Etude des dipoles en courant alternatif (partie 1/3)

## Dipoles en courant alternatif sinusoidal ### Introduction Dans le monde de l'électricité, nous rencontrons deux types de courants: le courant continu (CC) et le courant alternatif (CA). Alors que le courant continu s'écoule dans une seule direction, le courant alternatif change périodiquement de direction. Parmi les courants alternatifs, le courant alternatif sinusoïdal est le plus répandu et le plus important en électrotechnique. Cette leçon nous permettra de comprendre ses caractéristiques et d'étudier le comportement des composants électriques de base, appelés dipôles, lorsqu'ils sont soumis à un tel courant. ### Concepts clés #### Qu'est-ce que le courant alternatif sinusoïdal? Le courant alternatif sinusoïdal est un type de courant électrique dont la tension et l'intensité varient au cours du temps selon une fonction sinusoïdale. Cela signifie que sa valeur croît, décroît, s'annule, change de sens, puis répète ce cycle indéfiniment. C'est le type de courant que l'on trouve dans nos prises de courant domestiques. #### Caractéristiques d'une grandeur sinusoïdale Une grandeur sinusoïdale (tension ou courant) est caractérisée par plusieurs éléments: * **La période (T):** C'est la durée d'un cycle complet. Elle se mesure en secondes (s). \[ T = \frac{1}{f} \] * **La fréquence (f):** C'est le nombre de cycles par seconde. Elle se mesure en Hertz (Hz). \[ f = \frac{1}{T} \] * **L'amplitude (ou valeur maximale) (U_m ou I_m):** C'est la valeur maximale atteinte par la tension (U_m) ou l'intensité (I_m) pendant un cycle. * **La valeur efficace (U ou I):** C'est la valeur équivalente en courant continu qui produirait le même échauffement dans une résistance. Pour une grandeur sinusoïdale, la valeur efficace est liée à l'amplitude par: \[ U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \] et \[ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \] * **La phase à l'origine (\( \varphi \)):** C'est l'angle (en radians ou degrés) de la grandeur au temps \( t=0 \). * **L'expression temporelle:** Une grandeur sinusoïdale peut être décrite par une équation mathématique: \( u(t) = U_m \sin(\omega t + \varphi_u) \) pour la tension \( i(t) = I_m \sin(\omega t + \varphi_i) \) pour le courant où \( \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \) est la pulsation (en rad/s). #### Étude des dipôles de base en courant alternatif ##### La résistance (R) * **Définition:** Un résistor est un dipôle qui s'oppose au passage du courant et dissipe l'énergie électrique sous forme de chaleur. * **Loi d'Ohm:** En régime alternatif, la loi d'Ohm reste valable à chaque instant: \( u_R(t) = R \cdot i_R(t) \) * **Relation tension-courant:** La tension et le courant sont **en phase**. Cela signifie qu'ils atteignent leurs maximums, minimums et s'annulent au même moment. * **Impédance (Z_R):** L'opposition au courant est simplement la résistance elle-même: \( Z_R = R \). ##### L'inductance (L) * **Définition:** Une bobine (ou inductance) est un dipôle qui s'oppose aux variations du courant qui la traverse. Elle stocke de l'énergie sous forme magnétique. * **Relation tension-courant:** En courant alternatif, la tension aux bornes d'une bobine idéale est **en avance de \( \frac{\pi}{2} \) radians (soit 90°)** sur le courant qui la traverse. Si le courant est \( i_L(t) = I_m \sin(\omega t) \), alors la tension sera \( u_L(t) = U_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) \). * **Réactance inductive (X_L):** L'opposition au courant alternatif due à l'inductance est appelée réactance inductive. Elle dépend de la fréquence et de l'inductance: \[ X_L = L\omega = 2\pi f L \] * **Impédance (Z_L):** Pour une bobine idéale, \( Z_L = X_L \). ##### La capacité (C) * **Définition:** Un condensateur est un dipôle qui stocke de l'énergie électrique sous forme de charge électrique. Il s'oppose aux variations de tension. * **Relation