4B : EQUILIBRE D'UN CORPS SOLIDE (partie 2/2)

## A - Les Intersections de Surfaces : Intersection Cylindre-Plan Leçon 12B - Résolution Analytique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l'action de 2 ou 3 forces ### Introduction Cette leçon est divisée en deux parties principales. La première partie explorera la géométrie des intersections entre un cylindre et un plan, un concept fondamental en dessin technique et en conception. La seconde partie se concentrera sur la statique des corps solides, en particulier comment analyser et résoudre analytiquement les problèmes d'équilibre pour des objets soumis à l'action de deux ou trois forces. Comprendre ces principes est essentiel pour concevoir des structures stables et sûres en technologie des systèmes mécaniques. ### Key Concepts ### I. Les Intersections de Surfaces : Intersection Cylindre-Plan #### 1. Introduction aux Intersections Une intersection de surfaces est la ligne ou l'ensemble de lignes formé(es) lorsque deux ou plusieurs surfaces se rencontrent ou se coupent. En dessin technique, la capacité à visualiser et à représenter ces intersections est cruciale pour la fabrication et l'assemblage de pièces. #### 2. Rappel sur le Cylindre et le Plan * **Cylindre:** Une surface générée par une droite (génératrice) se déplaçant parallèlement à une direction fixe (axe du cylindre) le long d'une courbe fermée (directrice). Dans notre cas, nous considérerons souvent des cylindres de révolution (directrice est un cercle). * **Plan:** Une surface plane, infinie, bidimensionnelle. #### 3. Types d'Intersections Cylindre-Plan L'apparence de l'intersection dépend de l'orientation du plan par rapport à l'axe du cylindre. * **Plan parallèle à l'axe du cylindre:** * Si le plan passe à travers le cylindre, l'intersection sera **deux droites parallèles**. * Si le plan est tangent au cylindre, l'intersection sera **une seule droite** (droite génératrice). * **Plan perpendiculaire à l'axe du cylindre:** * L'intersection sera un **cercle**, si le plan coupe le cylindre. * **Plan oblique (incliné) par rapport à l'axe du cylindre:** * L'intersection sera généralement une **ellipse**, si le plan coupe entièrement le cylindre. * Si le plan est très incliné et ne coupe qu'une partie du cylindre, l'intersection peut être plus complexe (par exemple, une partie d'ellipse). ### II. Résolution Analytique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l'action de 2 ou 3 forces #### 1. Définition de la Statique et de l'Équilibre * **Statique:** Branche de la mécanique qui étudie les conditions d'équilibre des corps (objets au repos ou se déplaçant à vitesse constante). * **Équilibre d'un corps solide:** Un corps est en équilibre si son accélération linéaire est nulle (pas de mouvement de translation) et son accélération angulaire est nulle (pas de mouvement de rotation). #### 2. Conditions d'Équilibre Générales Pour qu'un corps rigide soit en équilibre, deux conditions doivent être remplies simultanément: 1. **Condition d'équilibre de translation:** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le corps est nulle. \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] Ceci se traduit par l'annulation des sommes des composantes des forces selon chaque axe du repère choisi: \[ \sum F_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \] \[ \sum F_z = 0 \] (pour un problème 3D, mais nous nous concentrerons sur 2D pour le moment) 2. **Condition d'équilibre de rotation:** La somme des moments (ou couples) de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point est nulle. \[ \sum \vec{M} = \vec{0} \] Ou, en 2D, la somme des moments scalaires: \[ \sum M = 0 \] #### 3. Cas des Solides Soumis à 2 Forces Lorsqu'un corps solide est soumis à l'action de seulement deux forces extérieures \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \), les conditions d'équilibre sont très spécifiques : * Les deux forces doivent être **collinéaires**: elles doivent agir le long de la même ligne d'action. * Les deux forces doivent avoir des **directions opposées**. * Les deux forces doivent avoir des **intensités égales**. Autrement dit, \( \vec{F_1} = - \vec{F_2} \). *Exemple:* Un objet suspendu par une corde est soumis à son poids (force vers le bas) et à la tension de la corde (force vers le haut). Pour l'équilibre, ces deux forces doivent être égales en magnitude et opposées. #### 4. Cas des Solides Soumis à 3 Forces Pour un corps solide en équilibre sous l'action de trois forces extérieures \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3} \) coplanaires, des propriétés importantes apparaissent: * **Condition de concourance ou de parallélisme:** Si les trois forces ne sont pas parallèles entre elles, leurs lignes d'action doivent impérativement être **concourantes** (se croiser en un seul point). Si deux des forces sont parallèles, la troisième doit également être parallèle aux deux premières pour l'équilibre. * **Résolution Analytique:** Pour résoudre analytiquement un problème d'équilibre avec trois forces, nous utilisons les conditions d'équilibre de translation: 1. **Choisir un système de coordonnées:** Généralement cartésien (x, y). 