Fonctions Logiques et Algèbre de Boole (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir et représenter les fonctions logiques élémentaires (AND, OR, NOT) et leurs complémentaires (NAND, NOR, XOR, XNOR). - Élaborer les tables de vérité associées et en déduire les expressions booléennes canoniques. - Réaliser ces fonctions avec des portes logiques TTL/CMOS couramment utilisées dans les ateliers industriels camerounais (74LS08, 74LS32, 74LS04, 74LS00, 74LS02, 74LS86). - Simplifier une expression booléenne à l’aide des lois de l’algèbre de Boole (commutativité, associativité, distributivité, lois de De Morgan, absorption, etc.). - Concevoir un schéma logique répondant à un cahier des charges professionnel (ex. commande d’éclairage d’un atelier de soudure, système de sécurité d’une porte d’accès). - Vérifier le fonctionnement d’un circuit sur plaque d’essai (breadboard) et diagnostiquer les éventuels dysfonctionnements. **Prérequis :** - Notions de base en électricité numérique (niveaux logiques 0 V / 5 V, courants de sortie/entrée des familles TTL et CMOS). - Savoir lire un schéma électronique simple et utiliser un multimètre pour mesurer des tensions continues. - Connaître les règles de sécurité élémentaires en atelier (port de lunettes de protection, mise à la terre des appareils, manipulation des composants statiques). --- ## Introduction contextualisée Dans les entreprises industrielles du Cameroun – usines de transformation agroalimentaire à Douala, ateliers de métallurgie à Yaoundé, ou centres de maintenance des télécommunications – les systèmes de commande reposent souvent sur des logique booléenne implémentée à l’aide de circuits intégrés. Maîtriser les fonctions logiques élémentaires et leurs complémentaires permet à l’élève de concevoir, dépanner et optimiser ces automatismes, compétences essentielles pour le Probatoire et pour l’insertion professionnelle dans le secteur de l’automatisme et de l’informatique industrielle. --- ## I. Leçon 3 – Les fonctions logiques élémentaires ### A. Définition et représentation > **Une fonction logique élémentaire** est une application qui associe à chaque combinaison d’entrées binaires une sortie binaire unique, définie par une table de vérité. Les trois fonctions de base sont : - **AND (produit logique)** : sortie = 1 seulement si toutes les entrées sont à 1. - **OR (somme logique)** : sortie = 1 si au moins une entrée est à 1. - **NOT (inverseur)** : sortie = complément de l’entrée. En algèbre de Boole, on les note respectivement : $$F_{AND}=A\cdot B$$ $$F_{OR}=A+B$$ $$F_{NOT}=\overline{A}$$ ### B. Table de vérité des fonctions de base | A | B | A·B (AND) | A+B (OR) | $\overline{A}$ (NOT) | |---|---|-----------|----------|----------------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | > **Propriété de commutativité** : $A\cdot B = B\cdot A$ et $A+B = B+A$. > **Propriété d’associativité** : $(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)$ et $(A+B)+C = A+(B+C)$. ### C. Réalisation avec des composants TTL/CMOS Dans les ateliers camerounais, on utilise fréquemment les familles **74LS** (TTL faible puissance) et **74HC** (CMOS haute vitesse). | Fonction | CI TTL typique | Brochage simplifié (exemple 74LS08) | |----------|----------------|--------------------------------------| | AND 2‑entrées | 74LS08 (quad AND) | 1A‑1B → 1Y ; 2A‑2B → 2Y ; … | | OR 2‑entrées | 74LS32 (quad OR) | 1A‑1B → 1Y ; … | | NOT (inverseur) | 74LS04 (hex inverter) | 1A → 1Y ; … | **Exemple de câblage (AND 2‑entrées) :** - Connecter les entrées A et B aux broches 1 et 2 du 74LS08. - Relier la sortie Y (broche 3) à une LED via une résistance de 220 Ω vers +5 V. - Alimenter le CI : VCC broche 14 à +5 V, GND broche 7 à la masse. > **Règle de sécurité** : Toujours vérifier la présence d’une résistance de limitation de courant en série avec la LED pour éviter de dépasser le courant de sortie maximal du CI (≈ 8 mA pour 74LS). ### D. Exemple d’atelier : commande d’un moteur de convoyeur Dans une usine de transformation du cacao à Bafoussam, le démarrage d’un convoyeur à bande nécessite que deux conditions soient simultanément remplies : 1. Le bouton de mise en marche (S1) est enfoncé. 