Calculs topographiques (partie 3/3)

## Gisement et calcul topométriques (1) ### Introduction Bienvenue à cette première leçon sur le gisement et les calculs topométriques. En topographie, il est essentiel de pouvoir localiser précisément des points et de calculer des distances et des angles. Le gisement est un concept fondamental qui nous permet de définir l'orientation d'une ligne dans l'espace. Dans ce cours, nous allons explorer sa définition, apprendre à le calculer à partir de coordonnées et l'utiliser pour déterminer les coordonnées d'un nouveau point. ### Concepts Clés #### Le Gisement Le gisement d'une ligne est l'angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre (sens rétrograde) à partir de la direction du Nord de référence (généralement le Nord Grille) jusqu'à la ligne considérée. Il est exprimé en grades (gon) ou en degrés, et varie de 0 à 400 grades (ou 0 à 360 degrés). * **Nord Grille:** La direction de l'axe Y positif dans un système de coordonnées planimétriques (par exemple, Lambert). * **Sens horaire:** La mesure de l'angle se fait en tournant vers la droite depuis le Nord. #### Calcul du Gisement à partir des Coordonnées Pour calculer le gisement entre deux points A et B, dont les coordonnées sont connues, nous utilisons les différences de coordonnées \( \Delta X \) et \( \Delta Y \). Soient les points A \( (X_A, Y_A) \) et B \( (X_B, Y_B) \): * Variation en X: \( \Delta X_{AB} = X_B - X_A \) * Variation en Y: \( \Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A \) Le gisement \( G_{AB} \) peut être calculé en utilisant la fonction arc tangente: \[ \tan(G_{AB}) = \frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}} \] Cependant, la fonction \( \arctan \) seule ne suffit pas, car elle ne couvre qu'un intervalle de 200 grades (ou 180°). Il est crucial de considérer les signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) pour déterminer le quadrant et ajouter la correction nécessaire. Voici les règles pour déterminer le gisement en grades (gon): 1. **Si \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y > 0 \) (1er quadrant):** \( G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}}\right) \) 2. **Si \( \Delta X < 0 \) et \( \Delta Y > 0 \) (2ème quadrant):** \( G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}}\right) + 200 \text{ gr} \) 3. **Si \( \Delta X < 0 \) et \( \Delta Y < 0 \) (3ème quadrant):** \( G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}}\right) + 200 \text{ gr} \) 4. **Si \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \) (4ème quadrant):** \( G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta Y_{AB}}{\Delta X_{AB}}\right) + 400 \text{ gr} \) **Cas particuliers:** * **Si \( \Delta X = 0 \) et \( \Delta Y > 0 \):** \( G_{AB} = 100 \text{ gr} \) * **Si \( \Delta X = 0 \) et \( \Delta Y < 0 \):** \( G_{AB} = 300 \text{ gr} \) * **Si \( \Delta Y = 0 \) et \( \Delta X > 0 \):** \( G_{AB} = 0 \text{ gr} \) ou \( 400 \text{ gr} \) * **Si \( \Delta Y = 0 \) et \( \Delta X < 0 \):** \( G_{AB} = 200 \text{ gr} \) #### Calcul des Coordonnées d'un Point par Gisement et Distance Si nous connaissons les coordonnées d'un point A \( (X_A, Y_A) \), le gisement \( G_{AB} \) de la ligne AB et la distance horizontale \( D_{AB} \) entre A et B, nous pouvons calculer les coordonnées du point B \( (X_B, Y_B) \). Les variations de coordonnées sont données par: * \( \Delta X_{AB} = D_{AB} \times \cos(G_{AB}) \) * \( \Delta Y_{AB} = D_{AB} \times \sin(G_{AB}) \) Les coordonnées du point B sont alors: * \( X_B = X_A + \Delta X_{AB} \) * \( Y_B = Y_A + \Delta Y_{AB} \) **Attention:** Assurez-vous que votre calculatrice utilise l'unité angulaire correcte (grades ou degrés) pour les fonctions trigonométriques \( \sin \) et \( \cos \). #### Calcul de la Distance Horizontale La distance horizontale \( D_{AB} \) entre deux points A et B dont les coordonnées sont connues peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore: \[ D_{AB} = \sqrt{(\Delta X_{AB})^2 + (\Delta Y_{AB})^2} \] ### Vocabulaire * **Gisement:** Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir