5B : TRADUCTION GRAPHIQUE DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (partie 2/2)

## ACTIVITES D'INTEGRATION ### Introduction Bienvenue à cette séance d'activités d'intégration ! Aujourd'hui, nous allons revoir et appliquer le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)**, en particulier sa **traduction graphique**. Vous apprendrez à analyser des systèmes mécaniques en équilibre en utilisant des méthodes graphiques, ce qui est essentiel pour la conception et l'analyse des structures. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le PFS stipule qu'un solide est en équilibre statique si la somme vectorielle de toutes les forces extérieures qui s'appliquent sur lui est nulle, et si la somme vectorielle de tous les moments de ces forces par rapport à n'importe quel point est également nulle. ##### Conditions d'Équilibre Pour un solide en équilibre, nous avons deux conditions principales : * La somme des forces est nulle : \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] * La somme des moments est nulle : \[ \sum \vec{\mathcal{M}}_{ext / A} = \vec{0} \] où A est un point quelconque. #### Représentation Graphique des Forces Une force est une action mécanique caractérisée par : * Un **point d'application** (où la force agit). * Une **direction** (ligne d'action). * Un **sens** (vers où la force pousse ou tire). * Une **intensité** (sa valeur, mesurée en Newtons - N). Graphiquement, une force est représentée par un **vecteur**. ##### Construction du Polygone des Forces (Forces Concourantes) Lorsque toutes les forces s'appliquent ou passent par un même point (forces concourantes), leur somme vectorielle peut être déterminée graphiquement. Pour que le système soit en équilibre, le polygone des forces doit être **fermé**. Cela signifie que le vecteur résultant est nul. ##### Construction du Polygone Funiculaire (Forces Non-Concourantes) Pour des forces non-concourantes, c'est-à-dire qui ne passent pas par un même point, la condition d'équilibre en moments doit également être vérifiée. Le polygone funiculaire est une méthode graphique qui permet de vérifier cette condition et de déterminer les points d'application ou les directions de forces inconnues. * **Pôle et rayons polaires :** On choisit un pôle (un point quelconque) et on trace des lignes (rayons polaires) depuis ce pôle vers les extrémités des vecteurs forces du polygone des forces. * **Lignes funiculaires :** Ces rayons polaires sont ensuite reportés en tant que lignes parallèles dans le système réel, créant le polygone funiculaire. * **Fermeture du polygone funiculaire :** Pour que le système soit en équilibre, le polygone funiculaire doit également être **fermé**. ### Vocabulaire * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. * **Vecteur :** Représentation graphique d'une force, ayant une magnitude, une direction et un sens. * **Point d'application :** Point précis où une force agit sur un corps. * **Direction :** Ligne le long de laquelle une force agit. * **Sens :** Orientation de la force le long de sa direction (par exemple, vers le haut, vers la droite). * **Intensité :** Mesure de la grandeur d'une force, exprimée en Newtons (N). * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et des moments appliqués est nulle. * **Statique :** Branche de la mécanique qui étudie les corps en équilibre (immobiles ou en mouvement uniforme). * **Résultante :** Somme vectorielle de plusieurs forces. Si elle est nulle, le corps est en équilibre. * **Polygone des forces :** Construction graphique des vecteurs forces mis bout à bout. Fermé, il indique l'équilibre des forces. * **Polygone funiculaire :** Construction graphique utilisée pour des forces non-concourantes, permettant de vérifier l'équilibre des moments et de déterminer des inconnues. ### Exemples #### Exemple 1 : Équilibre d'un corps suspendu (forces concourantes) Un objet de masse \( m = 10 \text{ kg} \) est suspendu par deux câbles. Déterminez graphiquement les tensions \( T_1 \) et \( T_2 \) dans les câbles si l'angle de chaque câble avec l'horizontale est de \( 30^\circ \). 