Espaces vectoriels, applications linéaires et calcul matriciel

# Espaces vectoriels, applications linéaires et calcul matriciel ## Introduction L'algèbre linéaire généralise la géométrie vectorielle du plan et de l'espace à des ensembles plus abstraits. C'est un chapitre exigeant mais très rentable au concours : les matrices et applications linéaires reviennent dans de nombreux exercices (systèmes, transformations, probabilités). ## 1. Espaces vectoriels et sous-espaces Un **espace vectoriel** $E$ (sur $\mathbb{R}$) est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un réel, vérifiant les propriétés usuelles (associativité, existence d'un vecteur nul, opposé, distributivité...). Une partie $F\subset E$ est un **sous-espace vectoriel** si : $F\neq\varnothing$ (souvent $0\in F$), et $F$ est **stable** par combinaison linéaire : $\forall u,v\in F,\ \forall\alpha,\beta\in\mathbb{R},\ \alpha u+\beta v\in F$. **Famille génératrice, libre, base.** Une famille $(e_1,\dots,e_n)$ est **libre** si $\alpha_1e_1+\cdots+\alpha_ne_n=0 \Rightarrow \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$. Elle est **génératrice** de $E$ si tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $e_i$. Une famille libre **et** génératrice est une **base** ; le nombre de vecteurs d'une base est la **dimension** de $E$. ## 2. Calcul matriciel Une **matrice** $n\times p$ est un tableau de nombres à $n$ lignes et $p$ colonnes. On additionne terme à terme (matrices de même taille) ; le produit $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ : chaque coefficient de $AB$ est le produit scalaire d'une ligne de $A$ par une colonne de $B$. **Attention :** le produit matriciel n'est **pas commutatif** en général : $AB \neq BA$. **Matrice inverse.** $A$ (carrée $n\times n$) est **inversible** s'il existe $A^{-1}$ telle que $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$ (matrice identité). Pour une matrice $2\times2$, $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ : $$\det A = ad-bc, \qquad A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \quad (\text{si } \det A\neq0).$$ $A$ est inversible si et seulement si $\det A\neq0$. **Résolution d'un système par les matrices.** $AX=B \iff X=A^{-1}B$ (si $A$ inversible). ## 3. Applications linéaires $f:E\to F$ est **linéaire** si $f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)$ pour tous $u,v\in E$, $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Conséquence : $f(0_E)=0_F$. **Noyau et image.** $\ker f = \{u\in E,\ f(u)=0_F\}$ (sous-espace de $E$) ; $\operatorname{Im} f = \{f(u),\ u\in E\}$ (sous-espace de $F$). $f$ est **injective** si et seulement si $\ker f=\{0\}$. **Matrice d'une application linéaire.** Dans des bases fixées, une application linéaire $f$ de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ est représentée par une matrice $n\times p$ : les colonnes sont les images des vecteurs de la base de départ. On calcule alors $f(u)$ par le produit matriciel $A\times X$ ($X$ = coordonnées de $u$). ## Exercices corrigés ### Exercice 1 Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $\vec u=(1,0,0)$, $\vec v=(1,1,0)$, $\vec w=(1,1,1)$ est-elle une base ? **Solution.** Soit $\alpha\vec u+\beta\vec v+\gamma\vec w=\vec0$ : $(\alpha+\beta+\gamma,\ \beta+\gamma,\ \gamma)=(0,0,0)$. La 3ᵉ coordonnée donne $\gamma=0$, puis la 2ᵉ donne $\beta=0$, puis la 1ʳᵉ donne $\alpha=0$ : la famille est **libre**. Comme $\dim\mathbb{R}^3=3$ et qu'on a 3 vecteurs libres, c'est une **base**. ### Exercice 2 Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$, puis résoudre $\begin{cases}2x+y=4\\5x+3y=9\end{cases}$. **Solution.** $\det A = 2\times3-1\times5=1\neq0$, donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$. Le système s'écrit $AX=B$ avec $B=\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}$, donc $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}3\times4-1\times9\\-5\times4+2\times9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ : $x=3$, $y=-2$. ### Exercice 3 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $f(x,y)=(x+y,\ 2x+2y)$. Déterminer $\ker f$ et dire si $f$ est injective. **Solution.** $f(x,y)=(0,0) \iff x+y=0$ (la seconde équation est proportionnelle à la première). Donc $\ker f=\{(x,-x),\ x\in\mathbb{R}\}$, une droite vectorielle : $\ker f\neq\{0\}$, donc $f$ **n'est pas injective**. ## À retenir - Sous-espace vectoriel : contient $0$, stable par combinaison linéaire. - Base = famille libre et génératrice ; sa taille = dimension. - $2\times2$ : $\det A=ad-bc$ ; inversible $\iff \det A\neq0$ ; $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. - $f$ linéaire injective $\iff \ker f=\{0\}$. - Produit matriciel **non commutatif** : attention à l'ordre $AB\neq BA$.