Chap8: Statistiques

# Chap8: Statistiques ## Tableaux des effectifs et fréquences cumulés ### Introduction En statistiques, il est souvent utile de savoir non seulement combien d'individus possèdent une certaine caractéristique, mais aussi combien en possèdent une caractéristique *inférieure ou égale* à une certaine valeur. Pour répondre à ces questions, nous utilisons les **effectifs cumulés** et les **fréquences cumulées**. Ces outils nous aident à mieux comprendre la répartition des données dans une série statistique. ### Concepts Clés #### L'effectif cumulé croissant (ECC) L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur (ou d'une classe) est la somme des effectifs de toutes les valeurs (ou classes) inférieures ou égales à cette valeur (ou classe). * **Définition:** Si nous avons une série statistique ordonnée, l'ECC pour une modalité donnée est la somme des effectifs de cette modalité et de toutes les modalités précédentes. * **Calcul:** Pour chaque valeur (ou classe) dans un tableau, l'ECC est obtenu en ajoutant l'effectif de la valeur actuelle à l'ECC de la valeur précédente. * Le premier ECC est égal au premier effectif. * Le dernier ECC doit être égal à l'effectif total de la série statistique. #### La fréquence cumulée croissante (FCC) La fréquence cumulée croissante (FCC) d'une valeur (ou d'une classe) est la somme des fréquences de toutes les valeurs (ou classes) inférieures ou égales à cette valeur (ou classe). * **Définition:** La FCC pour une modalité donnée est la somme des fréquences (relatives ou en pourcentage) de cette modalité et de toutes les modalités précédentes. * **Calcul:** Il existe deux méthodes pour calculer la FCC : 1. **À partir des fréquences:** Ajouter la fréquence de la valeur actuelle à la FCC de la valeur précédente. Le dernier FCC doit être égal à 1 (pourcentage : 100%). 2. **À partir des effectifs cumulés:** Diviser l'effectif cumulé croissant de chaque valeur par l'effectif total de la série. \( FCC_i = \frac{ECC_i}{N} \), où \( N \) est l'effectif total. #### Utilité des effectifs et fréquences cumulés Ces outils sont fondamentaux pour : * Déterminer le nombre ou la proportion d'individus ayant une caractéristique inférieure ou égale à un certain seuil. * Calculer des indicateurs de position comme la médiane ou les quartiles. La médiane est la valeur pour laquelle l'ECC atteint ou dépasse la moitié de l'effectif total, ou la FCC atteint ou dépasse 50%. * Répondre rapidement à des questions du type : "Quel pourcentage d'élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 12 ?" #### Cas des données regroupées en classes Lorsque les données sont regroupées en classes (par exemple, des intervalles de tailles ou d'âges), le principe reste le même : * L'ECC pour une classe est la somme des effectifs de toutes les classes inférieures ou égales à cette classe. * La FCC pour une classe est la somme des fréquences de toutes les classes inférieures ou égales à cette classe. * L'ECC et la FCC sont généralement associés à la borne supérieure de chaque classe. ### Vocabulaire * **Série statistique:** Un ensemble de données collectées sur une population ou un échantillon. * **Effectif (\( n_i \)):** Le nombre d'individus ou d'observations pour une modalité donnée. * **Effectif total (\( N \)):** La somme de tous les effectifs. \( N = \sum n_i \). * **Fréquence (\( f_i \)):** La proportion d'une modalité dans la série. \( f_i = \frac{n_i}{N} \). * **Effectif cumulé croissant (ECC):** Somme des effectifs des modalités inférieures ou égales à la modalité en question. * **Fréquence cumulée croissante (FCC):** Somme des fréquences des modalités inférieures ou égales à la modalité en question. * **Classe:** Un intervalle dans lequel sont regroupées les données numériques