2. Le verrou de sécurité de la porte d’accès (S2) est fermé (contact NF). La fonction de commande est donc : $$M = S_1 \cdot \overline{S_2}$$ où $\overline{S_2}$ représente l’inverse du contact de sécurité (un NOT réalisé avec un 74LS04). Le schéma se compose d’un NOT sur S2 suivi d’un AND avec S1, réalisé à l’aide d’un 74LS04 et d’un 74LS08. --- ## II. Leçon 4 – Les fonctions logiques complémentaires ### A. Fonctions NAND, NOR, XOR, XNOR > **NAND** (NOT‑AND) : sortie = 0 seulement si toutes les entrées sont à 1 ; autrement dit, $F_{NAND}= \overline{A\cdot B}$. > **NOR** (NOT‑OR) : sortie = 1 seulement si toutes les entrées sont à 0 ; $F_{NOR}= \overline{A+B}$. > **XOR** (OU exclusif) : sortie = 1 si les entrées sont différentes ; $F_{XOR}= A\overline{B}+ \overline{A}B$. > **XNOR** (Équivalence) : sortie = 1 si les entrées sont égales ; $F_{XNOR}= \overline{A}\overline{B}+ AB$. ### B. Tables de vérité et propriétés fonctionnellement complètes | A | B | NAND | NOR | XOR | XNOR | |---|---|------|-----|-----|------| | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | > **Propriété de fonctionnelle complète** : NAND seul (ou NOR seul) permet de réaliser toute fonction logique. > **Loi de De Morgan** : $\overline{A\cdot B}= \overline{A}+ \overline{B}$ et $\overline{A+B}= \overline{A}\cdot \overline{B}$. ### C. Réalisation avec des portes NAND uniquement Pour obtenir un AND à partir de deux NAND : 1. Première NAND : $X = \overline{A\cdot B}$. 2. Deuxième NAND avec les deux entrées reliées à X : $Y = \overline{X\cdot X}= \overline{\overline{A\cdot B}} = A\cdot B$. Ainsi, un circuit AND 2‑entrées peut être construit avec deux portes 74LS00 (quad NAND). > **Exemple chiffré** : Si $A=1$ (5 V) et $B=0$ (0 V), la première NAND donne $X=1$ (puisque $\overline{1\cdot0}=1$). La deuxième NAND, avec ses deux entrées à 1, donne $Y=0$ → sortie AND = 0, conforme à la table de vérité. ### D. Exemple d’atelier : système de sécurité d’une porte d’accès Dans une usine de conditionnement de boissons à Douala, l’accès à la zone de remplissage est autorisé seulement si : - Le badge RFID est lu (signal B = 1). - Le bouton d’urgence n’est pas enfoncé (signal E = 0). La condition de sécurité s’écrit : $$O = B \cdot \overline{E}$$ Pour réduire le nombre de types de portes, on implémente tout avec des NAND : 1. $\overline{E}$ réalisé par une NAND avec ses deux entrées reliées à E. 2. $B \cdot \overline{E}$ réalisé par une NAND suivie d’un inverseur NAND (comme montré précédemment). Le schéma final utilise uniquement des CI 74LS00, ce qui simplifie la gestion des stocks en atelier. --- ## III. ACTIVITES D’INTEGRATION ### A. Analyse d’un cahier des charges **Situation professionnelle** : Un atelier de soudure à Yaoundé souhaite automatiser l’éclairage de ses postes de travail. L’éclairage doit s’allumer lorsque : - Le détecteur de présence (PIR) détecte un opérateur (signal P = 1). - Le niveau de lumière ambiante, mesuré par un phototransistor, est inférieur à un seuil (signal L = 1 lorsqu’il fait sombre). - Le bouton d’arrêt d’urgence n’est pas actionné (signal A = 0). ### B. Élaboration du schéma logique et simplification Expression brute : $$E = P \cdot L \cdot \overline{A}$$ Application de la loi d’associativité : aucune simplification supplémentaire nécessaire. Toutefois, pour montrer l’usage des lois, on peut réécrire : $$E = \overline{\overline{P} + \overline{L} + A}$$ (application de la loi de De Morgan deux fois). ### C. Réalisation sur plaque d’essai (breadboard) 1. **Composants utilisés** : - Capteur PIR (sortie TTL compatible). - Phototransistor avec résistance de pull‑up 10 kΩ (sortie L). - Bouton d’arrêt d’urgence (contact NF, donnant A=0 lorsqu’il est enfoncé). - CI 74LS00 (quad NAND) pour mettre en œuvre la forme NAND‑only. - LED d’indication avec résistance 330 Ω. 2. **Montage** : - Inverseur NAND pour $\overline{A}$ (entrées du NAND reliées à A) – 1ère porte NAND du premier 74LS00. - Réalisation de $P \cdot L$ avec deux NAND en cascade : première NAND (entrées P, L) donne $\overline{P\cdot L}$ ; seconde NAND (ses deux entrées reliées à la