1. **Identifier les forces :** Poids \( \vec{P} \) vers le bas, tensions \( \vec{T}_1 \) et \( \vec{T}_2 \) le long des câbles. 2. **Échelle :** Par exemple, \( 1 \text{ cm} = 10 \text{ N} \). Le poids \( P = m \cdot g = 10 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \approx 98.1 \text{ N} \). 3. **Construction du polygone des forces :** * Tracez le vecteur \( \vec{P} \) à l'échelle. * Depuis l'extrémité de \( \vec{P} \), tracez une ligne parallèle à \( \vec{T}_1 \). * Depuis l'origine de \( \vec{P} \), tracez une ligne parallèle à \( \vec{T}_2 \). * Le point d'intersection de ces deux lignes ferme le polygone (un triangle dans ce cas). Mesurez les longueurs de \( \vec{T}_1 \) et \( \vec{T}_2 \) et convertissez-les en Newtons. #### Exemple 2 : Poutre en équilibre (forces non-concourantes) Une poutre horizontale de longueur \( L = 4 \text{ m} \) est posée sur deux appuis A et B. Un poids \( \vec{F}_1 = 200 \text{ N} \) est appliqué à \( 1 \text{ m} \) de l'appui A. Déterminez graphiquement les réactions aux appuis \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \). 1. **Identifier les forces :** \( \vec{F}_1 \) (connue), \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) (inconnues, verticales). 2. **Construire le polygone des forces partiel :** Placez \( \vec{F}_1 \). Les vecteurs \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) sont parallèles à \( \vec{F}_1 \). 3. **Construire le polygone funiculaire :** * Choisissez un pôle O. Tracez les rayons polaires depuis O vers les extrémités des forces connues. * Reportez ces rayons polaires dans le système réel entre les lignes d'action des forces. * La ligne funiculaire de fermeture (entre le premier et le dernier point d'appui) est reportée sur le polygone des forces pour fermer le polygone. * La fermeture du polygone des forces vous donnera les magnitudes de \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \). ### Exercices 1. Un panneau publicitaire est suspendu par trois câbles dont les forces sont \( \vec{F}_1 \), \( \vec{F}_2 \) et \( \vec{F}_3 \). Sachant que \( \vec{F}_1 \) fait un angle de \( 45^\circ \) avec la verticale (vers la gauche, intensité \( 100 \text{ N} \)), et \( \vec{F}_2 \) fait un angle de \( 30^\circ \) avec la verticale (vers la droite, intensité \( 80 \text{ N} \)), déterminez graphiquement l'intensité et la direction de \( \vec{F}_3 \) pour que le panneau soit en équilibre. Utilisez une échelle de \( 1 \text{ cm} = 20 \text{ N} \). 2. Une chaise à bascule est soumise à un poids \( P = 500 \text{ N} \) appliqué à \( 0.2 \text{ m} \) du point d'appui avant (A). La chaise a deux points d'appui A et B distants de \( 0.8 \text{ m} \). Déterminez graphiquement les réactions \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) aux appuis. (On négligera le poids de la chaise). 3. Décrivez la différence principale entre le polygone des forces et le polygone funiculaire, et quand utiliser l'un ou l'autre. ### Devoirs 1. Un treuil soulève une charge de \( 200 \text{ kg} \) à l'aide d'un câble passant par une poulie. Le câble forme un angle de \( 20^\circ \) avec la verticale. Dessinez le diagramme des forces et déterminez graphiquement la tension dans le câble et la réaction au niveau de la poulie. 2. Une passerelle de longueur \( 6 \text{ m} \) et de poids \( 1500 \text{ N} \) (appliqué en son centre) est supportée par deux piliers aux extrémités. Une personne de \( 70 \text{ kg} \) se tient à \( 2 \text{ m} \) de l'un des piliers. En utilisant la méthode du polygone funiculaire, déterminez les réactions aux piliers. 3. Recherchez un exemple concret d'utilisation de la statique graphique dans le domaine de l'ingénierie civile ou mécanique (par exemple, analyse d'une ferme, d'un pont, d'un portique) et préparez une brève explication. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons consolidé notre compréhension de la **traduction graphique du Principe Fondamental de la Statique**. Nous avons appris à utiliser le **polygone des forces** pour analyser l'équilibre des forces concourantes et le **polygone funiculaire** pour gérer les forces non-concourantes et l'équilibre des moments. Ces outils graphiques sont essentiels pour visualiser et résoudre des problèmes d'équilibre statique dans des systèmes mécaniques réels. La maîtrise de ces méthodes vous permettra d'analyser et de concevoir des structures fiables et sûres. ## A - La Cotation Dimensionnelle Leçon 17B - Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l'action de 3 forces parallèles ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la résolution graphique des problèmes de statique. Après avoir revu les bases de la cotation dimensionnelle qui nous permet de lire et de comprendre les plans techniques, nous allons maintenant nous plonger dans l'étude des systèmes mécaniques soumis à des forces. Plus précisément, nous apprendrons à résoudre graphiquement des problèmes où un solide est en équilibre sous l'action de trois forces parallèles. Cette méthode est fondamentale pour analyser la stabilité et les contraintes dans de nombreuses structures et mécanismes. ### Concepts Clés #### 1. Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un solide soit en équilibre (c'est-à-dire immobile ou en mouvement rectiligne uniforme), il doit satisfaire deux conditions : * **Équilibre des forces :** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au solide doit être nulle. \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] * **Équilibre des moments :** La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle. \[ \sum \vec{M} = \vec{0} \] #### 2. Cas des Solides Soumis à l'Action de 3 Forces Parallèles Lorsque toutes les forces appliquées à un solide sont parallèles entre elles, le problème de leur équilibre peut être résolu efficacement par des méthodes graphiques. Ce cas est très fréquent en ingénierie, par exemple pour des poutres supportées ou des leviers. #### 3. Résolution Graphique : Méthode du Polygone des Forces (Dynamique) et du Polygone Funiculaire La résolution graphique se déroule en deux étapes principales : ##### a) Le Polygone des Forces (ou Dynamique) C'est une représentation des forces à l'échelle. Pour 3 forces parallèles \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3} \) en équilibre : 1. **Choisir une échelle des forces :** Par exemple, 1 cm représente 10 N. 2. **Représenter les forces connues :** Dessinez les vecteurs forces bout à bout, en respectant leur direction (verticale ou horizontale) et leur sens (vers le haut, vers le bas, etc.). 3. **Condition d'équilibre :** Si le solide est en équilibre, le polygone des forces doit se fermer. Pour des forces parallèles, cela signifie que la somme algébrique des intensités des forces (en tenant compte de leur sens) est nulle. Graphiquement, si vous placez les vecteurs bout à bout sur une ligne, l'extrémité du dernier vecteur doit coïncider avec l'origine du premier. * Si une force est inconnue, sa direction et son sens seront déterminés par la fermeture du polygone. ##### b) Le Polygone Funiculaire Le polygone funiculaire est utilisé pour déterminer la position (la ligne d'action) d'une force inconnue, ou pour vérifier l'équilibre des moments. 1. **Prolonger les lignes d'action :** Dessinez les lignes d'action des forces connues sur le schéma du solide. 2. **Choisir un point polaire (Pôle O) :** Dans le polygone des forces (qui est une droite pour les forces parallèles), choisissez un point arbitraire O, n'importe où, mais généralement en dehors de la ligne des forces pour une meilleure lisibilité. 3. **Tracer les rayons :** À partir du pôle O, tracez des segments (appelés rayons) vers les origines et les extrémités des vecteurs forces sur le polygone des forces. 