Application des lois de Newton aux mouvements des particules dans un Champ de pesanteur

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève pourra - appliquer les trois lois de Newton pour analyser le mouvement d’une particule dans un champ de pesanteur uniforme ; - déterminer les équations du mouvement rectiligne, plan et circulaire en décomposant les forces ; - résoudre des problèmes concernant la chute libre, le lancer oblique, le mouvement sur plan incliné, le pendule conique, la prise de virage d’un véhicule et le mouvement d’un satellite sur orbite circulaire ; - interpréter graphiquement les trajectoires et les variations de vitesse et d’accélération. **Prérequis** : notions de vecteurs (addition, produit scalaire, projection), dérivées premières et secondes, équations du second degré, concepts de travail et d’énergie (pour les compléments), maîtrise du système SI et de l’arrondi aux unités pertinentes. ## Introduction Dans le champ de pesanteur terrestre, la force de poids $\vec P = m\vec g$ est constante en intensité et dirigée vers le centre de la Terre. En combinant cette force avec d’autres actions (normale, frottement, tension, force centripète), les lois de Newton permettent de prédire le mouvement d’une particule. Ce chapitre étudie successivement le mouvement rectiligne (leçon 10), le mouvement plan (leçon 11) puis trois situations particulières de mouvement plan : pendule conique, véhicule en virage et satellite (leçon 12). ## I. Mouvement rectiligne ### A. Application de la deuxième loi de Newton Pour un corps de masse $m$ soumis à une force résultante $\vec F_{\text{res}}$, la deuxième loi donne $$m\vec a = \vec F_{\text{res}}.$$ Dans un mouvement rectiligne, l’accélération $\vec a$ est colinéaire à la vitesse $\vec v$ ; on peut donc travailler en coordonnée scalaire $x$ orientée selon le mouvement : $$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F_{x}(t).$$ > **Première loi de Newton** : si $\displaystyle\sum\vec F = \vec 0$, le corps garde son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. > **Deuxième loi de Newton** : $\displaystyle\sum\vec F = m\vec a$. > **Troisième loi de Newton** : à toute action correspond une réaction égale et opposée. ### B. Mouvement uniformément accéléré (MUA) Lorsque la force résultante est constante, $F_{x}=F_{0}$, l’accélération est constante $a=F_{0}/m$. En intégrant deux fois : $$v(t)=v_{0}+at,\qquad x(t)=x_{0}+v_{0}t+\tfrac12at^{2}.$$ > **Équations du MUA** : $v=v_{0}+at$, $x=x_{0}+v_{0}t+\frac12at^{2}$, $v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0})$. ### C. Exemple 1 – Chute libre d’un objet Un objet de masse $m=0,2\;\text{kg}$ est lâché depuis le repos à une hauteur $h=20\;\text{m}$ (on néglige la résistance de l’air). 1. Forces : seul le poids $\vec P=m\vec g$ agit, dirigé vers le bas. 2. Deuxième loi : $ma = mg \Rightarrow a=g=9,81\;\text{m·s}^{-2}$ (vers le bas). 3. Équation du mouvement (choix du haut comme origine, $x$ positif vers le bas) : $x(t)=\tfrac12gt^{2}$. 4. Temps de chute : on pose $x(t)=h$ → $t=\sqrt{2h/g}= \sqrt{2\times20/9,81}=2,02\;\text{s}$. 5. Vitesse à l’impact : $v(t)=gt=9,81\times2,02=19,8\;\text{m·s}^{-1}$ dirigée vers le bas. ### D. Exemple 2 – Bloc sur un plan incliné avec frottement Un bloc de masse $m=5\;\text{kg}$ repose sur un plan incliné de pente $\theta=30^{\circ}$. Le coefficient de frottement statique est $\mu_{s}=0,4$ et le coefficient dynamique $\mu_{k}=0,3$. On veut savoir si le bloc glisse lorsqu’on le relâche du repos. 