Dipoles passifs et lois associées (résistors) (partie 2/2)

## Association des résistors, transformation de KENNELY et Notion de puissance et d'énergie ### Introduction Dans le monde de l'électronique, les résistors sont des composants fondamentaux utilisés pour contrôler le courant et la tension dans les circuits. Souvent, nous devons combiner plusieurs résistors pour obtenir une valeur de résistance spécifique ou pour simplifier l'analyse d'un circuit complexe. Cette leçon vous apprendra comment associer les résistors en série et en parallèle, et comment utiliser la transformation de Kennelly (étoile-triangle et triangle-étoile) pour simplifier des configurations plus complexes. Nous aborderons également les notions cruciales de puissance et d'énergie électrique, indispensables pour comprendre le fonctionnement et les limites des composants. ### Concepts Clés #### 1. Association des Résistors Les résistors peuvent être associés de différentes manières pour former une résistance équivalente. ##### 1.1 Association en Série Lorsque les résistors sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le même courant les traverse, ils sont dits en série. * **Caractéristique principale:** Le courant est le même à travers tous les résistors. La tension totale est la somme des tensions aux bornes de chaque résistor. * **Résistance équivalente (\(R_{eq}\)):** La résistance équivalente est la somme des résistances individuelles. \[ R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n \] ##### 1.2 Association en Parallèle Lorsque les résistors sont connectés entre deux mêmes points du circuit, de sorte que la tension à leurs bornes est la même, ils sont dits en parallèle. * **Caractéristique principale:** La tension est la même aux bornes de tous les résistors. Le courant total est la somme des courants traversant chaque résistor. * **Résistance équivalente (\(R_{eq}\)):** L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses des résistances individuelles. \[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ... + \frac{1}{R_n} \] * **Cas particulier (deux résistors en parallèle):** \[ R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \] #### 2. Transformation de KENNELY La transformation de Kennelly permet de convertir une configuration de résistors en étoile (Y) en triangle (Δ) et vice-versa. Cela est très utile pour simplifier l'analyse de circuits complexes qui ne peuvent pas être réduits uniquement par des associations série-parallèle. ##### 2.1 Transformation Étoile-Triangle (Y-Δ) Permet de remplacer trois résistors connectés en étoile (\(R_A, R_B, R_C\)) par trois résistors en triangle (\(R_{AB}, R_{BC}, R_{CA}\)). * \(R_{AB} = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}\) * \(R_{BC} = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}\) * \(R_{CA} = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}\) ##### 2.2 Transformation Triangle-Étoile (Δ-Y) Permet de remplacer trois résistors connectés en triangle (\(R_{AB}, R_{BC}, R_{CA}\)) par trois résistors en étoile (\(R_A, R_B, R_C\)). * \(R_A = \frac{R_{AB} R_{CA}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}\) * \(R_B = \frac{R_{AB} R_{BC}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}\) * \(R_C = \frac{R_{BC} R_{CA}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}\) #### 3. Notion de Puissance Électrique (P) La puissance électrique est la vitesse à laquelle l'énergie électrique est transférée ou dissipée par un composant. Elle est exprimée en watts (W). * **Formule générale:** La puissance dissipée par un résistor est le produit de la tension à ses bornes par le courant qui le traverse. \[ P = U \times I \] * **Formules dérivées (Loi d'Ohm \(U = R \times I\)):** * En fonction de la résistance et du courant: \[ P = R \times I^2 \] * En fonction de la résistance et de la tension: \[ P = \frac{U^2}{R} \] #### 4. Notion d'Énergie Électrique (E) L'énergie électrique est la