Interaction gravitationnelle

# Interaction gravitationnelle ## Introduction L'interaction gravitationnelle est l'une des quatre interactions fondamentales de la nature. Elle régit le mouvement des planètes autour du Soleil, de la Lune autour de la Terre, ainsi que la chute des corps sur Terre. Historiquement, c'est Isaac Newton qui, au XVIIe siècle, a formulé la loi de l'attraction universelle, unifiant la physique terrestre et la physique céleste. Ce chapitre vise à établir l'expression de la force de gravitation entre deux corps massifs, à énoncer la loi de Newton, puis à introduire la notion de champ de gravitation, outil essentiel pour décrire l'influence d'une masse sur l'espace qui l'entoure. --- ## I. Force de gravitation ### I.1. Mise en évidence expérimentale et observations L'observation courante montre que tout objet lancé verticalement retombe au sol. La Lune, quant à elle, tourne autour de la Terre sans s'en éloigner ni s'en rapprocher. Newton a compris que ces deux phénomènes relèvent de la même cause : une force attractive exercée par la Terre sur les objets qui l'entourent, et réciproquement. L'expérience de Cavendish (1798), réalisée avec une balance de torsion, a permis de mesurer directement la force d'attraction entre deux masses sphériques de plomb. Cette expérience confirme que deux corps massifs quelconques s'attirent mutuellement, même en l'absence de contact. ### I.2. Caractéristiques de la force de gravitation Considérons deux corps ponctuels $A$ et $B$, de masses respectives $m_A$ et $m_B$, séparés par une distance $d$. Le corps $A$ exerce sur le corps $B$ une force notée $\vec{F}_{A/B}$. Les caractéristiques de cette force sont les suivantes : - **Point d'application** : le centre de gravité du corps $B$ (pour des corps à répartition sphérique de masse, le centre de la sphère). - **Direction** : la droite joignant les centres des deux corps. - **Sens** : du corps $B$ vers le corps $A$ (force attractive). - **Intensité** : proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance. L'intensité de la force s'exprime par la relation : $$F_{A/B} = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2}$$ où $G$ est la constante universelle de gravitation. ### I.3. Constante universelle de gravitation La constante $G$ a été mesurée pour la première fois par Henry Cavendish. Sa valeur est : $$G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$$ Cette constante est universelle : elle ne dépend ni des corps considérés, ni du milieu, ni de la position dans l'univers. > **À retenir** : La force de gravitation entre deux corps ponctuels de masses $m_A$ et $m_B$ séparés par une distance $d$ a pour intensité : > $$F = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2}$$ > avec $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$. ### I.4. Expression vectorielle de la force Soit $\vec{u}_{AB}$ le vecteur unitaire dirigé de $A$ vers $B$. La force exercée par $A$ sur $B$ s'écrit : $$\vec{F}_{A/B} = -G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \cdot \vec{u}_{AB}$$ Le signe négatif indique que la force est attractive, c'est-à-dire dirigée de $B$ vers $A$, donc opposée au vecteur $\vec{u}_{AB}$. D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) : $$\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}$$ ### I.5. Cas des corps à symétrie sphérique Pour des corps dont la masse est répartie uniformément ou à symétrie sphérique (planètes, étoiles, boules homogènes), on peut les assimiler à des points matériels situés en leur centre. La distance $d$ est alors la distance entre les centres des deux sphères. > **À retenir** : Pour deux corps à répartition sphérique de masse, la distance $d$ intervenant dans la loi de gravitation est la distance entre leurs centres. ### I.6. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Deux sphères homogènes de masses $m_1 = 5{,}0 \times 10^3 \, \text{kg}$ et $m_2 = 8{,}0 \times 10^3 \, \text{kg}$ ont leurs centres distants de $d = 2{,}0 \, \text{m}$. Calculer l'intensité de la force de gravitation entre elles. **Résolution** : Appliquons la loi de gravitation : $$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$$ $$F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}0 \times 10^3 \times 8{,}0 \times 10^3}{(2{,}0)^2}$$ $$F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{4{,}0 \times 10^7}{4{,}0}$$ $$F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 10^7$$ $$F = 6{,}67 \times 10^{-4} \, \text{N}$$ **Réponse** : L'intensité de la force de gravitation est $F = 6{,}7 \times 10^{-4} \, \text{N}$. --- ## II. Loi de l'attraction universelle (loi de Newton) ### II.1. Énoncé de la loi La loi de l'attraction universelle, énoncée par Isaac Newton en 1687 dans ses *Principia*, s'énonce ainsi : > **À retenir** : Deux corps ponctuels $A$ et $B$, de masses $m_A$ et $m_B$, séparés par une distance $d$, exercent l'un sur l'autre des forces attractives de même intensité, dirigées selon la droite qui les joint, et dont l'intensité est : > $$F = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2}$$ > avec $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$. Cette loi est dite "universelle" car elle s'applique à tous les corps massifs de l'Univers, qu'ils soient terrestres ou célestes, quelle que soit leur taille ou leur composition. ### II.2. Conditions de validité La loi de Newton s'applique rigoureusement dans les cas suivants : 1. **Corps ponctuels** : les dimensions des corps sont négligeables devant la distance qui les sépare. 2. **Corps à symétrie sphérique** : la masse est répartie de manière sphérique (cas des planètes, étoiles, boules homogènes). On peut alors les traiter comme des points matériels situés en leur centre. 3. **Corps étendus** : pour des corps de forme quelconque, il faut décomposer chaque corps en éléments infinitésimaux et sommer les contributions élémentaires (intégration). ### II.3. Propriétés de la force de gravitation - **Force à distance** : elle s'exerce sans contact entre les corps, à travers le vide. - **Force conservative** : le travail de la force de gravitation ne dépend pas du chemin suivi, uniquement des positions initiale et finale. On peut lui associer une énergie potentielle de gravitation. - **Force centrale** : sa direction passe toujours par le centre de l'autre corps. - **Force newtonienne** : son intensité varie en $1/d^2$. ### II.4. Application au poids d'un corps Le poids d'un corps de masse $m$ à la surface de la Terre est la force de gravitation exercée par la Terre sur ce corps. En assimilant la Terre à une sphère homogène de masse $M_T$ et de rayon $R_T$, on a : $$P = G \cdot \frac{M_T \cdot m}{R_T^2}$$ Or, par définition du poids : $P = m \cdot g$, où $g$ est l'intensité de la pesanteur. On en déduit : $$g = G \cdot \frac{M_T}{R_T^2}$$ **Application numérique** : avec $M_T = 5{,}98 \times 10^{24} \, \text{kg}$ et $R_T = 6{,}38 \times 10^6 \, \text{m}$ : $$g = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}98 \times 10^{24}}{(6{,}38 \times 10^6)^2}$$ $$g = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}98 \times 10^{24}}{4{,}07 \times 10^{13}}$$ $$g = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}47 \times 10^{11}$$ $$g = 9{,}8 \, \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$$ On retrouve bien la valeur connue de l'intensité de la pesanteur terrestre. > **À retenir** : L'intensité de la pesanteur à la surface d'une planète de masse $M$ et de rayon $R$ est : > $$g = G \cdot \frac{M}{R^2}$$ ### II.5. Variation de la force avec l'altitude À une altitude $h$ au-dessus de la surface de la Terre, la distance au centre de la Terre est $d = R_T + h$. L'intensité de la force de gravitation devient : $$F = G \cdot \frac{M_T \cdot m}{(R_T + h)^2}$$ L'intensité de la pesanteur à l'altitude $h$ est donc : $$g(h) = G \cdot \frac{M_T}{(R_T + h)^2} = g_0 \cdot \frac{R_T^2}{(R_T + h)^2}$$ où $g_0$ est l'intensité de la pesanteur au niveau du sol. ### II.6. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Un satellite de masse $m = 500 \, \text{kg}$ orbite à une altitude $h = 400 \, \text{km}$ au-dessus de la surface de la Terre. Calculer l'intensité de la force de gravitation exercée par la Terre sur ce satellite. Données : $M_T = 5{,}98 \times 10^{24} \, \text{kg}$, $R_T = 6{,}38 \times 10^6 \, \text{m}$, $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$. **Résolution** : La distance entre le centre de la Terre et le satellite est : $$d = R_T + h = 6{,}38 \times 10^6 + 400 \times 10^3 = 6{,}78 \times 10^6 \, \text{m}$$ L'intensité de la force est : $$F = G \cdot \frac{M_T \cdot m}{d^2}$$ $$F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}98 \times 10^{24} \times 500}{(6{,}78 \times 10^6)^2}$$ $$F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{2{,}99 \times 10^{27}}{4{,}60 \times 10^{13}}$$ $$F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 6{,}50 \times 10^{13}$$ $$F = 4{,}34 \times 10^3 \, \text{N}$$ **Réponse** : L'intensité de la force de gravitation est $F = 4{,}3 \times 10^3 \, \text{N}$. --- ## III. Champ de gravitation ### III.1. Notion de champ La notion de champ permet de décrire l'influence d'un corps sur l'espace qui l'entoure sans avoir à considérer directement l'interaction entre deux corps. On dit qu'une masse $M$ crée en tout point de l'espace un champ de gravitation. Le champ de gravitation en un point $P$ de l'espace est défini comme la force de gravitation qui s'exercerait sur une masse unité placée en ce point. ### III.2. Vecteur champ de gravitation Soit une masse ponctuelle $M$ située en un point $O$. En un point $P$ situé à la distance $r$ de $O$, le vecteur champ de gravitation est défini par : $$\vec{\mathcal{G}}(P) = \frac{\vec{F}_{O/P}}{m}$$ où $m$ est la masse du corps placé en $P$ et $\vec{F}_{O/P}$ la force exercée par $O$ sur ce corps. En utilisant la loi de gravitation : $$\vec{\mathcal{G}}(P) = -G \cdot \frac{M}{r^2} \cdot \vec{u}_{OP}$$ où $\vec{u}_{OP}$ est le vecteur unitaire dirigé de $O$ vers $P$. > **À retenir** : Le vecteur champ de gravitation créé par une masse ponctuelle $M$ à la distance $r$ est : > $$\vec{\mathcal{G}}(P) = -G \cdot \frac{M}{r^2} \cdot \vec{u}_{OP}$$ > Son intensité est : > $$\mathcal{G} = G \cdot \frac{M}{r^2}$$ ### III.3. Caractéristiques du vecteur champ de gravitation - **Direction** : la droite joignant le centre de la masse créant le champ au point considéré. - **Sens** : vers la masse créant le champ (champ attractif). - **Intensité** : exprimée en newton par kilogramme ($\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$), unité équivalente au $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$. ### III.4. Champ de gravitation terrestre Pour la Terre, assimilée à une sphère homogène de masse $M_T$ et de rayon $R_T$, le champ de gravitation à une altitude $h$ a pour intensité : $$\mathcal{G}(h) = G \cdot \frac{M_T}{(R_T + h)^2}$$ À la surface de la Terre ($h = 0$) : $$\mathcal{G}_0 = G \cdot \frac{M_T}{R_T^2} = g_0$$ Le champ de gravitation terrestre au niveau du sol est donc identique à l'intensité de la pesanteur : $\mathcal{G}_0 = g_0 = 9{,}8 \, \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$. > **À retenir** : Le champ de gravitation terrestre à la surface de la Terre est : > $$\mathcal{G}_0 = G \cdot \frac{M_T}{R_T^2} = g_0 = 9{,}8 \, \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$$ ### III.5. Champ de gravitation créé par plusieurs masses Le champ de gravitation résultant en un point $P$ créé par plusieurs masses $M_1, M_2, \ldots, M_n$ est la somme vectorielle des champs individuels : $$\vec{\mathcal{G}}(P) = \sum_{i=1}^{n} \vec{\mathcal{G}}_i(P) = \sum_{i=1}^{n} \left(-G \cdot \frac{M_i}{r_i^2} \cdot \vec{u}_i\right)$$ où $r_i$ est la distance entre la masse $M_i$ et le point $P$, et $\vec{u}_i$ le vecteur unitaire dirigé de $M_i$ vers $P$. Ce principe de superposition est fondamental pour l'étude des systèmes à plusieurs corps. ### III.6. Lignes de champ Les lignes de champ de gravitation sont les courbes tangentes en chaque point au vecteur champ de gravitation. Pour une masse ponctuelle, ce sont des droites convergeant vers la masse. Pour la Terre, les lignes de champ sont radiales et dirigées vers le centre de la Terre. ```onbuch-svg <svg width="400" height="300" viewBox="0 0 400 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Fond --> <rect width="400" height="300" fill="#f8f9fa"/> <!