date au plus tard et la date au plus tôt d’un nœud ou d’une activité ; indique la flexibilité de planification. - **PERT** : Programme Evaluation and Review Technique, méthode de planification qui intègre trois estimations de durée pour tenir compte de l’incertitude. - **Te (durée moyenne)** : valeur estimée d’une activité calculée par la formule (o + 4m + p)/6. - **σ² (variance)** : mesure de la dispersion de la durée d’une activité, calculée par ((p‑o)/6)². - **Forward pass** : calcul progressif des dates au plus tôt à partir du nœud de départ. - **Backward pass** : calcul rétrograde des dates au plus tard à partir du nœud de fin. - **Activité** : élément de travail représenté par une flèche dans un réseau PERT, caractérisé par ses estimations de durée. - **Événement** : point de début ou de fin d’une ou plusieurs activités, représenté par un nœud dans le réseau PERT. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Diagramme de Gantt (atelier de transformation du cacao) Un coopérative de producteurs de cacao à Bafia doit réaliser les opérations suivantes pour produire 200 kg de chocolat : | Tâche | Prédécesseurs | Durée (jours) | |-------|---------------|---------------| | 1 : Réception des fèves | – | 1 | | 2 : Nettoyage et tri | 1 | 2 | | 3 : Torréfaction | 2 | 1 | | 4 : Broyage | 3 | 1 | | 5 : Conchage | 4 | 3 | | 6 : Tempérage | 5 | 1 | | 7 : Moulage et refroidissement | 6 | 1 | | 8 : Emballage | 7 | 1 | | 9 : Contrôle qualité | 8 | 0,5 | | 10 : Stockage et expédition | 9 | 0,5 | **Consigne** : établir le diagramme de Gantt (échelle 1 cm = 0,5 jour) et déterminer le makespan. **Corrigé** - Tracer l’axe temps de 0 à 6 jours (puisque la somme des durées = 12 jours, mais avec parallélisme limité). - Comme chaque tâche dépend de la précédente, le diagramme montre une suite de barres sans chevauchement. - Makespan = 1+2+1+1+3+1+1+1+0,5+0,5 = **12 jours**. > Dans ce cas, l’absence de parallélisme entraîne un makespan égal à la somme des durées séquentielles. ### Exercice 2 – Réseau PERT (chantier de construction d’un logement social) Un chantier de construction d’un logement de type F3 à Ngaoundéré comporte les activités suivantes (durées en jours) : | Activité | Prédécesseurs | o | m | p | |----------|---------------|---|---|---| | A : Terrassement | – | 2 | 3 | 5 | | B : Fondations | A | 3 | 4 | 6 | | C : Élévation des murs | B | 5 | 6 | 8 | | D : Pose de la charpente | B | 4 | 5 | 7 | | E : Couverture | D | 2 | 3 | 4 | | F : Menuiseries extérieures | C, E | 3 | 4 | 5 | | G : Électricité | F | 2 | 3 | 4 | | H : Plomberie | F | 2 | 3 | 4 | | I : Revêtements sols | G, H | 2 | 3 | 4 | | J : Peinture | I | 2 | 3 | 4 | | K : Nettoyage et réception | J | 1 | 2 | 3 | **Consigne** : calculer la durée moyenne et la variance de chaque activité, déterminer le chemin critique et la durée totale du projet. **Corrigé** 1. **Durée moyenne (te)** et **variance (σ²)** : | Act. | te = (o+4m+p)/6 | σ² = ((p‑o)/6)² | |------|----------------|-----------------| | A | (2+12+5)/6 = **3,17** | ((5‑2)/6)² = **0,25** | | B | (3+16+6)/6 = **4,17** | ((6‑3)/6)² = **0,25** | | C | (5+24+8)/6 = **6,17** | ((8‑5)/6)² = **0,25** | | D | (4+20+7)/6 = **5,17** | ((7‑4)/6)² = **0,25** | | E | (2+12+4)/6 = **3,00** | ((4‑2)/6)² = **0,11** | | F | (3+16+5)/6 = **4,00** | ((5‑3)/6)² = **0,11** | | G | (2+12+4)/6 = **3,00** | ((4‑2)/6)² = **0,11** | | H | (2+12+4)/6 = **3,00** | ((4‑2)/6)² = **0,11** | | I | (2+12+4)/6 = **3,00** | ((4‑2)/6)² = **0,11** | | J | (2+12+4)/6 = **3,00** | ((4‑2)/6)² = **0,11** | | K | (1+8+3)/6 = **2,00** | ((3‑1)/6)² = **0,11** | 2. **Dates au plus tôt (TE)** (forward pass) : - TE(A)=0+3,17=3,17 - TE(B)=3,17+4,17=7,34 - TE(C)=7,34+6,17=13,51 - TE(D)=7,34+5,17=12,51 - TE(E)=12,51+3,00=15,51 - TE(F)=max(13,51,15,51)+4,00=15,51+4,00=19,51 - TE(G)=19,51+3,00=22,51 - TE(H)=19,51+3,00=22,51 - TE(I)=max(22,51,22,51)+3,00=22,51+3,00=25,51 - TE(J)=25,51+3,00=28,51 - TE(K)=28,51+2,00=30,51 3. **Dates au plus tard (TL)** (backward pass) – on part de TE(K)=30,51 comme TL du nœud de fin. - TL(K)=30,51 - TL(J)=TL(K)‑te(J)=30,51‑3,00=27,51 - TL(I)=TL(J)‑te(I)=27,51‑3,00=24,51 - TL(G)=TL(I)‑te(G)=24,51‑3,00=21,51 - TL(H)=TL(I)‑te(H)=24,51‑3,00=21,51 - TL(F)=min(TL(G)‑te(F), TL(H)‑te(F)) = min(21,51‑4,00, 21,51‑4,00)=17,51 - TL(E)=TL(F)‑te(E)=17,51‑3,00=14,51 - TL(D)=TL(F)‑te(D)=17,51‑5,17=12,34 - TL(C)=TL(F)‑te(C)=17,51‑6,17=11,34 - TL(B)=min(TL(C)‑te(B), TL(D)‑te(B)) = min(11,34‑4,17, 12,34‑4,17)=7,17 - TL(A)=min(TL(B)‑te(A), TL(C)‑te(A)) = min(7,17‑3,17, 11,34‑3,17)=4,00 - TL(départ)=TL(A)‑te(A)=4,00‑3,17=0,83 → on ramène à 0 (le projet ne peut pas commencer avant le temps zéro). 4. **Marge totale (TL‑TE)** : | Act. | TE | TL | Marge | |------|----|----|-------| | A | 3,17 | 4,00 | 0,83 | | B | 7,34 | 7,17 | -0,17 → 0 (critique) | | C | 13,51 | 11,34 | -2,17 → 0 (critique) | | D | 12,51 | 12,34 | -0,17 → 0 (critique) | | E | 15,51 | 14,51 | -1,00 → 0 (critique) | | F | 19,51 | 17,51 | -2,00 → 0 (critique) | | G | 22,51 | 21,51 | -1,00 → 0 (critique) | | H | 22,51 | 21,51 | -1,00 → 0 (critique) | | I | 25,51 | 24,51 | -1,00 → 0 (critique) | | J | 28,51 | 27,51 | -1,00 → 0 (critique) | | K | 30,51 | 30,51 | 0,00 | Après remise à zéro des marges négatives, le **chemin critique** est : **A → B → C → D → E → F → G → H → I → J → K** (durée totale = 30,51 jours ≈ 30 jours et 12 heures). > Le chemin critique représente la séquence d’activités qui détermine la durée minimale du projet ; toute variation sur ces activités affecte directement la date de fin. > La variance du chemin critique est la somme des variances des activités critiques : 0,25+0,25+0,25+0,11+0,11+0,11+0,11+0,11+0,11+0,11 = **1,52** jours² ; l’écart‑type ≈ 1,23 jours, permettant d’estimer une probabilité de finir en moins de 32 jours d’environ 89 % (loi normale). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |---|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Confondre **date au plus tôt** et **date au plus tard** lors du calcul de la marge. | Sous‑ ou sur‑estimation des délais, risque de non‑respect des échéances. | Toujours vérifier que **Marge = TL – TE** ; une marge négative indique une erreur de calcul (revoir le forward/backward pass). | | 2 | Oublier de prendre en compte les **prédéresseurs multiples** dans un réseau PERT (ex. : activité qui dépend de deux tâches). | Chemin critique erroné, sous‑estimation du makespan. | Lister clairement tous les prédécesseurs avant de dessiner le réseau ; utiliser un tableau de dépendances. | | 3 | Dessiner le diagramme de Gantt avec une échelle de temps inadaptée (ex. : 1 cm = 10 jours pour un projet de 2 jours). | Illisibilité, mauvaise perception du chevauchement. | Choisir une échelle telle que la plus longue tâche occupe au moins 5 cm sur le support choisi. | | 4 | Négliger les **unités** lors du calcul des te et σ² (mélanger jours et heures). | Résultats incohérents, impossible à comparer. | Convertir toutes les estimations dans la même unité avant d’appliquer les formules ; indiquer clairement l’unité (j, h, min). | | 5 | Utiliser le diagramme de Gantt pour déterminer le chemin critique sans analyse de marges. | Décisions de ressources basées sur une vision incomplète. | Compléter le Gantt par un calcul de marges (ou passer directement au PERT) lorsqu’il faut identifier le chemin critique. | | 6 | Ne pas mettre à jour le diagramme ou le réseau après un retard réel. | Plan devenue obsolète, perte de confiance de l’équipe. | Prévoir une réunion de suivi hebdomadaire où l’on re‑estime les durées restantes et on ajuste le diagramme/réseau. | > En atelier, le port de lunettes de protection et de gants est obligatoire lors de la manipulation de matières premières (bois, métal, produits chimiques) afin d’éviter les blessures lors des opérations de sciage, de soudure ou de mélange. --- *Fin du cours.*