2. **Décomposer chaque force en ses composantes** selon les axes x et y. Une force \( \vec{F} \) faisant un angle \( \theta \) avec l'axe des x a des composantes: \( F_x = F \cos \theta \) \( F_y = F \sin \theta \) 3. **Appliquer les équations d'équilibre:** \[ \sum F_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \] 4. **Résoudre le système d'équations:** On obtient généralement deux équations à deux inconnues (si la direction et l'intensité d'une force sont inconnues, ou les intensités de deux forces, etc.). * **Théorème de Lamy:** Ce théorème est très utile pour trois forces coplanaires et concourantes en équilibre. Il stipule que si trois forces \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3} \) maintiennent un corps en équilibre et sont concourantes, alors l'intensité de chaque force est proportionnelle au sinus de l'angle compris entre les deux autres forces. Si \( \alpha \) est l'angle entre \( \vec{F_2} \) et \( \vec{F_3} \), \( \beta \) l'angle entre \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_3} \), et \( \gamma \) l'angle entre \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \), alors: \[ \frac{F_1}{\sin \alpha} = \frac{F_2}{\sin \beta} = \frac{F_3}{\sin \gamma} \] Il est important que les angles \( \alpha, \beta, \gamma \) soient les angles *entre les forces*, mesurés de manière à ce que leur somme soit 360 degrés autour du point de concourance. #### 5. Étapes de Résolution d'un Problème de Statique 1. **Isoler le corps:** Dessiner le corps libre et y représenter toutes les forces externes agissant sur lui (diagramme de corps libre). 2. **Choisir un repère:** Un système d'axes cartésiens (x, y) approprié, souvent aligné avec une ou plusieurs forces. 3. **Décomposer les forces:** Exprimer chaque force en ses composantes selon les axes choisis. 4. **Appliquer les équations d'équilibre:** \( \sum F_x = 0 \) et \( \sum F_y = 0 \). 5. **Résoudre le système d'équations:** Calculer les inconnues (intensités de forces, angles, etc.). 6. **(Optionnel, pour 3 forces concourantes) Appliquer le théorème de Lamy** si cela simplifie les calculs. ### Vocabulary * **Intersection:** Ligne ou surface où deux objets ou surfaces se rencontrent. * **Cylindre de révolution:** Un cylindre dont la directrice est un cercle et dont les génératrices sont perpendiculaires aux bases. * **Plan:** Surface plate et bidimensionnelle. * **Statique:** Étude de l'équilibre des corps. * **Équilibre:** État où un corps ne subit ni accélération de translation ni accélération de rotation. * **Force:** Action capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps (grandeur vectorielle). * **Moment d'une force (ou couple):** Tendance d'une force à provoquer une rotation autour d'un point ou d'un axe. * **Collinearité:** Qui agit le long de la même ligne. * **Concourant:** Dont les lignes d'action se rencontrent en un seul point. * **Composante de force:** Projection d'une force sur un axe donné. * **Théorème de Lamy:** Relation entre les intensités de trois forces concourantes en équilibre et les sinus des angles entre elles. ### Examples **Exemple 1: Intersection Cylindre-Plan** Imaginez un tuyau cylindrique (un cylindre) et une lame de scie (un plan). * Si vous coupez le tuyau perpendiculairement à son axe, la forme du trou est un **cercle**. * Si vous coupez le tuyau en biais (en angle), la forme du trou est une **ellipse**. * Si vous posez la lame de scie le long du tuyau, tangentiellement, l'intersection est une **ligne droite**. **Exemple 2: Solide soumis à 2 forces (Lampe suspendue)** Une lampe de 5 kg est suspendue au plafond par un câble. Quelle est la tension dans le câble? 1. **Corps libre:** La lampe. 2. **Forces:** * Poids (\( \vec{P} \)) de la lampe, dirigé vers le bas. \( P = mg \). * Tension (\( \vec{T} \)) du câble, dirigée vers le haut. 3. **Conditions d'équilibre:** La lampe est au repos, donc \( \sum \vec{F} = \vec{0} \). Les deux forces sont collinéaires et opposées. \( \vec{T} + \vec{P} = \vec{0} \) En prenant le haut comme positif, \( T - P = 0 \), donc \( T = P \). 4. **Calcul:** \( P = 5 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 = 49.05 \, \text{N} \). Donc, la tension dans le câble est \( T = 49.05 \, \text{N} \). **Exemple 3: Solide soumis à 3 forces (Panneau suspendu par deux câbles)** Un panneau de signalisation de 100 N est suspendu par deux câbles. Le câble A fait un angle de 30° avec l'horizontale, et le câble B fait un angle de 60° avec l'horizontale. Déterminez la tension dans chaque câble (\( T_A \) et \( T_B \)). 