du Nord (grille ou géographique) jusqu'à une ligne donnée. * **Topométrie:** Science des mesures et de la représentation des détails de la surface terrestre pour la cartographie et l'aménagement. * **Coordonnées planimétriques:** Position d'un point dans un plan horizontal, généralement représentée par (X, Y). * **Nord Grille:** Direction de référence du Nord dans un système de projection cartographique plan, alignée avec l'axe Y du système de coordonnées. * **Grade (gon):** Unité angulaire où un cercle complet représente 400 grades. Un angle droit est de 100 grades. * **Delta X (\( \Delta X \)):** Différence des abscisses (coordonnées Est) entre deux points (\( X_B - X_A \)). * **Delta Y (\( \Delta Y \)):** Différence des ordonnées (coordonnées Nord) entre deux points (\( Y_B - Y_A \)). * **Distance horizontale:** Distance mesurée entre deux points sur un plan horizontal, sans prendre en compte la différence d'altitude. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul du Gisement Soient les points A(X=100.00m, Y=200.00m) et B(X=150.00m, Y=230.00m). 1. Calcul des variations: * \( \Delta X_{AB} = X_B - X_A = 150.00 - 100.00 = +50.00 \text{ m} \) * \( \Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A = 230.00 - 200.00 = +30.00 \text{ m} \) 2. Détermination du quadrant: * \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y > 0 \), donc nous sommes dans le 1er quadrant. 3. Calcul de l'angle: * \( G_{AB} = \arctan\left(\frac{+30.00}{+50.00}\right) = \arctan(0.6) \) * \( G_{AB} \approx 30.9637 \text{ gr} \) Le gisement de la ligne AB est d'environ \( 30.9637 \text{ gr} \). #### Exemple 2: Calcul des Coordonnées d'un Point Soit le point A(X=200.00m, Y=150.00m). Nous avons mesuré un gisement \( G_{AB} = 75.0000 \text{ gr} \) et une distance horizontale \( D_{AB} = 40.00 \text{ m} \). 1. Calcul des variations: * \( \Delta X_{AB} = D_{AB} \times \cos(G_{AB}) = 40.00 \times \cos(75.0000 \text{ gr}) \) \( \Delta X_{AB} = 40.00 \times 0.70710678 \approx 28.2843 \text{ m} \) * \( \Delta Y_{AB} = D_{AB} \times \sin(G_{AB}) = 40.00 \times \sin(75.0000 \text{ gr}) \) \( \Delta Y_{AB} = 40.00 \times 0.70710678 \approx 28.2843 \text{ m} \) (Note: \( \cos(75 \text{ gr}) = \sin(25 \text{ gr}) \) et \( \sin(75 \text{ gr}) = \cos(25 \text{ gr}) \) en grades. Si le gisement est 50 gr, alors \( \cos(50 \text{ gr}) = \sin(50 \text{ gr}) = 0.70710678 \)) 2. Calcul des coordonnées du point B: * \( X_B = X_A + \Delta X_{AB} = 200.00 + 28.2843 = 228.2843 \text{ m} \) * \( Y_B = Y_A + \Delta Y_{AB} = 150.00 + 28.2843 = 178.2843 \text{ m} \) Les coordonnées du point B sont environ (X=228.28m, Y=178.28m). ### Exercices 1. **Calcul de gisement:** Calculez le gisement de la ligne MN, sachant que les coordonnées du point M sont (X=350.00m, Y=420.00m) et celles du point N sont (X=320.00m, Y=450.00m). 2. **Calcul de coordonnées:** Un point P a pour coordonnées (X=120.00m, Y=80.00m). Un relevé indique un gisement \( G_{PQ} = 320.0000 \text{ gr} \) et une distance horizontale \( D_{PQ} = 55.00 \text{ m} \). Calculez les coordonnées du point Q. 3. **Calcul de gisement et distance:** Déterminez le gisement et la distance horizontale entre deux points A(X=500.00m, Y=500.00m) et B(X=450.00m, Y=400.00m). ### Devoir 1. **Parcours topographique simple:** Considérez un alignement de points O, A, B. Les coordonnées de O sont (X=100.00m, Y=100.00m). Le gisement de la ligne OA est de \( 60.0000 \text{ gr} \) et sa distance est de \( 30.00 \text{ m} \). Le gisement de la ligne AB est de \( 180.0000 \text{ gr} \) et sa distance est de \( 20.00 \text{ m} \). Calculez les coordonnées des points A et B. 2. **Vérification de gisement inverse:** Soient les points C(X=600.00m, Y=700.00m) et D(X=650.00m, Y=650.00m). a. Calculez le gisement \( G_{CD} \). b. Calculez le gisement \( G_{DC} \). Comment les deux gisements sont-ils liés ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que le gisement est un angle fondamental en topographie pour orienter des lignes. Nous avons couvert les méthodes de calcul suivantes: * **Le calcul du