Fonctions Logiques et Algèbre de Boole (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - représenter une fonction logique sous différentes formes (table de vérité, expression canonique, schéma de portes, diagramme de Karnaugh) ; - appliquer les lois de l’algèbre de Boole pour simplifier algébriquement une fonction logique ; - utiliser le diagramme de Karnaugh (2 à 4 variables) pour obtenir une forme minimale SOP ou POS ; - interpréter le résultat d’une simplification dans un contexte professionnel (automatisme d’une ligne de production, contrôle d’accès, gestion d’énergie) ; - détecter les erreurs fréquentes de simplification et respecter les règles de sécurité liées à la manipulation des circuits logiques. **Prérequis :** - maîtrise des notions de variable booléenne, de fonction logique et des opérations de base (ET, OU, NON) vues en première partie du chapitre ; - capacité à lire un schéma électrique simple et à identifier les entrées/sorties d’un automate ; - notions de base en sécurité électrique (mise à la terre, protection contre les surintensités). --- ## Introduction contextualisée Dans les installations industrielles camerounaises (usines de transformation du cacao, lignes d’assemblage de panneaux solaires, stations de traitement d’eau), les automates programmables industriels (API) prennent des décisions à partir de fonctions logiques qui décrivent les conditions de marche ou d’arrêt d’un équipement. Une fonction logique non optimisée entraîne une consommation inutile de ressources (temps de cycle, énergie) et peut rendre la programmation difficile à maintenir. Le chapitre précédent a introduit les fondements de l’algèbre de Boole ; ici, nous apprenons à **représenter**, **simplifier algébriquement** et **simplifier graphiquement** ces fonctions afin d’obtenir des solutions les plus efficaces possibles, conformes aux normes CEI 61131‑3 utilisées dans les API du pays. --- ## I. Leçon 5 – Outils de représentation des fonctions logiques ### 5.1 Table de vérité La table de vérité liste toutes les combinaisons possibles des variables d’entrée et la valeur correspondante de la sortie. Pour une fonction de *n* variables, elle comporte $2^n$ lignes. > **Définition** : Une table de vérité est une représentation exhaustive qui associe à chaque combinaison binaire des entrées la valeur de la fonction logique $F$. Exemple (fonction de deux variables $A$ et $B$) : | A | B | F | |---|---|---| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | Cette table correspond à la fonction **OU exclusif** $F = A \oplus B$. ### 5.2 Expressions canoniques Deux formes canoniques permettent d’écrire toute fonction logique de façon unique : - **Somme des mintermes (SOP)** : chaque ligne où $F=1$ donne un minterme (produit de littéraux, chaque variable apparaît soit non négée soit négée selon sa valeur). - **Produit des maxtermes (POS)** : chaque ligne où $F=0$ donne un maxterme (somme de littéraux). > **Propriété** : Toute fonction logique peut être exprimée soit sous forme SOP canonique, soit sous forme POS canonique, et ces deux formes sont déduites l’une de l’autre par la loi de De Morgan. Exemple : à partir de la table précédente, - Mintermes pour $F=1$ : $\overline{A}B$ et $A\overline{B}$ → $F_{SOP}= \overline{A}B + A\overline{B}$. - Maxtermes pour $F=0$ : $(A+B)$ et $(\overline{A}+\overline{B})$ → $F_{POS}= (A+B)(\overline{A}+\overline{B})$. ### 5.3 Diagrammes de portes logiques Un schéma montre la réalisation physique de la fonction à l’aide de portes ET, OU, NON (et leurs dérivées NAND, NOR). Ce schéma est indispensable pour le câblage d’un automate ou d’un relais logique. > **Règle de métier** : Dans un atelier d’automatisme au Cameroun, on privilégie les portes NAND/NOR car elles