1. **Corps libre:** Le panneau. 2. **Forces:** * Poids (\( \vec{P} \)) = 100 N, vers le bas. * Tension du câble A (\( \vec{T_A} \)), à 30° de l'horizontale (vers la gauche). * Tension du câble B (\( \vec{T_B} \)), à 60° de l'horizontale (vers la droite). 3. **Repère:** Axes x (horizontal) et y (vertical). 4. **Décomposition des forces:** * \( \vec{P} = (0, -100 \, \text{N}) \) * \( \vec{T_A} = (T_A \cos 30^\circ, T_A \sin 30^\circ) \) (Assumons l'angle est par rapport à l'horizontale positive si dirigée vers la droite, donc pour \( \vec{T_A} \) dirigée vers la gauche/haut, l'angle avec l'axe x positif est \( 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \) ou ses composantes seront \( (-T_A \cos 30^\circ, T_A \sin 30^\circ) \)). Pour l'exemple, nous allons utiliser les composantes directement avec la direction. \( T_{Ax} = -T_A \cos 30^\circ \) \( T_{Ay} = T_A \sin 30^\circ \) * \( T_{Bx} = T_B \cos 60^\circ \) \( T_{By} = T_B \sin 60^\circ \) 5. **Équations d'équilibre:** * \( \sum F_x = 0 \): \( -T_A \cos 30^\circ + T_B \cos 60^\circ = 0 \) \( -T_A (0.866) + T_B (0.5) = 0 \quad (Eq. 1) \) * \( \sum F_y = 0 \): \( T_A \sin 30^\circ + T_B \sin 60^\circ - 100 = 0 \) \( T_A (0.5) + T_B (0.866) - 100 = 0 \quad (Eq. 2) \) 6. **Résolution du système:** De l'Eq. 1: \( T_B (0.5) = T_A (0.866) \Rightarrow T_B = T_A \frac{0.866}{0.5} = 1.732 T_A \) Substituer dans l'Eq. 2: \( T_A (0.5) + (1.732 T_A) (0.866) - 100 = 0 \) \( 0.5 T_A + 1.5 T_A - 100 = 0 \) \( 2 T_A = 100 \) \( T_A = 50 \, \text{N} \) Maintenant, trouver \( T_B \): \( T_B = 1.732 \times 50 = 86.6 \, \text{N} \) Donc, \( T_A = 50.0 \, \text{N} \) et \( T_B = 86.6 \, \text{N} \). **Alternative avec le Théorème de Lamy pour l'Exemple 3:** Les trois forces (\( \vec{P}, \vec{T_A}, \vec{T_B} \)) sont concourantes au point de suspension. * Angle entre \( \vec{T_B} \) et \( \vec{P} \): \( 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \). * Angle entre \( \vec{T_A} \) et \( \vec{P} \): \( 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \). * Angle entre \( \vec{T_A} \) et \( \vec{T_B} \): \( 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ \). Appliquer le Théorème de Lamy: \[ \frac{T_A}{\sin 120^\circ} = \frac{T_B}{\sin 150^\circ} = \frac{P}{\sin 90^\circ} \] Sachant que \( P = 100 \, \text{N} \), \( \sin 90^\circ = 1 \), \( \sin 120^\circ \approx 0.866 \), \( \sin 150^\circ = 0.5 \). \[ \frac{T_A}{0.866} = \frac{T_B}{0.5} = \frac{100}{1} \] \[ T_A = 100 \times 0.866 \approx 86.6 \, \text{N} \] \[ T_B = 100 \times 0.5 = 50 \, \text{N} \] *(Correction: Dans l'exemple précédent, les angles étaient assignés différemment. Le Th. de Lamy est \( F_1 / \sin \alpha = F_2 / \sin \beta = F_3 / \sin \gamma \) où \( \alpha \) est l'angle *opposé* à \( F_1 \), etc. Vérification pour le cas présent: \( T_A \) est opposé à l'angle entre \( T_B \) et \( P \) qui est \( 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \). \( T_B \) est opposé à l'angle entre \( T_A \) et \( P \) qui est \( 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \). \( P \) est opposé à l'angle entre \( T_A \) et \( T_B \) qui est \( 90^\circ \). Donc la formule correcte est: \[ \frac{T_A}{\sin 150^\circ} = \frac{T_B}{\sin 120^\circ} = \frac{P}{\sin 90^\circ} \] \( T_A = 100 \times \sin 150^\circ = 100 \times 0.5 = 50 \, \text{N} \) \( T_B = 100 \times \sin 120^\circ = 100 \times 0.866 = 86.6 \, \text{N} \) Les résultats sont maintenant cohérents avec la méthode analytique.) ### Exercises **Exercice 1: Intersection de Surfaces** Décrivez et dessinez l'intersection entre: 1. Un plan coupant un cylindre horizontalement, parallèlement à son axe. 2. Un plan coupant un cylindre verticalement, perpendiculairement à son axe. 3. Un plan coupant un cylindre en biais (obliquement) par rapport à son axe. **Exercice 2: Équilibre à 2 Forces** Un livre de 1.5 kg repose sur une table horizontale. 1. Quelles sont les deux forces agissant sur le livre? Représentez-les sur un diagramme. 2. Quelle est la valeur de chacune de ces forces? (Prenez \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)). 3. Pourquoi le livre est-il en équilibre? **Exercice 3: Équilibre à 3 Forces (Analyse Analytique)** Un poids de 200 N est suspendu par deux cordes. La corde 1 fait un angle de 45° avec l'horizontale et la corde 2 fait un angle de 30° avec l'horizontale. (Imaginez un point d'où partent deux cordes vers le haut et l'extérieur, et une corde vers le bas attachée au poids). Déterminez les tensions (\( T_1 \) et \( T_2 \)) dans les deux cordes en utilisant: 1. La méthode des composantes analytiques. 