Les lois de Newton sur le mouvement

# Les lois de Newton sur le mouvement ## Introduction Les lois de Newton, formulées par Isaac Newton en 1687 dans les *Principia*, constituent le fondement de la mécanique classique. Elles permettent de décrire et de prédire le mouvement des corps soumis à des forces. Dans ce chapitre, nous appliquerons ces lois à trois situations fondamentales : la conservation de l'énergie mécanique dans les systèmes isolés, le mouvement dans un champ de gravitation (terrestre ou céleste), et le mouvement de particules chargées dans des champs électriques et magnétiques uniformes. Ces applications couvrent des domaines aussi variés que la balistique, l'astronomie et la physique des accélérateurs de particules. --- ## I. Conservation de l'énergie mécanique des systèmes isolés ### I.1. Rappels sur l'énergie cinétique et potentielle Un système est dit **isolé** lorsqu'il n'échange ni matière ni énergie avec l'extérieur. Dans un tel système, les forces qui travaillent sont uniquement des forces **internes** ou **conservatives**. **Énergie cinétique** d'un point matériel de masse $m$ et de vitesse $v$ : $$ E_c = \frac{1}{2} m v^2 $$ L'énergie cinétique s'exprime en joules (J), la masse en kilogrammes (kg) et la vitesse en mètres par seconde (m·s⁻¹). **Énergie potentielle** : elle est associée à une force conservative. Pour la force de pesanteur (champ uniforme), l'énergie potentielle de pesanteur est : $$ E_{pp} = m g z + \text{constante} $$ où $z$ est l'altitude (en m), $g$ l'intensité du champ de pesanteur (en N·kg⁻¹ ou m·s⁻²). La constante est choisie arbitrairement ; on prend souvent $E_{pp} = 0$ au sol ($z = 0$). Pour une force élastique (ressort de raideur $k$) : $$ E_{pe} = \frac{1}{2} k x^2 $$ où $x$ est l'élongation du ressort par rapport à sa position d'équilibre. > **À retenir** : L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle : $E_m = E_c + E_p$. ### I.2. Théorème de l'énergie mécanique Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation d'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale au travail total des forces extérieures et intérieures qui lui sont appliquées : $$ \Delta E_c = E_{c2} - E_{c1} = \sum W(\vec{F}) $$ Le travail d'une force conservative $\vec{F}$ entre deux points $A$ et $B$ est indépendant du chemin suivi et s'écrit : $$ W_{A \to B}(\vec{F}) = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p $$ En combinant ces deux relations, on obtient le **théorème de l'énergie mécanique** : $$ \Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = W_{\text{forces non conservatives}} $$ > **À retenir** : Pour un système isolé (ou soumis uniquement à des forces conservatives), l'énergie mécanique se conserve : $E_m = E_c + E_p = \text{constante}$. ### I.3. Système isolé et conservation de l'énergie mécanique Un système **isolé** est un système qui n'échange pas d'énergie avec le milieu extérieur. Dans ce cas, le travail des forces extérieures est nul, et si les forces intérieures sont conservatives, alors : $$ \Delta E_m = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad E_m = \text{constante} $$ C'est-à-dire : $$ \frac{1}{2} m v_1^2 + E_p(z_1) = \frac{1}{2} m v_2^2 + E_p(z_2) $$ Cette équation est fondamentale : elle permet de déterminer la vitesse d'un corps à une position donnée si l'on connaît sa vitesse et sa position initiales, sans avoir à résoudre les équations du mouvement. > **À retenir** : Dans un système isolé, l'énergie mécanique totale reste constante au cours du temps. L'énergie cinétique et l'énergie potentielle peuvent se convertir l'une en l'autre, mais leur somme ne change pas. ### I.4. Exemple numérique : chute libre d'un corps **Énoncé** : Un objet de masse $m = 2{,}0 \text{ kg}$ est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 10 \text{ m}$ au-dessus du sol. On prend $g = 9{,}81 \text{ m·s}^{-2}$. On néglige les frottements de l'air. **Question** : Calculer la vitesse de l'objet lorsqu'il atteint le