sont fonctionnellement complètes et permettent de réduire le nombre de types de composants en stock. ### 5.4 Tableau récapitulatif des représentations | Représentation | Avantages | Inconvénients | Usage typique | |---|---|---|---| | Table de vérité | Simple à construire, vérifie l’exhaustivité | Encombrante pour $n>4$ | Validation de spécifications | | Expression canonique (SOP/POS) | Forme unique, facile à générer depuis la table | Souvent non minimale | Point de départ pour la simplification | | Schéma de portes | Visualisation directe du câblage | Nécessite de connaître les portes disponibles | Réalisation hardware | | Diagramme de Karnaugh (voir leçon 7) | Simplification graphique rapide pour $n\le4$ | Limité à 4 variables en pratique | Optimisation avant programmation API | --- ## II. Leçon 6 – Simplification algébrique des fonctions logiques ### 6.1 Lois fondamentales de l’algèbre de Boole | Loi | Forme | Commentaire | |---|---|---| | Identité | $X+0 = X$, $X\cdot1 = X$ | Élément neutre | | Nullité | $X+1 = 1$, $X\cdot0 = 0$ | Élément absorbant | | Idempotence | $X+X = X$, $X\cdot X = X$ | Répétition inutile | | Complémentarité | $X+\overline{X}=1$, $X\cdot\overline{X}=0$ | Loi du tiers exclu et de la non‑contradiction | | Involution | $\overline{\overline{X}} = X$ | Double négation | | Commutativité | $X+Y = Y+X$, $XY = YX$ | Ordre des opérandes | | Associativité | $(X+Y)+Z = X+(Y+Z)$, $(XY)Z = X(YZ)$ | Regroupement | | Distributivité | $X(Y+Z) = XY + XZ$, $X+YZ = (X+Y)(X+Z)$ | Factorisation / développement | | Absorption | $X+XY = X$, $X(X+Y) = X$ | Élimination de termes redondants | | Loi de De Morgan | $\overline{X+Y}= \overline{X}\cdot\overline{Y}$, $\overline{XY}= \overline{X}+\overline{Y}$ | Transformation entre SOP et POS | > **Formule fondamentale** : La loi de De Morgan permet de passer d’une forme SOP à une forme POS (et vice‑versa) en complémentant chaque littéral et en changeant ET ↔ OU. ### 6.2 Méthode de simplification pas à pas 1. Écrire la fonction sous sa forme canonique SOP (ou POS). 2. Appliquer les lois d’idempotence, d’absorption et de distributivité pour factoriser ou développer. 3. Utiliser la loi de De Morgan seulement si l’on veut changer de forme (SOP↔POS). 4. Vérifier chaque étape en reconstruisant la table de vérité intermédiaire. 5. Arrêter lorsqu’aucune loi ne permet de réduire davantage le nombre de littéraux ou de termes. ### 6.3 Exemple d’application industrielle : contrôle d’une ligne de montage de panneaux solaires au Cameroun **Contexte** : Une ligne d’assemblage comporte trois capteurs : - $S_1$ : présence du cadre métallique (1 = présent) - $S_2$ : position du cellule photovoltaïque (1 = bien placée) - $S_3$ : tension de la chaîne de cellules > 12 V (1 = OK) La sortie $M$ (marche du bras robotique) doit être activée seulement si le cadre est présent **et** (la cellule est bien placée **OU** la tension est suffisante). Expression initiale : $$M = S_1 \cdot (S_2 + S_3)$$ Étape 1 – Distribution : $$M = S_1S_2 + S_1S_3$$ Étape 2 – Vérification d’absorption : aucun terme n’est absorbé. Résultat simplifié : deux ET en parallèle, réalisable avec deux portes AND suivies d’une porte OR. > **À retenir** : Dans ce cas, la forme factorisée $S_1(S_2+S_3)$ utilise moins de portes (1 AND + 1 OR) que la forme développée (2 AND + 1 OR). Le choix dépend du stock de portes disponibles dans l’armoire de l’automatisme. ### 6.4 Utilisation des formes canoniques pour vérifier Après simplification algébrique, on peut reconvertir le résultat en forme SOP canonique et le comparer à la table de vérité d’origine afin de s’assurer de l’équivalence. --- ## III. Leçon 7 – Simplification graphique des fonctions logiques ### 7.1 Principe du diagramme de Karnaugh (K‑map) Le K‑map est une représentation géométrique de la table de vérité où les cases adjacentes diffèrent d’un seul bit (code de Gray). Le regroupement de cases contenant des 1 (pour SOP) ou des 0 (pour POS) permet d’éliminer les variables qui varient à l’intérieur du groupe. > **Règle d’or** : Un groupe valide doit contenir $2^k$ cases (k entier ≥ 0) et être de forme rectangulaire ou carrée. ### 7.2 Construction du K‑map pour 2, 3 et 4 variables - **2 variables** : carte 2×2 (cases : $\overline{A}\overline{B}$, $\overline{A}B$, $A\overline{B}$, $AB$). - **3 variables** : carte 2×4 (lignes : $A=0$, $A=1$ ; colonnes : codage Gray de $BC$ : $00$, $01$, $11$, $10$). - **4 variables** : carte 4×4 (lignes : codage Gray de $AB$, colonnes : codage Gray de $CD$). ### 7.3 Regroupement des 1 (forme SOP) On cherche les plus grands groupes possibles de cases contenant des 1, en permettant le recouvrement (une case peut appartenir à plusieurs groupes). Chaque groupe donne un terme produit où les variables qui restent constantes apparaissent, celles qui changent sont éliminées. ### 7.4 Lecture de l’expression simplifiée Pour chaque groupe, on écrit le produit des littéraux invariables : - Si la variable est constante à 1 → elle apparaît non négée. - Si constante à 0 → elle apparaît négée. - Si elle varie → elle disparaît. La somme de tous ces produits donne l’expression SOP minimale. ### 7.5 Exemple complet : contrôle d’accès à une salle serveur d’une entreprise de télécom au Cameroun **Variables** : - $B$ : badge valide (1 = valide) - $P$ : présence détectée par capteur infrarouge (1 = présence) - $H$ : horaire de travail (1 = 08h‑18h) La porte doit ouvrir ($O=1$) si le badge est valide **ET** (soit la présence est détectée **OU** l’horaire est de travail). Expression de départ : $$O = B \cdot (P + H)$$ **Table de vérité** | B | P | H | O | |---|---|---|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | **K‑map 3 variables** (ligne $B$, colonnes $PH$ en Gray) ``` PH 00 01 11 10 B 0 | 0 0 0 0 B 1 | 0 1 1 1 ``` **Regroupement** : on peut former deux groupes de deux cases adjacentes : - Groupe 1 : cases $B=1, PH=11$ et $B=1, PH=10$ (colonnes 11 et 10) → $B=1$, $P=1$, $H$ varie → terme $B·P$. - Groupe 2 : cases $B=1, PH=01$ et $B=1, PH=11$ (colonnes 01 et 11) → $B=1$, $H=1$, $P$ varie → terme $B·H$. Aucun groupe de quatre cases n’est possible. Expression minimale SOP : $$O = B·P + B·H = B·(P + H)$$ (La forme factorisée $B·(P+H)$ est déjà minimale.) > **À retenir** : Le K‑map permet de vérifier rapidement si une expression est déjà minimale ; dans cet exemple, aucun regroupement de plus de deux cases n’est possible, donc la forme factorisée est optimale. ### 7.6 Limites du K‑map et passage à la méthode Quine‑McCluskey Au-delà de 4 variables, le K‑map devient difficile à lire ; on recourt alors à l’algorithme tabulaire Quine‑McCluskey (méthode exacte) ou à des implémentations logicielles (ex. outils de synthèse HDL). Cette notion est introduite en classe de Terminale pour les systèmes complexes. --- ## Synthèse du chapitre - **Représentations** : table de vérité, formes canoniques SOP/POS, schéma de portes, diagramme de Karnaugh. - **Lois de Boole** : identité, nullité, idempotence, complémentarité, involution, commutativité, associativité, distributivité, absorption, De Morgan. - **Simplification algébrique** : écriture canonique → application successive des lois → vérification par table de vérité. - **Simplification graphique** : construction du K‑map (2‑4 variables), regroupement de puissances de 2, lecture des termes produits, obtention d’une forme minimale SOP ou POS. - **Application professionnelle** : contrôle d’une ligne de montage de panneaux solaires, gestion d’accès à une salle serveur, optimisation du nombre de portes logiques dans un automate. - **Sécurité** : vérifier l’isolement des entrées, respecter les seuils de courant des portes, mettre à la terre les châssis d’automatisme. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |---|---| | Variable booléenne | Grandeurs pouvant prendre uniquement les valeurs 0 (faux) ou 1 (vrai). | | Fonction logique | Relation qui associe à chaque combinaison d’entrées booléennes une sortie booléenne. | | Minterme | Produit (AND) de toutes les variables d’une fonction, chacune apparue soit non négée soit négée selon une ligne de la table de vérité où la sortie vaut 1. | | Maxterme | Somme (OR) de toutes les variables d’une fonction, chacune apparue soit non négée soit négée selon une ligne où la sortie vaut 0. | | Forme canonique SOP | Expression logique sous forme de somme de mintermes (somme de produits). | | Forme canonique POS | Expression logique sous forme de produit de maxtermes (produit de sommes). | | Loi de De Morgan | Règle permettant de transformer un ET en OU et vice‑versa en complémentant chaque littéral. | | Diagramme de Karnaugh (K‑map) | Représentation géométrique de la table de vérité facilitant le regroupement pour l’obtention d’une forme minimale. | | Groupe (dans un K‑map) | Ensemble de cases contenant des 1 (ou des 0) dont le cardinal est une puissance de 2 et qui est de forme rectangulaire/carrée. | | Implicant premier | Groupe qui ne peut être contenu dans aucun autre groupe plus grand tout en restant valide. | | Forme minimale | Expression logique comportant le moins possible de littéraux et de termes, obtenue après simplification. | | Automate programmable industriel (API) | dispositif électronique qui exécute des fonctions logiques pour commander des processus industriels. | | Porte NAND | Porte logique qui réalise l’opération NOT‑AND (fonctionnellement complète). | | Code de Gray | ordonnancement où deux mots consécutifs ne diffèrent que d’un seul bit, utilisé pour l’organisation des cases d’un K‑map. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Simplification algébrique (atelier de câblage) **Énoncé** : Dans une ligne de conditionnement de bouteilles d’eau minérale au Cameroun, trois capteurs détectent : - $C_1$ : présence d’une bouteille sous la buse de remplissage (1 = présente) - $C_2$ : niveau de liquide atteint le seuil haut (1 = OK) - $C_3$ : pression du réseau d’air suffisante (1 = OK) La vanne de remplissage $V$ doit s’ouvrir seulement si une bouteille est présente **ET** (le niveau est haut **OU** la pression d’air est suffisante). 1. Écrire l’expression logique de départ. 2. La simplifier algébriquement en utilisant les lois de Boole. 3. Donner le schéma de portes correspondant (utiliser uniquement des portes AND et OR). **Corrigé** 1. Expression de départ : $$V = C_1 \cdot (C_2 + C_3)$$ 2. Application de la distributivité : $$V = C_1C_2 + C_1C_3$$ Aucune loi d’absorption ou d’idempotence ne permet de réduire davantage. 3. Schéma : deux portes AND en parallèle, leurs sorties alimentent une porte OR. - AND₁ : entrées $C_1$, $C_2$ → sortie $S_1 = C_1C_2$ - AND₂ : entrées $C_1$, $C_3$ → sortie $S_2 = C_1C_3$ - OR : entrées $S_1$, $S_2$ → sortie $V = S_1 + S_2$ > **À retenir** : La forme factorisée utilise une seule porte AND et une porte OR, ce qui réduit le nombre de composants et la consommation énergétique de l’armoire de commande. ### Exercice 2 – Simplification graphique (contrôle d’accès) **Énoncé** : Un système de contrôle d’accès à un laboratoire de biotechnologie à Yaoundé utilise trois entrées : - $A$ : carte d’accès valide (1 = valide) - $B$ : code PIN correct (1 = correct) - $C$ : présence d’un agent de sécurité (1 = présent) La porte se déverrouille ($D=1$) si la carte est valide **ET** (le code PIN est correct **OU** un agent de sécurité est présent). 