tension-courant:** En courant alternatif, le courant traversant un condensateur idéal est **en avance de \( \frac{\pi}{2} \) radians (soit 90°)** sur la tension à ses bornes (ou la tension est en retard de 90° sur le courant). Si la tension est \( u_C(t) = U_m \sin(\omega t) \), alors le courant sera \( i_C(t) = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) \). * **Réactance capacitive (X_C):** L'opposition au courant alternatif due à la capacité est appelée réactance capacitive. Elle dépend de la fréquence et de la capacité: \[ X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi f C} \] * **Impédance (Z_C):** Pour un condensateur idéal, \( Z_C = X_C \). #### Le déphasage Le déphasage \( \Delta\varphi \) est la différence entre la phase de la tension et celle du courant (\( \Delta\varphi = \varphi_u - \varphi_i \)). Il indique si la tension est en avance, en retard ou en phase avec le courant. C'est un paramètre crucial pour comprendre le comportement des dipôles en CA. * **Résistance:** \( \Delta\varphi = 0 \) (tension et courant en phase). * **Inductance:** \( \Delta\varphi = +\frac{\pi}{2} \) (tension en avance sur le courant). * **Capacité:** \( \Delta\varphi = -\frac{\pi}{2} \) (tension en retard sur le courant). ### Vocabulaire * **Courant alternatif (CA):** Courant dont le sens et l'intensité varient périodiquement. * **Courant continu (CC):** Courant dont le sens et l'intensité sont constants. * **Sinusoïdal:** Qui varie comme une fonction sinus. * **Période (T):** Durée d'un cycle complet d'un phénomène périodique. * **Fréquence (f):** Nombre de cycles par unité de temps. * **Amplitude:** Valeur maximale d'une grandeur sinusoïdale. * **Valeur efficace:** Valeur équivalente en courant continu pour le transfert d'énergie. * **Phase:** Position d'une grandeur sinusoïdale dans son cycle. * **Déphasage:** Différence angulaire entre les phases de deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence. * **Résistance (R):** Dipôle passif qui s'oppose au passage du courant et dissipe de l'énergie par effet Joule. * **Inductance (L):** Dipôle qui s'oppose aux variations de courant et stocke de l'énergie magnétique. * **Capacité (C):** Dipôle qui stocke de l'énergie électrique sous forme de charge. * **Réactance (X):** Opposition au courant alternatif offerte par une inductance ou une capacité (partie imaginaire de l'impédance). * **Impédance (Z):** Opposition totale au courant alternatif, incluant résistance et réactance. ### Exemples * **Résistance (R):** Un fer à repasser électrique utilise une résistance chauffante. Lorsque vous le branchez sur le secteur (CA sinusoïdal), la tension et le courant sont en phase, toute l'énergie électrique est convertie en chaleur. * **Inductance (L):** Le moteur d'un ventilateur ou un transformateur contiennent des bobines (inductances). Ces composants réagissent différemment au CA qu'au CC, le courant étant en retard sur la tension à cause de l'effet d'auto-induction. * **Capacité (C):** Un condensateur est utilisé dans les alimentations pour lisser le courant ou dans les systèmes audio pour filtrer certaines fréquences. En CA, le courant passe à travers le condensateur avec une avance de phase sur la tension. * **Mesure du déphasage:** À l'aide d'un oscilloscope, on peut visualiser la tension et le courant aux bornes d'un dipôle. En mesurant le décalage temporel entre les deux courbes et connaissant la période, on peut calculer le déphasage \( \Delta\varphi \). ### Exercices 1. Une tension alternative sinusoïdale a une fréquence de 50 Hz. Quelle est sa période? Si sa valeur maximale est de 325 V, quelle est sa valeur efficace? 2. Un courant alternatif a une valeur efficace de 5 A et une fréquence de 100 Hz. Quelle est sa période? Quelle est son amplitude? 3. Un dipôle est traversé par un courant et une tension tels que la tension est en retard de 90° sur le courant. De quel type de dipôle s'agit-il (résistance, inductance ou capacité)? Expliquez. 