sol. **Solution** : Le système {objet + Terre} est isolé (on néglige les frottements). L'énergie mécanique se conserve. État initial (altitude $z_1 = h = 10 \text{ m}$, vitesse $v_1 = 0$) : $$ E_{m1} = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g z_1 = 0 + 2{,}0 \times 9{,}81 \times 10 = 196{,}2 \text{ J} $$ État final (altitude $z_2 = 0$, vitesse $v_2$ inconnue) : $$ E_{m2} = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g z_2 = \frac{1}{2} \times 2{,}0 \times v_2^2 + 0 = v_2^2 $$ Par conservation de l'énergie mécanique, $E_{m1} = E_{m2}$ : $$ v_2^2 = 196{,}2 \quad \Longrightarrow \quad v_2 = \sqrt{196{,}2} \approx 14{,}0 \text{ m·s}^{-1} $$ La vitesse de l'objet à l'arrivée au sol est d'environ $14{,}0 \text{ m·s}^{-1}$. **Vérification** : On peut retrouver ce résultat par la cinématique : $v^2 = 2 g h = 2 \times 9{,}81 \times 10 = 196{,}2$, d'où $v \approx 14{,}0 \text{ m·s}^{-1}$. Les deux méthodes concordent. ### I.5. Cas d'un pendule simple Considérons un pendule de masse $m$ et de longueur $L$, écarté d'un angle $\theta_0$ par rapport à la verticale puis lâché sans vitesse initiale. En prenant l'origine de l'énergie potentielle au point le plus bas ($\theta = 0$), l'énergie potentielle à l'angle $\theta$ est : $$ E_p(\theta) = m g L (1 - \cos \theta) $$ Par conservation de l'énergie mécanique, la vitesse maximale (au passage par la position d'équilibre) est : $$ \frac{1}{2} m v_{\max}^2 = m g L (1 - \cos \theta_0) $$ $$ v_{\max} = \sqrt{2 g L (1 - \cos \theta_0)} $$ > **À retenir** : La conservation de l'énergie mécanique permet de relier directement les positions et les vitesses sans intégrer les équations du mouvement, ce qui simplifie considérablement l'étude des systèmes isolés. --- ## II. Mouvement dans le champ de pesanteur terrestre et sous l'action d'un champ de gravitation ### II.1. Champ de pesanteur terrestre uniforme Au voisinage de la surface de la Terre, le champ de pesanteur $\vec{g}$ peut être considéré comme **uniforme** : sa direction est verticale (vers le bas) et son intensité vaut approximativement $g = 9{,}81 \text{ m·s}^{-2}$. Un projectile de masse $m$ lancé avec une vitesse initiale $\vec{v}_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale est soumis uniquement à son poids $\vec{P} = m \vec{g}$ (en négligeant les frottements). **Application de la deuxième loi de Newton** : $$ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \vec{a} \quad \Longrightarrow \quad m \vec{g} = m \vec{a} $$ D'où : $$ \vec{a} = \vec{g} $$ L'accélération du projectile est constante et égale au champ de pesanteur. ### II.2. Équations du mouvement dans le champ de pesanteur uniforme Choisissons un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ avec $\vec{k}$ vertical ascendant. Le champ de pesanteur s'écrit : $$ \vec{g} = -g \vec{k} $$ Les conditions initiales sont : position initiale $\vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)$ et vitesse initiale $\vec{v}_0 = (v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})$. **Par intégrations successives** : Accélération : $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -g \end{pmatrix} $$ Vitesse : $$ \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ v_{0z} - g t \end{pmatrix} $$ Position : $$ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x_0 + v_{0x} t \\ y_0 + v_{0y} t \\ z_0 + v_{0z} t - \frac{1}{2} g t^2 \end{pmatrix} $$ > **À retenir** : Dans le champ de pesanteur uniforme, le mouvement d'un projectile est la composition d'un mouvement rectiligne uniforme selon l'horizontale et d'un mouvement uniformément accéléré selon la verticale. ### II.3. Trajectoire parabolique En éliminant le temps $t$ entre les équations paramétriques, on obtient l'équation de la trajectoire. Pour un lancer depuis l'origine ($x_0 = y_0 = z_0 = 0$) avec une vitesse initiale dans le plan $xOz$ ($v_{0y} = 0$, $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$, $v_{0z} = v_0 \sin \alpha$) : $$ x(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha} $$ $$ z(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 $$ En substituant $t$ : $$ z(x) = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} $$ C'est l'équation d'une **parabole** dont l'axe est vertical. **Portée** (distance horizontale parcourue avant de retomber à l'altitude initiale) : $$ x_{\max} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} $$ **Flèche** (hauteur maximale atteinte) : $$ z_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} $$ > **À retenir** : La trajectoire d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme est une parabole. La portée est maximale pour un angle de tir de $45°$. ### II.4. Exemple numérique : tir de projectile **Énoncé** : Un projectile est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 50 \text{ m·s}^{-1}$ sous un angle $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. On prend $g = 9{,}81 \text{ m·s}^{-2}$. **Questions** : 1. Calculer la portée du projectile. 2. Calculer la flèche (hauteur maximale). 3. Déterminer le temps de vol total. **Solution** : 1. **Portée** : $$ x_{\max} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{50^2 \times \sin(60°)}{9{,}81} = \frac{2500 \times 0{,}866}{9{,}81} \approx 220{,}7 \text{ m} $$ 2. **Flèche** : $$ z_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{2500 \times \sin^2(30°)}{2 \times 9{,}81} = \frac{2500 \times 0{,}25}{19{,}62} \approx 31{,}9 \text{ m} $$ 3. **Temps de vol** : le projectile retombe au sol lorsque $z(t) = 0$ : $$ v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t \left( v_0 \sin \alpha - \frac{1}{2} g t \right) = 0 $$ La solution non nulle est : $$ t_{\text{vol}} = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{2 \times 50 \times 0{,}5}{9{,}81} \approx 5{,}10 \text{ s} $$ ### II.5. Mouvement dans un champ de gravitation newtonien Pour un corps de masse $m$ en orbite autour d'un astre de masse $M$ (planète, étoile), la force de gravitation est : $$ \vec{F} = -G \frac{M m}{r^2} \vec{u}_r $$ où $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$ est la constante de gravitation universelle, $r$ la distance entre les centres de masse, et $\vec{u}_r$ le vecteur unitaire radial. **Application de la deuxième loi de Newton** : $$ m \vec{a} = -G \frac{M m}{r^2} \vec{u}_r \quad \Longrightarrow \quad \vec{a} = -\frac{G M}{r^2} \vec{u}_r $$ L'accélération est indépendante de la masse du corps en orbite : c'est l'accélération de la pesanteur à la distance $r$ : $$ g(r) = \frac{G M}{r^2} $$ ### II.6. Mouvement circulaire uniforme autour d'un astre Pour un satellite en orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre de masse $M$, l'accélération est centripète : $$ a = \frac{v^2}{r} $$ En égalant avec l'accélération gravitationnelle : $$ \frac{v^2}{r} = \frac{G M}{r^2} $$ On en déduit la **vitesse de satellisation** (ou vitesse orbitale) : $$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $$ La **période de révolution** $T$ est donnée par la troisième loi de Kepler : $$ T = \frac{2 \pi r}{v} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}} $$ > **À retenir** : Pour un satellite en orbite circulaire, la vitesse orbitale est $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ et la période est $T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$. Ces grandeurs ne dépendent pas de la masse du satellite. ### II.7. Énergie mécanique d'un satellite en orbite L'énergie potentielle gravitationnelle d'un corps de masse $m$ à la distance $r$ du centre d'un astre de masse $M$ est : $$ E_p = -\frac{G M m}{r} $$ L'énergie cinétique du satellite en orbite circulaire : $$ E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \frac{G M}{r} = \frac{G M m}{2r} $$ L'énergie mécanique totale : $$ E_m = E_c + E_p = \frac{G M m}{2r} - \frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{2r} $$ > **À retenir** : Pour un satellite en orbite circulaire, l'énergie mécanique est négative et vaut $E_m = -\frac{GMm}{2r}$. Le