4. **Construire le funiculaire :** Sur le schéma du solide : * Tracez un premier segment parallèle à l'un des rayons entre la ligne d'action de la première force et un point arbitraire (ce segment est souvent appelé ## A - La Tolérance dimensionnelle Leçon 18B - Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l'action de plus de 3 forces ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la résolution graphique des problèmes de statique. En technologie des systèmes mécaniques, il est crucial de comprendre comment les forces agissent sur un solide pour assurer sa stabilité et son bon fonctionnement. Dans cette leçon, nous allons approfondir le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en explorant une méthode graphique puissante pour analyser l'équilibre de solides soumis à l'action de plus de trois forces. Nous aborderons comment construire le polygone des forces pour déterminer des grandeurs inconnues. Nous ferons également une brève mention de la tolérance dimensionnelle, un concept essentiel en conception mécanique qui influence la précision des systèmes réels. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le Principe Fondamental de la Statique est la base de l'étude de l'équilibre des solides. Il stipule que pour qu'un solide soit en équilibre (c'est-à-dire immobile ou en mouvement rectiligne uniforme), deux conditions doivent être remplies : 1. **La somme vectorielle de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le solide est nulle.** \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] Cela signifie que les forces se compensent et qu'il n'y a pas de translation. Graphiquement, cela se traduit par un polygone des forces fermé. 2. **La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point est nulle.** \[ \sum \vec{M}_A (\vec{F}_{ext}) = \vec{0} \] Cela signifie que les forces ne provoquent pas de rotation. En résolution graphique, cette condition est souvent implicitement satisfaite par la fermeture du polygone des forces lorsque les forces sont concourantes ou parallèles. #### Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de Solides Soumis à Plus de 3 Forces Pour des systèmes simples avec seulement deux ou trois forces, la résolution graphique implique la construction d'un segment unique ou d'un triangle des forces. Lorsque le nombre de forces est supérieur à trois, la méthode s'étend à la construction d'un polygone des forces. ##### Le Polygone des Forces Le polygone des forces est une représentation graphique de l'équilibre des forces. Pour un solide en équilibre, si l'on trace tous les vecteurs force bout à bout (tête-à-queue), le dernier vecteur doit ramener au point de départ du premier. Le polygone doit être **fermé**. ##### Démarche de Résolution Graphique (Plus de 3 Forces) 1. **Isoler le solide :** Délimitez clairement le solide dont vous étudiez l'équilibre. Dessinez-le schématiquement. 2. **Identifier toutes les forces extérieures :** Listez toutes les forces agissant sur le solide (poids, actions de contact, actions à distance, etc.). Pour chaque force, identifiez ses caractéristiques : point d'application, direction, sens et intensité (connue ou inconnue). 3. **Choisir une échelle des forces :** C'est crucial pour la précision. Par exemple, 1 cm sur le dessin représente 10 N en réalité. \( \text{Échelle} = \frac{\text{Longueur dessinée (cm)}}{\text{Intensité réelle (N)}} \) 4. **Tracer les forces connues :** À partir d'un point de départ arbitraire (origine du polygone), tracez successivement et sans interruption les vecteurs représentant les forces dont vous connaissez l'intensité et la direction, en respectant l'échelle et en les plaçant "bout à bout". 