Transformations du plan (suite et fin)

# Transformations du plan (suite et fin) ## Rotations et propriétés ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les rotations, la dernière des transformations du plan que nous étudierons. Après avoir exploré les symétries axiales, les symétries centrales et les translations, nous allons maintenant nous pencher sur les rotations. Une rotation est un mouvement qui fait "tourner" une figure autour d'un point fixe. Nous découvrirons ensemble les éléments clés qui la définissent et les propriétés fondamentales qu'elle conserve. ### Concepts clés #### Définition d'une rotation Une **rotation** est une transformation géométrique qui fait correspondre à un point \( M \) un point \( M' \) tel que : * La distance entre le centre de rotation et le point est la même que la distance entre le centre de rotation et l'image du point (\( OM = OM' \)). * L'angle entre le segment reliant le centre au point original et le segment reliant le centre à l'image du point est égal à l'angle de rotation (\( \angle MOM' \) est l'angle de rotation). Pour définir complètement une rotation, nous avons besoin de trois éléments : * Le **centre de rotation** : un point fixe autour duquel la rotation est effectuée. * L'**angle de rotation** : la mesure de l'amplitude du mouvement de rotation. Il est généralement exprimé en degrés. * Le **sens de rotation** : il peut être direct (ou positif, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) ou indirect (ou négatif, dans le sens des aiguilles d'une montre). #### Caractéristiques d'une rotation * **Le centre de rotation (O)** : C'est le seul point invariant par la rotation, c'est-à-dire le seul point qui n'est pas déplacé par la transformation. Si un point coïncide avec le centre de rotation, son image est lui-même. * **L'angle de rotation (\( \alpha \))** : Il détermine "à quel point" la figure tourne. Il est mesuré en degrés. Par exemple, une rotation de \( 90^\circ \) signifie un quart de tour. * **Le sens de rotation** : * **Sens direct** : C'est le sens trigonométrique, le sens anti-horaire, c'est-à-dire l'inverse du sens de rotation des aiguilles d'une montre. C'est le sens positif par convention. * **Sens indirect** : C'est le sens horaire, le sens des aiguilles d'une montre. C'est le sens négatif par convention. #### Propriétés des rotations Les rotations sont des isométries, ce qui signifie qu'elles conservent de nombreuses propriétés géométriques des figures : * **Conservation des longueurs** : Une rotation ne modifie pas les distances entre les points. Si un segment \( [AB] \) est transformé en \( [A'B'] \), alors \( AB = A'B' \). * **Conservation des angles** : Les mesures des angles sont préservées. Si un angle \( \angle ABC \) est transformé en \( \angle A'B'C' \), alors \( \angle ABC = \angle A'B'C' \). * **Conservation des aires** : L'aire d'une figure ne change pas après une rotation. * **Conservation de l'alignement des points** : Les images de points alignés sont alignées. Si \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés, leurs images \( A' \), \( B' \) et \( C' \) le seront aussi. * **Conservation des milieux** : Le milieu d'un segment est transformé en le milieu du segment image. * **Conservation du parallélisme et de la perpendicularité** : L'image d'une droite est une droite. Si deux droites sont parallèles (ou perpendiculaires), leurs images par rotation le sont aussi. #### Construction géométrique d'une rotation Pour construire l'image \( A' \) d'un point \( A \) par une rotation de centre \( O \) et d'angle \( \alpha \) (par exemple dans le sens direct) : 1. Tracez le segment \( [OA] \). 2. À l'aide d'un rapporteur, construisez un angle de mesure \( \alpha \) à partir du segment \( [OA] \), avec le sommet \( O \), dans le sens de rotation indiqué. Cela détermine une demi-droite. 