quantité totale de travail effectué ou d'énergie consommée par un composant sur une période donnée. Elle est exprimée en joules (J) ou en kilowattheures (kWh). * **Formule:** L'énergie est le produit de la puissance par le temps. \[ E = P \times t \] où \(P\) est en Watts et \(t\) est en secondes pour obtenir \(E\) en Joules. * **Unités:** * Joules (J): Unité du Système International (SI). \(1 J = 1 W \times 1 s\) * Kilowattheures (kWh): Unité couramment utilisée pour la consommation électrique domestique. \(1 kWh = 1000 W \times 3600 s = 3.6 \times 10^6 J\) ### Vocabulaire * **Résistor:** Composant électronique passif qui présente une résistance électrique. Son rôle est de limiter le courant ou d'abaisser la tension. * **Résistance (R):** Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Mesurée en Ohms (Ω). * **Association en série:** Connexion de résistors les uns après les autres. * **Association en parallèle:** Connexion de résistors entre deux mêmes points. * **Résistance équivalente (\(R_{eq}\)):** Valeur unique de résistance qui peut remplacer un groupe de résistors sans changer le comportement du circuit externe. * **Transformation de Kennelly:** Méthode pour convertir des circuits en étoile (Y) en triangle (Δ) et inversement afin de simplifier leur analyse. * **Puissance électrique (P):** Taux de conversion ou de dissipation de l'énergie électrique. Mesurée en Watts (W). * **Énergie électrique (E):** Quantité totale d'énergie consommée ou fournie sur une durée. Mesurée en Joules (J) ou en Kilowattheures (kWh). * **Tension (U):** Différence de potentiel électrique entre deux points. Mesurée en Volts (V). * **Courant (I):** Déplacement ordonné des charges électriques. Mesuré en Ampères (A). ### Exemples #### Exemple 1: Association série-parallèle Soit trois résistors \(R_1 = 10 \Omega\), \(R_2 = 20 \Omega\) et \(R_3 = 30 \Omega\). Calculer la résistance équivalente si \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle, et cette association est en série avec \(R_1\). 1. **Calcul de la résistance équivalente de \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle:** \[ R_{23} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 \Omega \] 2. **Calcul de la résistance totale (\(R_{eq}\)) avec \(R_1\) en série:** \[ R_{eq} = R_1 + R_{23} = 10 + 12 = 22 \Omega \] #### Exemple 2: Transformation Étoile-Triangle Considérons un réseau en étoile avec \(R_A = 10 \Omega\), \(R_B = 20 \Omega\), \(R_C = 30 \Omega\). Calculons les résistances équivalentes en triangle. * \(R_{AB} = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C} = 10 + 20 + \frac{10 \times 20}{30} = 30 + \frac{200}{30} = 30 + 6.67 \approx 36.67 \Omega\) * \(R_{BC} = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A} = 20 + 30 + \frac{20 \times 30}{10} = 50 + \frac{600}{10} = 50 + 60 = 110 \Omega\) * \(R_{CA} = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B} = 30 + 10 + \frac{30 \times 10}{20} = 40 + \frac{300}{20} = 40 + 15 = 55 \Omega\) #### Exemple 3: Calcul de Puissance et d'Énergie Un résistor de \(100 \Omega\) est traversé par un courant de \(0.5 A\) pendant 2 heures. 1. **Calcul de la puissance dissipée:** \[ P = R \times I^2 = 100 \times (0.5)^2 = 100 \times 0.25 = 25 W \] 2. **Calcul de l'énergie consommée en Joules:** Le temps en secondes est \(t = 2 h \times 3600 s/h = 7200 s\). \[ E = P \times t = 25 W \times 7200 s = 180000 J \] 3. **Calcul de l'énergie consommée en Kilowattheures:** \(E = 25 W = 0.025 kW\). \(E = 0.025 kW \times 2 h = 0.05 kWh\). ### Exercices 1. Trois résistors \(R_1 = 5 \Omega\), \(R_2 = 15 \Omega\) et \(R_3 = 25 \Omega\) sont connectés en série. Quelle est la résistance équivalente? 2. Deux résistors \(R_A = 40 \Omega\) et \(R_B = 60 \Omega\) sont connectés en parallèle. Quelle est leur résistance équivalente? 3. Un fer à souder de \(60 W\) fonctionne pendant 45 minutes. Quelle quantité d'énergie (en Joules et en kWh) a-t-il consommée? 