satellite est lié à l'astre : il ne peut pas s'échapper spontanément. ### II.8. Vitesse de libération La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un corps pour qu'il échappe à l'attraction gravitationnelle d'un astre. Elle s'obtient en écrivant que l'énergie mécanique totale devient nulle à l'infini : $$ \frac{1}{2} m v_{\text{lib}}^2 - \frac{G M m}{R} = 0 $$ D'où : $$ v_{\text{lib}} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} $$ où $R$ est le rayon de l'astre. Pour la Terre ($M = 5{,}97 \times 10^{24} \text{ kg}$, $R = 6{,}37 \times 10^6 \text{ m}$) : $$ v_{\text{lib}} = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{6{,}37 \times 10^6}} \approx 11{,}2 \text{ km·s}^{-1} $$ > **À retenir** : La vitesse de libération à la surface de la Terre est d'environ $11{,}2 \text{ km·s}^{-1}$. Elle est indépendante de la masse du corps lancé. ### II.9. Schéma : trajectoire d'un projectile et orbite d'un satellite ```onbuch-svg <svg width="600" height="400" viewBox="0 0 600 400" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Fond --> <rect width="600" height="400" fill="#f0f4f8"/> <!-- Axes --> <line x1="50" y1="350" x2="550" y2="350" stroke="#333" stroke-width="2"/> <line x1="50" y1="350" x2="50" y2="30" stroke="#333" stroke-width="2"/> <!-- Labels axes --> <text x="540" y="370" font-size="14" fill="#333" font-style="italic">x (m)</text> <text x="20" y="40" font-size="14" fill="#333" font-style="italic">z (m)</text> <!-- Trajectoire parabolique du projectile --> <path d="M 50 350 Q 300 50 550 350" stroke="#d32f2f" stroke-width="3" fill="none" stroke-dasharray="8,4"/> <!-- Point de lancement --> <circle cx="50" cy="350" r="5" fill="#d32f2f"/> <text x="30" y="370" font-size="12" fill="#d32f2f">Lancement</text> <!-- Point de chute --> <circle cx="550" cy="350" r="5" fill="#d32f2f"/> <text x="530" y="390" font-size="12" fill="#d32f2f">Chute</text> <!-- Flèche (hauteur max) --> <line x1="300" y1="350" x2="300" y2="50" stroke="#1976d2" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,4"/> <text x="305" y="200" font-size="12" fill="#1976d2">Flèche</text> <!-- Portée --> <line x1="50" y1="365" x2="550" y2="365" stroke="#1976d2" stroke-width="2"/> <text x="270" y="380" font-size="12" fill="#1976d2">Portée</text> <!-- Vecteur vitesse initiale --> <line x1="50" y1="350" x2="130" y2="290" stroke="#2e7d32" stroke-width="3" marker-end="url(#arrowGreen)"/> <text x="135" y="285" font-size="12" fill="#2e7d32" font-style="italic">v₀</text> <!-- Angle alpha --> <path d="M 50 350 A 60 60 0 0 0 95 310" stroke="#2e7d32" stroke-width="1.5" fill="none"/> <text x="80" y="335" font-size="12" fill="#2e7d32" font-style="italic">α</text> <!-- Définition flèche --> <defs> <marker id="arrowGreen" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="#2e7d32"/> </marker> </defs> <!-- Titre --> <text x="150" y="25" font-size="16" fill="#333" font-weight="bold">Trajectoire d'un projectile dans le champ de pesanteur</text> </svg> ``` --- ## III. Mouvement de particules chargées dans des champs magnétiques et/ou électriques uniformes ### III.1. Force de Lorentz Une particule de charge $q$ se déplaçant avec une vitesse $\vec{v}$ dans une région où règnent un champ électrique $\vec{E}$ et un champ magnétique $\vec{B}$ subit la **force de Lorentz** : $$ \vec{F} = q \vec{E} + q \vec{v} \wedge \vec{B} $$ Le premier terme $q\vec{E}$ est la **force électrique** (ou force de Coulomb), le second $q\vec{v} \wedge \vec{B}$ est la **force magnétique** (ou force de Laplace). > **À retenir** : La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse et au champ magnétique. Elle ne travaille jamais : elle ne modifie que la direction de la vitesse, pas sa norme. ### III.2. Mouvement dans un champ électrique uniforme Considérons une particule de charge $q$ et de masse $m$ pénétrant avec une vitesse initiale $\vec{v}_0$ dans une région où règne un champ électrique uniforme $\vec{E}$. **Application de la deuxième loi de Newton** : $$ m \vec{a} = q \vec{E} \quad \Longrightarrow \quad \vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E} $$ L'accélération est constante. Le mouvement est donc **uniformément accéléré**, analogue au mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur, avec $\vec{g}$ remplacé par $\frac{q}{m}\vec{E}$. **Cas particulier** : champ électrique $\vec{E} = E \vec{k}$ (vertical) et vitesse initiale $\vec{v}_0 = v_0 \vec{i}$ (horizontale). Les équations du mouvement sont : $$ a_x = 0, \quad a_y = 0, \quad a_z = \frac{q E}{m} $$ $$ v_x = v_0, \quad v_y = 0, \quad v_z = \frac{q E}{m} t $$ $$ x = v_0 t, \quad y = 0, \quad z = \frac{q E}{2m} t^2 $$ La trajectoire est une **parabole** dans le plan $xOz$ : $$ z = \frac{q E}{2 m v_0^2} x^2 $$ > **À retenir** : Dans un champ électrique uniforme, une particule chargée suit une trajectoire parabolique, analogue à celle d'un projectile dans le champ de pesanteur. La déviation dépend du rapport $q/m$ (charge sur masse). ### III.3. Exemple numérique : déviation d'un électron dans un champ électrique **Énoncé** : Un électron ($q = -1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$, $m = 9{,}11 \times 10^{-31} \text{ kg}$) pénètre avec une vitesse $v_0 = 2{,}0 \times 10^7 \text{ m·s}^{-1}$ dans un champ électrique uniforme $\vec{E} = 5{,}0 \times 10^3 \text{ V·m}^{-1}$ dirigé vers le haut, sur une distance horizontale $L = 5{,}0 \text{ cm}$. **Question** : Calculer la déviation verticale de l'électron à la sortie du champ. **Solution** : L'accélération verticale de l'électron : $$ a_z = \frac{q E}{m} = \frac{-1{,}60 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^3}{9{,}11 \times 10^{-31}} = -8{,}78 \times 10^{14} \text{ m·s}^{-2} $$ Le signe négatif indique que l'accélération est dirigée vers le bas (l'électron est dévié vers le bas, car sa charge est négative). Le temps de traversée du champ : $$ t = \frac{L}{v_0} = \frac{0{,}050}{2{,}0 \times 10^7} = 2{,}5 \times 10^{-9} \text{ s} $$ La déviation verticale : $$ z = \frac{1}{2} a_z t^2 = \frac{1}{2} \times (-8{,}78 \times 10^{14}) \times (2{,}5 \times 10^{-9})^2 = -2{,}74 \times 10^{-3} \text{ m} = -2{,}74 \text{ mm} $$ L'électron est dévié de $2{,}74 \text{ mm}$ vers le bas. ### III.4. Mouvement dans un champ magnétique uniforme Considérons une particule de charge $q$ et de masse $m$ se déplaçant avec une vitesse $\vec{v}$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$. La force magnétique est : $$ \vec{F} = q \vec{v} \wedge \vec{B} $$ Cette force est toujours perpendiculaire à la vitesse : elle ne travaille pas, donc l'énergie cinétique (et la norme de la vitesse) reste constante. La force magnétique agit comme une force centripète. **Application de la deuxième loi de Newton** : $$ m \vec{a} = q \vec{v} \wedge \vec{B} $$ **Cas particulier** : $\vec{v} \perp \vec{B}$. La trajectoire est un **cercle** dans le plan perpendiculaire à $\vec{B}$. Le rayon de courbure (rayon de Larmor ou rayon cyclotron) s'obtient en écrivant : $$ m \frac{v^2}{R} = |q| v B $$ D'où : $$ R = \frac{m v}{|q| B} $$ La **période de révolution** (période cyclotron) : $$ T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi m}{|q| B} $$ La **pulsation cyclotron** : $$ \omega_c = \frac{2 \pi}{T} = \frac{|q| B}{m} $$ > **À retenir** : Dans un champ magnétique uniforme, une particule chargée dont la vitesse est perpendiculaire au champ décrit un mouvement circulaire uniforme de rayon $R = \frac{mv}{|q|B}$ et de période $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$, indépendante de la vitesse. ### III.5. Cas général : mouvement hélicoïdal Si la vitesse initiale fait un angle $\theta$ avec le champ magnétique, on décompose la vitesse en : - Composante parallèle au champ : $v_{\parallel} = v \cos \theta$ — mouvement rectiligne uniforme - Composante perpendiculaire au champ : $v_{\perp} = v \sin \theta$ — mouvement circulaire uniforme La trajectoire résultante est une **hélice** de rayon $R = \frac{m v_{\perp}}{|q| B}$ et de pas : $$ p = v_{\parallel} T = \frac{2 \pi m v \cos \theta}{|q| B} $$ ### III.6. Schéma : mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique ```onbuch-svg <svg width="600" height="350" viewBox="0 0 600 350" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Fond --> <rect width="600" height="350" fill="#f0f4f8"/> <!