Primitives et calcul intégral

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - définir précisément la notion de primitive d’une fonction réelle sur un intervalle ; - établir l’existence et l’unicité (à une constante additive près) des primitives d’une fonction continue ; - utiliser le théorème fondamental du calcul pour relier primitive et intégrale définie ; - calculer des intégrales définies grâce aux techniques de changement de variable, d’intégration par parties, de décomposition en fractions simples et d’intégration de fonctions trigonométriques ; - reconnaître et traiter les intégrales impropres (à borne infinie ou à singularité intérieure) ; - interpréter géométriquement une intégrale définie comme aire sous une courbe (avec signe) ; - résoudre des problèmes d’application (physique, économie, géométrie) mettant en jeu des intégrales. **Prérequis** : L’élève doit maîtriser - les notions de fonction continue, dérivable et dérivée d’une fonction ; - les règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne) ; - les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, tangente) et leurs dérivées ; - la résolution d’équations du premier et du second degré ; - les propriétés de base des limites et des suites. > **À retenir** : Une primitive d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est toute fonction $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. --- ## Introduction contextualisée Le calcul intégral apparaît naturellement lorsqu’on cherche à déterminer des grandeurs accumulées : distance parcourue à partir d’une vitesse, aire sous une courbe, travail d’une force variable, probabilité associée à une densité de probabilité, etc. Historiquement, les problèmes d’aire ont conduit les mathématiciens du XVIIᵉ siècle (Archimède, Cavalieri, Fermat) à développer des méthodes d’exhaustion. Au XIXᵉ siècle, Cauchy et Riemann ont formalisé la notion d’intégrale définie comme limite de sommes de Riemann, tandis que le théorème fondamental du calcul, attribué à Newton et Leibniz, a montré que l’intégration et la dérivation sont deux opérations inverses. Dans le programme camerounais de Terminale, l’accent est mis sur la compréhension conceptuelle (primitive, théorème fondamental) puis sur le savoir‑faire technique (méthodes d’intégration). Cette approche par compétences permet à l’élève de passer d’une définition abstraite à la résolution de problèmes concrets, tout en développant un raisonnement rigoureux (démonstrations, justifications de chaque étape). --- ## I. Primitives d’une fonction continue ### 1. Définition et propriétés élémentaires Soit $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$ (ouvert, fermé ou semi‑ouvert). **Définition** : Une fonction $F:I\rightarrow\mathbb{R}$ est appelée *primitive* de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si $$ F'(x)=f(x)\quad\forall x\in I . $$ > **À retenir** : Si $F$ est une primitive de $f$, alors toute fonction $G$ de la forme $G(x)=F(x)+C$, où $C\in\mathbb{R}$ est constante, est également une primitive de $f$. **Propriété d’unicité à une constante près** : Si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F_1-F_2$ est constante sur $I$. *Démonstration* : On considère $h(x)=F_1(x)-F_2(x)$. Alors $h'(x)=F_1'(x)-F_2'(x)=f(x)-f(x)=0$ pour tout $x\in I$. Une fonction dérivable dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante (théorème de la valeur moyenne). Donc $h$ est constante, ce qui prouve l’affirmation. ### 2. Existence des primitives pour les fonctions continues **Théorème** : Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I$. *Démonstration (esquisse)* : On définit $$ F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt, $$ où $a\in I$ est