SYSTEMES DE NUMERATION

## Introduction Dans le monde de l'électronique et de l'informatique, les informations ne sont pas toujours représentées de la même manière que nous les utilisons dans notre vie quotidienne. Alors que nous comptons en base 10 (système décimal), les systèmes numériques, comme les ordinateurs et les circuits électroniques, fonctionnent principalement avec des signaux à deux états : activé ou désactivé, ce qui correspond au système binaire (base 2). Comprendre ces différents systèmes de numération et comment ils sont utilisés est fondamental pour tout futur technicien ou ingénieur en électronique. Cette leçon vous introduira aux concepts des bases de numération, aux conversions entre elles, et à quelques codes numériques importants. ## Concepts Clés ### Qu'est-ce qu'un Système de Numération ? Un système de numération est un ensemble de règles permettant de lire et d'écrire des nombres. Chaque système est caractérisé par sa **base**, qui représente le nombre de symboles (chiffres) uniques qu'il utilise. * **Base (b) :** Le nombre de symboles différents utilisés pour représenter les nombres. * **Chiffres :** Les symboles uniques (par exemple, 0-9 pour la base 10). * **Poids :** La position d'un chiffre dans un nombre détermine sa valeur ou son "poids", qui est une puissance de la base. Par exemple, dans \( 123_{10} \), le "1" a un poids de \( 10^2 \), le "2" de \( 10^1 \) et le "3" de \( 10^0 \). ### Le Système Décimal (Base 10) C'est le système que nous utilisons tous les jours. * **Base :** 10 * **Chiffres :** 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 * **Exemple :** Le nombre \( 457_{10} \) signifie : \[ 4 imes 10^2 + 5 imes 10^1 + 7 imes 10^0 \] \[ 4 imes 100 + 5 imes 10 + 7 imes 1 = 400 + 50 + 7 = 457 \] ### Le Système Binaire (Base 2) C'est le système fondamental des ordinateurs et de l'électronique numérique, car il représente facilement les deux états électriques (tension haute/basse, interrupteur ouvert/fermé). * **Base :** 2 * **Chiffres (bits) :** 0, 1 * **Poids :** Les positions représentent des puissances de 2 (\( 2^0, 2^1, 2^2, 2^3 \), etc.). #### Conversion Décimal vers Binaire On utilise la méthode des **divisions successives par la base (2)** en notant les restes. On lit ensuite les restes de bas en haut. * **Exemple :** Convertir \( 13_{10} \) en binaire. \[ 13 ext{ divisé par } 2 = 6 ext{ reste } 1 \] \[ 6 ext{ divisé par } 2 = 3 ext{ reste } 0 \] \[ 3 ext{ divisé par } 2 = 1 ext{ reste } 1 \] \[ 1 ext{ divisé par } 2 = 0 ext{ reste } 1 \] En lisant les restes de bas en haut : \( 13_{10} = 1101_2 \). #### Conversion Binaire vers Décimal On multiplie chaque bit par son poids (puissance de 2) et on additionne les résultats. * **Exemple :** Convertir \( 1011_2 \) en décimal. \[ 1 imes 2^3 + 0 imes 2^2 + 1 imes 2^1 + 1 imes 2^0 \] \[ 1 imes 8 + 0 imes 4 + 1 imes 2 + 1 imes 1 \] \[ 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10} \] ### Le Système Hexadécimal (Base 16) Le système hexadécimal est très utilisé en informatique et en électronique pour sa compacité. Un chiffre hexadécimal représente exactement 4 bits (un nibble). * **Base :** 16 * **Chiffres :** 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F * \( A = 10_{10} \) * \( B = 11_{10} \) * \( C = 12_{10} \) * \( D = 13_{10} \) * \( E = 14_{10} \) * \( F = 15_{10} \) #### Table de correspondance Hexadécimal - Binaire (sur 4 bits) | Hexa | Binaire | |------|---------| | 0 | 0000 | | 1 | 0001 | | 2 | 0010 | | 3 | 0011 | | 4 | 0100 | | 5 | 0101 | | 6 | 0110 | | 7 | 0111 | | 8 | 1000 | | 9 | 1001 | | A | 1010 | | B | 1011 | | C | 1100 | | D | 1101 | | E | 1110 | | F | 1111 | #### Conversion Binaire vers Hexadécimal On regroupe les bits par blocs de 4, en partant de la droite, puis on convertit chaque bloc en son équivalent hexadécimal. Si le nombre de bits n'est pas un multiple de 4, on ajoute des zéros (padding) à gauche. * **Exemple :** Convertir \( 11010110_2 \) en hexadécimal. 