1. Décomposition du poids : - parallèle au plan : $P_{\parallel}=mg\sin\theta$ ; - perpendiculaire au plan : $P_{\perp}=mg\cos\theta$. 2. Normale : $N=P_{\perp}=mg\cos\theta$ (pas d’accélération perpendiculaire). 3. Force de frottement maximale statique : $f_{s,\max}= \mu_{s}N=\mu_{s}mg\cos\theta$. 4. Comparaison : $P_{\parallel}=5\times9,81\times\sin30^{\circ}=24,5\;\text{N}$ ; $f_{s,\max}=0,4\times5\times9,81\times\cos30^{\circ}=0,4\times5\times9,81\times0,866=17,0\;\text{N}$. Puisque $P_{\parallel}>f_{s,\max}$, le bloc glisse. 5. Lors du glissement, la force de frottement dynamique s’applique : $f_{k}= \mu_{k}N=0,3\times5\times9,81\times0,866=12,8\;\text{N}$ dirigée vers le haut du plan. 6. Résultante le long du plan : $F_{\text{res}}=P_{\parallel}-f_{k}=24,5-12,8=11,7\;\text{N}$. 7. Accélération : $a=F_{\text{res}}/m=11,7/5=2,34\;\text{m·s}^{-2}$ dirigée vers le bas du plan. 8. Équation du mouvement (partant du repos) : $x(t)=\tfrac12at^{2}=1,17t^{2}$ (en mètres). ## II. Mouvement plan ### A. Décomposition des forces Dans un mouvement plan, on choisit un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ lié à la trajectoire. La deuxième loi s’écrit en deux équations scalaires : $$m a_{x}=F_{x},\qquad m a_{y}=F_{y}.$$ On traite séparément les composantes selon les axes, puis on recombine pour obtenir la trajectoire. > **Principe de superposition** : les effets des forces selon chaque axe sont indépendants. ### B. Mouvement projectile (lancer oblique) Un projectile lancé depuis l’origine avec vitesse initiale $\vec v_{0}$ faisant un angle $\alpha$ avec l’horizontale subit uniquement le poids (on néglige la traînée). - Composantes initiales : $v_{0x}=v_{0}\cos\alpha$, $v_{0y}=v_{0}\sin\alpha$. - Équations : $$x(t)=v_{0}\cos\alpha\;t,$$ $$y(t)=v_{0}\sin\alpha\;t-\tfrac12gt^{2}.$$ - Temps de vol : $t_{f}=2v_{0}\sin\alpha/g$ (quand $y=0$ à nouveau). - Portée horizontale : $R=v_{0}^{2}\sin(2\alpha)/g$. - Hauteur maximale : $H=\dfrac{(v_{0}\sin\alpha)^{2}}{2g}$. > **Formule de la portée** : $R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\alpha)}{g}$. ### C. Mouvement circulaire uniforme (MCU) Une particule de masse $m$ se déplace sur un cercle de rayon $R$ avec vitesse constante $v$. L’accélération est centripète : $$a_{c}= \frac{v^{2}}{R}\quad\text{dirigée vers le centre.}$$ La force nette nécessaire est la force centripète : $$F_{c}=m\frac{v^{2}}{R}.$$ > **Force centripète** : $F_{c}=m v^{2}/R$. ### D. Exemple 1 – Lancer d’un projectile depuis une falaise Un balle de masse $0,15\;\text{kg}$ est lancée du haut d’une falaise de hauteur $H=15\;\text{m}$ avec une vitesse initiale $v_{0}=20\;\text{m·s}^{-1}$ faisant un angle $\alpha=40^{\circ}$ avec l’horizontale. On néglige la résistance de l’air. 1. Composantes : $v_{0x}=20\cos40^{\circ}=15,3\;\text{m·s}^{-1}$, $v_{0y}=20\sin40^{\circ}=12,9\;\text{m·s}^{-1}$. 2. Équation verticale : $y(t)=H+v_{0y}t-\tfrac12gt^{2}$. 3. Temps d’impact : on résout $y(t)=0$ → $0=15+12,9t-4,905t^{2}$. Solution positive : $t=\dfrac{12,9+\sqrt{12,9^{2}+4\times4,905\times15}}{2\times4,905}=3,50\;\text{s}$. 4. Portée : $x(t)=v_{0x}t=15,3\times3,50=53,5\;\text{m}$. 