Fonctions numériques d'une variabble réelle (suite et fin)

# Fonctions numériques d'une variabble réelle (suite et fin) ## Ensemble de définition; sens de variation et courbe des fonctions usuelles ### Introduction Bienvenue à cette dernière partie de notre chapitre sur les fonctions numériques d'une variable réelle! Dans cette leçon, nous allons approfondir trois aspects fondamentaux de l'étude des fonctions: comment déterminer les valeurs pour lesquelles une fonction est définie (son ensemble de définition), comment analyser si une fonction monte ou descend (son sens de variation), et comment reconnaître les courbes représentatives des fonctions les plus courantes. Ces compétences sont essentielles pour comprendre et travailler avec les fonctions en mathématiques. ### Concepts Clés #### 1. Ensemble de définition d'une fonction L'ensemble de définition d'une fonction \(f\), noté \(D_f\), est l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression \(f(x)\) est calculable et a un sens. En d'autres termes, ce sont toutes les valeurs que \(x\) peut prendre. ##### Comment déterminer l'ensemble de définition? Il y a principalement deux restrictions à considérer en Seconde: * **Division par zéro:** Un dénominateur ne peut jamais être égal à zéro. Si \(f(x)\) est de la forme \(\frac{A(x)}{B(x)}\), alors \(B(x) \neq 0\). * **Racine carrée:** L'expression sous une racine carrée ne peut pas être négative. Si \(f(x)\) est de la forme \(\sqrt{A(x)}\), alors \(A(x) \ge 0\). Pour les fonctions polynomiales (par exemple, \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) ou \(f(x) = 5x - 2\)), l'ensemble de définition est toujours \(\mathbb{R}\) (l'ensemble de tous les nombres réels), car il n'y a pas de restrictions. #### 2. Sens de variation d'une fonction Le sens de variation décrit si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur un certain intervalle. ##### Fonction croissante Une fonction \(f\) est **croissante** sur un intervalle \(I\) si, pour tous nombres \(a\) et \(b\) dans \(I\) : si \(a < b\), alors \(f(a) < f(b)\). Graphiquement, la courbe "monte" de gauche à droite. ##### Fonction décroissante Une fonction \(f\) est **décroissante** sur un intervalle \(I\) si, pour tous nombres \(a\) et \(b\) dans \(I\) : si \(a < b\), alors \(f(a) > f(b)\). Graphiquement, la courbe "descend" de gauche à droite. ##### Fonction constante Une fonction \(f\) est **constante** sur un intervalle \(I\) si, pour tous nombres \(a\) et \(b\) dans \(I\) : \(f(a) = f(b)\). Graphiquement, la courbe est une droite horizontale. ##### Tableau de variation Le tableau de variation est un outil pour résumer le sens de variation d'une fonction sur différents intervalles de son ensemble de définition. Il indique les intervalles où la fonction est croissante (flèche vers le haut) ou décroissante (flèche vers le bas) et les valeurs des extréma (maximum ou minimum) si elles existent. #### 3. Courbe représentative des fonctions usuelles La courbe représentative (ou graphe) d'une fonction \(f\) est l'ensemble de tous les points \((x, f(x))\) dans un repère. Reconnaître les courbes des fonctions usuelles est crucial. ##### a) Fonctions affines * Forme: \(f(x) = ax + b\) * Courbe: Une **droite**. * Si \(a > 0\), la fonction est croissante. * Si \(a < 0\), la fonction est décroissante. * Si \(a = 0\), la fonction est constante (droite horizontale). ##### b) Fonction carré * Forme: \(f(x) = x^2\) * Courbe: Une **parabole** dont le sommet est l'origine \((0,0)\) et qui est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. * Variation: * Décroissante sur \(]-\infty, 0]\) * Croissante sur \([0, +\infty[\) ##### c) Fonction inverse * Forme: \(f(x) = \frac{1}{x}\) * Ensemble de définition: \(\mathbb{R}^*\) (tous les réels sauf 0). * Courbe: Une **hyperbole** composée de deux branches, symétrique par rapport à l'origine. L'axe des ordonnées et l'axe des abscisses sont des asymptotes. * Variation: * Décroissante sur \(]-\infty, 0[\) * Décroissante sur \(]0, +\infty[\) ##### d) Fonction racine carrée * Forme: \(f(x) = \sqrt{x}\) * Ensemble de définition: \([0, +\infty[\) (les nombres réels positifs ou nuls). * Courbe: Une demi-parabole horizontale partant de l'origine. * Variation: Croissante sur \([0, +\infty[\). ### Vocabulaire * **Ensemble de définition (\(D_f\)):** L'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est définie. * **Fonction croissante:** Une fonction dont les images augmentent quand les antécédents augmentent. * **Fonction décroissante:** Une fonction dont les images diminuent quand les antécédents augmentent. * **Fonction monotone:** Une fonction qui est soit toujours croissante, soit toujours décroissante sur un intervalle donné. * **Tableau de variation:** Un tableau qui résume le sens de variation d'une fonction. * **Courbe représentative (graphe):** La représentation visuelle d'une fonction dans un repère. * **Antécédent:** La valeur \(x\) pour laquelle on calcule \(f(x)\). * **Image:** La valeur \(f(x)\) obtenue à partir d'un antécédent \(x\). * **Parabole:** La courbe représentative de la fonction carré. * **Hyperbole:** La courbe représentative de la fonction inverse. ### Exemples #### Exemple 1: Ensemble de définition Déterminons l'ensemble de définition des fonctions suivantes: 1. \(f(x) = 3x - 5\) * C'est une fonction affine (polynomiale). Aucune restriction. \(D_f = \mathbb{R}\). 