fixé et l’intégrale du côté droit est l’intégrale de Riemann (définie plus loin). Il sera montré (théorème fondamental du calcul) que $F$ est dérivable sur $I$ et que $F'(x)=f(x)$. Ainsi $F$ est une primitive de $f$. > **À retenir** : La continuité de $f$ sur $I$ est une condition suffisante (mais non nécessaire) pour l’existence d’une primitive. ### 3. Table des primitives usuelles | $f(x)$ | Primitive $F(x)$ (à une constante près) | |--------|------------------------------------------| | $x^n\;(n\neq -1)$ | $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$ | | $\displaystyle \frac{1}{x}$ | $\ln\vert x\vert$ | | $e^{x}$ | $e^{x}$ | | $a^{x}\;(a>0,\ a\neq1)$ | $\displaystyle \frac{a^{x}}{\ln a}$ | | $\sin x$ | $-\cos x$ | | $\cos x$ | $\sin x$ | | $\sec^{2}x$ | $\tan x$ | | $\csc^{2}x$ | $-\cot x$ | | $\sec x\tan x$ | $\sec x$ | | $\csc x\cot x$ | $-\csc x$ | > **À retenir** : Lors de l’utilisation du tableau, il faut toujours ajouter une constante d’intégration $C$ sauf lorsqu’on calcule une intégrale définie. ### 4. Exemples détaillés **Exemple 1** : Trouver une primitive de $f(x)=3x^{2}-4x+5$. *Solution* : On intègre terme à terme en utilisant la règle de la puissance. $$ \int (3x^{2}-4x+5)\,dx = 3\int x^{2}\,dx -4\int x\,dx +5\int 1\,dx . $$ $$ =3\left(\frac{x^{3}}{3}\right)-4\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+5x + C = x^{3}-2x^{2}+5x + C . $$ Ainsi $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x+C$ est une primitive de $f$. **Exemple 2** : Primitive de $g(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$. *Solution* : On remarque que le numérateur est la dérivée du dénominateur (à un facteur près). En effet, $$ \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x . $$ Donc $$ \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{du}{u}\quad\text{avec }u=x^{2}+1,\ du=2x\,dx . $$ $$ = \ln\vert u\vert + C = \ln\vert x^{2}+1\vert + C . $$ Comme $x^{2}+1>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, on peut écrire $\ln(x^{2}+1)+C$. --- ## II. Intégrale définie et théorème fondamental du calcul ### 1. Définition de l’intégrale de Riemann Soit $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ bornée. On considère une subdivision $\sigma : a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ de $[a,b]$. On choisit dans chaque sous‑intervalle $[x_{i-1},x_{i}]$ un point $\xi_{i}$. La somme de Riemann associée est $$ S(f,\sigma,\xi)=\sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i})\,(x_{i}-x_{i-1}) . $$ **Définition** : $f$ est intégrable de Riemann sur $[a,b]$ si la limite des sommes de Riemann existe indépendamment du choix de la subdivision et des points $\xi_{i}$ lorsque le maillage $\|\sigma\|=\max_{i}(x_{i}-x_{i-1})$ tend vers $0$. On note alors $$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\|\sigma\|\to 0} S(f,\sigma,\xi) . $$ > **À retenir** : Toute fonction continue sur un intervalle fermé est intégrable de Riemann. ### 2. Propriétés de l’intégrale définie - **Linéalité** : Pour $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, $$ \int_{a}^{b} \bigl(\lambda f(x)+\mu g(x)\bigr)\,dx = \lambda\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \mu\int_{a}^{b} g(x)\,dx . $$ - **Additivité** : Si $c\in[a,b]$, $$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx . $$ - **Inversion des bornes** : $$ \int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx . $$ - **Positivité** : Si $f(x)\ge 0$ sur $[a,b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x)\,dx\ge 0$. ### 3. Théorème fondamental du calcul (première forme) **Théorème** : Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et définissons $$ F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt ,\qquad