continues. Par exemple, [10 ; 20[. ### Exemples #### Exemple 1: Notes obtenues par 20 élèves (données discrètes) Voici les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle de mathématiques : 7, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17. Pour construire le tableau : | Note (\( x_i \)) | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i \)) | ECC | FCC (en %) | | :---------------: | :------------------: | :--------------------: | :-: | :---------: | | 7 | 1 | \( \frac{1}{20} = 0.05 \) | 1 | 5% | | 8 | 1 | \( \frac{1}{20} = 0.05 \) | 2 | 10% | | 9 | 2 | \( \frac{2}{20} = 0.10 \) | 4 | 20% | | 10 | 3 | \( \frac{3}{20} = 0.15 \) | 7 | 35% | | 11 | 2 | \( \frac{2}{20} = 0.10 \) | 9 | 45% | | 12 | 3 | \( \frac{3}{20} = 0.15 \) | 12 | 60% | | 13 | 2 | \( \frac{2}{20} = 0.10 \) | 14 | 70% | | 14 | 2 | \( \frac{2}{20} = 0.10 \) | 16 | 80% | | 15 | 2 | \( \frac{2}{20} = 0.10 \) | 18 | 90% | | 16 | 1 | \( \frac{1}{20} = 0.05 \) | 19 | 95% | | 17 | 1 | \( \frac{1}{20} = 0.05 \) | 20 | 100% | | **Total** | **20** | **1** | | | **Interprétation :** * L'ECC pour la note 12 est 12. Cela signifie que 12 élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 12. * La FCC pour la note 14 est 80%. Cela signifie que 80% des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 14. #### Exemple 2: Âge de 50 personnes (données groupées en classes) | Classe d'âge | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i \)) | ECC | FCC (en %) | | :----------: | :------------------: | :--------------------: | :-: | :---------: | | [0 ; 10[ | 5 | 0.10 | 5 | 10% | | [10 ; 20[ | 15 | 0.30 | 20 | 40% | | [20 ; 30[ | 20 | 0.40 | 40 | 80% | | [30 ; 40[ | 8 | 0.16 | 48 | 96% | | [40 ; 50[ | 2 | 0.04 | 50 | 100% | | **Total** | **50** | **1.00** | | | **Interprétation :** * L'ECC pour la classe [20 ; 30[ est 40. Cela signifie que 40 personnes ont moins de 30 ans. * La FCC pour la classe [30 ; 40[ est 96%. Cela signifie que 96% des personnes ont moins de 40 ans. ### Exercices #### Exercice 1 Un professeur a relevé le nombre d'erreurs commises par ses 25 élèves à un exercice. Voici la série brute : 1, 0, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 3. 1. Ordonnez la série et regroupez les données. 2. Construisez un tableau incluant les effectifs, les fréquences, les effectifs cumulés croissants (ECC) et les fréquences cumulées croissantes (FCC). 3. Combien d'élèves ont fait 2 erreurs ou moins ? 4. Quel pourcentage d'élèves ont fait plus de 1 erreur ? #### Exercice 2 Voici un tableau des salaires mensuels (en euros) d'une entreprise : | Salaire (en €) | Effectif | ECC | FCC (en %) | | :-------------: | :------: | :-: | :---------: | | [1200 ; 1500[ | 10 | | | | [1500 ; 1800[ | 25 | | | | [1800 ; 2100[ | 35 | | | | [2100 ; 2400[ | 20 | | | | [2400 ; 2700[ | 10 | | | 1. Calculez l'effectif total de l'entreprise. 2. Complétez le tableau avec les colonnes ECC et FCC. 3. Combien d'employés gagnent moins de 2100 € ? 4. Quel pourcentage d'employés gagnent moins de 1800 € ? ### Devoir Maison Une enquête a été menée sur le temps de trajet quotidien (en minutes) de 100 habitants d'une ville pour se rendre au travail. | Temps de trajet (en min) | Nombre d'habitants | | :----------------------: | :----------------: | | [0 ; 15[ | 12 | | [15 ; 30[ | 38 | | [30 ; 45[ | 25 | | [45 ; 60[ | 18 | | [60 ; 75[ | 7 | 1. Construisez un tableau complet avec les colonnes suivantes : Classes, Effectifs, Fréquences (en décimales), Fréquences (en %), ECC, FCC (en décimales), FCC (en %). Arrondissez les fréquences à 2 décimales si nécessaire. 2. Interprétez les valeurs de l'ECC et de la FCC pour la classe [30 ; 45[. 3. Quel est le pourcentage d'habitants dont le temps de trajet est inférieur à 60 minutes ? 