5. Vitesse à l’impact : - $v_{x}=v_{0x}=15,3\;\text{m·s}^{-1}$ (inchangée) ; - $v_{y}=v_{0y}-gt=12,9-9,81\times3,50=-21,4\;\text{m·s}^{-1}$ (vers le bas). - Module : $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{15,3^{2}+(-21,4)^{2}}=26,3\;\text{m·s}^{-1}$. - Angle sous l’horizontale : $\beta=\arctan\!\left(\dfrac{|v_{y}|}{v_{x}}\right)=\arctan(21,4/15,3)=54,5^{\circ}$ sous l’horizontale. ### E. Exemple 2 – Voiture prenant un virage horizontal de rayon $R=80\;\text{m}$ Une voiture de masse $m=1200\;\text{kg}$ roule à vitesse constante $v=20\;\text{m·s}^{-1}$ sur une route horizontale (pas d’inclinaison). On veut connaître la force de frottement latérale nécessaire pour éviter le dérapage. 1. Accélération centripète : $a_{c}=v^{2}/R=20^{2}/80=5,0\;\text{m·s}^{-2}$. 2. Force centripète requise : $F_{c}=ma_{c}=1200\times5,0=6000\;\text{N}$. 3. Cette force est fournie par la force de frottement statique entre les pneus et la route : $f_{s}\le\mu_{s}N$, où $N=mg$ (route horizontale). 4. Coefficient minimal de frottement nécessaire : $\mu_{s,\min}=F_{c}/(mg)=6000/(1200\times9,81)=0,51$. Si le revêtement offre $\mu_{s}\ge0,51$, la voiture ne dérape pas. ## III. Mouvement d’un pendule conique, d’un véhicule dans virage et d’un satellite ### A. Pendule conique Un petit corps de masse $m$ est suspendu à un fil de longueur $L$ et décrit un cercle horizontal de rayon $r$ à vitesse constante $v$, le fil faisant un angle constant $\theta$ avec la verticale. - Géométrie : $r=L\sin\theta$, hauteur du corps au-dessus du point d’attache : $h=L\cos\theta$. - Forces : poids $mg$ vers le bas, tension $\vec T$ le long du fil. - Décomposition de $\vec T$ : - composante verticale : $T\cos\theta$ équilibre le poids → $T\cos\theta=mg$. - composante horizontale : $T\sin\theta$ fournit la force centripète → $T\sin\theta=mv^{2}/r$. - En éliminant $T$ : $\displaystyle \tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}$. - En utilisant $r=L\sin\theta$ : $\displaystyle \tan\theta=\frac{v^{2}}{gL\sin\theta}$ → $v^{2}=gL\tan\theta\sin\theta=gL\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}$. > **Condition du pendule conique** : $v^{2}=gL\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}$. ### B. Véhicule dans un virage incliné (route bancée) Une route de rayon de courbure $R$ est inclinée d’un angle $\beta$ par rapport à l’horizontale (vers l’intérieur du virage). On cherche la vitesse $v_{0}$ pour laquelle aucun frottement latéral n’est nécessaire. - Forces : poids $mg$, normale $\vec N$ perpendiculaire à la route. - Décomposition de $\vec N$ : - verticale : $N\cos\beta$ équilibre $mg$ → $N\cos\beta=mg$. - horizontale (vers le centre du virage) : $N\sin\beta$ fournit la force centripète → $N\sin\beta=mv^{2}/R$. - En divisant les deux équations : $\displaystyle \tan\beta=\frac{v^{2}}{gR}$. - Ainsi, la vitesse de conception (sans frottement) est : $$v_{0}=\sqrt{gR\tan\beta}.$$ > **Vitesse de conception d’une route bancée** : $v_{0}=\sqrt{gR\tan\beta}$. ### C. Satellite sur orbite circulaire Un satellite de masse $m$ tourne autour de la Terre (masse $M_{T}$) sur une orbite circulaire de rayon $r$ (distance du centre de la Terre). La seule force agissante est la gravitation universelle : $$F_{g}=G\frac{M_{T}m}{r^{2}}.