-- Champ magnétique (croix = entrant) --> <g fill="#1976d2"> <text x="100" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="150" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="200" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="250" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="300" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="350" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="400" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="450" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="500" y="60" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="100" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="150" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="200" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="250" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="300" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="350" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="400" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="450" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="500" y="120" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="100" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="150" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="200" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="250" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="300" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="350" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="400" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="450" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> <text x="500" y="180" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">×</text> </g> <!-- Trajectoire circulaire --> <circle cx="300" cy="150" r="80" stroke="#d32f2f" stroke-width="3" fill="none"/> <!-- Point d'entrée --> <circle cx="220" cy="150" r="5" fill="#2e7d32"/> <text x="200" y="140" font-size="12" fill="#2e7d32">Entrée</text> <!-- Vecteur vitesse à l'entrée --> <line x1="220" y1="150" x2="260" y2="150" stroke="#2e7d32" stroke-width="2.5" marker-end="url(#arrowGreen2)"/> <text x="240" y="140" font-size="12" fill="#2e7d32" font-style="italic">v</text> <!-- Force magnétique --> <line x1="220" y1="150" x2="220" y2="110" stroke="#ff6f00" stroke-width="2.5" marker-end="url(#arrowOrange)"/> <text x="225" y="105" font-size="12" fill="#ff6f00" font-style="italic">F = q v ∧ B</text> <!-- Centre du cercle --> <circle cx="300" cy="150" r="3" fill="#333"/> <text x="305" y="145" font-size="12" fill="#333">O</text> <!-- Rayon --> <line x1="300" y1="150" x2="300" y2="70" stroke="#333" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,4"/> <text x="305" y="100" font-size="12" fill="#333" font-style="italic">R = mv/(|q|B)</text> <!-- Définition flèches --> <defs> <marker id="arrowGreen2" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="#2e7d32"/> </marker> <marker id="arrowOrange" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="#ff6f00"/> </marker> </defs> <!-- Label champ --> <text x="100" y="220" font-size="14" fill="#1976d2" font-weight="bold">Champ magnétique B entrant dans le plan (⊗)</text> <!