4. Combien d'habitants ont un temps de trajet supérieur ou égal à 30 minutes ? ### Résumé Les **effectifs cumulés croissants (ECC)** et les **fréquences cumulées croissantes (FCC)** sont des outils essentiels en statistiques pour analyser la répartition des données. L'ECC indique le nombre d'observations ayant une valeur inférieure ou égale à une modalité donnée, tandis que la FCC représente la proportion correspondante. Ils permettent de répondre rapidement à des questions sur les seuils et sont indispensables pour déterminer des indicateurs de position comme la médiane ou les quartiles. ## Diagrammes statistiques ### Introduction Les statistiques sont partout autour de nous, que ce soit dans les journaux, les actualités, ou même lorsque nous comparons des prix. Pour comprendre et interpréter rapidement les grandes quantités de données, il est essentiel de pouvoir les visualiser de manière claire et concise. C'est le rôle des diagrammes statistiques. Ce chapitre vous apprendra à lire, interpréter et construire différents types de diagrammes pour représenter des données statistiques. Vous verrez comment choisir le bon diagramme en fonction du type de données que vous avez. ### Concepts Clés #### 1. Types de données Avant de choisir un diagramme, il faut identifier le type de caractère (ou variable) étudié dans la série statistique. * **Caractère qualitatif :** Décrit une qualité, une catégorie. On ne peut pas le mesurer avec des nombres. * Exemples : Couleur des yeux, marque de voiture préférée, mention à un examen (Passable, Bien, Très Bien). * **Caractère quantitatif :** Peut être mesuré avec des nombres. * **Quantitatif discret :** Les valeurs sont des nombres isolés (souvent entiers), obtenus par comptage. * Exemples : Nombre d'enfants par famille, nombre de pièces dans une maison, nombre de livres lus. * **Quantitatif continu :** Les valeurs peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné, obtenues par mesure. * Exemples : Taille d'une personne, poids, température, durée. #### 2. Diagrammes pour caractères qualitatifs et quantitatifs discrets ##### a. Diagramme en bâtons (ou diagramme à barres) * **Utilisation :** Pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets. * **Construction :** * L'axe horizontal (abscisses) représente les modalités du caractère (les catégories ou les valeurs discrètes). * L'axe vertical (ordonnées) représente les effectifs ou les fréquences (absolues ou relatives). * Des bâtons (ou barres fines) sont tracés pour chaque modalité, leur hauteur étant proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence correspondante. ##### b. Diagramme circulaire (ou semi-circulaire) * **Utilisation :** Pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets, surtout quand on veut montrer la proportion de chaque catégorie par rapport au total. * **Construction :** * On calcule l'angle de chaque secteur circulaire proportionnellement à l'effectif ou à la fréquence. * La formule pour l'angle est : \( \text{Angle} = \frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \times 360^ ext{o} \) (pour un cercle complet). * Chaque secteur représente une modalité, et sa surface est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. #### 3. Diagrammes pour caractères quantitatifs continus (données regroupées en classes) ##### a. Histogramme * **Utilisation :** Exclusivement pour les caractères quantitatifs continus dont les données sont regroupées en classes (intervalles). * **Construction :** * L'axe horizontal (abscisses) représente les classes de valeurs du caractère. Les classes sont contiguës (elles se suivent sans trou). * L'axe vertical (ordonnées) représente la **densité de fréquence**. * Pour chaque classe, on dessine un rectangle dont la largeur est l'amplitude de la classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence) de