sortie de la première) donne $P\cdot L$ – 2ème et 3ème portes NAND du même CI. - Réalisation de l’ET entre $P\cdot L$ et $\overline{A}$ à l’aide de deux NAND en cascade : quatrième NAND (entrées $P\cdot L$ et $\overline{A}$) donne $\overline{(P\cdot L)\cdot\overline{A}}$ ; cinquième NAND (ses deux entrées reliées à la sortie de la quatrième) donne $E = (P\cdot L)\cdot\overline{A}$ – 4ème et 5ème portes NAND (nécessitant un second CI 74LS00 ou l’utilisation d’une porte NOR 74LS02 pour l’étape finale d’inversion afin de réduire le nombre de CI). - Sortie $E$ alimente la base d’un transistor NPN (2N2222) qui commande l’alimentation de la lampe 12 V via un relais. 3. **Vérification** : - Mesurer les tensions aux entrées avec un multimètre en mode continu. - Observer l’état de la LED pour chaque combinaison de P, L, A (table de vérité testée). ### D. Bilan de compétences - L’élève a pu traduire un cahier des charges en expression booléenne. - Il a appliqué les lois de l’algèbre de Boole pour obtenir une forme NAND‑only, réduisant le nombre de types de CI. - Il a réalisé le circuit sur breadboard, mesuré les niveaux logiques et validé le fonctionnement conformément au cahier des charges. - Il a respecté les règles de sécurité (port de lunettes, vérification des courants de sortie, mise à la terre du châssis). --- ## Synthèse du chapitre - **Fonctions élémentaires** : AND ($A\cdot B$), OR ($A+B$), NOT ($\overline{A}$). - **Fonctions complémentaires** : NAND ($\overline{A\cdot B}$), NOR ($\overline{A+B}$), XOR ($A\overline{B}+\overline{A}B$), XNOR ($\overline{A}\overline{B}+AB$). - **Tables de vérité** : indispensables pour décrire le comportement de chaque fonction. - **Lois de l’algèbre de Boole** : commutativité, associativité, distributivité, absorption, lois de De Morgan. - **Forme NAND‑only** : toute fonction logique peut être réalisée exclusivement avec des portes NAND (ou NOR). - **Réalisation pratique** : utilisation des familles TTL 74LS (ex. 74LS08, 74LS32, 74LS04, 74LS00) et vérification sur breadboard. - **Exemple professionnel** : commande d’éclairage d’atelier de soudure, système de sécurité de porte d’accès, démarrage de convoyeur. - **Sécurité** : limiter les courants de sortie, utiliser des résistances de pull‑up/pull‑down, porter des lunettes de protection, mettre à la terre les châssis métalliques. --- ## Glossaire (10 termes) - **Porte logique** : composant électronique réalisant une fonction booléenne de base (AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, XNOR). - **Niveau logique TTL** : 0 V ≈ logique 0, 5 V ≈ logique 1 (tolérances définies par la famille 74LS). - **Pull‑up / Pull‑down** : résistance qui fixe l’état logique d’une entrée lorsqu’elle est laissée flottante. - **Breadboard** : plaque d’essai permettant de monter provisoirement un circuit sans soudure. - **Famille 74LS** : série TTL à faible puissance Schottky, largement utilisée en enseignement et en prototypage. - **Loi de De Morgan** : $\overline{A\cdot B}= \overline{A}+ \overline{B}$ et $\overline{A+B}= \overline{A}\cdot \overline{B}$. - **Fonctionnellement complète** : propriété d’une porte (NAND ou NOR) permettant de réaliser toute fonction logique. - **Contact NF** (Normally Fermé) : contact qui est fermé au repos et s’ouvre lorsqu’il est actionné. - **Signal d’urgence** : entrée qui, lorsqu’elle est active, force la sortie du système à l’état sûr (souvent 0). - **Relais électromagnétique** : dispositif permettant de commander une charge de puissance supérieure à celle d’une porte logique, grâce à une bobine commandée par un signal logique faible. --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 – Contrôle d’accès à une salle de serveurs **Cahier des charges** : L’accès à la salle est autorisé si : - Le badge est présenté (B = 1). - Le code PIN est correct (P = 1). - Le détecteur d’intrusion ne signale aucune présence (I = 0). 1. Écrire l’expression booléenne de l’autorisation d’accès $A$. 2. Réaliser cette fonction uniquement avec des portes NAND (schéma en texte). 