Logique et raisonnement

## Objectifs et prérequis À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - **Identifier** une proposition et déterminer sa valeur de vérité. - **Utiliser** les connecteurs logiques (¬, ∧, ∨, →, ↔) pour construire des propositions composées. - **Établir** les tables de vérité de toute expression logique et en déduire son équivalence. - **Démontrer** une proposition par les méthodes suivantes : preuve directe, preuve par contraposée, preuve par l’absurde, raisonnement par récurrence, raisonnement par cas. - **Manipuler** les quantificateurs universel (∀) et existentiel (∃), former leurs négations et utiliser les règles de déplacement des quantificateurs. - **Résoudre** des exercices de type baccalauréat camerounais portant sur la logique et le raisonnement, en justifiant chaque étape. **Prérequis** : maîtrise des ensembles, des opérations sur les ensembles (union, intersection, complément), connaissance de la notation fonctionnelle et capacité à suivre un raisonnement algébrique de base. > **Définition** : Une *proposition* est une phrase déclarative qui est soit vraie soit fausse, mais pas les deux simultanément. ## Introduction contextualisée La logique constitue le langage fondamental de toute démonstration mathématique. Au lycée, les élèves apprennent à construire des raisonnements rigoureux, à distinguer ce qui relève de l’intuition de ce qui relève de la preuve. Dans le programme officiel du MINESEC/IGE pour la série Terminale, le chapitre « Logique et raisonnement » vise à fournir les outils nécessaires pour analyser la structure des arguments, prouver des théorèmes et éviter les sophismes. Cette compétence est transversale : elle intervient en analyse (limites, continuité), en géométrie (congruence, similitude), en probabilités (événements indépendants) et même en algorithmique (correctness des boucles). En maîtrisant la logique propositionnelle et du premier ordre, l’élève acquiert une méthodologie qui le prépare non seulement à l’examen du baccalauréat, mais aussi aux études supérieures où la preuve est centrale. ## I. Propositions et connecteurs logiques ### 1. Définition d’une proposition Une proposition est une assertion qui admet une valeur de vérité bien définie. On la note généralement par une lettre majuscule (P, Q, R, …). ### 2. Connecteurs logiques Les cinq connecteurs de base sont : | Connecteur | Symbole | Lecture | Table de vérité | |------------|---------|---------|-----------------| | Négation | ¬P | « non P » | V → F, F → V | | Conjonction| P ∧ Q | « P et Q » | V seulement si P=V et Q=V | | Disjonction| P ∨ Q | « P ou Q » | F seulement si P=F et Q=F | | Implication| P → Q | « si P alors Q » | F seulement si P=V et Q=F | | Biconditionnelle| P ↔ Q | « P si et seulement si Q » | V si P et Q ont même valeur | > **Propriété** : L’implication P → Q est logiquement équivalente à ¬P ∨ Q. ### 3. Tables de vérité Pour déterminer la valeur de vérité d’une expression composée, on construit une table où chaque ligne correspond à une affectation possible des variables propositionnelles. **Exemple 1** (simple) : Déterminer la valeur de vérité de (¬P ∧ Q) → (P ∨ ¬Q). | P | Q | ¬P | ¬Q | ¬P ∧ Q | P ∨ ¬Q | (¬P ∧ Q) → (P ∨ ¬Q) | |---|---|----|----|--------|--------|----------------------| | V | V | F | F | F | V | V | | V | F | F | V | F | V | V | | F | V | T | F | T | F | F | | F | F | T | V | F | V | V | On voit que l’expression est fausse uniquement lorsque P=F et Q=V. **Exemple 