5. **Fermer le polygone avec les forces inconnues :** * Si une force inconnue a une direction connue mais une intensité inconnue, tracez une ligne d'action parallèle à cette direction depuis l'extrémité du dernier vecteur tracé. * Si une autre force inconnue (la dernière) a aussi une direction connue et une intensité inconnue, tracez une ligne d'action parallèle à sa direction depuis l'origine du polygone. * L'intersection de ces deux lignes d'action vous donnera la fermeture du polygone et permettra de déterminer graphiquement les intensités et sens des forces inconnues. 6. **Mesurer et calculer :** Mesurez les longueurs des vecteurs des forces inconnues sur votre polygone. Utilisez l'échelle choisie à l'étape 3 pour convertir ces longueurs en intensités réelles. Vérifiez également le sens des vecteurs. #### Brève Note sur la Tolérance Dimensionnelle La **tolérance dimensionnelle** est l'écart maximal acceptable entre la dimension nominale (théorique) d'une pièce et sa dimension réelle mesurée. Elle est exprimée par un intervalle de valeurs. Bien que la résolution graphique de la statique suppose des dimensions parfaites, dans la réalité de l'ingénierie mécanique, chaque pièce a des variations de fabrication dues à cette tolérance. Ces variations peuvent légèrement modifier les points d'application des forces ou les bras de levier, influençant ainsi la répartition des forces et la précision des calculs d'équilibre. Lors de la conception, il est essentiel de prendre en compte ces tolérances pour s'assurer que le système reste stable et fonctionnel même avec les variations de fabrication. ### Vocabulaire Clé * **Statique :** Étude de l'équilibre des corps, c'est-à-dire des corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et la somme des moments qui lui sont appliqués sont nulles. * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. Représentée par un vecteur. * **Vecteur :** Représentation mathématique d'une grandeur ayant une direction, un sens et une intensité (ou module). * **Résultante :** Somme vectorielle de plusieurs forces agissant sur un corps. * **Polygone des forces :** Représentation graphique des forces s'exerçant sur un solide, où les vecteurs forces sont tracés bout à bout. Il doit être fermé pour un corps en équilibre. * **Échelle :** Rapport entre une grandeur représentée sur un dessin et sa grandeur réelle. * **Solide isolé :** Le corps dont on étudie l'équilibre, séparé mentalement de son environnement pour identifier toutes les forces externes qui s'y appliquent. * **Tolérance dimensionnelle :** Plage de valeurs acceptables pour la dimension d'une pièce manufacturée, par rapport à sa dimension théorique. ### Exemples Pratiques Considérons un objet (un solide S) soumis à l'action de quatre forces : \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \), \( \vec{F_3} \) et \( \vec{F_4} \). Nous savons que le solide est en équilibre. * \( \vec{F_1} \) : 100 N, direction 0° (horizontale vers la droite) * \( \vec{F_2} \) : 150 N, direction 90° (verticale vers le haut) * \( \vec{F_3} \) : direction 225° (diagonale vers le bas-gauche), intensité inconnue (\(F_3\)) * \( \vec{F_4} \) : direction 315° (diagonale vers le bas-droite), intensité inconnue (\(F_4\)) **Démarche de résolution graphique :** 1. **Échelle :** Choisissons une échelle de 1 cm pour 50 N. * \( \vec{F_1} \) sera représenté par un vecteur de \( \frac{100 \text{ N}}{50 \text{ N/cm}} = 2 \text{ cm} \) * \( \vec{F_2} \) sera représenté par un vecteur de \( \frac{150 \text{ N}}{50 \text{ N/cm}} = 3 \text{ cm} \) 2. **Construction du polygone :** * Partir d'un point A. Tracer un vecteur \( \vec{AB} \) de 2 cm vers la droite (représentant \( \vec{F_1} \)). * À l'extrémité B, tracer un vecteur \( \vec{BC} \) de 3 cm vers le haut (représentant \( \vec{F_2} \)). * À l'extrémité C, tracer une ligne d'action partant à 225° (direction de \( \vec{F_3} \)). * Depuis le point de départ A, tracer une ligne d'action partant à 315° (direction de \( \vec{F_4} \)). * L'intersection de ces deux lignes d'action définira le point D. Le vecteur \( \vec{CD} \) représente \( \vec{F_3} \) et le vecteur \( \vec{DA} \) représente \( \vec{F_4} \). 