4. Calculez la réactance inductive d'une bobine de 20 mH (millihenry) alimentée par un courant alternatif de 50 Hz. Quelle est sa réactance si la fréquence passe à 1 kHz? 5. Calculez la réactance capacitive d'un condensateur de 10 \( \mu \)F (microfarads) à une fréquence de 50 Hz. Que se passe-t-il si la fréquence augmente à 500 Hz? ### Devoirs 1. Faites une recherche sur l'importance du ## Association des dipoles en série ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur l'association des dipôles en série en courant alternatif. En électrotechnique et en électronique, les dipôles (composants à deux bornes) sont la base de tous les circuits. Lorsque ces dipôles sont connectés les uns à la suite des autres, on parle d'association en série. Comprendre comment ils se comportent dans un circuit alimenté par un courant alternatif (CA) est fondamental. Nous allons découvrir comment calculer l'impédance totale, la tension et le courant dans de tels circuits, en tenant compte des particularités du courant alternatif comme le déphasage. ### Concepts Clés #### Rappel sur les dipôles et le courant alternatif Un dipôle est un composant électrique qui possède deux bornes permettant de le connecter à un circuit. Nous avons déjà étudié les dipôles en courant continu. En courant alternatif, la tension et le courant varient périodiquement. * **Dipôle passif:** Composant qui consomme de l'énergie (ex: résistance, bobine, condensateur). * **Courant Alternatif (CA):** Un courant dont le sens et l'intensité varient de manière périodique dans le temps. Le plus courant est le courant sinusoïdal (celui de nos prises électriques). * **Tension efficace (U) et Courant efficace (I):** Ce sont les valeurs de tension et de courant qui produisent le même effet thermique qu'une tension ou un courant continu équivalent. Ces valeurs sont les plus utilisées pour les calculs. * **Fréquence (f):** Nombre de périodes par seconde, exprimée en Hertz (Hz). En Europe, \( f = 50 \text{ Hz} \). * **Période (T):** Durée d'un cycle complet, \( T = 1/f \). * **Pulsation (\( \omega \)):** Vitesse angulaire du signal, \( \omega = 2\pi f \), exprimée en radians par seconde (rad/s). * **Déphasage (\( \phi \)):** Différence angulaire entre la tension et le courant dans un dipôle en CA. C'est un aspect crucial en CA. #### Association en série Lorsque des dipôles sont montés en série, ils sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le courant qui traverse le premier dipôle est le même qui traverse tous les autres dipôles du circuit. * **Le courant est identique en tout point du circuit série:** \( I_{total} = I_1 = I_2 = ... = I_n \). * **Loi des mailles (Loi des tensions de Kirchhoff):** La tension totale aux bornes de l'association est la somme vectorielle (ou complexe) des tensions aux bornes de chaque dipôle. * En continu, on ferait \( U_{totale} = U_1 + U_2 + ... + U_n \). * En alternatif, à cause du déphasage, on ne peut pas simplement additionner les valeurs efficaces. Il faut utiliser les nombres complexes ou les vecteurs de Fresnel pour sommer les tensions: \[ \underline{U}_{total} = \underline{U}_1 + \underline{U}_2 + ... + \underline{U}_n \] #### Impédance complexe en courant alternatif En CA, la notion de résistance est généralisée par l'**impédance (Z)**. L'impédance est l'opposition totale qu'un dipôle offre au passage du courant alternatif. Elle est exprimée en Ohms (\( \Omega \)). * L'impédance est un nombre complexe (\( \underline{Z} \)) qui prend en compte la résistance et le déphasage. * **Résistance (R):** Son impédance est simplement \( \underline{Z}_R = R \). Le courant et la tension sont en phase (\( \phi = 0 \)). * **Inductance (L) - Bobine parfaite:** Elle crée une opposition au changement de courant appelée **réactance inductive (\( X_L \))**. La tension est en avance de 90° (ou \( \pi/2 \) radians) sur le courant. * \[ X_L = L\omega = L \cdot 2\pi f \] * Son impédance complexe est: \( \underline{Z}_L = jX_L = jL\omega \). * **Capacité (C) - Condensateur parfait:** Elle crée une opposition au changement de tension appelée **réactance capacitive (\( X_C \))**. La tension est en retard de 90° (ou \( \pi/2 \) radians) sur le courant. * \[ X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{C \cdot 2\pi f} \] * Son impédance complexe est: \( \underline{Z}_C = -jX_C = \frac{1}{jC\omega} \). #### Impédance équivalente d'une association série Pour une association de dipôles en série, l'impédance complexe équivalente (\( \underline{Z}_{eq} \)) est la somme des impédances complexes de chaque dipôle: * \[ \underline{Z}_{eq} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + ... + \underline{Z}_n \] * Si chaque impédance est de la forme \( \underline{Z}_k = R_k + jX_k \), alors l'impédance équivalente sera: * \( \underline{Z}_{eq} = (R_1+R_2+...+R_n) + j(X_1+X_2+...+X_n) \) * On note \( R_{eq} = \sum R_k \) et \( X_{eq} = \sum X_k \). * Le module (la valeur efficace) de l'impédance équivalente est: \[ Z_{eq} = |\underline{Z}_{eq}| = \sqrt{R_{eq}^2 + X_{eq}^2} \] * Le déphasage de l'impédance équivalente est: \[ \phi = \arctan\left(\frac{X_{eq}}{R_{eq}}\right) \] #### Loi d'Ohm généralisée en CA La loi d'Ohm s'applique également en CA, en utilisant les impédances complexes: * \( \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I} \) * En termes de valeurs efficaces: \( U = Z \cdot I \) ### Vocabulaire * **Dipôle:** Composant électrique à deux bornes. * **Courant Alternatif (CA):** Courant dont la direction et l'amplitude varient périodiquement. * **Impédance (Z):** Opposition totale au courant alternatif, généralisation de la résistance en CA (unité: Ohm \( \Omega \)). * **Réactance (X):** Partie imaginaire de l'impédance, due aux bobines (inductive \( X_L \)) ou condensateurs (capacitive \( X_C \)). * **Résistance (R):** Composant qui s'oppose au passage du courant et dissipe de l'énergie sous forme de chaleur. * **Inductance (L):** Propriété d'une bobine à s'opposer aux variations de courant (unité: Henry H). * **Capacité (C):** Propriété d'un condensateur à stocker de l'énergie électrique (unité: Farad F). * **Déphasage (\( \phi \)):** Angle qui exprime le décalage temporel entre la tension et le courant (unité: radian ou degré). * **Fréquence (f):** Nombre de cycles par seconde (unité: Hertz Hz). * **Pulsation (\( \omega \)):** Vitesse angulaire équivalente de la variation du signal (unité: rad/s). * **Loi des mailles:** La somme des tensions dans une boucle fermée d'un circuit est nulle. * **Nombres complexes:** Outil mathématique permettant de représenter les grandeurs sinusoïdales (tensions, courants, impédances) avec leur amplitude et leur phase. ### Exemples #### Exemple 1: Circuit RL série Un circuit est composé d'une résistance \( R = 30 \Omega \) et d'une bobine d'inductance \( L = 100 \text{ mH} \) en série. Il est alimenté par une source de tension alternative de \( U = 230 \text{ V} \) à \( f = 50 \text{ Hz} \). 1. **Calcul de la pulsation \( \omega \):** \( \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314.16 \text{ rad/s} \) 2. **Calcul de la réactance inductive \( X_L \):** \( X_L = L\omega = 0.1 \text{ H} \cdot 314.16 \text{ rad/s} \approx 31.42 \Omega \) 3. **Impédances complexes des dipôles:** * \( \underline{Z}_R = R = 30 \Omega \) * \( \underline{Z}_L = jX_L = j31.42 \Omega \) 4. **Impédance équivalente complexe \( \underline{Z}_{eq} \):** \( \underline{Z}_{eq} = \underline{Z}_R + \underline{Z}_L = 30 + j31.42 \Omega \) 5. **Module de l'impédance équivalente \( Z_{eq} \):** \[ Z_{eq} = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 31.42^2} = \sqrt{900 + 987.21} = \sqrt{1887.21} \approx 43.44 \Omega \] 6. **Courant efficace \( I \) dans le circuit:** \( I = U/Z_{eq} = 230 \text{ V} / 43.44 \Omega \approx 5.29 \text{ A} \) 7. **Déphasage \( \phi \):** \( \phi = \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right) = \arctan\left(\frac{31.42}{30}\right) = \arctan(1.047) \approx 46.33° \) (La tension est en avance sur le courant). #### Exemple 2: Circuit RC série Un circuit est composé d'une résistance \( R = 50 \Omega \) et d'un condensateur de capacité \( C = 47 \mu \text{F} \) en série. Il est alimenté par une source de tension alternative de \( U = 12 \text{ V} \) à \( f = 100 \text{ Hz} \). 