1. Diviser en groupes de 4 bits : \( 1101 ext{ } 0110 \) 2. Convertir chaque groupe : \( 1101_2 = D_{16} \) et \( 0110_2 = 6_{16} \) 3. Résultat : \( 11010110_2 = D6_{16} \). #### Conversion Hexadécimal vers Binaire On remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur 4 bits. * **Exemple :** Convertir \( 5A_{16} \) en binaire. 1. Convertir \( 5_{16} \) : \( 0101_2 \) 2. Convertir \( A_{16} \) : \( 1010_2 \) 3. Résultat : \( 5A_{16} = 01011010_2 \). #### Conversion Hexadécimal vers Décimal On multiplie chaque chiffre par son poids (puissance de 16) et on additionne les résultats. * **Exemple :** Convertir \( 2F_{16} \) en décimal. \[ 2 imes 16^1 + F imes 16^0 \] (Rappelons que \( F = 15_{10} \)) \[ 2 imes 16 + 15 imes 1 \] \[ 32 + 15 = 47_{10} \] #### Conversion Décimal vers Hexadécimal On utilise la méthode des divisions successives par la base (16) en notant les restes. On lit ensuite les restes de bas en haut. * **Exemple :** Convertir \( 47_{10} \) en hexadécimal. \[ 47 ext{ divisé par } 16 = 2 ext{ reste } 15 \text{ (soit F)} \] \[ 2 ext{ divisé par } 16 = 0 ext{ reste } 2 \] En lisant les restes de bas en haut : \( 47_{10} = 2F_{16} \). ### Codes Numériques En plus des systèmes de numération, il existe des codes qui permettent de représenter des informations d'une manière spécifique. #### Code Binaire Naturel (Pure Binary) C'est la représentation binaire classique que nous avons vue, où chaque bit a un poids de puissance de 2. #### Code BCD (Binary Coded Decimal) Le BCD code chaque chiffre décimal individuellement en binaire sur 4 bits. Il est souvent utilisé pour l'affichage de chiffres décimaux (par exemple, sur des montres numériques ou des calculatrices) car il simplifie la conversion pour l'affichage. * **Exemple :** \( 23_{10} \) en BCD. * Le chiffre 2 est \( 0010_2 \). * Le chiffre 3 est \( 0011_2 \). * Donc, \( 23_{10} = 0010 ext{ } 0011_{BCD} \). (Attention, ce n'est PAS \( 10111_2 \) qui est \( 23_{10} \) en binaire pur !) #### Code Gray Le code Gray est un code binaire non pondéré où deux nombres consécutifs ne diffèrent que par un seul bit. Cela est très utile dans les capteurs de position pour éviter les erreurs lors des transitions. * **Exemple :** | Décimal | Binaire | Code Gray | |---------|---------|-----------| | 0 | 000 | 000 | | 1 | 001 | 001 | | 2 | 010 | 011 | | 3 | 011 | 010 | | 4 | 100 | 110 | ## Vocabulaire * **Système de numération :** Ensemble de règles pour représenter des nombres. * **Base :** Nombre de symboles différents utilisés dans un système de numération. * **Chiffre / Bit :** Un symbole unique dans un système de numération. Un "bit" est un chiffre binaire (0 ou 1). * **Poids :** La valeur associée à la position d'un chiffre dans un nombre, égale à la puissance de la base correspondante. * **Décimal :** Système de numération en base 10. * **Binaire :** Système de numération en base 2, utilisant les chiffres 0 et 1. * **Hexadécimal :** Système de numération en base 16, utilisant 0-9 et