2. Le théorème de Lamy. (Vérifiez si le résultat est le même). ### Assignment **Devoir 1: Conception et Intersection** Vous concevez une nouvelle pièce de machine qui nécessite de couper un cylindre creux (comme un tube) avec un plan à un angle de 45° par rapport à son axe. 1. Dessinez une vue en perspective de cette situation. 2. Décrivez précisément la forme de l'intersection résultante. 3. Expliquez pourquoi la forme est celle-ci. **Devoir 2: Problème d'Équilibre (3 forces)** Un tableau d'affichage de 50 N est accroché à un mur à l'aide d'une charnière en son point A et d'un câble tendu en son point B. Le câble est attaché au mur au point C. La charnière A est située à 0.5 m en dessous de B. Le câble BC fait un angle de 40° avec la verticale. Le poids du tableau agit au centre du tableau. 1. Dessinez le diagramme de corps libre du tableau, en y incluant la réaction de la charnière (qui aura des composantes horizontale et verticale), la tension du câble et le poids du tableau. 2. Appliquez les conditions d'équilibre pour déterminer la tension dans le câble et les composantes de la réaction de la charnière. (Indice: Pour calculer les moments, choisissez un point qui simplifie les calculs, par exemple le point A pour éliminer les forces de la charnière). **Devoir 3: Réflexion** Expliquez en vos propres mots pourquoi les conditions d'équilibre de translation (somme des forces = 0) et de rotation (somme des moments = 0) sont toutes deux nécessaires pour qu'un corps rigide soit en équilibre statique. Donnez un exemple où l'une des conditions est remplie mais pas l'autre, et décrivez ce qui se passe pour le corps. ### Summary Cette leçon a abordé deux concepts fondamentaux en technologie des systèmes mécaniques. Premièrement, nous avons exploré les **intersections entre un cylindre et un plan**, comprenant que la forme de l'intersection (droites, cercle, ellipse) dépend de l'orientation relative du plan et de l'axe du cylindre. La capacité à visualiser et à dessiner ces intersections est une compétence clé en conception. Deuxièmement, nous avons étudié la **résolution analytique des problèmes de statique** pour les corps soumis à deux ou trois forces. Nous avons appris que l'équilibre nécessite l'annulation de la somme des forces (équilibre de translation) et de la somme des moments (équilibre de rotation). Pour deux forces, l'équilibre implique des forces collinéaires, égales et opposées. Pour trois forces concourantes, nous avons vu comment décomposer les forces en composantes et appliquer \( \sum F_x = 0 \) et \( \sum F_y = 0 \), ainsi que l'utilisation pratique du **Théorème de Lamy** pour simplifier les calculs. Maîtriser ces techniques est essentiel pour garantir la stabilité et la sécurité des structures et des mécanismes. ## ACTIVITES D'INTEGRATION ### Introduction Ces activités d'intégration ont pour objectif de consolider vos connaissances sur l'équilibre des corps solides. Nous allons récapituler les principes fondamentaux, puis appliquer une méthodologie rigoureuse pour résoudre des problèmes concrets. Il s'agit de mettre en pratique tout ce que vous avez appris pour analyser et comprendre le comportement des systèmes mécaniques sous l'action de différentes forces. ### Concepts Clés #### Rappel des Conditions d'Équilibre d'un Corps Solide Pour qu'un corps solide soit en équilibre, c'est-à-dire sans mouvement (statique) ou en mouvement rectiligne uniforme, deux conditions doivent être simultanément remplies. Ces conditions sont connues sous le nom de **Principe Fondamental de la Statique (PFS)**. ##### 1. Condition d'Équilibre en Translation (Somme des Forces) La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au corps doit être nulle. Cela signifie que le corps n'a pas tendance à se déplacer. \[ \Sigma \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] En projection sur les axes d'un repère (O, \( \vec{x} \), \( \vec{y} \), \( \vec{z} \)), cela se traduit par : * \( \Sigma F_x = 0 \) * \( \Sigma F_y = 0 \) * \( \Sigma F_z = 0 \) ##### 2. Condition d'Équilibre en Rotation (Somme des Moments) La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point (ou axe) doit être nulle. Cela signifie que le corps n'a pas tendance à tourner. \[ \Sigma \vec{M}_{ext / A} = \vec{0} \] Où \( A \) est un point arbitraire de l'espace. En projection : * \( \Sigma M_x = 0 \) * \( \Sigma M_y = 0 \) * \( \Sigma M_z = 0 \) #### Actions Mécaniques et Liaisons Les actions mécaniques sont les forces et les moments exercés sur un corps. Elles peuvent être : * **Actions à distance :** Comme le poids (force de gravité) qui s'applique au centre de gravité. * **Actions de contact :** Exercées par les liaisons ou d'autres corps en contact. Elles sont