1. **Calcul de la pulsation \( \omega \):** \( \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 100 \approx 628.32 \text{ rad/s} \) 2. **Calcul de la réactance capacitive \( X_C \):** \( X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{47 \cdot 10^{-6} \text{ F} \cdot 628.32 \text{ rad/s}} \approx \frac{1}{0.0295} \approx 33.89 \Omega \) 3. **Impédances complexes des dipôles:** * \( \underline{Z}_R = R = 50 \Omega \) * \( \underline{Z}_C = -jX_C = -j33.89 \Omega \) 4. **Impédance équivalente complexe \( \underline{Z}_{eq} \):** \( \underline{Z}_{eq} = \underline{Z}_R + \underline{Z}_C = 50 - j33.89 \Omega \) 5. **Module de l'impédance équivalente \( Z_{eq} \):** \[ Z_{eq} = \sqrt{R^2 + (-X_C)^2} = \sqrt{50^2 + (-33.89)^2} = \sqrt{2500 + 1148.53} = \sqrt{3648.53} \approx 60.40 \Omega \] 6. **Courant efficace \( I \) dans le circuit:** \( I = U/Z_{eq} = 12 \text{ V} / 60.40 \Omega \approx 0.199 \text{ A} \) 7. **Déphasage \( \phi \):** \( \phi = \arctan\left(\frac{-X_C}{R}\right) = \arctan\left(\frac{-33.89}{50}\right) = \arctan(-0.6778) \approx -34.13° \) (La tension est en retard sur le courant). ### Exercices #### Exercice 1 Un circuit série est composé d'une résistance \( R = 50 \Omega \) et d'une bobine d'inductance \( L = 100 \text{ mH} \). Le circuit est alimenté par une tension alternative sinusoïdale de \( U = 230 \text{ V} \) et de fréquence \( f = 50 \text{ Hz} \). a) Calculer la réactance inductive \( X_L \). b) Calculer l'impédance totale du circuit \( Z_{eq} \). c) Calculer le courant efficace \( I \) circulant dans le circuit. d) Calculer le déphasage \( \phi \) entre la tension totale et le courant. #### Exercice 2 Reprendre l'exercice 1, mais la bobine est remplacée par un condensateur de capacité \( C = 47 \mu \text{F} \). a) Calculer la réactance capacitive \( X_C \). b) Calculer l'impédance totale du circuit \( Z_{eq} \). c) Calculer le courant efficace \( I \) circulant dans le circuit. d) Calculer le déphasage \( \phi \) entre la tension totale et le courant. ### Devoir à la maison #### Problème 1 Un moteur électrique peut être modélisé par une résistance \( R = 20 \Omega \) en série avec une inductance \( L = 80 \text{ mH} \). Il est branché sur le secteur (\( U = 230 \text{ V} \), \( f = 50 \text{ Hz} \)). a) Déterminer l'impédance complexe du moteur. b) Calculer le module de l'impédance et le déphasage. c) Calculer le courant efficace traversant le moteur. d) Quelles sont les tensions efficaces aux bornes de la résistance et de l'inductance ? #### Problème 2 Un circuit série est composé d'une résistance \( R_1 = 30 \Omega \), une résistance \( R_2 = 70 \Omega \), et un condensateur \( C = 22 \mu \text{F} \). Le circuit est alimenté par une tension alternative sinusoïdale de \( U = 12 \text{ V} \) et de fréquence \( f = 1 \text{ kHz} \). a) Calculer l'impédance équivalente du circuit. b) Calculer le courant efficace circulant dans le circuit. c) Calculer la tension efficace aux bornes du condensateur. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré l'association des dipôles en série en courant alternatif. Voici les points clés à retenir: * **Courant uniforme:** Le courant est le même dans tous les dipôles d'un circuit série. * **Impédance:** En CA, la résistance est remplacée par l'impédance (\( Z \)), une grandeur complexe qui tient compte de la résistance (partie réelle) et de la réactance (partie imaginaire due aux bobines et condensateurs). * **Réactances:** Les bobines (inductances) introduisent une réactance inductive \( X_L = L\omega \) et les condensateurs (capacités) une réactance capacitive \( X_C = 1/(C\omega) \). * **Impédance totale en série:** L'impédance complexe totale d'un circuit série est la somme des impédances complexes individuelles: \[ \underline{Z}_{eq} = \sum \underline{Z}_k \] * **Loi d'Ohm en CA:** La tension efficace aux bornes d'un dipôle est \( U = Z \cdot I \). * **Déphasage:** En CA, les tensions ne s'additionnent pas arithmétiquement mais vectoriellement (ou via les nombres complexes) en raison des déphasages introduits par les bobines et les condensateurs. Le déphasage total \( \phi \) indique si la tension est en avance ou en retard par rapport au courant. ## Association des dipoles en parallèle ### Introduction Dans le domaine de l'électronique et de l'électrotechnique, il est courant d'associer plusieurs composants électriques, appelés dipôles, afin de réaliser des fonctions spécifiques. Lors de l'étude des circuits en courant alternatif (CA), comprendre comment les dipôles se comportent lorsqu'ils sont associés est fondamental. Cette leçon se concentrera sur l'**association en parallèle** des dipôles, en explorant les règles qui régissent les tensions, les courants et l'impédance équivalente de tels montages. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'une association en parallèle ? Des dipôles sont dits associés en parallèle (ou en dérivation) lorsqu'ils sont connectés entre les mêmes deux points d'un circuit. Cela signifie qu'ils sont soumis à la même tension à leurs bornes. * **Caractéristique principale :** Tous les dipôles en parallèle partagent la même tension. La tension aux bornes de chaque composant est identique à la tension totale appliquée au montage. * **Chemins multiples :** Le courant total se divise et emprunte différents chemins à travers chaque dipôle, puis se recombine. #### 2. Lois de Kirchhoff en courant alternatif pour les associations en parallèle ##### a. Loi des nœuds (Loi des courants de Kirchhoff - LCK) La somme algébrique des courants instantanés qui entrent dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants instantanés qui en sortent. En courant alternatif, cela s'applique également aux représentations vectorielles (phasors). * **Forme instantanée :** \[ i_T(t) = i_1(t) + i_2(t) + ... + i_n(t) \] * **Forme phasorielle :** La somme vectorielle des courants est égale au courant total. \[ \underline{I}_T = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 + ... + \underline{I}_n \] où \( \underline{I} \) représente le courant sous forme de phaseur. ##### b. Loi des mailles (Loi des tensions de Kirchhoff - LTK) Pour une association en parallèle, la tension est la même aux bornes de tous les dipôles. * **Forme instantanée :** \[ u_T(t) = u_1(t) = u_2(t) = ... = u_n(t) \] * **Forme phasorielle :** \[ \underline{U}_T = \underline{U}_1 = \underline{U}_2 = ... = \underline{U}_n \] où \( \underline{U} \) représente la tension sous forme de phaseur. #### 3. Impédance équivalente en parallèle Pour caractériser un montage parallèle dans son ensemble, on utilise le concept d'impédance équivalente \( \underline{Z}_{eq} \). En courant alternatif, il est souvent plus simple d'utiliser l'**admittance** \( \underline{Y} \) pour les calculs en parallèle. L'admittance est l'inverse de l'impédance (\( \underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}} \)) et représente la facilité avec laquelle le courant circule. * **Formule générale pour l'admittance équivalente :** L'admittance équivalente d'une association en parallèle est la somme des admittances de chaque dipôle. \[ \underline{Y}_{eq} = \underline{Y}_1 + \underline{Y}_2 + ... + \underline{Y}_n \] Une fois \( \underline{Y}_{eq} \) calculée, l'impédance équivalente est : \[ \underline{Z}_{eq} = \frac{1}{\underline{Y}_{eq}} \] ##### a. Cas des résistances en parallèle Pour des résistances pures : * **Admittance