Calculs topographiques (partie 2/3)

## Notion d’astronomie ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la notion d'astronomie. La topographie est une discipline qui s'intéresse à la mesure et à la représentation de la surface de la Terre. Pour réaliser ces mesures avec précision et pour s'orienter, les topographes ont souvent recours aux astres. L'astronomie, l'étude des corps célestes, fournit les bases nécessaires pour comprendre le mouvement du Soleil, des étoiles et d'autres objets célestes, qui sont essentiels pour la détermination de positions, d'orientations et de l'heure sur Terre. Cette leçon vous introduira aux concepts fondamentaux de l'astronomie appliqués à la topographie. ### Concepts Clés #### La Terre dans l'Univers La Terre est notre point de référence. Comprendre ses mouvements est crucial pour l'astronomie et la topographie. * **Rotation:** La Terre tourne sur elle-même autour de son axe polaire en environ 24 heures. Ce mouvement est responsable de l'alternance jour/nuit et du mouvement apparent des astres dans le ciel. * **Révolution:** La Terre tourne autour du Soleil en environ 365 jours. Ce mouvement est responsable des saisons et de la variation de la position du Soleil dans le ciel au cours de l'année. #### La Sphère Céleste Pour simplifier l'étude des astres, on imagine souvent une **sphère céleste** : une sphère imaginaire de rayon infini sur laquelle tous les corps célestes semblent projetés, avec la Terre en son centre. Bien que les distances réelles des astres soient différentes, cette représentation est très utile pour étudier leurs positions et mouvements apparents. * **Pôles Célestes:** Prolongements de l'axe de rotation de la Terre dans la sphère céleste. Le pôle Nord céleste est proche de l'étoile Polaire. * **Équateur Céleste:** Projection de l'équateur terrestre sur la sphère céleste. * **Zénith et Nadir:** Le **Zénith** est le point de la sphère céleste directement au-dessus de l'observateur. Le **Nadir** est le point diamétralement opposé, sous l'observateur. * **Horizon Céleste:** Le plan tangent à la Terre passant par l'observateur, séparant la partie visible de la sphère céleste de la partie invisible. #### Systèmes de Coordonnées Célestes Pour localiser un astre sur la sphère céleste, on utilise des systèmes de coordonnées, similaires aux latitudes et longitudes sur Terre. * **Coordonnées Horizontales (ou Azimutales):** Liées à la position de l'observateur. * **Azimut (A):** Angle mesuré sur l'horizon depuis le Nord (ou le Sud selon la convention) vers l'Est, de 0° à 360°. * **Hauteur (h):** Angle vertical mesuré depuis l'horizon vers le Zénith, de 0° à 90°. Parfois, on utilise la **distance zénithale (z)**, \[ z = 90° - h \]. * **Coordonnées Équatoriales:** Basées sur l'équateur céleste, indépendantes de la position de l'observateur et du temps. * **Déclinaison (\(\delta\)):** Angle mesuré depuis l'équateur céleste vers les pôles célestes, de -90° (pôle Sud) à +90° (pôle Nord). * **Ascension Droite (\(\alpha\)):** Angle mesuré sur l'équateur céleste depuis le point vernal (point \(\gamma\), intersection de l'équateur céleste et de l'écliptique) vers l'Est, de 0h à 24h (ou 0° à 360°). * **Coordonnées Horaires:** Combinaison des coordonnées équatoriales et du temps local de l'observateur. * **Angle Horaire (H):** Angle mesuré sur l'équateur céleste depuis le méridien supérieur de l'observateur jusqu'à l'astre, vers l'Ouest, de 0h à 24h (ou 0° à 360°). Il est lié au temps sidéral local (TSL) et à l'ascension droite par \[ H = TSL - \alpha \]. #### Mouvement Apparent des Astres En raison de la rotation de la Terre, les astres semblent se déplacer dans le ciel d'Est en Ouest. * **Lever et Coucher:** Un astre se lève à l'Est et se couche à l'Ouest. La hauteur de sa trajectoire varie avec la déclinaison de l'astre et la latitude de l'observateur. * **Culmination:** Le moment où un astre atteint sa hauteur maximale au-dessus de l'horizon, en traversant le méridien céleste de l'observateur. C'est un point clé pour les observations topographiques. #### Le Temps en Astronomie Le temps est une notion fondamentale en astronomie et topographie. * **Temps Solaire:** Basé sur le mouvement apparent du Soleil. Le **Temps Solaire Vrai** est irrégulier. Le **Temps Solaire Moyen** est un temps régulier, celui de nos horloges civiles. * **Temps Sidéral:** Basé sur le mouvement apparent des étoiles. Il est utilisé pour les calculs de position des étoiles. Un jour sidéral est plus court qu'un jour solaire. * **Relation entre Temps Sidéral et Angle Horaire:** L'angle horaire d'un astre est la différence entre le temps sidéral local et l'ascension droite de l'astre. C'est une relation fondamentale pour la détermination de l'heure et de la longitude. ### Vocabulaire * **Sphère Céleste:** Sphère imaginaire sur laquelle les astres sont projetés. * **Zénith:** Point de la sphère céleste directement au-dessus de l'observateur. * **Nadir:** Point de la sphère céleste directement sous l'observateur. * **Équateur Céleste:** Projection de l'équateur terrestre sur la sphère céleste. * **Pôles Célestes:** Points où l'axe de rotation de la Terre perce la sphère céleste. * **Méridien Céleste:** Grand cercle de la sphère céleste passant par les pôles célestes et le zénith de l'observateur. * **Horizon Céleste:** Grand cercle de la sphère céleste délimitant la partie visible du ciel. * **Culmination:** Passage d'un astre au méridien céleste, atteignant sa hauteur maximale. * **Déclinaison (\(\delta\)):** Coordonnée céleste équatoriale verticale d'un astre. * **Ascension Droite (\(\alpha\)):** Coordonnée céleste équatoriale horizontale d'un astre. * **Angle Horaire (H):** Coordonnée céleste horaire mesurant le décalage angulaire d'un astre par rapport au méridien de l'observateur. * **Azimut Astronomique:** Angle horizontal mesuré depuis le Nord (ou Sud) géographique jusqu'à la projection verticale d'un astre sur l'horizon. ### Exemples 1. **Orientation par l'étoile Polaire:** En France métropolitaine, l'étoile Polaire (située très près du pôle Nord céleste) indique approximativement la direction du Nord géographique. En observant sa position dans le ciel, on peut s'orienter grossièrement. Pour une précision topographique, des mesures angulaires sont nécessaires. 2. **Détermination de l'Azimut Solaire:** À l'aide d'un théodolite et de l'heure exacte, on peut observer le Soleil pour déterminer l'azimut d'une direction terrestre. En mesurant la hauteur du Soleil (h) et son azimut (A) à un instant précis, et connaissant la déclinaison du Soleil (\(\delta\)) pour ce jour et l'heure, ainsi que la latitude (\(\phi\)) du lieu d'observation, on peut calculer l'azimut astronomique. La formule fondamentale est : \[ \cos(z) = \sin(\phi) \sin(\delta) + \cos(\phi) \cos(\delta) \cos(H) \] où \( z \) est la distance zénithale (\( 90° - h \)) et \( H \) est l'angle horaire du Soleil. Des formules plus spécifiques existent pour l'azimut. ### Exercices 1. Définissez la sphère céleste et expliquez son utilité en astronomie et topographie. 