souvent appelées **réactions** des liaisons. | Type de Liaison | Degrés de Liberté Bloqués | Réactions Transmises | | :-------------- | :----------------------- | :------------------- | | Appui plan | Translation normale | 1 force normale | | Pivot glissant | 2 Translations | 2 forces | | Pivot | 2 Translations, 1 Rotation (axe) | 2 forces | | Glissière | 2 Rotations, 2 Translations (plan) | 2 forces, 1 moment (axe) | | Encastrement | 3 Translations, 3 Rotations | 3 forces, 3 moments | #### Méthodologie de Résolution des Problèmes d'Équilibre Pour résoudre un problème d'équilibre, suivez ces étapes structurées : 1. **Isoler le Système :** Définir précisément le corps ou l'ensemble de corps que vous allez étudier. C'est l'étape la plus cruciale. 2. **Inventaire des Actions Mécaniques Extérieures :** Lister toutes les forces connues (poids, forces appliquées) et inconnues (réactions des liaisons) qui agissent sur le système isolé. 3. **Tracer le Diagramme de Corps Libre (DCL) :** Représenter graphiquement le système isolé avec tous les vecteurs forces et moments appliqués. C'est une visualisation essentielle. 4. **Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) :** Écrire les équations d'équilibre (somme des forces nulle et somme des moments nulle) en projetant les vecteurs sur un repère choisi judicieusement. 5. **Résoudre le Système d'Équations :** Résoudre les équations obtenues pour déterminer les inconnues (généralement les réactions des liaisons ou des forces appliquées). ### Vocabulaire * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et des moments qui lui sont appliqués est nulle. Le corps est immobile ou se déplace à vitesse constante. * **Force (\( \vec{F} \)) :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. Son unité est le Newton (N). * **Moment d'une force (\( \vec{M} \)) :** Mesure de la tendance d'une force à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe. \( \vec{M}_{/A} = \vec{AP} \times \vec{F} \), où \( P \) est le point d'application de la force. Son unité est le Newton-mètre (Nm). * **Réaction :** Force ou moment exercé par un appui ou une liaison sur le corps étudié. * **Liaison :** Dispositif mécanique qui limite les mouvements relatifs entre deux pièces (ex: pivot, glissière, encastrement). * **Centre de Gravité (CdG) :** Point d'application de la résultante des forces de pesanteur s'exerçant sur un corps. * **Diagramme de Corps Libre (DCL) :** Schéma du corps isolé, représentant toutes les forces et moments extérieurs agissant sur lui. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre en équilibre Une poutre homogène de longueur \( L = 4 \text{ m} \) et de masse \( M = 100 \text{ kg} \) est posée horizontalement. Elle est articulée en \( A \) (liaison pivot) et repose sur un appui simple en \( B \) à \( 3 \text{ m} \) de \( A \). Une charge ponctuelle de \( F = 500 \text{ N} \) est appliquée à \( 1 \text{ m} \) de \( A \). **Objectif :** Déterminer les réactions en \( A \) et \( B \). 1. **Système isolé :** La poutre. 2. **Actions mécaniques :** * Poids de la poutre \( \vec{P} \) appliqué au milieu de la poutre (à \( L/2 = 2 \text{ m} \) de \( A \)). \( P = M \cdot g = 100 \cdot 9.81 = 981 \text{ N} \). * Force appliquée \( \vec{F} \) à \( 1 \text{ m} \) de \( A \). * Réaction \( \vec{R}_A \) en \( A \) (liaison pivot, donc \( R_{Ax} \) et \( R_{Ay} \)). * Réaction \( \vec{R}_B \) en \( B \) (appui simple, donc seulement \( R_{By} \) perpendiculaire à la poutre). 3. **DCL :** Représenter la poutre avec \( \vec{P} \), \( \vec{F} \), \( \vec{R}_A \) (avec ses composantes) et \( \vec{R}_B \). 4. **PFS :** * **Somme des forces :** * \( \Sigma F_x = R_{Ax} = 0 \) * \( \Sigma F_y = R_{Ay} + R_{By} - P - F = 0 \) * **Somme des moments par rapport à A :** (pour éliminer \( R_A \) des équations de moment) * \( \Sigma M_{/A} = (1 \text{ m}) \cdot (-F) + (2 \text{ m}) \cdot (-P) + (3 \text{ m}) \cdot R_{By} = 0 \) 5. **Résolution :** * De \( \Sigma F_x = 0 \), on a \( R_{Ax} = 0 \). * De \( \Sigma M_{/A} = 0 \) : \( -1F - 2P + 3R_{By} = 0 \) \( -1(500) - 2(981) + 3R_{By} = 0 \) \( -500 - 1962 + 3R_{By} = 0 \) \( 3R_{By} = 2462 \) \( R_{By} = 2462 / 3 \approx 820.67 \text{ N} \) * De \( \Sigma F_y = 0 \) : \( R_{Ay} + R_{By} - P - F = 0 \) \( R_{Ay} + 820.67 - 981 - 500 = 0 \) \( R_{Ay} - 660.33 = 0 \) \( R_{Ay} = 660.33 \text{ N} \) #### Exemple 2 : Grue de levage Un bras de grue de longueur \( L = 5 \text{ m} \) et de masse négligeable est articulé en \( A \) à sa base (liaison pivot). Il est maintenu en position horizontale par un vérin hydraulique \( BC \) qui relie le point \( B \) du bras (à \( 2 \text{ m} \) de \( A \)) à un point \( C \) verticalement sous \( B \) et à une distance \( h = 1.5 \text{ m} \) de \( B \). La grue soulève une charge de \( 1000 \text{ kg} \) en \( D \) (à l'extrémité du bras). (L'angle \( \alpha \) du vérin par rapport à l'horizontale peut être calculé.) **Objectif :** Déterminer la force \( F_{verin} \) dans le vérin et les réactions en \( A \). 