-- Titre --> <text x="120" y="30" font-size="16" fill="#333" font-weight="bold">Mouvement circulaire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme</text> </svg> ``` ### III.7. Mouvement dans des champs électrique et magnétique croisés Lorsqu'une particule chargée est soumise simultanément à un champ électrique $\vec{E}$ et à un champ magnétique $\vec{B}$ perpendiculaires entre eux, la force totale est : $$ \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) $$ **Filtre de vitesse** : si on choisit $\vec{E} \perp \vec{B}$, il existe une vitesse particulière pour laquelle la force totale est nulle : $$ q\vec{E} + q\vec{v} \wedge \vec{B} = \vec{0} $$ En prenant $\vec{E} = E \vec{j}$ et $\vec{B} = B \vec{k}$, avec $\vec{v} = v \vec{i}$ : $$ q E \vec{j} + q (v \vec{i} \wedge B \vec{k}) = q E \vec{j} - q v B \vec{j} = q (E - v B) \vec{j} = \vec{0} $$ D'où la condition : $$ v = \frac{E}{B} $$ > **À retenir** : Dans un filtre de vitesse (champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ croisés), seules les particules ayant la vitesse $v = E/B$ ne sont pas déviées. C'est le principe du spectromètre de masse. ### III.8. Exemple numérique : spectromètre de masse **Énoncé** : Dans un spectromètre de masse, des ions $^{12}\text{C}^+$ (masse $m = 1{,}99 \times 10^{-26} \text{ kg}$, charge $q = +1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$) traversent un filtre de vitesse où $E = 3{,}0 \times 10^4 \text{ V·m}^{-1}$ et $B = 0{,}15 \text{ T}$. Ils pénètrent ensuite dans une chambre où règne un champ magnétique $B' = 0{,}30 \text{ T}$. **Questions** : 1. Calculer la vitesse des ions à la sortie du filtre. 2. Calculer le rayon de leur trajectoire dans la chambre magnétique. **Solution** : 1. **Vitesse après le filtre** : $$ v = \frac{E}{B} = \frac{3{,}0 \times 10^4}{0{,}15} = 2{,}0 \times 10^5 \text{ m·s}^{-1} $$ 2. **Rayon de la trajectoire** : $$ R = \frac{m v}{|q| B'} = \frac{1{,}99 \times 10^{-26} \times 2{,}0 \times 10^5}{1{,}60 \times 10^{-19} \times 0{,}30} = \frac{3{,}98 \times 10^{-21}}{4{,}80 \times 10^{-20}} = 0{,}0829 \text{ m} \approx 8{,}3 \text{ cm} $$ Le rayon de courbure est d'environ $8{,}3 \text{ cm}$. ### III.9. Application : cyclotron Le cyclotron est un accélérateur de particules qui utilise un champ magnétique uniforme pour courber la trajectoire des particules et un champ électrique alternatif pour les accélérer à chaque demi-tour. La période du champ électrique doit être synchronisée avec la période cyclotron : $$ T = \frac{2 \pi m}{|q| B} $$ L'énergie cinétique maximale acquise par une particule de charge $q$ accélérée sous une tension $U$ à chaque passage est : $$ E_c = n |q| U $$ où $n$ est le nombre de passages dans la zone d'accélération. > **À retenir** : Le cyclotron exploite l'indépendance de la période cyclotron vis-à-vis de la vitesse pour accélérer des particules chargées jusqu'à des énergies élevées. --- ## Conclusion Les trois lois de Newton constituent le socle de la mécanique classique et permettent d'analyser une grande variété de situations physiques : 1. **La conservation de l'énergie mécanique** dans les systèmes isolés découle directement du théorème de l'énergie cinétique et du caractère conservatif des forces internes. Elle fournit une méthode puissante pour relier positions et vitesses sans intégrer les équations différentielles du mouvement. 2. **Le mouvement dans un champ de gravitation** — qu'il s'agisse du champ de pesanteur terrestre uniforme ou du champ gravitationnel newtonien — conduit à des trajectoires paraboliques (projectiles) ou elliptiques/circulaires (satellites, planètes). Les notions de vitesse de satellisation et de vitesse de libération sont essentielles pour l'astronautique. 3. **Le mouvement des particules chargées** dans des champs électriques et magnétiques uniformes obéit également aux lois de Newton via la force de Lorentz. Les trajectoires paraboliques (champ électrique) et circulaires (champ magnétique) sont à la base de nombreux instruments : oscilloscopes, spectromètres de masse, accélérateurs de particules. Ces trois domaines d'application illustrent l'universalité des lois de Newton : qu'il s'agisse d'un projectile lancé sur Terre, d'un satellite en orbite autour d'une planète, ou d'un électron dans un accélérateur, les mêmes principes fondamentaux s'appliquent. La maîtrise de ces concepts est indispensable pour la poursuite d'études scientifiques et pour la compréhension des technologies modernes.