2. \(g(x) = \frac{2}{x - 4}\) * Restriction: le dénominateur ne peut pas être nul. \(x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4\). * \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) ou \(]-\infty, 4[ \cup ]4, +\infty[\). 3. \(h(x) = \sqrt{x + 1}\) * Restriction: l'expression sous la racine doit être positive ou nulle. \(x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1\). * \(D_h = [-1, +\infty[\). #### Exemple 2: Sens de variation Considérons la fonction \(f(x) = x^2\). Pour \(a, b \in ]-\infty, 0]\) avec \(a < b\): Par exemple, \(a = -3\), \(b = -1\). On a \(-3 < -1\). \(f(a) = (-3)^2 = 9\). \(f(b) = (-1)^2 = 1\). Puisque \(9 > 1\) (soit \(f(a) > f(b)\)), la fonction \(f(x) = x^2\) est **décroissante** sur \(]-\infty, 0]\). Pour \(a, b \in [0, +\infty[\) avec \(a < b\): Par exemple, \(a = 1\), \(b = 3\). On a \(1 < 3\). \(f(a) = 1^2 = 1\). \(f(b) = 3^2 = 9\). Puisque \(1 < 9\) (soit \(f(a) < f(b)\)), la fonction \(f(x) = x^2\) est **croissante** sur \([0, +\infty[\). Le tableau de variation serait: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \text{Variation de } x^2 & & \searrow & 0 & \nearrow & \\ \hline \end{array} #### Exemple 3: Identification de courbe * Si vous voyez une droite qui monte, c'est probablement \(f(x) = ax + b\) avec \(a > 0\). * Si vous voyez une courbe en forme de "U" symétrique, c'est \(f(x) = x^2\) (ou une translation). * Si vous voyez deux branches séparées par un trou en \(x=0\) et qui descendent des deux côtés, c'est \(f(x) = \frac{1}{x}\). ### Exercices 1. **Ensembles de définition:** Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes: a) \(f(x) = -2x^2 + 7x - 1\) b) \(g(x) = \frac{5x}{3x - 6}\) c) \(h(x) = \sqrt{2x - 8}\) d) \(k(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 5}}\) 2. **Sens de variation:** En utilisant la définition, étudiez le sens de variation de la fonction \(f(x) = -2x + 3\) sur \(\mathbb{R}\). 3. **Tableau de variation:** Complétez le tableau de variation de la fonction inverse \(f(x) = \frac{1}{x}\). \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \text{Variation de } \frac{1}{x} & & \text{???} & \parallel & \text{???} & \\ \hline \end{array} 4. **Identification:** Associez chaque fonction à la description de sa courbe: a) \(f(x) = 4 - x\) b) \(g(x) = x^2 - 3\) c) \(h(x) = \sqrt{x-1}\) d) \(k(x) = \frac{1}{x+2}\) * i) Une hyperbole décalée. * ii) Une droite qui descend. * iii) Une parabole dont le sommet est décalé vers le bas. * iv) Une demi-parabole décalée vers la droite. ### Devoirs 1. **Problème complet:** Soit la fonction \(f(x) = \frac{1}{x - 3} + 2\). a) Déterminez son ensemble de définition \(D_f\). b) Montrez que pour tout \(a, b \in D_f\) tels que \(a < b\), on a \(f(a) > f(b)\). Que pouvez-vous en conclure sur le sens de variation de \(f\) sur ses intervalles de définition? c) Tracez l'allure de la courbe de \(f\) en vous aidant de votre calculatrice graphique si besoin, puis vérifiez le sens de variation. 2. **Fonction affine par morceaux:** Une fonction \(g\) est définie par: * \(g(x) = x + 2\) si \(x < 0\) * \(g(x) = -2x + 2\) si \(x \ge 0\) a) Calculez \(g(-3)\), \(g(0)\), \(g(2)\). b) Étudiez le sens de variation de \(g\) sur \(]-\infty, 0[\) et sur \([0, +\infty[\). c) Construisez le tableau de variation de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons finalisé notre exploration des fonctions numériques en Seconde. Il est désormais essentiel de savoir déterminer l'**ensemble de définition** d'une fonction, en particulier face aux dénominateurs non nuls et aux racines carrées positives. Nous avons également appris à analyser le **sens de variation** d'une fonction (croissante, décroissante, constante) à l'aide de la définition ou d'un tableau de variation. Enfin, la reconnaissance des **courbes des fonctions usuelles** comme les fonctions affines (droites), la fonction carré (parabole), la fonction inverse (hyperbole) et la fonction racine carrée est une compétence clé qui vous aidera à visualiser et à comprendre le comportement des fonctions. Ces notions sont les fondations de l'analyse fonctionnelle pour les années à venir.