x\in[a,b]. $$ Alors $F$ est dérivable sur $[a,b]$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in[a,b]$. *Démonstration* : On utilise la définition de la dérivée et la propriété d’additivité de l’intégrale. $$ \frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \frac{1}{h}\left(\int_{a}^{x+h} f(t)\,dt-\int_{a}^{x} f(t)\,dt\right)=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt . $$ Comme $f$ est continue en $x$, pour $h$ suffisamment petit, $f(t)$ reste proche de $f(x)$ sur $[x,x+h]$. On obtient alors la limite $f(x)$ lorsque $h\to0$. > **À retenir** : Le théorème fondamental montre que la dérivation « annule » l’intégration et que l’intégrale définie d’une fonction continue peut être calculée en évaluant une primitive aux bornes. ### 4. Théorème fondamental du calcul (deuxième forme) **Théorème** : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$ (c’est‑à‑dire $F'=f$), alors $$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a) . $$ *Démonstration* : D’après la première forme, la fonction $G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ est une primitive de $f$. Donc $G$ et $F$ diffèrent d’une constante : $F(x)=G(x)+C$. En évaluant en $a$, on obtient $F(a)=G(a)+C=0+C$, donc $C=F(a)$. Ainsi $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt+F(a)$. En posant $x=b$, on obtient $F(b)=\int_{a}^{b} f(t)\,dt+F(a)$, d’où la formule. > **À retenir** : Pour calculer une intégrale définie, il suffit de trouver une primitive $F$ et de faire la différence $F(b)-F(a)$. ### 5. Exemples détaillés **Exemple 3** : Calculer $\displaystyle \int_{0}^{2} (3x^{2}-4x+1)\,dx$. *Solution* : On cherche une primitive de $f(x)=3x^{2}-4x+1$. $$ F(x)=x^{3}-2x^{2}+x . $$ (Vérification : $F'(x)=3x^{2}-4x+1$.) En appliquant le théorème fondamental : $$ \int_{0}^{2} (3x^{2}-4x+1)\,dx = F(2)-F(0) = (2^{3}-2\cdot2^{2}+2)-(0) = (8-8+2)=2 . $$ **Exemple 4** : Calculer $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{dx}{x}$. *Solution* : La primitive de $1/x$ est $\ln\vert x\vert$. Comme $x>0$ sur $[1,e]$, on prend $\ln x$. $$ \int_{1}^{e} \frac{dx}{x}= \bigl[\ln x\bigr]_{1}^{e}= \ln e - \ln 1 = 1-0 =1 . $$ --- ## III. Techniques de calcul d’intégrales Dans cette partie, nous présentons les méthodes les plus utilisées pour déterminer une primitive lorsqu’elle ne se lit pas directement dans le tableau. Chaque méthode est accompagnée d’une démonstration de sa validité, puis d’exemples gradués. ### 1. Changement de variable (substitution) **Principe** : Si $u=g(x)$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et si $f$ est continue sur $g(I)$, alors $$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du . $$ *Justification* : On pose $u=g(x)$, donc $du=g'(x)dx$. En remplaçant dans l’intégrale, on obtient l’intégrale en $u$. Après avoir intégré, on revient à la variable initiale en remplaçant $u$ par $g(x)$. > **À retenir** : Le changement de variable est particulièrement efficace lorsque l’intégrande contient une fonction composée et sa dérivée (ou un facteur proportionnel à celle‑ci). **Exemple 5** : $\displaystyle \int x\cos(x^{2})\,dx$. *Solution* : On pose $u=x^{2}$, donc $du=2x\,dx$ ou $x\,dx=\frac{1}{2}du$. $$ \int x\cos(x^{2})\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\sin(u)+C = \frac{1}{2}\sin(x^{2})+C . $$ **Exemple 6** : $\displaystyle \int \frac{2x}{1+x^{4}}\,dx$. *Solution* : On remarque que la dérivée de $x^{2}$ est $2x$. On pose $u=x^{2}$, donc $du=2x\,dx$. $$ \int \frac{2x}{1+x^{4}}\,dx = \int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u)+C = \arctan(x^{2})+C . $$ ### 2. Intégration par parties **Formule** : Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$, $$ \int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x)-\int