1. **Système isolé :** Le bras de grue. 2. **Actions mécaniques :** * Poids de la charge \( \vec{P}_{charge} = 1000 \cdot 9.81 = 9810 \text{ N} \) appliqué en \( D \). * Force du vérin \( \vec{F}_{verin} \) appliquée en \( B \), dirigée selon l'axe \( BC \). L'angle \( \alpha \) du vérin avec l'horizontale est \( \arctan(h / ext{AB}) = \arctan(1.5/2) \approx 36.87^ ext{o} \). * Réaction \( \vec{R}_A \) en \( A \) (composantes \( R_{Ax} \) et \( R_{Ay} \)). 3. **DCL :** Représenter le bras, \( \vec{P}_{charge} \), \( \vec{F}_{verin} \) (avec ses composantes) et \( \vec{R}_A \). 4. **PFS :** * **Somme des forces :** * \( \Sigma F_x = R_{Ax} + F_{verin} \cos(\alpha) = 0 \) * \( \Sigma F_y = R_{Ay} + F_{verin} \sin(\alpha) - P_{charge} = 0 \) * **Somme des moments par rapport à A :** (pour éliminer \( R_A \)) * \( \Sigma M_{/A} = (2 \text{ m}) \cdot F_{verin} \sin(\alpha) - (5 \text{ m}) \cdot P_{charge} = 0 \) 5. **Résolution :** * De \( \Sigma M_{/A} = 0 \) : \( 2 F_{verin} \sin(\alpha) - 5 P_{charge} = 0 \) \( 2 F_{verin} \sin(36.87^ ext{o}) - 5(9810) = 0 \) \( 2 F_{verin} (0.6) - 49050 = 0 \) \( 1.2 F_{verin} = 49050 \) \( F_{verin} = 49050 / 1.2 \approx 40875 \text{ N} \) * De \( \Sigma F_x = 0 \) : \( R_{Ax} = -F_{verin} \cos(\alpha) = -40875 \cdot \cos(36.87^ ext{o}) \approx -40875 \cdot 0.8 \approx -32700 \text{ N} \) * De \( \Sigma F_y = 0 \) : \( R_{Ay} = P_{charge} - F_{verin} \sin(\alpha) = 9810 - 40875 \cdot 0.6 \approx 9810 - 24525 \approx -14715 \text{ N} \) ### Exercices #### Exercice 1 : Échelle appuyée Une échelle de longueur \( L = 6 \text{ m} \) et de masse \( m = 15 \text{ kg} \) est appuyée contre un mur vertical lisse (sans frottement) et repose sur un sol horizontal rugueux (avec frottement). L'échelle fait un angle de \( 60^ ext{o} \) avec le sol. Un peintre de masse \( M = 70 \text{ kg} \) se trouve à \( 2/3 \) de la hauteur de l'échelle à partir du sol. Déterminez les forces de réaction du sol et du mur sur l'échelle. #### Exercice 2 : Panneau de signalisation Un panneau de signalisation carré de \( 1 \text{ m} \) de côté et de masse \( 10 \text{ kg} \) est fixé à un poteau vertical. Le vent exerce une force horizontale de \( 200 \text{ N} \) appliquée au centre du panneau. Le panneau est maintenu par un encastrement sur le poteau. Déterminez les réactions (forces et moments) exercées par le poteau sur le panneau. ### Devoirs #### Problème 1 : Pont basculant Un pont basculant de longueur \( L = 8 \text{ m} \) et de masse \( M = 5000 \text{ kg} \) (homogène) est articulé en \( A \) à une extrémité. Il est actionné par un vérin hydraulique \( BC \) qui relie le pont en \( B \) (à \( 6 \text{ m} \) de \( A \)) à un point fixe \( C \) situé verticalement sous \( B \) lorsque le pont est horizontal, à une distance de \( 2 \text{ m} \). Déterminez la force nécessaire dans le vérin pour maintenir le pont en position ouverte à \( 30^ ext{o} \) par rapport à l'horizontale. Calculez également les réactions en \( A \). #### Problème 2 : Système de levage avec poulie Un système de levage est composé d'une poulie de masse négligeable, fixée à un support mural par une liaison pivot. Une charge de \( 200 \text{ kg} \) est suspendue à une extrémité d'une corde passant sur la poulie. Un opérateur tire sur l'autre extrémité de la corde pour maintenir la charge en équilibre. La corde fait un angle de \( 30^ ext{o} \) avec l'horizontale du côté de l'opérateur et \( 90^ ext{o} \) avec l'horizontale du côté de la charge. 1. Quelle est la force que l'opérateur doit appliquer pour maintenir la charge en équilibre ? 2. Quelles sont les réactions exercées par le support mural sur la poulie ? ### Résumé Ces activités d'intégration ont mis en lumière l'importance de la **méthodologie** pour résoudre des problèmes d'équilibre de corps solides. Les points clés à retenir sont : * L'application systématique du **Principe Fondamental de la Statique (PFS)**, qui stipule que la somme des forces et la somme des moments doivent être nulles pour un corps en équilibre. * La construction rigoureuse du **Diagramme de Corps Libre (DCL)**, qui est une étape cruciale pour identifier correctement toutes les actions mécaniques. * La modélisation des **liaisons mécaniques** et la détermination de leurs réactions. La capacité à traduire une situation physique en un modèle mathématique est fondamentale en technologie des systèmes mécaniques. En maîtrisant ces concepts, vous êtes désormais capables d'analyser et de concevoir des systèmes où l'équilibre