A-F. * **Conversion :** Le processus de transformation d'un nombre d'un système de numération à un autre. * **Octet (Byte) :** Un groupe de 8 bits. * **Code BCD :** Binary Coded Decimal, code où chaque chiffre décimal est représenté par son équivalent binaire sur 4 bits. * **Code Gray :** Code binaire où deux nombres successifs ne diffèrent que par un seul bit. ## Exemples Pratiques 1. **Conversion d'une valeur de capteur :** Un capteur renvoie la valeur binaire \( 10110_2 \). Quelle est cette valeur en décimal ? \[ 1 imes 2^4 + 0 imes 2^3 + 1 imes 2^2 + 1 imes 2^1 + 0 imes 2^0 \] \[ 1 imes 16 + 0 imes 8 + 1 imes 4 + 1 imes 2 + 0 imes 1 \] \[ 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22_{10} \] La valeur du capteur est \( 22_{10} \). 2. **Affichage sur un circuit :** Vous voulez afficher le nombre \( 85_{10} \) sur un afficheur 7 segments. En BCD, comment serait-il représenté ? * Chiffre 8 : \( 1000_{BCD} \) * Chiffre 5 : \( 0101_{BCD} \) Le code BCD pour \( 85_{10} \) est \( 1000 ext{ } 0101_{BCD} \). 3. **Adresse mémoire :** Une adresse mémoire est donnée en hexadécimal : \( 3F_{16} \). Quelle est sa représentation en binaire et en décimal ? * **Vers binaire :** * \( 3_{16} = 0011_2 \) * \( F_{16} = 1111_2 \) Donc, \( 3F_{16} = 00111111_2 \). * **Vers décimal :** \[ 3 imes 16^1 + F imes 16^0 \] \[ 3 imes 16 + 15 imes 1 \] \[ 48 + 15 = 63_{10} \] Donc, \( 3F_{16} = 63_{10} \). ## Exercices 1. Convertissez les nombres décimaux suivants en binaire : a. \( 9_{10} \) b. \( 25_{10} \) c. \( 42_{10} \) 2. Convertissez les nombres binaires suivants en décimal : a. \( 101_2 \) b. \( 1110_2 \) c. \( 10011_2 \) 3. Convertissez les nombres binaires suivants en hexadécimal : a. \( 1010_2 \) b. \( 111001_2 \) c. \( 1011110001_2 \) 4. Convertissez les nombres hexadécimaux suivants en binaire : a. \( C_{16} \) b. \( 1B_{16} \) c. \( F0A_{16} \) 5. Représentez le nombre décimal \( 58_{10} \) en code BCD. ## Devoirs 1. Convertissez les nombres suivants dans les bases indiquées : a. \( 75_{10} \) en binaire. b. \( 1101011_2 \) en décimal. c. \( A3_{16} \) en décimal et en binaire. d. \( 199_{10} \) en hexadécimal. 2. Quel est l'avantage du code Gray par rapport au code binaire naturel dans le contexte des capteurs rotatifs ? Expliquez avec un exemple simple. 3. Si un système a besoin de distinguer 10 états différents, combien de bits binaires minimum sont nécessaires pour les coder ? (Indice : \( 2^n \) doit être supérieur ou égal au nombre d'états). 4. Recherchez ce qu'est le code ASCII et son utilité dans les systèmes informatiques. ## Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les différents systèmes de numération essentiels en électronique et en informatique. Nous avons appris que le système décimal (base 10) est notre système quotidien, tandis que le système binaire (base 2) est le langage fondamental des machines numériques, utilisant uniquement les chiffres 0 et 1. Le système hexadécimal (base 16) sert de pont pratique entre le binaire et le décimal, simplifiant la représentation de longues séquences binaires. Nous avons également abordé les méthodes de conversion entre ces bases et découvert des codes spécifiques comme le BCD pour l'affichage de nombres décimaux et le code Gray pour sa propriété de changement d'un seul bit entre valeurs successives, utile pour les capteurs. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour comprendre le fonctionnement interne des circuits électroniques numériques.