4. Un circuit en triangle est composé de \(R_{12} = 100 \Omega\), \(R_{23} = 200 \Omega\) et \(R_{31} = 300 \Omega\). Convertissez-le en un circuit en étoile. Calculez \(R_1, R_2, R_3\). ### Devoir à la maison 1. Pour le circuit suivant, calculez la résistance équivalente totale entre les points A et B. (Dessin non fourni, mais imaginez: \(R_1\) en série avec (\(R_2\) en parallèle avec \(R_3\)), le tout en parallèle avec \(R_4\). Soit \(R_1 = 10 \Omega, R_2 = 20 \Omega, R_3 = 30 \Omega, R_4 = 40 \Omega\)). 2. Un appareil électrique a une puissance de \(1500 W\) et est utilisé 3 heures par jour. Calculez l'énergie consommée par cet appareil en une semaine (en kWh). Si le coût du kWh est de 0,15 €, quel est le coût de son utilisation pendant une semaine? 3. Expliquez avec vos propres mots l'intérêt de la transformation de Kennelly pour l'analyse des circuits. 4. Un résistor a une tension de \(12 V\) à ses bornes et dissipe une puissance de \(24 W\). Quel est le courant qui le traverse et quelle est sa résistance? ### Résumé Cette leçon a couvert les méthodes fondamentales d'association des résistors: en série où les résistances s'additionnent, et en parallèle où les inverses des résistances s'additionnent. Nous avons également exploré la transformation de Kennelly (étoile-triangle et triangle-étoile), un outil puissant pour simplifier l'analyse des circuits complexes qui ne peuvent être réduits par des associations simples. Enfin, nous avons défini la puissance électrique comme le taux de dissipation d'énergie (\(P = U \times I\), \(P = R \times I^2\), ou \(P = U^2 / R\)) et l'énergie électrique comme la quantité totale consommée sur une durée (\(E = P \times t\)). La maîtrise de ces concepts est essentielle pour la conception et l'analyse de tout circuit électrique et électronique. ## Activité d'intégration ### Introduction Bienvenue à cette activité d'intégration ! Dans cette leçon, nous allons réviser et approfondir nos connaissances sur les dipôles passifs, en nous concentrant spécifiquement sur les résistors (ou résistances). Nous explorerons leur rôle dans un circuit électrique, les lois fondamentales qui régissent leur comportement, et comment calculer les grandeurs électriques associées. ### Concepts Clés #### Les Dipôles Passifs Un **dipôle** est un composant électrique qui possède deux bornes de connexion. Un **dipôle passif** est un dipôle qui ne peut pas générer de l'énergie électrique par lui-même (contrairement aux générateurs comme les piles) mais qui consomme, stocke ou transforme cette énergie. Les résistors, les condensateurs et les bobines sont des exemples de dipôles passifs. #### Le Résistor (ou Résistance) Le résistor est le dipôle passif le plus simple et le plus couramment utilisé en électronique et en électrotechnique. * **Symbole :** Le résistor est généralement représenté par un rectangle dans un schéma électrique ou une ligne en zigzag. * **Rôle :** Sa fonction principale est de s'opposer plus ou moins fortement au passage du courant électrique. Cette opposition est appelée la **résistance** et est notée \( R \). * **Unité :** La résistance se mesure en Ohms, dont le symbole est \( \Omega \) (Omega). #### La Loi d'Ohm La Loi d'Ohm est une relation fondamentale qui décrit le comportement d'un résistor. ##### Énoncé La tension \( U \) (en Volts) aux bornes d'un résistor est directement proportionnelle à l'intensité \( I \) (en Ampères) du courant qui le traverse, et à sa résistance \( R \) (en Ohms). ##### Formule \[ U = R \times I \] Où : * \( U \) est la tension aux bornes du résistor, exprimée en **Volts (V)**. * \( R \) est la valeur de la résistance du résistor, exprimée en **Ohms (\( \Omega \))**. * \( I \) est l'intensité du courant traversant le résistor, exprimée en **Ampères (A)**. ##### Applications de la Loi d'Ohm À partir de la formule de base, nous pouvons déduire les expressions pour calculer \( R \) ou \( I \) : * Pour calculer la