gisement** à partir des coordonnées de deux points, en tenant compte des quadrants pour une détermination précise de l'angle. * **Le calcul des coordonnées d'un nouveau point** à partir des coordonnées d'un point connu, d'un gisement et d'une distance horizontale. * **Le calcul de la distance horizontale** entre deux points à partir de leurs coordonnées. Ces compétences sont essentielles pour toutes les applications de la topographie, de la cartographie à l'implantation de projets sur le terrain. Maîtrisez ces concepts, car ils serviront de base à des calculs plus complexes dans les leçons futures. ## Gisement et calcul topométriques(2) ### Introduction Bienvenue à cette deuxième partie de notre leçon sur le gisement et les calculs topométriques. Dans le cours précédent, nous avons introduit la notion de gisement et son importance en topographie. Aujourd'hui, nous allons approfondir nos connaissances en abordant les méthodes de calcul des coordonnées de points et des distances à partir des gisements et des coordonnées connues. Ces compétences sont fondamentales pour tout travail de relevé ou d'implantation sur le terrain. ### Concepts Clés #### Rappel sur le Gisement Le gisement est un angle horizontal essentiel en topographie. Il est mesuré à partir d'une direction de référence (le plus souvent le Nord géographique ou le Nord de la grille) dans le sens des aiguilles d'une montre, et s'exprime généralement en grades (de 0 à 400 grades) ou en degrés (de 0 à 360 degrés). #### Calcul des Coordonnées Rectangulaires d'un Point Lorsqu'on connaît les coordonnées d'un point de départ \( A \), le gisement \( G_{AB} \) et la distance \( D_{AB} \) vers un second point \( B \), il est possible de calculer les coordonnées rectangulaires (Nord et Est) de ce point \( B \). Les formules de passage des coordonnées polaires (distance et gisement) aux coordonnées rectangulaires sont les suivantes : \[ \Delta N = N_B - N_A = D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \] \[ \Delta E = E_B - E_A = D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \] Ainsi, les coordonnées du point \( B \) sont : \[ N_B = N_A + D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \] \[ E_B = E_A + D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \] Où : * \( N_A, E_A \) sont les coordonnées Nord et Est du point \( A \). * \( D_{AB} \) est la distance entre le point \( A \) et le point \( B \). * \( G_{AB} \) est le gisement de \( A \) vers \( B \). * \( N_B, E_B \) sont les coordonnées Nord et Est du point \( B \). #### Calcul de Gisement et Distance entre deux Points Inversement, si l'on connaît les coordonnées rectangulaires de deux points \( A \) et \( B \), on peut calculer le gisement \( G_{AB} \) et la distance \( D_{AB} \) qui les séparent. 1. **Calcul des différences de coordonnées :** * \( \Delta N = N_B - N_A \) * \( \Delta E = E_B - E_A \) 2. **Calcul du gisement \( G_{AB} \) :** L'angle directeur \( \alpha \) est d'abord calculé : \[ \alpha = \arctan \left( \frac{\Delta E}{\Delta N} \right) \] Il est crucial de tenir compte des signes de \( \Delta N \) et \( \Delta E \) pour déterminer le quadrant et ainsi le gisement correct. Voici les règles pour un système en grades (0-400 grades) : * Si \( \Delta N > 0 \) et \( \Delta E > 0 \) (1er quadrant) : \( G_{AB} = \alpha \) * Si \( \Delta N < 0 \) et \( \Delta E > 0 \) (2e quadrant) : \( G_{AB} = 200 \text{ grades} + \alpha \) * Si \( \Delta N < 0 \) et \( \Delta E < 0 \) (3e quadrant) : \( G_{AB} = 200 \text{ grades} + \alpha \) * Si \( \Delta N > 0 \) et \( \Delta E < 0 \) (4e quadrant) : \( G_{AB} = 400 \text{ grades} + \alpha \) Pour les cas limites (\( \Delta N = 0 \) ou \( \Delta E = 0 \)), les gisements sont 0, 100, 200 ou 300 grades. Certaines calculatrices ou logiciels disposent de la fonction `atan2(deltaE, deltaN)` qui gère automatiquement les quadrants. 