-- Lignes de champ (rayons convergeant vers le centre) --> <line x1="200" y1="150" x2="200" y2="20" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="200" y1="150" x2="200" y2="280" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="200" y1="150" x2="30" y2="150" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="200" y1="150" x2="370" y2="150" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="200" y1="150" x2="80" y2="30" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="200" y1="150" x2="320" y2="30" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="200" y1="150" x2="80" y2="270" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="200" y1="150" x2="320" y2="270" stroke="#dc3545" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <!-- Définition de la flèche --> <defs> <marker id="fleche" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="#dc3545"/> </marker> </defs> <!-- Masse centrale (Terre) --> <circle cx="200" cy="150" r="30" fill="#0d6efd" stroke="#0a58ca" stroke-width="2"/> <text x="200" y="155" text-anchor="middle" fill="white" font-size="14" font-weight="bold">Terre</text> <!-- Point P exemple --> <circle cx="320" cy="30" r="4" fill="#212529"/> <text x="330" y="25" font-size="12" fill="#212529">P</text> <!-- Vecteur champ au point P --> <line x1="320" y1="30" x2="280" y2="80" stroke="#198754" stroke-width="3" marker-end="url(#flecheVert)"/> <defs> <marker id="flecheVert" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="#198754"/> </marker> </defs> <text x="270" y="55" font-size="12" fill="#198754" font-weight="bold">G(P)</text> <!-- Légende --> <text x="30" y="295" font-size="11" fill="#6c757d">Lignes de champ de gravitation terrestre</text> </svg> ``` ### III.7. Relation entre champ de gravitation et force La force de gravitation exercée sur un corps de masse $m$ placé dans un champ de gravitation $\vec{\mathcal{G}}$ est : $$\vec{F} = m \cdot \vec{\mathcal{G}}$$ Cette relation est l'analogue de $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ pour le poids. > **À retenir** : La force de gravitation subie par un corps de masse $m$ placé dans un champ de gravitation $\vec{\mathcal{G}}$ est : > $$\vec{F} = m \cdot \vec{\mathcal{G}}$$ ### III.8. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Calculer l'intensité du champ de gravitation créé par la Terre à une altitude de $h = 200 \, \text{km}$. Données : $M_T = 5{,}98 \times 10^{24} \, \text{kg}$, $R_T = 6{,}38 \times 10^6 \, \text{m}$, $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$. **Résolution** : La distance au centre de la Terre est : $$r = R_T + h = 6{,}38 \times 10^6 + 200 \times 10^3 = 6{,}58 \times 10^6 \, \text{m}$$ L'intensité du champ est : $$\mathcal{G} = G \cdot \frac{M_T}{r^2}$$ $$\mathcal{G} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}98 \times 10^{24}}{(6{,}58 \times 10^6)^2}$$ $$\mathcal{G} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}98 \times 10^{24}}{4{,}33 \times 10^{13}}$$ $$\mathcal{G} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}38 \times 10^{11}$$ $$\mathcal{G} = 9{,}21 \, \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$$ **Réponse** : L'intensité du champ de gravitation à 200 km d'altitude est $\mathcal{G} = 9{,}2 \, \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$. --- ## Conclusion L'interaction gravitationnelle, régie par la loi de l'attraction universelle de Newton, est une interaction fondamentale qui s'exerce entre tous les corps massifs. La force de gravitation entre deux corps est attractive, proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. La notion de champ de gravitation permet de décrire l'influence d'une masse sur l'espace environnant : toute masse $M$ crée en tout point de l'espace un champ $\vec{\mathcal{G}}$ dont l'intensité décroît avec le carré de la distance. Ce formalisme est essentiel pour comprendre le mouvement des planètes, des satellites et des objets terrestres. Il constitue également la base de la théorie de la relativité générale d'Einstein, qui généralise la description newtonienne en interprétant la gravitation comme une courbure de l'espace-temps.