u'(x)\,v(x)\,dx . $$ *Démonstration* : On part de la règle de dérivation du produit : $(uv)'=u'v+uv'$. En intégrant les deux membres, on obtient $$ \int (uv)'\,dx = uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx . $$ En réarrangeant, on obtient la formule d’intégration par parties. > **À retenir** : Le choix de $u$ et $dv$ suit souvent la règle LIATE (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) : on choisit $u$ comme la fonction qui apparaît en premier dans cette liste. **Exemple 7** : $\displaystyle \int x e^{x}\,dx$. *Solution* : On prend $u=x$ (algébrique) et $dv=e^{x}dx$ (exponentielle). Alors $du=dx$ et $v=e^{x}$. $$ \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}+C = e^{x}(x-1)+C . $$ **Exemple 8** : $\displaystyle \int \ln x\,dx$. *Solution* : On pose $u=\ln x$ (logarithme) et $dv=dx$. Alors $du=\frac{1}{x}dx$ et $v=x$. $$ \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C . $$ ### 3. Intégration des fonctions rationnelles (fractions simples) **Méthode** : Toute fonction rationnelle $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ où $\deg P<\deg Q$ peut être décomposée en somme de fractions simples de la forme $$ \frac{A}{(x-\alpha)^{k}} \quad\text{ou}\quad \frac{Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{k}} , $$ où les dénominateurs sont les facteurs irréductibles de $Q$ sur $\mathbb{R}$. On intègre ensuite chaque terme séparément. > **À retenir** : La décomposition en fractions simples nécessite la factorisation du dénominateur et la résolution d’un système linéaire pour déterminer les coefficients. **Exemple 9** : $\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^{2}-x-2}\,dx$. *Solution* : On factorise le dénominateur : $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$. On écrit $$ \frac{2x+3}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}. $$ On multiplie par le dénominateur : $2x+3 = A(x+1)+B(x-2)$. En développant : $2x+3 = (A+B)x + (A-2B)$. On identifie les coefficients : $$ \begin{cases} A+B = 2\\ A-2B = 3 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} A = \dfrac{7}{3}\\[2mm] B = -\dfrac{1}{3} \end{cases} $$ Ainsi $$ \int \frac{2x+3}{x^{2}-x-2}\,dx = \frac{7}{3}\int \frac{dx}{x-2} -\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{7}{3}\ln\vert x-2\vert -\frac{1}{3}\ln\vert x+1\vert + C . $$ **Exemple 10** : $\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+4}$. *Solution* : On reconnaît la forme $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ avec $a=2$. $$ \int \frac{dx}{x^{2}+4}= \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}+C . $$ ### 4. Intégration des fonctions trigonométriques Certaines intégrales impliquant des puissances de $\sin x$ et $\cos x$ se simplifient grâce aux identités : $$ \sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x . $$ **Exemple 11** : $\displaystyle \int \sin^{2}x\,dx$. *Solution* : On utilise l’identité $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$. $$ \int \sin^{2}x\,dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx - \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx . $$ Le premier terme donne $\frac{x}{2}$. Pour le second, on pose $u=2x$, $du=2dx$, donc $\int \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\sin 2x$. $$ \int \sin^{2}x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C . $$ **Exemple 12** : $\displaystyle \int \sec^{3}x\,dx$. *Solution* : On utilise l’intégration par parties avec $u=\sec x$, $dv=\sec^{2}x\,dx$. Alors $du=\sec x\tan x\,dx$ et $v=\tan x$. $$ \int \sec^{3}x\,dx = \sec x\tan x - \int \sec x\tan^{2}x\,dx . $$ On utilise l’identité $\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ : $$ \int \sec x\tan^{2}x\,dx = \int \sec x(\sec^{2}x-1)\,dx = \int \sec^{3}x\,dx - \int \sec x\,dx . $$ En reportant dans l’égalité précédente : $$ I = \sec x\tan x - \bigl(I - \int \sec x\,dx\bigr) \Longrightarrow 2I = \sec x\tan x + \int \sec x\,dx . $$ On sait que $\int \sec x\,dx = \ln\vert \sec x+\tan x\vert + C$. Donc $$ I = \frac{1}{2}\bigl(\sec x\tan x + \ln\vert \sec x+\tan x\vert\bigr)+C . $$ Ainsi $$ \int \sec^{3}x\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(\sec x\tan x + \ln\vert \sec x+\tan x\vert\Bigr)+C . $$ ### 5. Intégrales impropres **Définition** : Une intégrale $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx$ est dite *impropre* si - l’intervalle d’intégration est infini ($a=-\infty$ ou $b=+\infty$), ou - la fonction $f$ n’est pas bornée en un point intérieur de $[a,b]$ (singularité). On la définit comme limite d’intégrales propres lorsque la borne problématique tend vers la valeur limite. > **À retenir** : Pour déterminer la convergence d’une intégrale impropre, on compare souvent $f$ à une fonction dont l’intégrale est connue (test de comparaison). **Exemple 13** : $\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}}$. *Solution* : On calcule $$ \int_{1}^{t} \frac{dx}{x^{2}} = \Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{t}= -\frac{1}{t}+1 . $$ On laisse $t\to+\infty$ : $-\frac{1}{t}\to 0$, donc la limite vaut $1$. L’intégrale converge et vaut $1$. **Exemple 14** : $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$. *Solution* : La fonction possède une singularité en $0$. On pose $$ \int_{\varepsilon}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_{\varepsilon}^{1}= 2-2\sqrt{\varepsilon}. $$ Lorsque $\varepsilon\to0^{+}$, $2\sqrt{\varepsilon}\to0$, donc la limite vaut $2$. L’intégrale converge et vaut $2$. **Exemple 15** : $\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x}$ (divergente). *Solution* : $$ \int_{1}^{t} \frac{dx}{x}= \ln t . $$ Lorsque $t\to+\infty$, $\ln t\to+\infty$, donc l’intégrale diverge. --- ## Synthèse du chapitre - **Primitive** : $F$ telle que $F'=f$. Toute fonction continue admet une primitive ; deux primitives diffèrent d’une constante. - **Intégrale définie** : Limite des sommes de Riemann ; linéaire, additive, change de signe si l’on inverse les bornes. - **Théorème fondamental du calcul** : 1. $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est une primitive de $f$. 2. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. - **Méthodes d’intégration** : - Changement de variable : $u=g(x)$, $du=g'(x)dx$. - Intégration par parties : $\int u\,dv = uv-\int v\,du$. - Fractions simples : décomposition du rationnel en termes de $\frac{A}{(x-\alpha)^{k}}$ ou $\frac{Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{k}}$. - Formules trigonométriques : utilisation des identités du double angle et de réductions de puissances. - Intégrales impropres : définies comme limites ; convergence testée par comparaison. - **Formules clés** (à retenir) : > $\displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\neq-1)$ > $\displaystyle\int e^{x}dx=e^{x}+C$ > $\displaystyle\int \frac{dx}{x}=\ln\vert x\vert +C$ > $\displaystyle\int \sin x\,dx=-\cos x+C$ > $\displaystyle\int \cos x\,dx=\sin x+C$ > $\displaystyle\int \sec^{2}x\,dx=\tan x+C$ > $\displaystyle\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C$ > $\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ > $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$ > $\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left\vert\frac{x-a}{x+a}\right\vert +C$ --- ## Glossaire - **Primitive** : Fonction dont la dérivée égale la fonction donnée. - **Intégrale de Riemann** : Limite des sommes de Riemann lorsque le maillage de la