3. **Calcul de la distance \( D_{AB} \) :** La distance est calculée en utilisant le théorème de Pythagore : \[ D_{AB} = \sqrt{(\Delta N)^2 + (\Delta E)^2} \] ### Vocabulaire * **Gisement :** Angle horizontal mesuré depuis la direction du Nord (ou une direction de référence) dans le sens horaire. * **Coordonnées rectangulaires :** Système de coordonnées planimétriques basé sur des axes perpendiculaires (Est et Nord). * **Coordonnées polaires :** Système de coordonnées basé sur une distance et un angle (gisement) par rapport à un point d'origine. * **Différence de Nord (\( \Delta N \)) :** Différence des valeurs des coordonnées Nord entre deux points (\( N_B - N_A \)). * **Différence d'Est (\( \Delta E \)) :** Différence des valeurs des coordonnées Est entre deux points (\( E_B - E_A \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul des coordonnées d'un point Soit un point \( A \) de coordonnées \( N_A = 1000 \text{ m} \) et \( E_A = 500 \text{ m} \). Nous mesurons une distance \( D_{AB} = 150 \text{ m} \) et un gisement \( G_{AB} = 75 \text{ grades} \) vers un point \( B \). Calculons les coordonnées de \( B \) : \[ N_B = N_A + D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \] \[ N_B = 1000 + 150 \cdot \cos(75 \text{ grades}) \] \( N_B = 1000 + 150 \cdot 0.7071 \approx 1000 + 106.07 = 1106.07 \text{ m} \) \[ E_B = E_A + D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \] \[ E_B = 500 + 150 \cdot \sin(75 \text{ grades}) \] \( E_B = 500 + 150 \cdot 0.7071 \approx 500 + 106.07 = 606.07 \text{ m} \) Donc, les coordonnées de \( B \) sont approximativement \( (1106.07 \text{ m}, 606.07 \text{ m}) \). #### Exemple 2 : Calcul du gisement et de la distance entre deux points Soit deux points \( A \) et \( C \) avec les coordonnées suivantes : \( A : N_A = 1000 \text{ m}, E_A = 500 \text{ m} \) \( C : N_C = 1050 \text{ m}, E_C = 520 \text{ m} \) 1. **Calcul des différences :** \( \Delta N = N_C - N_A = 1050 - 1000 = 50 \text{ m} \) \( \Delta E = E_C - E_A = 520 - 500 = 20 \text{ m} \) 2. **Calcul du gisement \( G_{AC} \) :** Puisque \( \Delta N > 0 \) et \( \Delta E > 0 \), nous sommes dans le 1er quadrant. \( \alpha = \arctan \left( \frac{20}{50} \right) = \arctan(0.4) \) Converti en grades : \( \alpha \approx 25.43 \text{ grades} \) Donc, \( G_{AC} \approx 25.43 \text{ grades} \). 3. **Calcul de la distance \( D_{AC} \) :** \( D_{AC} = \sqrt{(50)^2 + (20)^2} = \sqrt{2500 + 400} = \sqrt{2900} \) \( D_{AC} \approx 53.85 \text{ m} \) ### Exercices 1. Un point \( P \) a pour coordonnées \( N_P = 2000 \text{ m} \) et \( E_P = 1000 \text{ m} \). Un point \( Q \) est à \( 250 \text{ m} \) de \( P \) avec un gisement \( G_{PQ} = 120 \text{ grades} \). Quelles sont les coordonnées de \( Q \) ? 2. Calculez le gisement et la distance entre les points \( M(N_M = 1200 \text{ m}, E_M = 800 \text{ m}) \) et \( N(N_N = 1150 \text{ m}, E_N = 850 \text{ m}) \). ### Devoir à la Maison 1. Un géomètre part du point \( A(N_A = 500 \text{ m}, E_A = 200 \text{ m}) \). Il mesure une distance \( D_{AB} \) de \( 180 \text{ m} \) et un gisement \( G_{AB} \) de \( 30 \text{ grades} \). Ensuite, il se déplace du point \( B \) vers un point \( C \) avec une distance \( D_{BC} \) de \( 120 \text{ m} \) et un gisement \( G_{BC} \) de \( 190 \text{ grades} \). Calculez les coordonnées des points \( B \) et \( C \). 2. À partir des coordonnées des points \( D(N_D = 300 \text{ m}, E_D = 400 \text{ m}) \) et \( E(N_E = 350 \text{ m}, E_E = 380 \text{ m}) \), calculez le gisement \( G_{DE} \) et la distance \( D_{DE} \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les méthodes de calcul essentielles en topographie. Nous avons appris à : * Déterminer les coordonnées rectangulaires d'un point connaissant les coordonnées d'un point d'origine, la distance et le gisement. Ces calculs sont fondamentaux pour l'implantation ou la mise à jour de plans. * Calculer le gisement et la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées rectangulaires. Ce processus est crucial pour la vérification des mesures et la préparation de nouvelles observations. La maîtrise de ces formules et la bonne gestion des quadrants sont indispensables pour éviter les erreurs dans vos calculs topométriques. Ces compétences sont la base de nombreux travaux de terrain et d'ingénierie.