1. Construire la table de vérité. 2. Réaliser le K‑map à 3 variables. 3. Déterminer l’expression minimale SOP. 4. Proposer une réalisation avec des portes NAND uniquement (rappeler que NAND est fonctionnellement complète). **Corrigé** 1. Table de vérité | A | B | C | D | |---|---|---|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 2. K‑map (ligne $A$, colonnes $BC$ en code de Gray) ``` BC 00 01 11 10 A 0 | 0 0 0 0 A 1 | 0 1 1 1 ``` 3. Regroupement : on peut former deux groupes de deux cases adjacentes : - Groupe 1 : cases $A=1, BC=11$ et $A=1, BC=10$ (colonnes 11 et 10) → $A=1$, $B=1$, $C$ varie → terme $A·B$. - Groupe 2 : cases $A=1, BC=01$ et $A=1, BC=11$ (colonnes 01 et 11) → $A=1$, $C=1$, $B$ varie → terme $A·C$. Aucun groupe de quatre cases n’est possible. Expression minimale SOP : $$D = A·B + A·C = A·(B + C)$$ (La forme factorisée $A·(B+C)$ est déjà minimale.) 4. Réalisation avec des portes NAND uniquement : - Étape 1 – obtenir $B+C$ (OU) : * Inverser $B$ et $C$ avec deux portes NAND : $\overline{B}=B\uparrow B$, $\overline{C}=C\uparrow C$. * NAND des deux inversés : $X = \overline{B}\uparrow\overline{C}$ donne $\overline{\overline{B}\cdot\overline{C}} = B + C$. - Étape 2 – obtenir $A·(B+C)$ (ET) : * NAND de $A$ et de $X$ : $Y = A\uparrow X$ donne $\overline{A\cdot X}$. * Inverser $Y$ avec une porte NAND : $D = Y\uparrow Y$ donne $A\cdot X = A·(B+C)$. Ainsi, cinq portes NAND suffisent ( deux pour les inversions, une pour le OU, deux pour le ET ). > **À retenir** : Dans cet exemple, la fonction ne se réduit pas à une seule variable ; le K‑map confirme que la forme factorisée est déjà minimale. L’implémentation NAND montre la complétude fonctionnelle de cette porte. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Bonne pratique / règle de sécurité | |---|---|---|---| | 1 | Oublier de compléter la table de vérité (omettre certaines lignes) | Expression logique incorrecte, dysfonctionnement de l’automate | Toujours vérifier que le nombre de lignes = $2^n$ ; utiliser un tableau de comptage binaire. | | 2 | Appliquer la loi d’absorption dans le mauvais sens (ex. $X+XY = Y$) | Terme essentiel supprimé, sortie toujours à 0 ou 1 selon le cas | Rappeler la forme correcte : $X+XY = X$ et $X(X+Y)=X$ ; tester avec des valeurs 0/1. | | 3 | Former un groupe non puissance de 2 dans le K‑map (ex. groupe de 3 cases) | Terme produit incorrect, variables mal éliminées | Vérifier que chaque groupe contient 1, 2, 4, 8… cases ; utiliser le surlignage pour visualiser. | | 4 | Négliger la propagation du délai dans une chaîne de portes (ex. trop d’AND en série) | Temps de réponse trop lent, risque de défaut de synchronisation dans une ligne de production | Limiter le nombre de portes en cascade ; privilégier les formes factorisées ou utiliser des portes à temps de propagation faible (ex. portes CMOS rapides). | | 5 | Brancher une sortie d’API directement sur une charge inductive sans diode de roue libre | Tension de retour pouvant endommager les sorties de l’automate | Toujours placer une diode de roue libre (ex. 1N4007) en parallèle avec la charge, cathode vers le +V. | | 6 | Utiliser des portes TTL dans un environnement à forte température (ex. atelier de séchage du cacao > 45 °C) | Dégradation des niveaux logiques, erreurs intermittentes | Privilégier les familles CMOS ou les portes à plage de température élargie (−40 °C à +85 °C) conformément aux normes CEI 61131‑3. | --- *Fin du cours.* *Ce document respecte le programme officiel MINESEC/IGE pour la série MAV, Première, approche par compétences, et prépare les élèves aux épreuves du Probatoire en Automatisme et informatique industrielle.*