2** (plus délicat) : Montrer que (P → Q) ∧ (Q → R) implique (P → R). Nous construisons la table de vérité de l’ensemble : | P | Q | R | P→Q | Q→R | (P→Q)∧(Q→R) | P→R | |---|---|---|-----|-----|--------------|-----| | V | V | V | V | V | V | V | | V | V | F | V | F | F | F | | V | F | V | F | V | F | V | | V | F | F | F | V | F | F | | F | V | V | V | V | V | V | | F | V | F | V | F | F | V | | F | F | V | V | V | V | V | | F | F | F | V | V | V | V | On constate que chaque ligne où (P→Q)∧(Q→R) vaut V, la colonne P→R vaut également V. Donc la proposition [(P→Q)∧(Q→R)] → (P→R) est une tautologie. ### 4. Équivalences logiques Deux formules A et B sont équivalentes si elles ont la même table de vérité, notée A ≡ B. Quelques équivalences fondamentales : - **Double négation** : ¬¬P ≡ P - **Lois de De Morgan** : ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q ; ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q - **Commutativité** : P ∧ Q ≡ Q ∧ P ; P ∨ Q ≡ Q ∨ P - **Associativité** : (P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R) ; (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R) - **Distributivité** : P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) ; P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) - **Implication** : P → Q ≡ ¬P ∨ Q - **Contraposée** : P → Q ≡ ¬Q → ¬P - **Biconditionnelle** : P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q → P) > **Règle** : Pour prouver l’équivalence de deux formules, il suffit de montrer que chacune implique l’autre (ou de comparer leurs tables de vérité). **Exemple 1** : Montrer que ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q). *Preuve* : Par la loi de De Morgan, ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q. **Exemple 2** : Montrer que (P → Q) ∧ (P → R) ≡ P → (Q ∧ R). *Preuve* : (P → Q) ∧ (P → R) ≡ (¬P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ R) (définition de l’implication) ≡ ¬P ∨ (Q ∧ R) (distributivité de ∨ sur ∧) ≡ P → (Q ∧ R) (définition de l’implication). ### 5. Exercices d’application (non corrigés) 1. Écrire la table de vérité de (P ↔ Q) → (¬P ∨ Q). 2. Montrer par équivalence logique que ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q. ## II. Raisonnement logique : méthodes de preuve ### 1. Preuve directe Une preuve directe consiste à partir des hypothèses connues et, par une suite d’étapes logiquement valides, arriver à la conclusion. > **Règle** : Si on sait que P → Q et que P est vrai, alors on peut conclure Q (modus ponens). **Exemple 1** : Montrer que si n est un entier pair, alors n² est pair. *Hypothèse* : n = 2k, k ∈ ℤ. *Calcul* : n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²). Puisque 2k² ∈ ℤ, n² est de la forme 2·(entier), donc pair. **Exemple 2** : Montrer que la somme de deux nombres impairs est paire. Soit a = 2p+1, b = 2q+1 avec p,q ∈ ℤ. a + b = (2p+1)+(2q+1) = 2(p+q+1). Comme p+q+1 ∈ ℤ, la somme est paire. ### 2. Preuve par contraposée Au lieu de prouver P → Q, on prouve sa contraposée ¬Q → ¬P, qui est logiquement équivalente. > **Règle** : P → Q ≡ ¬Q → ¬P. **Exemple 1** : Montrer que si n² est impair alors n est impair. On prouve la contraposée : si n est pair alors n² est pair. Si n = 2k, alors n² = 4k² = 2(2k²) → pair. Donc la contraposée est vraie, donc l’énoncé original est vrai. **Exemple 2** : Montrer que si un réel x vérifie x² < 4 alors -2 < x < 2. Contraposée : si x ≤ -2 ou x ≥ 2 alors x² ≥ 4. - Si x ≤ -2, alors x² ≥ (-2)² = 4. - Si x ≥ 2, alors