2. Quelle est la différence entre le Zénith et le Nadir ? 3. Expliquez pourquoi le mouvement apparent des astres dans le ciel s'effectue d'Est en Ouest. 4. Si vous observez une étoile au-dessus de votre horizon, quelle est la coordonnée horizontale qui vous indique sa hauteur ? 5. Qu'est-ce que la culmination d'un astre ? Pourquoi est-elle importante pour un topographe ? ### Devoir à la maison 1. Recherchez la différence entre un jour sidéral et un jour solaire. Quelle est la durée exacte de chacun ? 2. Identifiez au moins deux étoiles (autres que l'étoile Polaire) ou constellations qui peuvent être utilisées pour l'orientation ou la détermination de l'heure et la période de l'année où elles sont les plus visibles dans votre région. 3. En utilisant une application de carte céleste (sur smartphone ou ordinateur), identifiez la position de Jupiter ou Saturne dans le ciel nocturne de votre localité à une heure donnée. Notez son azimut et sa hauteur approximatifs. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les notions fondamentales de l'astronomie et leur pertinence pour la topographie. Nous avons vu que la rotation de la Terre est responsable du mouvement apparent des astres sur la sphère céleste imaginaire. Des systèmes de coordonnées spécifiques (horizontales, équatoriales, horaires) nous permettent de localiser ces astres. La compréhension du lever, du coucher et de la culmination des astres, ainsi que des différents types de temps (solaire, sidéral), est essentielle. En topographie, ces connaissances sont utilisées pour des applications pratiques comme la détermination précise de l'azimut (orientation) et de la position géographique. L'astronomie fournit les outils célestes nécessaires à la précision de nos mesures terrestres. ## Activités d'intégration ### Introduction Bienvenue à cette séance d'activités d'intégration en topographie! L'objectif de cette leçon est de réviser et d'appliquer les concepts fondamentaux des calculs topographiques que nous avons étudiés précédemment. Nous allons mettre en pratique nos connaissances pour résoudre des problèmes concrets, consolidant ainsi notre compréhension des gisements, des distances, des altitudes et des coordonnées. Préparez-vous à revoir les formules clés et à les utiliser dans divers scénarios. ### Concepts Clés #### Rappels sur les Coordonnées Topographiques En topographie, nous utilisons différents types de coordonnées pour localiser des points sur le terrain. ##### Coordonnées Planimétriques (X, Y) Elles définissent la position horizontale d'un point sur un plan. Traditionnellement, l'axe des X représente l'Est et l'axe des Y représente le Nord. * **Calcul de la distance (D) entre deux points \( P_1(X_1, Y_1) \) et \( P_2(X_2, Y_2) \):** La distance horizontale \( D_{12} \) est calculée à l'aide du théorème de Pythagore: \[ D_{12} = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2} \] ##### Coordonnées Altimétriques (Z) Elles définissent la hauteur ou l'altitude d'un point par rapport à une surface de référence (par exemple, le niveau de la mer). #### Calcul du Gisement et de l'Angle Horizontal ##### Gisement (G) Le gisement d'une direction est l'angle mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord géographique (axe Y positif) jusqu'à cette direction. Il est exprimé en grades (gr). * **Calcul du gisement \( G_{12} \) entre deux points \( P_1(X_1, Y_1) \) et \( P_2(X_2, Y_2) \):** Nous