est une condition essentielle. ## A - Les Intersections de Surfaces : Intersection Cylindre-Cylindre Leçon 13B - Résolution Analytique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l'action de 4 forces et plus ### Introduction Bienvenue à cette leçon fondamentale en technologie des systèmes mécaniques. Aujourd'hui, nous allons aborder deux concepts cruciaux: la résolution analytique des problèmes de statique pour des corps solides soumis à de multiples forces, et la compréhension des intersections de surfaces, plus spécifiquement l'intersection entre deux cylindres. Ces compétences sont essentielles pour concevoir, analyser et fabriquer des systèmes mécaniques de manière sûre et efficace. Comprendre comment les forces agissent sur des structures et comment les composants s'assemblent géométriquement est la base de l'ingénierie. ### Concepts Clés #### I. L'Équilibre d'un Corps Solide Pour qu'un corps solide soit en équilibre, il ne doit ni se déplacer (translation) ni tourner (rotation). Cela se traduit par deux conditions principales : 1. **Condition d'équilibre des forces :** La somme vectorielle de toutes les forces externes appliquées au corps doit être nulle. Cela signifie qu'il n'y a pas d'accélération linéaire. \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] En d'autres termes, la somme des composantes des forces selon chaque axe (x, y, z) doit être nulle : * \( \sum F_x = 0 \) * \( \sum F_y = 0 \) * \( \sum F_z = 0 \) 2. **Condition d'équilibre des moments :** La somme vectorielle de tous les moments (ou couples) externes appliqués au corps, calculée par rapport à n'importe quel point, doit être nulle. Cela signifie qu'il n'y a pas d'accélération angulaire. \[ \sum \vec{M} = \vec{0} \] De même, la somme des moments autour de chaque axe doit être nulle : * \( \sum M_x = 0 \) * \( \sum M_y = 0 \) * \( \sum M_z = 0 \) #### II. Résolution Analytique des Problèmes de Statique : Cas de Solides Soumis à 4 Forces et Plus Lorsque le nombre de forces appliquées à un solide augmente, la résolution graphique devient compliquée et imprécise. La méthode analytique est alors indispensable. ##### A. Étapes de la Résolution Analytique 1. **Isoler le Corps :** Dessiner le corps libre et identifier toutes les forces externes (forces appliquées, réactions d'appuis, poids, etc.). 2. **Choisir un Repère :** Définir un système d'axes de coordonnées (souvent cartésien x, y, z) adapté au problème. Placer l'origine à un endroit stratégique, souvent un point où de nombreuses forces sont inconnues pour simplifier les calculs de moments. 3. **Décomposer les Forces :** Pour chaque force, déterminer ses composantes selon les axes choisis. Utilisez les angles et les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus). * Exemple : une force \( \vec{F} \) avec un angle \( \theta \) par rapport à l'axe x aura des composantes \( F_x = F \cos(\theta) \) et \( F_y = F \sin(\theta) \). 4. **Écrire les Équations d'Équilibre :** * Appliquer la condition d'équilibre des forces : \( \sum F_x = 0 \), \( \sum F_y = 0 \), (et \( \sum F_z = 0 \) en 3D). * Appliquer la condition d'équilibre des moments : \( \sum M_{point \ A} = 0 \). Le moment d'une force est le produit de la force par la distance perpendiculaire à l'axe de rotation (bras de levier). Rappelez-vous que les forces passant par le point A n'engendrent pas de moment autour de ce point. 5. **Résoudre le Système d'Équations :** Vous obtiendrez un système d'équations linéaires avec les forces inconnues. Résolvez ce système pour trouver les valeurs de ces forces. ##### B. Gérer 4 Forces ou Plus Avec 4 forces ou plus, le nombre d'équations peut être jusqu'à 6 en 3D (3 de forces, 3 de moments) ou 3 en 2D (2 de forces, 1 de moment). La méthode reste la même, mais la rigueur est encore plus importante : * **Organisation :** Créez un tableau pour lister les forces, leurs composantes et leurs moments. Cela aide à ne rien oublier. * **Choix du Point de Moment :** Choisissez un point de pivot (généralement une des inconnues) pour le calcul des moments afin de faire disparaître des inconnues et simplifier les équations. * **Précision :** Utilisez une calculatrice scientifique et gardez plusieurs décimales pendant les calculs intermédiaires. #### III. Intersections de Surfaces : Intersection Cylindre-Cylindre L'intersection de surfaces est une notion géométrique fondamentale en conception mécanique. Elle décrit la ligne ou la courbe commune à deux ou plusieurs surfaces qui se rencontrent. ##### A. Qu'est-ce qu'une Intersection Cylindre-Cylindre ? C'est la courbe formée lorsque deux surfaces cylindriques se coupent. La forme de cette courbe dépend de plusieurs facteurs : * **Diamètres des cylindres :** Sont-ils identiques ou différents ? * **Angles relatifs :** Sont-ils perpendiculaires, parallèles, ou se coupent-ils selon un angle quelconque ? * **Position relative :** Leurs axes se coupent-ils, sont-ils parallèles ou décalés ? ##### B. Représentation et Importance 1. **Dessin Technique :** En dessin technique, la représentation des courbes d'intersection est cruciale pour fabriquer correctement des pièces. Elles sont souvent représentées par des projections orthographiques (vues de face, de dessus, de côté) et peuvent nécessiter des constructions auxiliaires pour être tracées avec précision. 