3. Donner la table de vérité complète. **Corrigé** 1. $A = B \cdot P \cdot \overline{I}$ 2. Réalisation NAND‑only : - $\overline{I}$ = NAND(I, I) - $X = \text{NAND}(B, P)$ → $\overline{B\cdot P}$ - $Y = \text{NAND}(X, X)$ → $B\cdot P$ (double NAND) - $Z = \text{NAND}(Y, \overline{I})$ → $\overline{(B\cdot P)\cdot \overline{I}}$ - $A = \text{NAND}(Z, Z)$ → $(B\cdot P)\cdot \overline{I}$ (double NAND) En pratique, on utilise cinq NAND : - NAND1 : entrées I, I → sortie $\overline{I}$ - NAND2 : entrées B, P → sortie $\overline{B\cdot P}$ - NAND3 : entrées sortie NAND2, sortie NAND2 → sortie $B\cdot P$ - NAND4 : entrées sortie NAND3, sortie NAND1 → sortie $\overline{B\cdot P\cdot \overline{I}}$ - NAND5 : entrées sortie NAND4, sortie NAND4 → sortie $B\cdot P\cdot \overline{I}$ (autorisation). Ainsi cinq NAND sont nécessaires. 3. Table de vérité : | B | P | I | $\overline{I}$ | $B\cdot P$ | $A = B\cdot P\cdot \overline{I}$ | |---|---|---|----------------|-----------|-----------------------------------| | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | --- ### Exercice 2 – Gestion d’un système d’alarme incendie **Cahier des charges** : L’alarme sonore se déclenche si : - Un détecteur de fumée envoie un signal de niveau haut (F = 1). - Ou bien la température dépasse un seuil (T = 1). - Mais seulement si le verrou de sécurité du dispositif d’extinction n’est pas activé (V = 0). 1. Donner l’expression booléenne de l’alarme $S$. 2. Simplifier l’expression en utilisant les lois de l’algèbre de Boole. 3. Réaliser le circuit avec uniquement des portes NOR. **Corrigé** 1. $S = (F + T) \cdot \overline{V}$ 2. Application de la loi de distributivité : aucune simplification supplémentaire ; on peut toutefois appliquer la loi de De Morgan pour obtenir une forme NOR‑only : $\overline{S}= \overline{(F+T)\cdot \overline{V}} = \overline{F+T} + V = \overline{F}\cdot \overline{T} + V$ Donc $S = \overline{\overline{F}\cdot \overline{T} + V}$. 3. Réalisation NOR‑only : - NOR1 : entrées F, T → sortie $\overline{F+T}$ (qui vaut $\overline{F}\cdot \overline{T}$). - NOR2 : entrées sortie NOR1, V → sortie $\overline{\overline{F+T}+V}$ = $S$ (car $\overline{\overline{F+T}+V}= (F+T)\cdot \overline{V}$). Ainsi deux portes NOR 74LS02 suffisent. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de mettre une résistance de limitation en série avec une LED reliée à la sortie d’une porte TTL. | Dépassement du courant de sortie (≈ 8 mA pour 74LS) → dégradation du CI ou de la LED. | Toujours placer une résistance calculée : $R = \frac{V_{CC} - V_{LED}}{I_{LED}}$ (ex. $R = \frac{5V-2V}{5mA}=600\Omega$, choisir 680 Ω). | | 2 | Laisser une entrée logique flottante (non reliée à VCC ou GND) dans un circuit CMOS. | L’interprétation du niveau devient imprévisible → fonctionnement erratique du circuit. | Utiliser des résistances de pull‑up (10 kΩ vers VCC) ou de pull‑down (10 kΩ vers GND) sur toutes les entrées inutilisées. | | 3 | Inverser le sens de brochage d’un CI (ex. placer le VCC sur la broche GND). | Court‑circuit interne, destruction du composant, risque de dégagement de fumée. | Vérifier le datasheet et repérer le repère (encoche ou point) avant d’insérer le CI ; utiliser un extracteur de CI pour éviter les dommages. | | 4 | Ne pas mettre à la terre le châssis métallique d’une armoire de commande lorsqu’on travaille sous tension. | Risque de choc électrique en cas de défaut d’isolement. | Toujours connecter le châssis à la terre de l’installation (conducteur de protection) avant de mettre sous tension. | | 5 | Utiliser une porte logique hors de ses limites de fréquence (ex. faire commuter un 74LS à plusieurs MHz). | Temps de propagation dépassé, glitches, mauvaise logique. | Respecter les caractéristiques du composant (fréquence maximale, temps de propagation) spécifiées dans le datasheet ; pour des fréquences élevées privilégier la famille 74HC ou des composants dédiés. | | 6 | Négliger la détection d’un état de conflit (ex. deux sorties reliées directement sans résistance de séparation). | Courant de court‑circuit entre sorties, endommagement des portes. | Jamais relier directement deux sorties ; utiliser une porte logique (ex. AND/OR) ou une résistance de séparation si nécessaire. | --- *Fin du cours.*