$$ Cette force fournit la force centripète nécessaire : $$m\frac{v^{2}}{r}=G\frac{M_{T}m}{r^{2}}\;\Longrightarrow\;v^{2}= \frac{G M_{T}}{r}.$$ La période $T$ est liée à la vitesse par $v=2\pi r/T$, d’où $$T^{2}= \frac{4\pi^{2}}{G M_{T}}\,r^{3}\quad\text{(troisième loi de Kepler).}$$ > **Vitesse orbitale circulaire** : $v=\sqrt{\dfrac{GM_{T}}{r}}$. > **Période de révolution** : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{GM_{T}}}$. ### D. Exemple 1 – Pendule conique Un petit objet de masse $m=0,05\;\text{kg}$ est attaché à un fil de longueur $L=1,2\;\text{m}$ et décrit un cercle horizontal de telle sorte que le fil forme un angle $\theta=30^{\circ}$ avec la verticale. Déterminer la vitesse de l’objet et la période du mouvement. 1. Rayon du cercle : $r=L\sin\theta=1,2\times\sin30^{\circ}=0,6\;\text{m}$. 2. Formule de vitesse : $v^{2}=gL\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}$. - $\sin30^{\circ}=0,5$, $\cos30^{\circ}=0,866$. - $v^{2}=9,81\times1,2\times\frac{0,5^{2}}{0,866}=9,81\times1,2\times\frac{0,25}{0,866}=9,81\times1,2\times0,2887=3,39\;\text{(m}^{2}\!\!/\text{s}^{2})$. - $v=\sqrt{3,39}=1,84\;\text{m·s}^{-1}$. 3. Période : $T=\dfrac{2\pi r}{v}= \dfrac{2\pi\times0,6}{1,84}=2,05\;\text{s}$. ### E. Exemple 2 – Vitesse orbitale d’un satellite basse altitude Un satellite est placé à une altitude $h=400\;\text{km}$ au-dessus de la surface terrestre. Rayon moyen de la Terre $R_{T}=6371\;\text{km}$. Calculer sa vitesse orbitale et sa période. 1. Rayon de l’orbite : $r=R_{T}+h=6371+400=6771\;\text{km}=6,771\times10^{6}\;\text{m}$. 2. Constante gravitationnelle $G=6,674\times10^{-11}\;\text{N·m}^{2}\!\!/\text{kg}^{2}$, masse terrestre $M_{T}=5,972\times10^{24}\;\text{kg}$. 3. Vitesse : $$v=\sqrt{\frac{GM_{T}}{r}}=\sqrt{\frac{6,674\times10^{-11}\times5,972\times10^{24}}{6,771\times10^{6}}} =\sqrt{\frac{3,986\times10^{14}}{6,771\times10^{6}}} =\sqrt{5,889\times10^{7}}=7,67\times10^{3}\;\text{m·s}^{-1}=7,67\;\text{km·s}^{-1}.$$ 4. Période : $$T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM_{T}}}=2\pi\sqrt{\frac{(6,771\times10^{6})^{3}}{3,986\times10^{14}}} =2\pi\sqrt{\frac{3,10\times10^{20}}{3,986\times10^{14}}} =2\pi\sqrt{7,78\times10^{5}} =2\pi\times882\;{\rm s}=5,54\times10^{3}\;{\rm s}=92,3\;{\rm min}.$$ ### F. Exemple 3 – Angle d’inclinaison nécessaire pour un virage sans frottement Une voiture désire prendre un virage de rayon $R=150\;\text{m}$ à une vitesse $v=25\;\text{m·s}^{-1}$ sans compter sur le frottement latéral. Déterminer l’angle de banc $\beta$ de la route. 1. Utiliser la relation $\tan\beta=v^{2}/(gR)$. 2. Calcul : $v^{2}=25^{2}=625\;\text{m}^{2}\!\!/\text{s}^{2}$ ; $gR=9,81\times150=1471,5\;\text{m}^{2}\!\!/\text{s}^{2}$. 3. $\tan\beta=625/1471,5=0,425$. 4. $\beta=\arctan(0,425)=23,0^{\circ}$. ## Synthèse du chapitre - **Lois de Newton** : $\sum\vec F=m\vec a$ (2ᵉ), action‑réaction (3ᵉ), état de repos ou mouvement uniforme si $\sum\vec F=0$ (1ʳᵉ). - **Mouvement rectiligne** : équations du MUA $v=v_{0}+at$, $x=x_{0}+v_{0}t+\frac12at^{2}$, $v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0})$. - **Mouvement projectile** : $x=v_{0}\cos\alpha\,t$, $y=v_{0}\sin\alpha\,t-\frac12gt^{2}$ ; portée $R=v_{0}^{2}\sin(2\alpha)/g$ ; hauteur maximale $H=(v_{0}\sin\alpha)^{2}/(2g)$. - **Mouvement circulaire uniforme** : accélération centripète $a_{c}=v^{2}/R$, force centripète $F_{c}=mv^{2}/R$. - **Pendule conique** : $\tan\theta=v^{2}/(rg)$ avec $r=L\sin\theta$ → $v^{2}=gL\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}$. - **Route bancée** : vitesse sans frottement $v_{0}=\sqrt{gR\tan\beta}$. - **Satellite circulaire** : $v=\sqrt{GM_{T}/r}$, période $T=2\pi\sqrt{r^{3}/(GM_{T})}$. ## Glossaire - **Force de poids** : $\vec P=m\vec g$, attraction terrestre sur un corps de masse $m$. - **Accélération centripète** : composante de l’accélération dirigée vers le centre d’une trajectoire courbe, module $v^{2}/r$. - **Force centripète** : force nette nécessaire pour produire une accélération centripète, $F_{c}=mv^{2}/r$. - **Mouvement uniformément accéléré (MUA)** : mouvement où l’accélération est constante dans le temps et la direction. - **Projectile** : corps lancé dans un champ de pesanteur uniforme, soumis uniquement à son poids (en négligeant la résistance de l’air). - **Pendule conique** : mouvement d’une masse suspendue décrivant un cercle horizontal tandis que le fil forme un angle constant avec la verticale. - **Route bancée** : voie inclinée par rapport à l’horizontale afin de réduire ou éliminer le besoin de frottement latéral dans un virage. - **Vitesse orbitale** : vitesse linéaire d’un corps sur une orbite circulaire sous l’action seule de la gravitation, $v=\sqrt{GM/r}$. ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (MUA) Un bloc de masse $2\;\text{kg}$ glisse sur un plan horizontal sans frottement sous l’action d’une force constante $F=10\;\text{N}$ dirigée selon l’axe $x$. Au départ, le bloc est au repos à $x=0$. a) Déterminer l’accélération du bloc. b) Écrire l’expression de sa position $x(t)$ en fonction du temps. c) Calculer la vitesse du bloc après $t=3\;\text{s}$. **Corrigé** a) Deuxième loi : $a=F/m=10/2=5\;\text{m·s}^{-2}$. b) Mouvement uniformément accéléré avec $v_{0}=0$, $x_{0}=0$ : $x(t)=\frac12at^{2}= \frac12\times5\times t^{2}=2,5t^{2}\;\text{m}$. c) $v(t)=v_{0}+at=0+5\times3=15\;\text{m·s}^{-1}$. ### Exercice 2 (Projectile) Un balle de tennis est lancée depuis le sol avec une vitesse initiale de $18\;\text{m·s}^{-1}$ faisant un angle de $35^{\circ}$ avec l’horizontale. On néglige la résistance de l’air. a) Trouver le temps de vol total. b) Calculer la portée horizontale. c) Déterminer la hauteur maximale atteinte. **Corrigé** a) Composante verticale initiale : $v_{0y}=18\sin35^{\circ}=18\times0,574=10,33\;\text{m·s}^{-1}$. Temps de vol : $t_{f}=2v_{0y}/g=2\times10,33/9,81=2,11\;\text{s}$. b) Composante horizontale : $v_{0x}=18\cos35^{\circ}=18\times0,819=14,74\;\text{m·s}^{-1}$. Portée : $R=v_{0x}t_{f}=14,74\times2,11=31,1\;\text{m}$. c) Hauteur maximale : $H=v_{0y}^{2}/(2g)= (10,33)^{2}/(2\times9,81)=106,7/19,62=5,44\;\text{m}$. ### Exercice 3 (Mouvement circulaire) Une particule de masse $0,4\;\text{kg}$ tourne sur un cercle de rayon $0,8\;\text{m}$ avec une vitesse constante de $6\;\text{m·s}^{-1}$. a) Calculer l’accélération centripète. b) Déterminer la force centripète nécessaire. c) Si la force est fournie par la tension d’un fil, quelle est la tension dans le fil ? **Corrigé** a) $a_{c}=v^{2}/R=6^{2}/0,8=36/0,8=45\;\text{m·s}^{-2}$. b) $F_{c}=ma_{c}=0,4\times45=18\;\text{N}$. c) La tension du fil doit être égale à la force centripète (aucune autre force radiale) : $T=18\;\text{N}$. ### Exercice 