la classe. Si les amplitudes de classes sont égales, la hauteur des rectangles est directement proportionnelle à l'effectif ou la fréquence. * Si les amplitudes de classes sont différentes, la hauteur du rectangle (densité) est calculée par : \[ \text{Densité} = \frac{\text{Effectif de la classe}}{\text{Amplitude de la classe}} \] ##### b. Polygone des fréquences (ou des effectifs) * **Utilisation :** Peut être superposé à un histogramme pour visualiser l'évolution des fréquences. * **Construction :** On relie les milieux des sommets des rectangles de l'histogramme par des segments de droite. ##### c. Courbe des fréquences cumulées (ou des effectifs cumulés) * **Utilisation :** Pour visualiser la proportion de données inférieures à une certaine valeur. Utile pour trouver la médiane et les quartiles. * **Construction :** * On calcule les fréquences (ou effectifs) cumulées croissantes. * On place des points sur un graphique où l'axe horizontal représente les bornes supérieures des classes et l'axe vertical les fréquences (ou effectifs) cumulées correspondantes. * On relie ces points par des segments de droite. ### Vocabulaire * **Série statistique :** Ensemble des données recueillies lors d'une étude statistique. * **Caractère (ou variable) :** La propriété étudiée sur chaque individu (ex: âge, couleur des yeux). * **Modalité :** Une des valeurs que peut prendre un caractère (ex: 20 ans, bleu). * **Effectif :** Le nombre d'individus présentant une modalité donnée. L'effectif total est le nombre total d'individus. * **Fréquence :** La proportion de l'effectif d'une modalité par rapport à l'effectif total. \[ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \] * La fréquence est souvent exprimée en pourcentage. \( \text{Fréquence en %} = \text{Fréquence} \times 100 \) * **Classe :** Un intervalle de valeurs pour regrouper des données quantitatives continues (ex: \( [10; 20[ \) ). * **Amplitude de classe :** La largeur d'une classe (ex: \( 20 - 10 = 10 \) pour la classe \( [10; 20[ \) ). * **Densité de fréquence :** Pour les histogrammes avec des classes d'amplitudes différentes, c'est le rapport de l'effectif de la classe sur son amplitude. * **Effectif cumulé :** L'effectif d'une modalité (ou classe) additionné aux effectifs de toutes les modalités (ou classes) précédentes. * **Fréquence cumulée :** La fréquence d'une modalité (ou classe) additionnée aux fréquences de toutes les modalités (ou classes) précédentes. ### Exemples #### Exemple 1 : Couleurs de voitures (caractère qualitatif) Un concessionnaire a vendu les voitures suivantes : | Couleur | Effectif | |:-------:|:--------:| | Rouge | 15 | | Bleu | 10 | | Noir | 20 | | Blanc | 25 | | Gris | 30 | | **Total** | **100** | * **Diagramme en bâtons :** Chaque couleur serait représentée par un bâton dont la hauteur correspond à l'effectif (ou à la fréquence, par exemple 15% pour le rouge). * **Diagramme circulaire :** * Pour le Rouge : \( \frac{15}{100} \times 360^ ext{o} = 54^ ext{o} \) * Pour le Bleu : \( \frac{10}{100} \times 360^ ext{o} = 36^ ext{o} \) * ...et ainsi de suite pour les autres couleurs. #### Exemple 2 : Nombre de frères et sœurs (caractère quantitatif discret) Sondage auprès de 40 élèves sur le nombre de frères et sœurs : | Nombre | Effectif | |:------:|:--------:| | 0 | 8 | | 1 | 15 | | 2 | 10 | | 3 | 5 | | 4 | 2 | | **Total** | **40** | * **Diagramme en bâtons :** L'axe des abscisses aurait 0, 1, 2, 3, 4. L'axe des ordonnées les effectifs. La hauteur du bâton pour '0' serait 8, pour '1' serait 15, etc. #### Exemple 3 : Durée de vie d'ampoules (caractère quantitatif continu) Durée de vie (en heures) de 100 ampoules : | Classe (heures) | Effectif | Amplitude | Densité | |:---------------:|:--------:|:---------:|:-------:| | \( [800; 