calculons d'abord les différences de coordonnées: \[ \Delta X = X_2 - X_1 \] \[ \Delta Y = Y_2 - Y_1 \] Le gisement est déterminé par la fonction arctangente, en tenant compte du quadrant dans lequel se situe la direction: \( \tan G_{12} = \frac{\Delta X}{\Delta Y} \) Soit \( \alpha = |\arctan(\frac{\Delta X}{\Delta Y})| \) (en considérant la valeur absolue et en convertissant en grades). * Si \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y > 0 \) (1er quadrant): \( G_{12} = \alpha \) * Si \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \) (2e quadrant): \( G_{12} = 200 \text{ gr} - \alpha \) * Si \( \Delta X < 0 \) et \( \Delta Y < 0 \) (3e quadrant): \( G_{12} = 200 \text{ gr} + \alpha \) * Si \( \Delta X < 0 \) et \( \Delta Y > 0 \) (4e quadrant): \( G_{12} = 400 \text{ gr} - \alpha \) ##### Angle Horizontal (Angle de Station) L'angle horizontal est l'angle entre deux directions mesurées depuis un même point (station). Il peut être calculé à partir des gisements. * **Calcul de l'angle horizontal \( \angle P_1 P_2 P_3 \) (angle au point \( P_2 \) entre les directions \( P_2 P_1 \) et \( P_2 P_3 \)):** L'angle est la différence entre les gisements des deux directions issues du point d'angle. \[ \angle P_1 P_2 P_3 = (G_{P_2 P_3} - G_{P_2 P_1}) \pmod{400 \text{ gr}} \] *Note: Si le résultat est négatif, ajoutez 400 gr. Si le résultat est supérieur à 400 gr, soustrayez 400 gr.* #### Calculs d'Altitude (Nivellement) Le nivellement consiste à déterminer les altitudes de points. ##### Nivellement Direct (Nivellement Géométrique) Utilisé avec un niveau optique et une mire. * **Formule de l'altitude du point \( B \) à partir du point \( A \):** \[ Z_B = Z_A + L_{Amire} - L_{Bmire} \] où \( Z_A \) est l'altitude du point \( A \), \( L_{Amire} \) est la lecture sur la mire placée en \( A \) et \( L_{Bmire} \) est la lecture sur la mire placée en \( B \). ##### Nivellement Trigonométrique Utilisé avec un théodolite ou une station totale pour mesurer des angles verticaux et des distances. * **Formule de la dénivelée \( \Delta Z \) entre la station et le point visé:** \[ \Delta Z = D_{horizontale} \times \tan(Angle\_Vertical) + H_i - H_r \] où \( D_{horizontale} \) est la distance horizontale, \( Angle\_Vertical \) est l'angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale (avec son signe), \( H_i \) est la hauteur de l'instrument et \( H_r \) est la hauteur du réflecteur (ou de la mire) au point visé. #### Précision et Sources d'Erreurs Les mesures topographiques ne sont jamais parfaites. Il est crucial de comprendre et de gérer les erreurs. * **Sources d'erreurs:** * **Instrumentales:** liées aux défauts de l'appareil (ex: décalage de l'axe, erreur de collimation). * **Opératoires:** liées à l'opérateur (ex: mauvaise lecture, mauvaise mise en station). * **Naturelles:** liées à l'environnement (ex: vent, réfraction atmosphérique, température). * **Importance:** La compréhension des erreurs permet d'appliquer des corrections et d'estimer la précision des mesures. ### Vocabulaire * **Gisement:** Angle horizontal mesuré depuis la direction du Nord (Y positif) dans le sens horaire. * **Azimut:** Souvent utilisé comme synonyme de gisement en topographie. * **Coordonnées planimétriques:** Couple (X, Y) décrivant la position horizontale d'un point. * **Coordonnées altimétriques:** Valeur (Z) décrivant la hauteur d'un point par rapport à une référence. * **Dénivelée:** Différence d'altitude entre deux points. * **Nivellement:** Ensemble des opérations visant à déterminer les altitudes de points. * **Mire:** Règle graduée utilisée avec un niveau pour les mesures d'altitude. * **Théodolite:** Instrument permettant de mesurer des angles horizontaux et verticaux. * **Station Totale:** Instrument électronique combinant un théodolite et un distancemètre électronique, capable de mesurer des angles, des distances et de calculer des coordonnées. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul de distance et de gisement Soient deux points \( A(X_A = 100.000 \text{ m}, Y_A = 200.000 \text{ m}) \) et \( B(X_B = 150.000 \text{ m}, Y_B = 230.000 \text{ m}) \). 1. **Calcul de la distance \( D_{AB} \):** \( \Delta X = 150.000 - 100.000 = 50.000 \text{ m} \) \( \Delta Y = 230.000 - 200.000 = 30.000 \text{ m} \) \[ D_{AB} = \sqrt{(50.000)^2 + (30.000)^2} = \sqrt{2500 + 900} = \sqrt{3400} \approx 58.3095 \text{ m} \] 2. **Calcul du gisement \( G_{AB} \):** \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) sont tous deux positifs, donc nous sommes dans le premier quadrant. \( \alpha = \arctan(\frac{50.000}{30.000}) \approx 69.44 \text{ gr} \) Donc, \( G_{AB} \approx 69.44 \text{ gr} \) #### Exemple 2: Calcul d'altitude par nivellement direct On stationne un niveau entre le point \( P_1 \) (altitude connue \( Z_1 = 125.450 \text{ m} \)) et le point \( P_2 \) (altitude inconnue). Les lectures sur mire sont: * Mire sur \( P_1 \): \( L_1 = 1.850 \text{ m} \) * Mire sur \( P_2 \): \( L_2 = 0.920 \text{ m} \) **Calcul de l'altitude \( Z_2 \):** \[ Z_2 = Z_1 + L_1 - L_2 \] \[ Z_2 = 125.450 + 1.850 - 0.920 = 126.380 \text{ m} \] ### Exercices #### Exercice 1: Coordonnées et Gisement Soient les points \( C(X_C = 250.000 \text{ m}, Y_C = 150.000 \text{ m}) \) et \( D(X_D = 210.000 \text{ m}, Y_D = 180.000 \text{ m}) \). 1. Calculez la distance horizontale \( D_{CD} \). 2. Calculez le gisement \( G_{CD} \). #### Exercice 2: Nivellement Un nivellement direct est effectué entre deux points \( E \) et \( F \). L'altitude de \( E \) est \( Z_E = 85.230 \text{ m} \). Les lectures de mire sont: * Lecture arrière sur \( E \): \( L_{arrière} = 2.155 \text{ m} \) * Lecture avant sur \( F \): \( L_{avant} = 1.480 \text{ m} \) Déterminez l'altitude du point \( F \) (\( Z_F \)). ### Devoir (Assignment) #### Problème 1: Levé Topographique Simplifié Vous êtes chargé de réaliser un levé de trois points \( M, N, O \) à partir d'une station \( S \). Les coordonnées de \( S \) sont \( (X_S = 500.000 \text{ m}, Y_S = 500.000 \text{ m}, Z_S = 100.000 \text{ m}) \). La hauteur de l'instrument (\( H_i \)) est de \( 1.500 \text{ m} \). Vous avez effectué les mesures suivantes avec une station totale: * **Direction \( S \rightarrow M \):** * Gisement \( G_{SM} = 80.000 \text{ gr} \) * Distance horizontale \( D_{SM} = 75.000 \text{ m} \) * Angle vertical \( V_{SM} = 95.000 \text{ gr} \) (angle zénithal. L'angle d'inclinaison \( \alpha \) par rapport à l'horizontale est \( \alpha = 100 \text{ gr} - V_{SM} \). Ici \( \alpha = 100 - 95 = +5 \text{ gr} \), ce qui indique une pente montante). * Hauteur du réflecteur en \( M \) (\( H_{rM} \)): \( 1.600 \text{ m} \) * **Direction \( S \rightarrow N \):** * Gisement \( G_{SN} = 210.000 \text{ gr} \) * Distance horizontale \( D_{SN} = 60.000 \text{ m} \) * Angle vertical \( V_{SN} = 105.000 \text{ gr} \) (angle zénithal. L'angle d'inclinaison \( \alpha \) par rapport à l'horizontale est \( \alpha = 100 \text{ gr} - V_{SN} \). Ici \( \alpha = 100 - 105 = -5 \text{ gr} \), ce qui indique une pente descendante). * Hauteur du réflecteur en \( N \) (\( H_{rN} \)): \( 1.550 \text{ m} \) 1. Calculez les coordonnées planimétriques (X, Y) des points \( M \) et \( N \). * Rappel: \( X_{point} = X_S + D_{horizontale} \times \sin(Gisement) \) * Rappel: \( Y_{point} = Y_S + D_{horizontale} \times \cos(Gisement) \) 2. Calculez les altitudes (Z) des points \( M \) et \( N \) par nivellement trigonométrique. * Rappel: \( Z_{point} = Z_S + \Delta Z \), où \( \Delta Z = D_{horizontale} \times \tan(\alpha) + H_i - H_r \). #### Problème 2: Compensation d'angle Vous avez mesuré les angles d'un triangle \( ABC \) sur le terrain: * \( \angle A = 80.25 \text{ gr} \) * \( \angle B = 150.80 \text{ gr} \) * \( \angle C = 168.90 \text{ gr} \) 1. Calculez la somme des angles mesurés. 2. Calculez l'erreur de fermeture angulaire (la somme théorique des angles intérieurs d'un triangle plan est \( 200 \text{ gr} \)). 3. Compensez les angles mesurés en répartissant l'erreur de manière égale sur chaque angle. Quels sont les angles corrigés? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons consolidé nos compétences en calculs topographiques en révisant et appliquant les concepts clés: * **Coordonnées:** Maîtrise des coordonnées planimétriques (X, Y) et altimétriques (Z). * **Distance et Gisement:** Calcul précis de la distance et du gisement entre deux points à l'aide des formules appropriées et gestion des quadrants. * **Angles Horizontaux:** Détermination des angles entre directions à partir des gisements. * **Nivellement:** Calcul des altitudes par nivellement direct et trigonométrique. * **Erreurs:** Compréhension des sources d'erreurs et de leur impact sur la précision des mesures. Ces compétences sont essentielles pour toute tâche de topographie et de géomatique. Continuez à pratiquer ces calculs pour les maîtriser parfaitement! ## Activités de remédiation ### Introduction Bienvenue à cette séance d'activités de remédiation en topographie. L'objectif est de revoir et de renforcer les concepts fondamentaux des calculs topographiques que nous avons étudiés. Nous allons aborder les points essentiels pour vous aider à mieux maîtriser les méthodes de calcul des angles, des distances, des coordonnées et des surfaces en topographie. Une bonne compréhension de ces bases est cruciale pour la suite de votre parcours en topographie. ### Concepts Clés #### 1. Rappels sur les Mesures d'Angles En topographie, les angles sont mesurés pour déterminer les directions. Il est essentiel de distinguer différents types d'angles et leurs conventions. ##### 1.1. Angles Horizontaux Les angles horizontaux sont mesurés dans le plan horizontal et sont la base de la détermination des directions. Ils peuvent être exprimés en grades (gr), degrés (DD.MM.SS) ou radians. * **Azimut (ou gisement)**: C'est l'angle mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du Nord (géographique, magnétique ou de grille) jusqu'à la ligne considérée. Il varie de 0 à 400 gr (ou 0 à 360°). * **Azimut direct (\( A_{AB} \))** : L'azimut de la ligne AB. * **Azimut inverse (\( A_{BA} \))** : L'azimut de la ligne BA. La relation entre azimut direct et inverse est : \[ A_{BA} = A_{AB} \pm 200 \text{ gr (ou } \pm 180^{\circ} \text{) si } A_{AB} < 200 \text{ gr (ou } 180^{\circ} \text{)} A_{BA} = A_{AB} - 200 \text{ gr (ou } -180^{\circ} \text{) si } A_{AB} \ge 200 \text{ gr (ou } 180^{\circ} \text{)} \] * **Relèvement ou Angle de direction**: C'est l'angle mesuré