3. Avec un compas, reportez la longueur \( OA \) sur cette demi-droite. Le point d'intersection est l'image \( A' \) du point \( A \). On a alors \( OA = OA' \) et \( \angle AOA' = \alpha \). ### Vocabulaire * **Rotation** : Transformation du plan qui fait tourner une figure autour d'un point fixe. * **Centre de rotation** : Le point fixe autour duquel la rotation est effectuée. * **Angle de rotation** : La mesure de l'amplitude de la rotation. * **Sens direct (anti-horaire)** : Le sens de rotation contraire à celui des aiguilles d'une montre. C'est le sens positif. * **Sens indirect (horaire)** : Le sens de rotation des aiguilles d'une montre. C'est le sens négatif. * **Isométrie** : Transformation qui conserve les longueurs, les angles et les aires. Les rotations sont des isométries. * **Point invariant** : Un point qui ne change pas de position par la transformation. Le centre de rotation est le seul point invariant d'une rotation (sauf pour une rotation de \( 0^\circ \) ou \( 360^\circ \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Rotation d'un point Soit un point \( A \), un centre de rotation \( O \) et un angle de \( 70^\circ \) dans le sens direct. Pour trouver l'image \( A' \) de \( A \) : 1. Tracez le segment \( [OA] \). 2. Placez le rapporteur sur \( O \) avec la ligne de base sur \( [OA] \). 3. Mesurez \( 70^\circ \) dans le sens anti-horaire et tracez une demi-droite. 4. Mesurez la distance \( OA \) avec un compas et reportez-la sur la demi-droite pour obtenir \( A' \). #### Exemple 2 : Rotation d'un segment Construisez l'image \( [A'B'] \) d'un segment \( [AB] \) par une rotation de centre \( O \) et d'angle \( 90^\circ \) dans le sens indirect. 1. Construisez d'abord \( A' \) l'image de \( A \) par la rotation de centre \( O \) et d'angle \( 90^\circ \) dans le sens indirect. 2. Construisez ensuite \( B' \) l'image de \( B \) par la même rotation. 3. Le segment \( [A'B'] \) est l'image de \( [AB] \). Vérifiez avec une règle que \( AB = A'B' \), confirmant la conservation des longueurs. #### Exemple 3 : Rotation d'une figure (triangle) Soit un triangle \( ABC \) et un point \( P \) (extérieur ou intérieur au triangle). On applique une rotation de centre \( P \) et d'angle \( 120^\circ \) dans le sens direct. Pour construire l'image \( A'B'C' \) du triangle \( ABC \) : 1. Construisez \( A' \) l'image de \( A \) par cette rotation. 2. Construisez \( B' \) l'image de \( B \) par cette rotation. 3. Construisez \( C' \) l'image de \( C \) par cette rotation. 4. Reliez \( A' \), \( B' \) et \( C' \) pour former le triangle image. Vous constaterez que les dimensions et la forme du triangle sont conservées. ### Exercices 1. Dessinez un triangle \( MNP \). Choisissez un point \( Q \) extérieur au triangle. Construisez l'image du triangle \( MNP \) par la rotation de centre \( Q \) et d'angle \( 110^\circ \) dans le sens indirect. 2. Soit un cercle de centre \( O \). Appliquez une rotation de centre \( O \) et d'angle \( 60^\circ \) à ce cercle. Décrivez précisément ce que vous observez et expliquez pourquoi. 3. Vrai ou Faux ? Justifiez chacune de vos réponses. a. Une rotation de centre \( C \) et d'angle \( 180^\circ \) est équivalente à une symétrie centrale de centre \( C \). b. L'image d'une droite par une rotation est toujours une droite parallèle à la droite originale. c. Le sens direct de rotation est le sens des aiguilles d'une montre. d. Si un point \( A \) est transformé en \( A' \) par une rotation de centre \( O \), alors \( OA \) n'est pas nécessairement égal à \( OA' \). ### Devoirs 1. Construisez un pentagone régulier \( ABCDE \). Soit \( O \) son centre. Dessinez l'image du pentagone \( ABCDE \) par la rotation de centre \( O \) et d'angle \( 72^\circ \) dans le sens direct. Quelle figure obtenez-vous ? Expliquez votre observation. 2. Un designer utilise des rotations pour créer des motifs. Il part d'une petite forme en L. Il applique ensuite une série de rotations de centre un de ses sommets et d'angle \( 90^\circ \). Esquissez les quatre premières étapes de ce motif. 3. En utilisant les propriétés des rotations, démontrez pourquoi un carré peut être transformé en lui-même par plusieurs rotations différentes. Précisez le centre et les angles de ces rotations (en précisant le sens). 4. Soit une rotation \( R \) de centre \( O \) et d'angle \( \alpha \). Que se passe-t-il si l'on applique deux fois de suite la rotation \( R \) à une figure ? Quel est l'angle de la transformation résultante ? ### Résumé Pour conclure, la rotation est une transformation du plan définie par un **centre**, un **angle** et un **sens**. Elle fait tourner une figure sans la déformer. Il est crucial de retenir que les rotations sont des **isométries**, ce qui signifie qu'elles conservent les **longueurs**, les **angles**, les **aires**, l'**alignement des points** et les **milieux**. Comprendre les rotations est essentiel pour analyser des figures complexes et pour des applications dans de nombreux domaines comme l'art, le design et l'ingénierie.