x² ≥ 2² = 4. Donc la contraposée vaut, donc l’énoncé original vaut. ### 3. Preuve par l’absurde (reductio ad absurdum) On suppose la négation de la conclusion et on en déduit une contradiction avec une hypothèse connue ou une vérité évidente. > **Règle** : Pour prouver P, on suppose ¬P et on montre que cela mène à une contradiction (F). **Exemple 1** : Montrer que √2 est irrationnel. Supposons que √2 soit rationnel : √2 = a/b avec a,b entiers premiers entre eux, b ≠ 0. Alors 2 = a²/b² → a² = 2b². Donc a² est pair → a est pair (si le carré d’un entier est pair, l’entier est pair). Écrivons a = 2k. Alors (2k)² = 2b² → 4k² = 2b² → 2k² = b² → b² est pair → b est pair. Ainsi a et b sont tous les deux pairs, ce qui contredit l’hypothèse qu’ils sont premiers entre eux. Donc √2 n’est pas rationnel. **Exemple 2** : Montrer qu’il n’existe pas de plus grand nombre premier. Supposons qu’il existe un plus grand nombre premier P. Considérons N = (2·3·5·…·P) + 1, produit de tous les nombres premiers ≤ P augmenté de 1. N est soit premier, soit composé d’un facteur premier. Aucun des nombres premiers ≤ P ne divise N (reste 1). Donc N possède un facteur premier > P, contredisant la maximalité de P. Donc il n’y a pas de plus grand nombre premier. ### 4. Raisonnement par récurrence Procédé permettant de prouver une propriété P(n) pour tout entier n ≥ n₀ en deux étapes : 1. **Initialisation** : montrer que P(n₀) est vraie. 2. **Hérédité** : supposer que P(k) est vraie pour un arbitraire k ≥ n₀ (hypothèse de récurrence) et prouver que P(k+1) est vraie. > **Règle** : Si l’initialisation et l’hérédité sont établies, alors P(n) vaut pour tout n ≥ n₀ (principe de récurrence). **Exemple 1** : Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2. *Initialisation* (n=1) : 1 = 1·2/2 = 1 → vrai. *Hérédité* : Supposons vraie pour n=k : 1+2+…+k = k(k+1)/2. Alors pour n=k+1 : 1+2+…+k+(k+1) = [k(k+1)/2] + (k+1) = (k(k+1) + 2(k+1))/2 = ((k+1)(k+2))/2 = (k+1)((k+1)+1)/2. Donc la formule vaut pour k+1. Par récurrence, elle vaut pour tout n∈ℕ. **Exemple 2** : Montrer que pour tout n ≥ 1, 2ⁿ > n. *Initialisation* (n=1) : 2¹ = 2 > 1 → vrai. *Hérédité* : Supposons 2ᵏ > k. Alors 2ᵏ⁺¹ = 2·2ᵏ > 2·k (par hypothèse). Comme k ≥ 1, 2·k ≥ k+1 (en effet, 2k - (k+1) = k-1 ≥ 0 pour k≥1). Donc 2ᵏ⁺¹ > k+1. Par récurrence, la propriété vaut pour tout n≥1. ### 5. Raisonnement par cas On divise l’univers de discours en sous-ensembles exhaustifs et deux à deux disjoints, on prouve la propriété dans chaque cas, puis on conclut qu’elle vaut partout. > **Règle** : Si 𝒰 = C₁ ∪ C₂ ∪ … ∪ C_m avec C_i ∩ C_j = ∅ pour i≠j, et si P est vraie dans chaque C_i, alors P est vraie sur 𝒰. **Exemple 1** : Montrer que pour tout entier n, n² ≡ 0 ou 1 (mod 4). Un entier n est congru à 0,1,2 ou 3 modulo 4. - Si n ≡ 0 (mod 4) → n=4k → n²=16k² ≡ 0 (mod 4). - Si n ≡ 1 (mod 4) → n=4k+1 → n²=16k²+8k+1 ≡ 1 (mod 4). - Si n ≡ 2 (mod 4) → n=4k+2 → n²=16k²+16k+4 ≡ 0 (mod 4). - Si n ≡ 3 (mod 4) → n=4k+3 → n²=16k²+24k+9 ≡ 1 (mod 4). Donc dans tous les cas, n² ≡ 0 ou 1 (mod 4). **Exemple 2** : Montrer que |x| = x si x ≥ 0 et |x| = -x si x < 0. On considère deux cas : - Cas x ≥ 0 : alors |x| = x par définition de la valeur absolue. - Cas x < 0 : alors |x| = -x (puisque -x > 0). Comme les deux cas recouvrent ℝ, l’égalité tient pour tout réel x. ## III. Logique des prédicats et quantificateurs ### 1. Proposition ouverte, quantificateur universel ∀ et existentiel ∃ Une proposition ouverte contient une