d'une résistance :** \( \underline{Y}_R = \frac{1}{R} \) * **Formule pour la résistance équivalente :** \[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n} \] Pour deux résistances : \( R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \) ##### b. Cas des inductances en parallèle (idéales) Pour des inductances pures : * **Impédance d'une inductance :** \( \underline{Z}_L = jL\omega \) * **Admittance d'une inductance :** \( \underline{Y}_L = \frac{1}{jL\omega} = -j\frac{1}{L\omega} \) * **Formule pour l'inductance équivalente :** \[ \frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_n} \] ##### c. Cas des condensateurs en parallèle Pour des condensateurs purs : * **Impédance d'un condensateur :** \( \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} \) * **Admittance d'un condensateur :** \( \underline{Y}_C = jC\omega \) * **Formule pour la capacité équivalente :** \[ C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_n \] ### Vocabulaire * **Dipôle :** Composant électrique à deux bornes (par exemple, résistance, bobine, condensateur). * **Parallèle (ou dérivation) :** Mode d'association de dipôles où ils sont connectés entre les mêmes deux points du circuit, partageant ainsi la même tension. * **Nœud :** Point de jonction dans un circuit où au moins trois conducteurs se rencontrent. * **Courant alternatif (CA) :** Courant électrique dont le sens et l'amplitude varient périodiquement au cours du temps (par opposition au courant continu). * **Tension :** Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit, exprimée en Volts (V). * **Courant :** Déplacement ordonné de charges électriques, exprimé en Ampères (A). * **Impédance (\( \underline{Z} \)) :** Mesure de l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une généralisation de la résistance pour le CA, exprimée en Ohms (\( \Omega \)). C'est un nombre complexe. * **Admittance (\( \underline{Y} \)) :** Inverse de l'impédance (\( \underline{Y} = 1/\underline{Z} \)). Elle représente la facilité avec laquelle le courant alternatif traverse un dipôle. Exprimée en Siemens (S). * **Phaseur (ou vecteur de Fresnel) :** Représentation d'une grandeur sinusoïdale (tension ou courant) par un nombre complexe ou un vecteur tournant, permettant de simplifier les calculs en CA. * **Pulsation (\( \omega \)) :** Fréquence angulaire du courant alternatif, liée à la fréquence \( f \) par la relation \( \omega = 2\pi f \), exprimée en radians par seconde (rad/s). ### Exemples #### Exemple 1 : Résistances en parallèle Deux résistances, \( R_1 = 100 \, \Omega \) et \( R_2 = 200 \, \Omega \), sont connectées en parallèle à une source de tension alternative de \( U = 12 \, V \) (efficace). 1. **Calcul de la résistance équivalente \( R_{eq} \) :** \[ R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{100 \, \Omega \times 200 \, \Omega}{100 \, \Omega + 200 \, \Omega} = \frac{20000}{300} \, \Omega \approx 66.67 \, \Omega \] 2. **Calcul du courant total \( I_T \) (efficace) :** \[ I_T = \frac{U}{R_{eq}} = \frac{12 \, V}{66.67 \, \Omega} \approx 0.18 \, A \] #### Exemple 2 : Dipôle RC en parallèle Un circuit est composé d'une résistance \( R = 50 \, \Omega \) et d'un condensateur \( C = 100 \, \mu F \) en parallèle. Le circuit est alimenté par une tension alternative de fréquence \( f = 50 \, Hz \) et d'amplitude \( U = 10 \, V \). 