résistance : \[ R = \frac{U}{I} \] * Pour calculer l'intensité : \[ I = \frac{U}{R} \] #### Association de Résistors Il est souvent nécessaire de brancher plusieurs résistors ensemble dans un circuit. Selon la manière dont ils sont connectés, la résistance équivalente de l'ensemble (c'est-à-dire la résistance d'un résistor unique qui aurait le même effet) se calcule différemment. ##### Résistors en Série * **Définition :** Des résistors sont montés en série lorsqu'ils sont branchés les uns à la suite des autres, formant un chemin unique pour le courant. * **Propriétés :** L'intensité du courant est la même partout dans le circuit série. La tension totale aux bornes de l'association est la somme des tensions aux bornes de chaque résistor. * **Résistance équivalente \( R_{eq} \) :** La résistance équivalente d'un groupement de résistors en série est la somme de leurs résistances individuelles. \[ R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n \] ##### Résistors en Parallèle (ou en Dérivation) * **Définition :** Des résistors sont montés en parallèle lorsque leurs bornes sont connectées aux mêmes deux points du circuit. Le courant se divise pour passer dans chaque branche parallèle. * **Propriétés :** La tension aux bornes de chaque résistor est la même. L'intensité totale du courant qui entre dans l'association est la somme des intensités qui traversent chaque résistor. * **Résistance équivalente \( R_{eq} \) :** L'inverse de la résistance équivalente d'un groupement de résistors en parallèle est la somme des inverses de leurs résistances individuelles. \[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n} \] Pour deux résistors en parallèle, une formule simplifiée existe : \[ R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \] #### Puissance Dissipée par un Résistor (Effet Joule) Lorsqu'un courant électrique traverse un résistor, celui-ci s'échauffe. Ce phénomène est appelé l'**effet Joule**. Le résistor transforme l'énergie électrique en énergie thermique. On parle de **puissance dissipée** par le résistor. ##### Formules de la Puissance Dissipée La puissance \( P \) (en Watts) dissipée par un résistor peut être calculée de plusieurs manières : * En fonction de la tension et du courant : \[ P = U \times I \] * En utilisant la Loi d'Ohm \( U = R \times I \) : \[ P = R \times I^2 \] * En utilisant la Loi d'Ohm \( I = \frac{U}{R} \) : \[ P = \frac{U^2}{R} \] Où : * \( P \) est la puissance dissipée, exprimée en **Watts (W)**. * \( U \) est la tension en Volts (V). * \( I \) est l'intensité en Ampères (A). * \( R \) est la résistance en Ohms (\( \Omega \)). ### Vocabulaire Important * **Dipôle :** Composant électrique avec deux bornes de connexion. * **Dipôle passif :** Composant électrique qui ne génère pas d'énergie (ex: résistor, condensateur, bobine). * **Résistor (ou résistance) :** Composant qui s'oppose au passage du courant électrique et dissipe de l'énergie sous forme de chaleur. * **Résistance (R) :** Grandeur physique mesurant l'opposition d'un résistor au courant électrique. Son unité est l'Ohm (\( \Omega \)). * **Courant électrique (I) :** Déplacement ordonné de charges électriques dans un conducteur. Son unité est l'Ampère (A). * **Tension électrique (U) :** Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Son unité est le Volt (V). * **Loi d'Ohm :** Relation fondamentale \( U = R \times I \) reliant tension, résistance et courant dans un résistor. * **Puissance électrique (P) :** Quantité d'énergie transformée ou consommée par unité de temps. Son unité est le Watt (W). * **Effet Joule :** Transformation de l'énergie électrique en chaleur lors du passage d'un courant dans un conducteur. ### Exemples d'Application #### Exemple 1 : Calculer une tension avec la Loi d'Ohm Un résistor de \( 470 \, \Omega \) est traversé par un courant de \( 20 \, mA \). Quelle est la tension à ses bornes ? * \( R = 470 \, \Omega \) * \( I = 20 \, mA = 0.020 \, A \) (il faut convertir en Ampères !) * \( U = R \times I = 470 \, \Omega \times 0.020 \, A = 9.4 \, V \) #### Exemple 2 : Résistance équivalente en série Trois résistors \( R_1 = 100 \, \Omega \), \( R_2 = 220 \, \Omega \) et \( R_3 = 330 \, \Omega \) sont montés en série. Quelle est la résistance équivalente de l'ensemble ? * \( R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 = 100 + 220 + 330 = 650 \, \Omega \) #### Exemple 3 : Résistance équivalente en parallèle Deux résistors \( R_1 = 1.2 \, k\Omega \) et \( R_2 = 680 \, \Omega \) sont montés en parallèle. Quelle est la résistance équivalente ? * Convertissons \( R_1 \) en Ohms : \( R_1 = 1.2 \, k\Omega = 1200 \, \Omega \). * \( R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1200 \times 680}{1200 + 680} = \frac{816000}{1880} \approx 434.04 \, \Omega \) #### Exemple 4 : Calculer la puissance dissipée Un résistor de \( 50 \, \Omega \) est soumis à une tension de \( 10 \, V \). Quelle est la puissance qu'il dissipe ? * \( U = 10 \, V \) * \( R = 50 \, \Omega \) * On peut utiliser \( P = \frac{U^2}{R} \) : \( P = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2 \, W \) ### Exercices #### Exercice 1 Un résistor est traversé par un courant de \( 150 \, mA \) lorsqu'une tension de \( 9 \, V \) est appliquée à ses bornes. Quelle est la valeur de sa résistance ? #### Exercice 2 On dispose de trois résistors: \( R_A = 220 \, \Omega \), \( R_B = 470 \, \Omega \) et \( R_C = 1 \, k\Omega \). * a) Calculez la résistance équivalente si on les monte en série. * b) Calculez la résistance équivalente si on les monte en parallèle. #### Exercice 3 Un fer à souder électrique a une puissance de \( 30 \, W \) et est conçu pour fonctionner sous une tension de \( 230 \, V \). * a) Quelle est l'intensité du courant qui le traverse en fonctionnement normal ? * b) Quelle est la résistance du fer à souder ? ### Devoir à la maison #### Devoir 1 Un circuit simple est constitué d'une pile de \( 4.5 \, V \) et d'une ampoule dont la résistance est de \( 15 \, \Omega \). * a) Dessinez le schéma électrique de ce circuit. * b) Calculez l'intensité du courant qui circule dans l'ampoule. * c) Calculez la puissance électrique dissipée par l'ampoule. #### Devoir 2 Considérez le circuit suivant : un résistor \( R_1 = 330 \, \Omega \) est monté en parallèle avec un résistor \( R_2 = 1.5 \, k\Omega \). L'ensemble est ensuite connecté en série avec un troisième résistor \( R_3 = 100 \, \Omega \). Ce circuit est alimenté par une source de tension de \( 12 \, V \). * a) Calculez la résistance équivalente de l'association parallèle (\( R_1 \) et \( R_2 \)). * b) Calculez la résistance totale équivalente du circuit. * c) Calculez l'intensité du courant total débité par la source de tension. * d) Calculez la tension aux bornes de l'association parallèle et la tension aux bornes de \( R_3 \). ### Résumé Dans cette activité d'intégration, nous avons consolidé notre compréhension des dipôles passifs, en particulier des résistors. Nous avons revu les points essentiels suivants : * Un résistor est un dipôle passif dont la fonction est de s'opposer au passage du courant électrique, caractérisé par sa résistance \( R \) en Ohms. * La **Loi d'Ohm** est la relation fondamentale qui lie la tension \( U \), la résistance \( R \) et l'intensité \( I \) par la formule \[ U = R \times I \]. * Nous avons appris à calculer la résistance équivalente pour des résistors montés **en série** (somme des résistances : \( R_{eq} = R_1 + R_2 + ... \)) et **en parallèle** (somme des inverses des résistances : \( \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... \)). * La **puissance dissipée** par un résistor (par effet Joule) peut être calculée avec les formules \[ P = U \times I \], \[ P = R \times I^2 \] ou \[ P = \frac{U^2}{R} \]. Ces concepts sont fondamentaux en électrotechnique et en électronique et vous serviront de base pour des études plus avancées.