variable libre ; elle devient une proposition lorsqu’on attribue une valeur à cette variable ou lorsqu’on la quantifie. > **Définition** : > - ∀x P(x) se lit « pour tout x, P(x) est vraie ». > - ∃x P(x) se lit « il existe un x tel que P(x) est vraie ». **Exemple** : Soit P(x) : « x² ≥ 0 ». - ∀x∈ℝ, P(x) est vraie (le carré d’un réel est toujours non négatif). - ∃x∈ℝ, P(x) est vraie (par exemple x=0). ### 2. Négation des propositions quantifiées La négation fait passer un quantificateur universel en existentiel et vice‑versa, tout en niant la proposition interne. > **Règle** : > - ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x) > - ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x) **Exemple 1** : Négocier « Tout étudiant de la classe a réussi l’examen ». Formulation : ∀x (Étudiant(x) → Réussi(x)). Négation : ¬∀x (Étudiant(x) → Réussi(x)) ≡ ∃x ¬(Étudiant(x) → Réussi(x)). Mais ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q, donc : ∃x (Étudiant(x) ∧ ¬Réussi(x)). En langage naturel : « Il existe au moins un étudiant de la classe qui n’a pas réussi l’examen ». **Exemple 2** : Négocier « Il existe un nombre premier pair supérieur à 2 ». Formulation : ∃x (Premier(x) ∧ Pair(x) ∧ x>2). Négation : ¬∃x (Premier(x) ∧ Pair(x) ∧ x>2) ≡ ∀x ¬(Premier(x) ∧ Pair(x) ∧ x>2). En utilisant la loi de De Morgan : ∀x (¬Premier(x) ∨ ¬Pair(x) ∨ x≤2). En langage naturel : « Tout nombre est soit non premier, soit impair, soit ≤ 2 ». ### 3. Équivalences avec quantificateurs Certaines règles permettent de déplacer les quantificateurs à travers les connecteurs, sous réserve de ne pas capturer de variables libres. > **Règle de distribution** : > - ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)) > - ∃x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x)) > **Règle de passage** (quand la variable n’apparaît pas dans l’autre partie) : > - ∀x (P(x) ∨ Q) ≡ (∀x P(x)) ∨ Q > - ∃x (P(x) ∧ Q) ≡ (∃x P(x)) ∧ Q **Exemple 1** : Montrer que ∀x (P(x) → Q(x)) ≡ (∃x P(x)) → (∀x Q(x)) n’est pas généralement vrai. Contre‑exemple : prendre un domaine {a,b} avec P(a)=V, P(b)=F, Q(a)=F, Q(b)=V. - ∀x (P(x)→Q(x)) : pour a, V→F = F ; donc l’ensemble est F. - (∃x P(x)) → (∀x Q(x)) : ∃x P(x) est V (puisque P(a)=V) ; ∀x Q(x) est F (Q(a)=F) ; donc V→F = F. Dans ce cas les deux côtés sont F, mais il existe des interprétations où ils diffèrent ; donc l’équivalence n’est pas une loi logique valide. **Exemple 2** : Montrer que ∃x (P(x) ∧ Q(x)) ⇒ (∃x P(x)) ∧ (∃x Q(x)) est toujours vrai. Supposons ∃x (P(x) ∧ Q(x)) vrai. Alors il existe un élément a tel que P(a)∧Q(a) soit vrai. Donc P(a) vrai et Q(a) vrai. Donc ∃x P(x) vrai (en prenant a) et ∃x Q(x) vrai (en prenant a). Donc la conclusion est vraie. ### 4. Exemples complets **Exemple 1** (décomposition d’une proposition quantifiée) : Montrer que ¬∀x∈ℝ (x² ≥ 0 → x ≥ 0) est équivalent à ∃x∈ℝ (x² ≥ 0 ∧ x < 0). *Solution* : ¬∀x (x² ≥ 0 → x ≥ 0) ≡ ∃x ¬(x² ≥ 0 → x ≥ 0) (règle de négation du ∀). Mais ¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B. Donc : ∃x [(x² ≥ 0) ∧ ¬(x ≥ 0)] ≡ ∃x (x² ≥ 0 ∧ x < 0). Ainsi l’équivalence est démontrée. **Exemple 2** (raisonnement avec quantificateurs) : Prouver que si ∀x∈ℝ (x>0 → ∃y∈ℝ (y² = x)) alors tout réel positif admet une racine carrée réelle. *Hypothèse* : ∀x>0, ∃y (y² = x). Soit t un réel quelconque avec t>0. Par l’hypothèse appliquée à x=t, il existe un y tel que y² = t. Donc t admet bien une racine carrée réelle (namely y ou -y). Donc la propriété est vraie