subdivision tend vers zéro. - **Théorème fondamental du calcul** : Établit le lien entre dérivation et intégration (deux formes). - **Changement de variable** : Technique consistant à remplacer la variable d’intégration par une fonction dérivable pour simplifier l’intégrande. - **Intégration par parties** : Méthode issue de la règle de dérivation du produit, permettant de transformer l’intégrale d’un produit en une autre plus simple. - **Fraction simple** : Terme de la forme $\frac{A}{(x-\alpha)^{k}}$ ou $\frac{Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{k}}$ obtenu après décomposition d’une fonction rationnelle. - **Intégrale impropre** : Intégrale où l’intervalle est infini ou l’intégrande présente une singularité ; définie comme limite d’intégrales propres. - **Convergence** : Une intégrale impropre est convergente si la limite définissant son valeur existe et est finie. - **Divergence** : Une intégrale impropre est divergente si la limite n’existe pas ou est infinie. - **LIATE** : Règle mnémotechnique pour choisir $u$ dans l’intégration par parties (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle). - **Maillage d’une subdivision** : Longueur du plus grand sous‑intervalle d’une partition d’un segment. - **Somme de Riemann** : Approximation de l’intégrale définie par une somme de produits $f(\xi_i)\Delta x_i$. - **Fonction continue** : Fonction sans saut, sans trou, telle que la limite en chaque point égale la valeur de la fonction. - **Fonction dérivable** : Fonction possédant une dérivée finie en chaque point de son intervalle de définition. --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 Calculer $\displaystyle \int (5x^{4}-3x^{2}+7)\,dx$. **Corrigé** : On intègre terme à terme : $$ \int 5x^{4}\,dx = 5\cdot\frac{x^{5}}{5}=x^{5},\qquad \int -3x^{2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{3}}{3}=-x^{3},\qquad \int 7\,dx = 7x . $$ Donc $$ \int (5x^{4}-3x^{2}+7)\,dx = x^{5}-x^{3}+7x + C . $$ --- ### Exercice 2 Évaluer $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx$. **Corrigé** : On remarque que $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$. $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin 2x\,dx . $$ On pose $u=2x$, $du=2dx$, donc $dx=\frac{du}{2}$. Quand $x=0$, $u=0$ ; quand $x=\pi/2$, $u=\pi$. $$ \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \sin u \,\frac{du}{2}= \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi} \sin u\,du . $$ $$ \int_{0}^{\pi} \sin u\,du = \bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi}= -\cos\pi +\cos 0 = -(-1)+1 =2 . $$ Ainsi $$ \frac{1}{4}\times 2 = \frac12 . $$ Résultat : $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx = \frac12$. --- ### Exercice 3 Déterminer $\displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx$ par changement de variable. **Corrigé** : On pose $u=x^{2}+1$, donc $du=2x\,dx$ ou $x\,dx=\frac{du}{2}$. $$ \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}= \frac12\int \frac{du}{u}= \frac12\ln\vert u\vert +C . $$ En revenant à $x$ : $$ \frac12\ln\vert x^{2}+1\vert +C . $$ Comme $x^{2}+1>0$, on peut écrire $\frac12\ln(x^{2}+1)+C$. --- ### Exercice 4 Calculer $\displaystyle \int x^{2}e^{x}\,dx$ par intégration par parties (à appliquer deux fois). **Corrigé** : Première application : on choisit $u=x^{2}$ (algébrique) et $dv=e^{x}dx$ (exponentielle). Alors $du=2x\,dx$ et $v=e^{x}$. $$ \int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int 2x e^{x}\,dx . $$ On doit maintenant calculer $\displaystyle J=\int 2x e^{x}\,dx$. On applique encore une fois la méthode avec $u=2x$, $dv=e^{x}dx$ : $du=2dx$, $v=e^{x}$. $$ J = 2x e^{x} - \int 2 e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2e^{x} . $$ En remplaçant $J$ dans l’expression précédente : $$ \int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \bigl(2x e^{x} - 2e^{x}\bigr) + C = x^{2}e^{x} -2x e^{x} +2e^{x}+C . $$ On peut factoriser $e^{x}$ : $$ e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)+C . $$ --- ### Exercice 5 Évaluer l’intégrale impropre $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$. **Corrigé** : L’intégrande présente une singularité en $x=1$ (dénominateur nul). On définit $$ I = \lim_{t\to1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} . $$ On reconnaît la dérivée de $\arcsin x$ : $\displaystyle \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$. Donc $$ \int_{0}^{t} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl[\arcsin x\bigr]_{0}^{t}= \arcsin t - \arcsin 0 = \arcsin t . $$ Lorsque $t\to1^{-}$, $\arcsin t\to \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$. Ainsi $$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{\pi}{2}. $$ --- ### Exercice 6 Calculer $\displaystyle \int \frac{3x-2}{x^{2}-4x+3}\,dx$ en utilisant la décomposition en fractions simples. **Corrigé** : On factorise le dénominateur : $x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$. On écrit $$ \frac{3x-2}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}. $$ Multiplication par le dénominateur : $3x-2 = A(x-3)+B(x-1)$. Développement : $3x-2 = (A+B)x + (-3A -B)$. On identifie les coefficients : $$ \begin{cases} A+B = 3\\ -3A - B = -2 \end{cases} $$ Du premier équation, $B=3-A$. Substituer dans le second : $$ -3A -(3-A) = -2 \;\Longrightarrow\; -3A -3 +A = -2 \;\Longrightarrow\; -2A -3 = -2 \;\Longrightarrow\; -2A = 1 \;\Longrightarrow\; A = -\frac12 . $$ Alors $B = 3-(-\frac12)=\frac{7}{2}$. Donc $$ \frac{3x-2}{x^{2}-4x+3}= -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}+ \frac{7}{2}\cdot\frac{1}{x-3}. $$ On intègre terme à terme : $$ \int -\frac{1}{2}\frac{dx}{x-1}= -\frac12\ln\vert x-1\vert ,\qquad \int \frac{7}{2}\frac{dx}{x-3}= \frac{7}{2}\ln\vert x-3\vert . $$ Ainsi $$ \int \frac{3x-2}{x^{2}-4x+3}\,dx = -\frac12\ln\vert x-1\vert +\frac{7}{2}\ln\vert x-3\vert + C . $$ On peut regrouper les logarithmes si désiré : $$ \frac{1}{2}\Bigl(7\ln\vert x-3\vert -\ln\vert x-1\vert\Bigr)+C . $$ --- ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier la constante d’intégration** lorsqu’on calcule une primitive indéfinie. *Astuce* : Toujours ajouter $+C$ sauf lorsqu’on travaille avec une intégrale définie où elle se simplifie. 2. **Confondre les bornes lors du changement de variable** : oublier de transformer les limites lorsqu’on travaille avec une intégrale définie. *Astuce* : Après avoir posé $u=g(x)$, remplacer les bornes $a$ et $b$ par $g(a)$ et $g(b)$, ou revenir à $x$ à la fin. 3. **Appliquer la formule d’intégration par parties avec un mauvais choix de $u$ et $dv$**, ce qui complique l’intégrale au lieu de la simplifier. *Astuce* : Utiliser la règle LIATE et vérifier que l’intégrale obtenue est effectivement plus simple. 4. **Ne pas factoriser correctement le dénominateur** avant de décomposer une fonction rationnelle, menant à un système de coefficients incorrect. *Astuce* : Vérifier la factorisation en remplaçant les racines trouvées dans le polynôme. 5. **Traiter une intégrale impropre comme une intégrale ordinaire** et oublier de prendre la limite. *Astuce* : Repérer les infinities ou les singularités, puis écrire l’intégrale comme limite d’intégrales propres. 6. **Mauvaise manipulation des valeurs absolues dans le logarithme** : écrire $\ln x$ au lieu de $\ln\vert x\vert$ pour l’intégrale de $1/x$. *Astuce* : Se rappeler que l’antidérivée de $1/x$ est définie sur les deux demi‑droites séparées par zéro, d’où la valeur absolue. --- *Fin du cours.*