4 (Pendule conique) Un petit objet de masse $0,02\;\text{kg}$ est suspendu à un fil de longueur $0,9\;\text{m}$ et décrit un cercle horizontal tel que l’angle entre le fil et la verticale vaut $20^{\circ}$. a) Déterminer le rayon du cercle décrit. b) Calculer la vitesse de l’objet. c) Trouver la période du mouvement. **Corrigé** a) $r=L\sin\theta=0,9\times\sin20^{\circ}=0,9\times0,342=0,308\;\text{m}$. b) Formule $v^{2}=gL\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}$ : $\sin20^{\circ}=0,342$, $\cos20^{\circ}=0,940$. $v^{2}=9,81\times0,9\times\frac{0,342^{2}}{0,940}=8,829\times\frac{0,117}{0,940}=8,829\times0,1245=1,10\;\text{m}^{2}\!\!/\text{s}^{2}$. $v=\sqrt{1,10}=1,05\;\text{m·s}^{-1}$. c) Période : $T=2\pi r/v=2\pi\times0,308/1,05=1,84\;\text{s}$. ### Exercice 5 (Satellite) Un satellite est placé sur une orbite circulaire de rayon $r=7,0\times10^{6}\;\text{m}$ autour de la Terre. a) Calculer sa vitesse orbitale. b) Déterminer sa période de révolution. c) Quelle serait la vitesse si le satellite était placé à une altitude de $2000\;\text{km}$ (rayon terrestre $R_{T}=6371\;\text{km}$) ? **Corrigé** a) $v=\sqrt{GM_{T}/r}$ avec $GM_{T}=3,986\times10^{14}\;\text{m}^{3}\!\!/\text{s}^{2}$ : $v=\sqrt{3,986\times10^{14}/7,0\times10^{6}}=\sqrt{5,694\times10^{7}}=7,55\times10^{3}\;\text{m·s}^{-1}=7,55\;\text{km·s}^{-1}$. b) $T=2\pi\sqrt{r^{3}/(GM_{T})}=2\pi\sqrt{(7,0\times10^{6})^{3}/3,986\times10^{14}}$ $=2\pi\sqrt{3,43\times10^{20}/3,986\times10^{14}}=2\pi\sqrt{8,60\times10^{5}}=2\pi\times927=5,82\times10^{3}\;\text{s}=97,0\;\text{min}$. c) Nouvelle altitude $h=2000\;\text{km}$ → $r=R_{T}+h=6371+2000=8371\;\text{km}=8,371\times10^{6}\;\text{m}$. $v'=\sqrt{3,986\times10^{14}/8,371\times10^{6}}=\sqrt{4,76\times10^{7}}=6,90\times10^{3}\;\text{m·s}^{-1}=6,90\;\text{km·s}^{-1}$. ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre masse et poids** : écrire $F=mg$ comme si $g$ était une force au lieu d’une accélération. Rappel : le poids est une force, $g$ est l’accélération due à la gravité. 2. **Oublier la décomposition vectorielle** : dans un mouvement plan, traiter les composantes $x$ et $y$ comme indépendantes mais oublier de recombiner pour obtenir la trajectoire ou la vitesse résultante. Toujours vérifier que $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$. 3. **Utiliser la mauvaise formule pour la portée** : appliquer $R=v_{0}^{2}/g$ au lieu de $R=v_{0}^{2}\sin(2\alpha)/g$. Le facteur $\sin(2\alpha)$ est essentiel ; il vaut $1$ seulement pour $\alpha=45^{\circ}$. 4. **Negliger l’angle du pendule conique** : croire que la tension équilibre uniquement le poids, oubliant que sa composante horizontale fournit la force centripète. Rappeler les deux équations $T\cos\theta=mg$ et $T\sin\theta=mv^{2}/r$. 5. **Mauvaise utilisation du signe de l’accélération centripète** : considérer l’accélération centripète comme dirigée vers l’extérieur du cercle. Elle pointe toujours vers le centre ; le signe négatif apparaît seulement lorsqu’on choisit une convention radiale orientée vers l’extérieur. 6. **Confondre vitesse angulaire et vitesse linéaire** : dans les problèmes de satellite ou de pendule conique, utiliser $\omega r$ au lieu de $v$ lorsqu’on applique $F_{c}=mv^{2}/r$. Vérifier les unités : $v$ en m·s$^{-1}$, $\omega$ en rad·s$^{-1}$. --- Fin du cours.