2. **Conception Assistée par Ordinateur (CAO) :** Les logiciels de CAO calculent et affichent automatiquement ces intersections, facilitant grandement la conception de pièces complexes (comme les assemblages de tuyauteries, les renforts structurels, ou les passages de conduits). 3. **Applications :** On retrouve ces intersections dans de nombreux domaines : tuyauteries, charpentes métalliques (tubes), raccords, réservoirs, etc. ##### C. Types de Courbes d'Intersection Les intersections de cylindres peuvent générer des courbes variées : * **Ellipses :** Si un petit cylindre perce un grand cylindre de manière non perpendiculaire, ou si les diamètres sont différents et les axes se croisent. * **Courbes complexes :** Si les axes ne se croisent pas ou si les cylindres ont des inclinaisons variées, la courbe d'intersection peut être plus complexe et ne pas être une figure géométrique simple (comme un cercle ou une ellipse). ### Vocabulaire * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et des moments est nulle, résultant en l'absence de mouvement de translation et de rotation. * **Statique :** Branche de la mécanique qui étudie les corps en équilibre (immobiles ou en mouvement uniforme). * **Force (\( \vec{F} \)) :** Action capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. S'exprime en Newtons (N). * **Moment (\( \vec{M} \)) :** Effet de rotation d'une force autour d'un point ou d'un axe. S'exprime en Newton-mètres (Nm). * **Système d'équations :** Ensemble d'équations mathématiques qui doivent être résolues simultanément pour trouver les inconnues. * **Repère cartésien :** Système de coordonnées (x, y, z) orthogonales permettant de localiser des points dans l'espace. * **Cylindre :** Solide géométrique défini par deux bases circulaires parallèles et une surface latérale courbe. * **Intersection :** Ligne ou surface commune à deux ou plusieurs objets géométriques qui se coupent. * **Bras de levier :** Distance perpendiculaire entre la ligne d'action d'une force et le point ou l'axe autour duquel le moment est calculé. ### Exemples #### Exemple 1 : Équilibre d'une Poutre (Statique) Imaginez une poutre horizontale de 5 mètres de long, de poids négligeable, supportée par deux appuis (A et B) et soumise à trois forces ponctuelles : * \( F_1 = 100 \text{ N} \) vers le bas, à 1 mètre de l'appui A. * \( F_2 = 150 \text{ N} \) vers le bas, à 3 mètres de l'appui A. * \( F_3 = 50 \text{ N} \) vers le bas, à 4.5 mètres de l'appui A. * L'appui A est à l'extrémité gauche (0 mètre), l'appui B est à l'extrémité droite (5 mètres). **Objectif :** Calculer les réactions verticales \( R_A \) et \( R_B \) aux appuis A et B. 1. **Corps libre :** La poutre, avec \( R_A \) (vers le haut) et \( R_B \) (vers le haut), et les trois forces \( F_1, F_2, F_3 \) (vers le bas). 2. **Repère :** Axe x le long de la poutre, axe y vertical (positif vers le haut). Origine au point A. 3. **Équations d'équilibre (en 2D) :** * \( \sum F_y = 0 \implies R_A + R_B - F_1 - F_2 - F_3 = 0 \) \( R_A + R_B - 100 - 150 - 50 = 0 \implies R_A + R_B = 300 \text{ N} \quad (1) \) * \( \sum M_A = 0 \) (somme des moments autour du point A) : Les forces \( F_1, F_2, F_3 \) créent des moments négatifs (rotation horaire). \( R_B \) crée un moment positif (rotation anti-horaire). \( -F_1(1 \text{ m}) - F_2(3 \text{ m}) - F_3(4.5 \text{ m}) + R_B(5 \text{ m}) = 0 \) \( -100(1) - 150(3) - 50(4.5) + R_B(5) = 0 \) \( -100 - 450 - 225 + 5R_B = 0 \) \( -775 + 5R_B = 0 \) \( 5R_B = 775 \) \( R_B = \frac{775}{5} = 155 \text{ N} \) 4. **Résolution :** Substituer \( R_B \) dans l'équation (1) : \( R_A + 155 = 300 \) \( R_A = 300 - 155 = 145 \text{ N} \) **Conclusion :** Les réactions aux appuis sont \( R_A = 145 \text{ N} \) et \( R_B = 155 \text{ N} \). #### Exemple 2 : Intersection Cylindre-Cylindre Considérez un gros tuyau de ventilation (cylindre horizontal de diamètre D) et un plus petit conduit (cylindre vertical de diamètre d) qui se connecte au gros tuyau. Les axes des deux cylindres se croisent à angle droit. **Visualisation :** * La surface d'intersection sur le grand tuyau aura une forme d'ellipse si \( d < D \). Si \( d = D \), la courbe sera plus complexe, avec une forme de