pour tout réel positif. ## Synthèse du chapitre - **Proposition** : phrase vraie ou fausse. - **Connecteurs** : ¬, ∧, ∨, →, ↔ avec leurs tables de vérité. - **Équivalences** : double négation, lois de De Morgan, distributivité, implication ≡ ¬P∨Q, contraposée. - **Méthodes de preuve** : directe, contraposée, absurdité, récurrence, par cas. - **Quantificateurs** : ∀ (pour tout), ∃ (il existe). - **Négation des quantifiés** : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ; ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). - **Règles de déplacement** : distribution de ∀ sur ∧, de ∃ sur ∨, passage quand la variable est absente d’une partie. - **Exemples types** : somme des premiers entiers, irrationalité de √2, propriétés de la valeur absolue, propriétés modulo, existence de racine carrée. > **À retenir** : La logique fournit le langage universel de la démonstration ; maîtriser ses règles permet de construire des preuves rigoureuses et de détecter les erreurs de raisonnement. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Proposition | Phrase déclarative qui est soit vraie soit fausse. | | Connecteur logique | Symbole (¬, ∧, ∨, →, ↔) permettant de combiner des propositions. | | Tautologie | Formule qui est vraie sous toute affectation de ses variables propositionnelles. | | Contradiction | Formule qui est fausse sous toute affectation de ses variables propositionnelles. | | Équivalence logique | Deux formules ayant la même table de vérité (notée ≡). | | Modus ponens | Règle d’inférence : de P et P→Q on déduit Q. | | Modus tollens | De ¬Q et P→Q on déduit ¬P. | | Raisonnement par récurrence | Principe permettant de prouver une propriété pour tous les entiers à partir d’une initialisation et d’une étape d’hérédité. | | Quantificateur universel (∀) | Affirme que la propriété vaut pour tous les éléments du domaine. | | Quantificateur existentiel (∃) | Affirme qu’il existe au moins un élément du domaine pour lequel la propriété vaut. | | Négation d’une quantification | ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ; ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). | | Raisonnement par cas | Preuve qui examine séparément toutes les possibilités exhaustives et deux à deux disjointes. | | Preuve par l’absurde | On suppose la négation de la conclusion et on en déduit une contradiction. | | Contraposée | La proposition ¬Q → ¬P, logiquement équivalente à P → Q. | | Loi de De Morgan | ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q ; ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q. | ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 **Énoncé** : Déterminer la valeur de vérité de la proposition composée : \[ \bigl[(P \rightarrow Q) \land (\neg Q \rightarrow \neg P)\bigr] \leftrightarrow (P \leftrightarrow Q) \] pour toutes les affectations possibles de P et Q. **Corrigé** : Nous construisons la table de vérité. | P | Q | P→Q | ¬Q | ¬P | ¬Q→¬P | (P→Q)∧(¬Q→¬P) | P↔Q | [(P→Q)∧(¬Q→¬P)]↔(P↔Q) | |---|---|------|----|----|--------|----------------|------|--------------------------| | V | V | V | F | F | V | V | V | V | | V | F | F | V | F | F | F | F | V | | F | V | V | F | T | V | V | F | F | | F | F | V | V | T | V | V | V | V | On voit que la dernière colonne vaut V sauf lorsque P=F, Q=V. Donc la proposition composée est **fausse** seulement pour l’affectation (P=F, Q=V) ; elle est vraie dans les trois autres cas. ### Exercice 2 **Énoncé** : Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 