1. **Calcul de la pulsation \( \omega \) :** \[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314.16 \, rad/s \] 2. **Calcul des admittances individuelles :** * **Admittance de la résistance \( \underline{Y}_R \) :** \[ \underline{Y}_R = \frac{1}{R} = \frac{1}{50} = 0.02 \, S \] * **Admittance du condensateur \( \underline{Y}_C \) :** \[ \underline{Y}_C = jC\omega = j \times 100 \times 10^{-6} \times 100\pi \approx j \times 0.0314 \, S \] 3. **Calcul de l'admittance équivalente \( \underline{Y}_{eq} \) :** \[ \underline{Y}_{eq} = \underline{Y}_R + \underline{Y}_C = 0.02 + j0.0314 \, S \] 4. **Calcul de l'impédance équivalente \( \underline{Z}_{eq} \) :** \[ \underline{Z}_{eq} = \frac{1}{\underline{Y}_{eq}} = \frac{1}{0.02 + j0.0314} \] Pour simplifier, on multiplie par le conjugué : \[ \underline{Z}_{eq} = \frac{0.02 - j0.0314}{(0.02)^2 + (0.0314)^2} = \frac{0.02 - j0.0314}{0.0004 + 0.00098596} \approx \frac{0.02 - j0.0314}{0.001386} \approx 14.43 - j22.65 \, \Omega \] 5. **Calcul du courant total \( \underline{I}_T \) (phasoriel) :** Si \( \underline{U} = 10 \angle 0^\circ \, V \) (pour simplifier la phase, on suppose la tension comme référence de phase) : \[ \underline{I}_T = \underline{Y}_{eq} \times \underline{U} = (0.02 + j0.0314) \times 10 = 0.2 + j0.314 \, A \] Le module du courant total est \( |\underline{I}_T| = \sqrt{0.2^2 + 0.314^2} \approx \sqrt{0.04 + 0.0986} \approx \sqrt{0.1386} \approx 0.372 \, A \). ### Exercices 1. Trois résistances \( R_1 = 30 \, \Omega \), \( R_2 = 60 \, \Omega \) et \( R_3 = 90 \, \Omega \) sont montées en parallèle. Calculez la résistance équivalente \( R_{eq} \) de ce montage. 2. Une résistance \( R = 20 \, \Omega \) et une inductance pure \( L = 50 \, mH \) sont connectées en parallèle à une source de tension alternative de \( U = 24 \, V \) (efficace) et de fréquence \( f = 100 \, Hz \). a. Calculez la pulsation \( \omega \). b. Déterminez l'admittance de la résistance \( \underline{Y}_R \). c. Déterminez l'admittance de l'inductance \( \underline{Y}_L \). d. Calculez l'admittance équivalente \( \underline{Y}_{eq} \) du montage. e. Déduisez l'impédance équivalente \( \underline{Z}_{eq} \). f. Calculez le module du courant total \( I_T \) traversant le circuit. ### Devoir à la maison 1. Un circuit en courant alternatif est composé d'une résistance \( R = 100 \, \Omega \), d'une inductance \( L = 0.2 \, H \) et d'un condensateur \( C = 50 \, \mu F \), tous montés en parallèle. Le circuit est alimenté par une source de tension \( u(t) = 50 \cos(400t) \, V \). a. Identifiez la tension efficace et la pulsation \( \omega \) de la source. b. Calculez les admittances complexes de chaque dipôle (\( \underline{Y}_R \), \( \underline{Y}_L \), \( \underline{Y}_C \)). c. Déterminez l'admittance équivalente \( \underline{Y}_{eq} \) du montage. d. Déduisez l'impédance équivalente \( \underline{Z}_{eq} \). e. Calculez le courant total complexe \( \underline{I}_T \) et exprimez-le sous forme de module et d'argument. En déduire l'expression temporelle du courant \( i_T(t) \). f. Calculez le facteur de puissance du circuit (\( \cos \varphi \)). 2. Expliquez avec vos propres mots l'avantage d'utiliser les admittances plutôt que les impédances pour analyser les circuits en parallèle. ### Résumé L'étude des dipôles en parallèle en courant alternatif est cruciale pour l'analyse et la conception de circuits électroniques. Voici les points essentiels à retenir : * **Tension commune :** Tous les dipôles connectés en parallèle sont soumis à la même tension. * **Addition des courants :** Le courant total circulant dans le circuit est la somme vectorielle (phasorielle) des courants individuels traversant chaque dipôle (Loi des nœuds). * **Addition des admittances :** Pour trouver l'impédance équivalente d'un montage parallèle, il est plus simple de calculer la somme des admittances individuelles (\( \underline{Y}_{eq} = \sum \underline{Y}_i \)). * **Impédance équivalente :** Une fois l'admittance équivalente trouvée, l'impédance équivalente est son inverse (\( \underline{Z}_{eq} = 1 / \underline{Y}_{eq} \)). * **Cas spécifiques :** Pour les résistances et inductances pures en parallèle, les inverses s'additionnent (\( 1/R_{eq} = \sum 1/R_i \) et \( 1/L_{eq} = \sum 1/L_i \)). Pour les condensateurs en parallèle, les capacités s'additionnent (\( C_{eq} = \sum C_i \)). Ces principes permettent de simplifier l'analyse de circuits complexes et de prévoir leur comportement sous diverses conditions de courant alternatif.