900[ \) | 10 | 100 | 0,1 | | \( [900; 950[ \) | 20 | 50 | 0,4 | | \( [950; 1000[ \) | 30 | 50 | 0,6 | | \( [1000; 1100[ \) | 40 | 100 | 0,4 | | **Total** | **100** | | | * **Histogramme :** Pour la classe \( [800; 900[ \), le rectangle irait de 800 à 900 sur l'axe des abscisses, et sa hauteur serait 0,1 sur l'axe des ordonnées (densité). ### Exercices 1. **Interprétation de diagramme en bâtons :** Un diagramme en bâtons montre le nombre de buts marqués par une équipe de football sur 5 matchs. Le 1er match: 2 buts, le 2ème: 0 but, le 3ème: 3 buts, le 4ème: 1 but, le 5ème: 2 buts. Quel est le match où l'équipe a marqué le plus de buts ? Quel est le nombre moyen de buts par match sur cette série ? 2. **Construction de diagramme circulaire :** Dans une classe de 30 élèves, 12 aiment le sport, 8 la musique et 10 les jeux vidéo. Construisez le diagramme circulaire représentant ces données. Donnez les angles de chaque secteur. 3. **Analyse d'histogramme :** Un histogramme représente la répartition des salaires mensuels (en euros) dans une entreprise. La première barre va de \( [1500; 2000[ \) et sa hauteur correspond à 100 employés. La deuxième va de \( [2000; 2500[ \) et sa hauteur à 150 employés. La troisième va de \( [2500; 3000[ \) et sa hauteur à 50 employés. Combien d'employés gagnent moins de 2000€ ? Combien gagnent entre 2000€ et 3000€ ? 4. **Calcul de fréquences cumulées :** Complétez le tableau suivant et tracez la courbe des fréquences cumulées. | Notes \( [x; x+[ \) | Effectif | Effectif cumulé | Fréquence | Fréquence cumulée | |:-----------------:|:--------:|:---------------:|:---------:|:------------------:| | \( [0; 5[ \) | 3 | | | | | \( [5; 10[ \) | 8 | | | | | \( [10; 15[ \) | 12 | | | | | \( [15; 20[ \) | 7 | | | | | **Total** | **30** | | | | ### Devoirs 1. **Recherche et analyse :** Trouvez un article de journal ou un site web qui utilise des diagrammes statistiques. Identifiez le type de diagramme utilisé, le caractère étudié, et expliquez ce que le diagramme cherche à illustrer. Rédigez un court paragraphe d'analyse. 2. **Construction complète :** Voici les tailles (en cm) de 25 élèves de Seconde : 165, 172, 168, 175, 160, 180, 170, 163, 171, 178, 169, 174, 166, 170, 173, 167, 176, 162, 179, 164, 170, 177, 161, 175, 168. * Regroupez ces données en classes d'amplitude 5 cm (par exemple \( [160; 165[ \), \( [165; 170[ \), etc.). * Construisez le tableau d'effectifs, de fréquences, d'effectifs cumulés et de fréquences cumulées. * Tracez l'histogramme de cette série statistique. * Tracez la courbe des fréquences cumulées. 3. **Comparaison de diagrammes :** Deux magasins de vêtements, A et B, ont enregistré la répartition de leurs ventes par taille (S, M, L, XL) sur un mois. Le magasin A a vendu 20% de S, 40% de M, 30% de L et 10% de XL. Le magasin B a vendu 15% de S, 35% de M, 35% de L et 15% de XL. Quel type de diagramme est le plus approprié pour comparer les ventes des deux magasins pour chaque taille ? Dessinez-le. ### Résumé Les diagrammes statistiques sont des outils visuels puissants pour organiser et interpréter des données. Le choix du diagramme dépend du type de caractère étudié : * Les **diagrammes en bâtons** et les **diagrammes circulaires** sont idéaux pour les caractères qualitatifs et quantitatifs discrets. * Les **histogrammes** sont spécifiquement conçus pour les caractères quantitatifs continus, souvent regroupés en classes, où l'aire des rectangles est cruciale. * Les **courbes d'effectifs/fréquences cumulées** permettent de visualiser l'évolution des effectifs ou fréquences au fur et à mesure des valeurs et sont utiles pour les mesures de position (médiane, quartiles). Comprendre comment lire et construire ces diagrammes est une compétence fondamentale en statistiques.