1, \[ 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 . \] **Corrigé** : *Initialisation* (n=1) : \(1^3 = 1\) et \(\bigl(\frac{1\cdot2}{2}\bigr)^2 = 1^2 = 1\). Donc la formule vaut pour n=1. *Hypothèse de récurrence* : supposons vraie pour un certain k≥1, c’est‑à‑dire \[ 1^3+2^3+\dots+k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 . \] *Étape d’hérédité* : montrons la formule pour k+1. \[ \begin{aligned} 1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3 &= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3 \\ &= \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \\ &= (k+1)^2\left[\frac{k^2}{4} + (k+1)\right] \\ &= (k+1)^2\left[\frac{k^2 + 4k +4}{4}\right] \\ &= (k+1)^2\left[\frac{(k+2)^2}{4}\right] \\ &= \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2 . \end{aligned} \] Ainsi la formule vaut pour k+1. Par le principe de récurrence, l’égalité est vraie pour tout n≥1. ### Exercice 3 **Énoncé** : Prouver par l’absurde que si n² est pair alors n est pair. **Corrigé** : Supposons la négation de la conclusion : n est impair. Alors il existe un entier k tel que n = 2k+1. Calculons n² : \[ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1 . \] Puisque 2k²+2k est un entier, n² est de la forme 2·(entier)+1, donc impair. Ceci contredit l’hypothèse selon laquelle n² est pair. Donc notre supposition (n impair) est fausse ; donc n doit être pair. ### Exercice 4 **Énoncé** : Soit P(x) : « x est un multiple de 3 » et Q(x) : « x est un multiple de 6 ». Exprimer en langage naturel la négation de la proposition : \[ \forall x\in\mathbb{Z},\; P(x) \rightarrow Q(x) . \] **Corrigé** : La proposition se lit : « Tout entier qui est un multiple de 3 est aussi un multiple de 6 ». Son négation est : \[ \neg\bigl[\forall x\in\mathbb{Z},\; (P(x) \rightarrow Q(x))\bigr] \equiv \exists x\in\mathbb{Z},\; \neg\bigl(P(x) \rightarrow Q(x)\bigr) . \] Puisque \(\neg(A\rightarrow B) \equiv A \land \neg B\), on obtient : \[ \exists x\in\mathbb{Z},\; \bigl(P(x) \land \neg Q(x)\bigr) . \] En langage naturel : « Il existe un entier qui est un multiple de 3 mais qui n’est pas un multiple de 6 ». Un exemple concret est x = 3 (multiple de 3, pas de 6). ### Exercice 5 **Énoncé** : Montrer que la propriété suivante est vraie pour tout réel x : \[ |x+y| \le |x| + |y| . \] (inégalité triangulaire) **Corrigé** : Nous procédons par examen des signes de x et y. **Cas 1** : x ≥ 0, y ≥ 0. Alors |x| = x, |y| = y, |x+y| = x+y. Donc l’inégalité devient x+y ≤ x+y, vraie. **Cas 2** : x ≥ 0, y < 0. Écrivons y = -|y| (puisque |y| = -y). Alors x+y = x - |y|. Deux sous‑cas : - Si x ≥ |y| alors x+y ≥ 0, donc |x+y| = x+y = x - |y|. L’inégalité devient x - |y| ≤ x + |y|, équivalente à -|y| ≤ |y|, vraie puisque |y| ≥ 0. - Si x < |y| alors x+y < 0, donc |x+y| = -(x+y) = -x + |y|. L’inégalité devient -x + |y| ≤ x + |y|, équivalente à -x ≤ x, vraie puisque x ≥ 0. **Cas 3** : x < 0, y ≥ 0. Symétrique au cas 2, même raisonnement. **Cas 4** : x < 0, y < 0. Alors |x| = -x, |y| = -y, et x+y < 0 donc |x+y| = -(x+y) = -x - y = |x| + |y|. Donc l’inégalité devient |x|+|y| ≤ |x|+|y|, vraie. Comme les quatre cas recouvrent ℝ², l’inégalité triangulaire vaut pour tout réel x, y. ### Exercice 6 **Énoncé** : Déterminer si la proposition suivante est une tautologie, une contradiction ou contingente : \[ \bigl[(P \lor Q) \rightarrow R\bigr] \land \bigl[\neg R \rightarrow (P \land Q)\bigr] . \] **Corrigé** : Nous établissons la table de vérité. | P | Q | R | P∨Q | (P∨Q)→R | ¬R | ¬R→(P∧Q) | [(P∨Q)→R] ∧ [¬R→(P∧Q)] | |---|---|---|-----|----------|----|----------|--------------------------| | V | V | V | V | V | F | V | V | | V | V | F | V | F | T | V | F | | V | F | V | V | V | F | V | V | | V | F | F | V | F | T | F | F | | F | V | V | V | V | F | V | V | | F | V | F | V | F | T | F | F | | F | F | V | F | V | F | V | V | | F | F | F | F | V | T | F | F | On observe que la colonne finale vaut V pour les lignes où R=V (quel que soit P,Q) et F lorsque R=F et au moins une de P,Q est vraie. Elle n’est jamais toujours vraie ni toujours fausse ; donc la proposition est **contingente** (ni tautologie ni contradiction). ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre l’implication avec la biconditionnelle** - *Erreur* : croire que P → Q signifie « P si et seulement si Q ». - *Correction* : rappeler que P → Q est faux seulement quand P est vrai et Q faux ; la biconditionnelle exige les deux sens. Utiliser systématiquement la table de vérité pour vérifier. 2. **Oublier de négater la proposition interne lors de la négation d’un quantificateur** - *Erreur* : écrire ¬∀x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) (ou analogue pour ∃). - *Correction* : appliquer la règle ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). S’entraîner avec des exemples concrets (comme « Tous les étudiants ont réussi » → « Il existe un étudiant qui n’a pas réussi »). 3. **Appliquer la loi de distributivité dans le mauvais sens** - *Erreur* : écrire P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ R (en omettant de distribuer sur le second terme). - *Correction* : rappeler la forme exacte : P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R). Vérifier en développant les deux côtés avec des valeurs de vérité. 4. **Confondre récurrence forte et récurrence simple** - *Erreur* : penser que l’hypothèse de récurrence suppose la véracité pour tous les entiers ≤ k alors qu’en réalité on suppose seulement pour k. - *Correction* : distinguer clairement les deux principes ; la récurrence forte suppose la propriété pour tous les entiers inférieurs à k, tandis que la simple suppose seulement pour k. Utiliser la forme adaptée au problème. 5. **Ne pas vérifier l’initialisation dans une preuve par récurrence** - *Erreur* : sauter l’étape d’initialisation et conclure directement à partir de l’hérédité. - *Correction* : rappeler que sans l’initialisation, le raisonnement ne vaut que pour les entiers supérieurs à la valeur de départ non vérifiée. Toujours commencer par montrer la propriété pour le plus petit n considéré. 6. **Utiliser la contraposée sans vérifier l’équivalence logique** - *Erreur* : croire que prouver ¬Q → ¬P suffit pour établir P → Q dans tous les contextes (par exemple lorsqu’on travaille avec des quantificateurs mal placés). - *Correction* : rappeler que la contraposée est équivalente uniquement pour des propositions simples sans quantificateurs qui lient les variables. Lorsque des quantificateurs sont présents, il faut d’abord les déplacer correctement avant d’appliquer la contraposée. --- Ce cours fournit une exposition complète, rigoureuse et abondamment illustrée de la logique et du raisonnement telle qu’elle est attendue au baccalauréat camerounais. En le maîtrisant, l’élève disposera des outils indispensables pour construire des démonstrations valides dans toutes les branches des mathématiques de la série Terminale. Bonne étude et bon courage pour l’examen !