à partir d'une direction de référence (généralement la ligne précédente) jusqu'à la ligne visée. ##### 1.2. Angles Verticaux Les angles verticaux (ou zénithaux) sont mesurés dans le plan vertical et sont utilisés pour les calculs d'altitudes et de pentes. * **Angle zénithal (\( Z \))**: Angle mesuré depuis la verticale ascendante (zénith) jusqu'à la ligne de visée. Il varie de 0 à 200 gr (ou 0 à 180°). * **Angle vertical (\( V \))**: Angle mesuré depuis l'horizontale. Il peut être positif (vers le haut) ou négatif (vers le bas). La relation est \( V = 100 \text{ gr} - Z \) ou \( V = 90^{\circ} - Z \). #### 2. Rappels sur les Mesures de Distances Les distances en topographie sont mesurées sur le terrain et peuvent être réduites à l'horizontale pour les calculs planimétriques. * **Distance inclinée (\( D_i \))**: Distance mesurée directement sur la pente du terrain. * **Distance horizontale (\( D_h \))**: Projection de la distance inclinée sur le plan horizontal. Elle est calculée à partir de la distance inclinée et de l'angle vertical ou zénithal : * Avec l'angle vertical \( V \) : \( D_h = D_i \cos(V) \) * Avec l'angle zénithal \( Z \) : \( D_h = D_i \sin(Z) \) #### 3. Calcul de Coordonnées Le but est de déterminer la position d'un point dans un système de coordonnées. Nous utilisons généralement des coordonnées cartésiennes planes (Est, Nord). ##### 3.1. Méthode par rayonnement (ou polaire) Si l'on connaît les coordonnées d'un point de station \( P_s(E_s, N_s) \), l'azimut \( A_{sA} \) et la distance horizontale \( D_{sA} \) vers un point \( A \), on peut calculer les coordonnées de \( A(E_A, N_A) \) : \( \Delta E = D_{sA} \sin(A_{sA}) \) \( \Delta N = D_{sA} \cos(A_{sA}) \) Alors : \( E_A = E_s + \Delta E \) \( N_A = N_s + \Delta N \) ##### 3.2. Méthode par cheminement (ou polygonale) Elle consiste à relier une série de points par des segments de droite et à mesurer les angles et les distances de ces segments. Après la compensation des erreurs, les coordonnées des points sont calculées séquentiellement. #### 4. Calcul de Surfaces La détermination des surfaces est une application courante en topographie, notamment pour les terrains agricoles ou de construction. ##### 4.1. Méthode par coordonnées Pour un polygone dont les sommets sont numérotés dans le sens trigonométrique (anti-horaire) \( (E_1, N_1), (E_2, N_2), ..., (E_n, N_n) \), la surface \( S \) peut être calculée par la formule de Gauss : \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (E_i N_{i+1} - E_{i+1} N_i) \right| \quad \text{où } (E_{n+1}, N_{n+1}) = (E_1, N_1) \] ou alternativement : \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} E_i (N_{i+1} - N_{i-1}) \right| \quad \text{où } N_0 = N_n \text{ et } N_{n+1} = N_1 \] ### Vocabulaire * **Azimut (ou Gisement)**: Angle horizontal mesuré depuis le Nord dans le sens horaire. * **Zénith**: Point du ciel situé directement au-dessus de l'observateur. * **Distance horizontale**: Projection d'une distance inclinée sur le plan horizontal. * **Rayonnement**: Méthode de levé qui consiste à déterminer les coordonnées de points à partir d'une seule station connue par mesure d'azimut et de distance. * **Cheminement (ou Polygonale)**: Méthode de levé qui consiste à relier une série de points par des segments de droite et à mesurer les angles et les distances pour déterminer leurs coordonnées. * **Coordonnées planimétriques**: Coordonnées \( (E, N) \) qui décrivent la position d'un point dans un plan horizontal. * **Grade (gr)**: Unité d'angle où un cercle complet correspond à 400 grades (contrairement à 360 degrés). ### Exemples #### Exemple 1: Calcul d'azimut inverse Soit un azimut direct \( A_{AB} = 285.500 \text{ gr} \). Calculer l'azimut inverse \( A_{BA} \). Comme \( A_{AB} \ge 200 \text{ gr} \), on utilise \( A_{BA} = A_{AB} - 200 \text{ gr} \). \( A_{BA} = 285.500 - 200.000 = 85.500 \text{ gr} \). #### Exemple 2: Calcul de coordonnées par rayonnement Un point de station \( S \) a pour coordonnées \( E_S = 1000.000 \text{ m} \) et \( N_S = 500.000 \text{ m} \). Depuis \( S \), on vise un point \( P \) avec un azimut \( A_{SP} = 120.000 \text{ gr} \) et une distance horizontale \( D_{SP} = 50.000 \text{ m} \). Calculer les coordonnées de \( P(E_P, N_P) \). \( \Delta E = D_{SP} \sin(A_{SP}) = 50.000 \times \sin(120.000 \text{ gr}) = 50.000 \times 0.9510565 = 47.5528 \text{ m} \) \( \Delta N = D_{SP} \cos(A_{SP}) = 50.000 \times \cos(120.000 \text{ gr}) = 50.000 \times (-0.3090170) = -15.4508 \text{ m} \) \( E_P = E_S + \Delta E = 1000.000 + 47.5528 = 1047.5528 \text{ m} \) \( N_P = N_S + \Delta N = 500.000 - 15.4508 = 484.5492 \text{ m} \) Les coordonnées de \( P \) sont \( (1047.5528 \text{ m}; 484.5492 \text{ m}) \). ### Exercices 1. Convertissez les azimuts suivants en azimuts inverses : a. \( A_{CD} = 15.250 \text{ gr} \) b. \( A_{EF} = 210.750 \text{ gr} \) c. \( A_{GH} = 350.000 \text{ gr} \) 2. Une ligne a une distance inclinée de \( D_i = 125.60 \text{ m} \) et un angle zénithal de \( Z = 95.80 \text{ gr} \). Calculez la distance horizontale \( D_h \) de cette ligne. 3. Un point \( M \) a pour coordonnées \( (E_M = 250.000 \text{ m}, N_M = 750.000 \text{ m}) \). On a mesuré un azimut \( A_{MN} = 280.000 \text{ gr} \) et une distance horizontale \( D_{MN} = 80.000 \text{ m} \). Déterminez les coordonnées \( (E_N, N_N) \) du point \( N \). 4. Calculez la surface d'une parcelle polygonale avec les coordonnées suivantes : * \( P_1: (E_1 = 100.000, N_1 = 200.000) \) * \( P_2: (E_2 = 150.000, N_2 = 250.000) \) * \( P_3: (E_3 = 200.000, N_3 = 200.000) \) * \( P_4: (E_4 = 150.000, N_4 = 150.000) \) ### Devoirs 1. Expliquez la différence entre un angle zénithal et un angle vertical. Donnez un exemple concret d'utilisation pour chacun. 2. Un géomètre a mesuré les éléments suivants pour déterminer la position d'un point \( Q \) à partir d'un point connu \( P(E_P = 500.000 \text{ m}, N_P = 1500.000 \text{ m}) \) : * Azimut \( A_{PQ} = 320.000 \text{ gr} \) * Distance inclinée \( D_{iPQ} = 110.000 \text{ m} \) * Angle vertical \( V_{PQ} = +5.000 \text{ gr} \) Calculez les coordonnées \( (E_Q, N_Q) \) du point \( Q \). 3. Un terrain a la forme d'un trapèze. Les coordonnées des sommets sont : * \( A: (E_A = 0.000, N_A = 0.000) \) * \( B: (E_B = 100.000, N_B = 0.000) \) * \( C: (E_C = 80.000, N_C = 50.000) \) * \( D: (E_D = 20.000, N_D = 50.000) \) Calculez la surface de ce terrain en utilisant la formule de Gauss. ### Résumé Au cours de cette séance de remédiation, nous avons révisé les concepts fondamentaux des calculs topographiques. Nous avons rappelé l'importance des azimuts pour orienter les mesures, la conversion des distances inclinées en distances horizontales, et les méthodes de calcul des coordonnées planimétriques par rayonnement. Enfin, nous avons abordé le calcul des surfaces à l'aide des coordonnées, une compétence essentielle pour tout topographe. La maîtrise de ces calculs est la base pour des travaux topographiques précis et fiables.