3. **Mesure et calcul :** * Mesurer la longueur de \( \vec{CD} \) (par exemple, 2,8 cm). Donc \( F_3 = 2.8 \text{ cm} \times 50 \text{ N/cm} = 140 \text{ N} \). * Mesurer la longueur de \( \vec{DA} \) (par exemple, 2,1 cm). Donc \( F_4 = 2.1 \text{ cm} \times 50 \text{ N/cm} = 105 \text{ N} \). Ce polygone fermé confirme l'équilibre et permet de déterminer les intensités inconnues. ### Exercices 1. Un panneau publicitaire rectangulaire est suspendu horizontalement par quatre câbles. Le poids du panneau est de 800 N. Les câbles 1 et 2 ont des tensions connues de 250 N chacun et sont orientés verticalement. Les câbles 3 et 4 sont inclinés à 45° par rapport à l'horizontale et leurs tensions sont inconnues. Déterminez graphiquement les tensions des câbles 3 et 4 pour que le panneau reste en équilibre. * Indication : Pensez à l'orientation du poids (vertical vers le bas). Choisissez une échelle appropriée. 2. Un palan manuel soulève une charge. La force du poids \( \vec{P} \) est de 1200 N (verticale vers le bas). L'opérateur applique une force \( \vec{F_O} \) horizontale de 300 N. Le système est maintenu par deux autres forces, \( \vec{R_1} \) et \( \vec{R_2} \), dont les directions sont connues (par exemple, \( \vec{R_1} \) à 60° par rapport à l'horizontale vers le haut-gauche, et \( \vec{R_2} \) à 30° par rapport à l'horizontale vers le bas-gauche). Déterminez graphiquement les intensités de \( \vec{R_1} \) et \( \vec{R_2} \). ### Devoirs 1. Un pont provisoire est supporté par 5 appuis. Les forces exercées par les trois appuis centraux sont \( \vec{F_1} \) = 5 kN (verticale), \( \vec{F_2} \) = 7 kN (verticale) et \( \vec{F_3} \) = 6 kN (verticale). Les appuis d'extrémité \( \vec{F_4} \) et \( \vec{F_5} \) sont également verticaux, mais leurs intensités sont inconnues. Si le poids total du pont est de 25 kN, réparti uniformément, déterminez graphiquement les forces \( \vec{F_4} \) et \( \vec{F_5} \). (Indication : Le poids agit comme une force unique au centre de gravité. Vous devrez peut-être considérer les forces comme s'appliquant sur un même point pour la résolution graphique simple, ou décomposer le problème si le pont est modélisé de manière plus complexe). 2. Imaginez un système d'accrochage d'une sculpture murale. La sculpture pèse 500 N. Elle est retenue par trois câbles : \( \vec{C_1} \) (vertical, tension inconnue), \( \vec{C_2} \) (angle de 30° avec l'horizontale vers le haut-gauche, tension inconnue), et \( \vec{C_3} \) (angle de 60° avec l'horizontale vers le haut-droite, tension de 200 N). Déterminez graphiquement la tension des câbles \( \vec{C_1} \) et \( \vec{C_2} \). ### Résumé En résumé, cette leçon vous a familiarisés avec la résolution graphique des problèmes de statique pour des solides soumis à plus de trois forces. Les points clés à retenir sont : * Le **Principe Fondamental de la Statique** exige que la somme des forces et la somme des moments soient nulles pour qu'un corps soit en équilibre. * La méthode graphique de résolution repose sur la construction d'un **polygone des forces fermé**. Si le polygone n'est pas fermé, le système n'est pas en équilibre. * Pour un nombre élevé de forces, cette méthode est particulièrement utile pour **visualiser et déterminer les grandeurs inconnues** (intensités ou directions) des forces. * Une **échelle de forces** précise est essentielle pour obtenir des résultats fiables. * La **tolérance dimensionnelle**, bien que non directement calculée par cette méthode, est un facteur important en conception réelle qui influence la précision des systèmes mécaniques. C'est pourquoi nos calculs graphiques sont souvent basés sur des dimensions idéales. Maîtriser cette technique vous permettra d'analyser et de concevoir des systèmes mécaniques plus complexes, en assurant leur stabilité et leur sécurité.