Chap11: Transformations du plan

# Chap11: Transformations du plan ## Utilisation des symétries et des translations ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les transformations du plan ! En géométrie, une transformation est une manière de déplacer des figures. Parmi elles, les symétries et les translations sont fondamentales. Elles nous permettent de déplacer des objets sans modifier leur forme ou leur taille. Comprendre ces transformations est essentiel pour analyser des motifs, construire des figures complexes et résoudre des problèmes géométriques. Dans ces notes, nous allons explorer en détail la symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation. Nous verrons leurs définitions, leurs propriétés clés et comment les construire. Préparez-vous à voir le monde sous un nouvel angle ! ### Concepts Clés #### 1. La Symétrie Axiale (Réflexion) La symétrie axiale, aussi appelée réflexion, est une transformation qui "plie" le plan le long d'une droite, appelée **axe de symétrie**. Chaque point d'une figure est envoyé de l'autre côté de cet axe, à la même distance. * **Définition :** Soit une droite \( d \) (l'axe de symétrie). L'image \( M' \) d'un point \( M \) par la symétrie axiale d'axe \( d \) est le point tel que la droite \( d \) est la médiatrice du segment \( [MM'] \). * **Propriétés :** La symétrie axiale : * Conserve les distances (les longueurs). * Conserve les alignements (l'image d'une droite est une droite). * Conserve les angles (l'image d'un angle est un angle de même mesure). * Conserve les aires. * Transforme une figure en une figure "mirroir" (orientation inversée). * **Construction :** Pour construire l'image \( M' \) d'un point \( M \) par rapport à un axe \( d \) : 1. Tracez la droite perpendiculaire à \( d \) passant par \( M \). 2. Mesurez la distance entre \( M \) et le point d'intersection de cette perpendiculaire avec \( d \). 3. Reportez cette même distance de l'autre côté de \( d \) sur la perpendiculaire pour obtenir \( M' \). #### 2. La Symétrie Centrale (Rotation de 180°) La symétrie centrale est une transformation qui fait tourner une figure de 180° autour d'un point fixe, appelé **centre de symétrie**. * **Définition :** Soit un point \( O \) (le centre de symétrie). L'image \( M' \) d'un point \( M \) par la symétrie centrale de centre \( O \) est le point tel que \( O \) est le milieu du segment \( [MM'] \). * **Propriétés :** La symétrie centrale : * Conserve les distances, les alignements, les angles et les aires. * L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite initiale. * L'orientation de la figure est conservée (pas d'effet miroir). * **Construction :** Pour construire l'image \( M' \) d'un point \( M \) par rapport à un centre \( O \) : 1. Tracez la demi-droite \( [MO) \). 2. Reportez la distance \( MO \) sur cette demi-droite au-delà de \( O \) pour obtenir \( M' \) tel que \( MO = OM' \). #### 3. La Translation (Glissement) La translation est une transformation qui déplace tous les points d'une figure dans la même direction, le même sens et la même longueur. Ce déplacement est caractérisé par un **vecteur de translation**. * **Définition :** Soit un vecteur \( \vec{u} \). L'image \( M' \) d'un point \( M \) par la translation de vecteur \( \vec{u} \) est le point tel que \( \vec{MM'} = \vec{u} \). Cela signifie que le quadrilatère \( AMM'B \) est un parallélogramme si \( \vec{u} = \vec{AB} \). * **Propriétés :** La translation : * Conserve les distances, les alignements, les angles et les aires. * L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite initiale. * L'orientation de la figure est conservée. * **Construction :** Pour construire l'image \( M' \) d'un point \( M \) par la translation de vecteur \( \vec{AB} \) : 1. Tracez une droite parallèle à \( (AB) \) passant par \( M \). 2. Reportez la longueur \( AB \) sur cette droite à partir de \( M \) dans le sens de \( \vec{AB} \). * Alternativement, en utilisant le compas : pour un point \( M \) et un vecteur \( \vec{u} = \vec{AB} \), \( M' \) est tel que \( ABM'M \) est un parallélogramme. Placez la pointe du compas sur \( B \) et ouvrez jusqu'à \( M \), puis reportez cette distance depuis \( A \). Placez la pointe du compas sur \( A \) et ouvrez jusqu'à \( M \), puis reportez cette distance depuis \( B \). L'intersection est \( M' \). ### Vocabulaire * **Transformation :** Opération qui fait correspondre à chaque point d'une figure un autre point. * **Symétrie axiale :** Transformation qui transforme une figure en son image miroir par rapport à une droite. * **Axe de symétrie :** La droite par rapport à laquelle s'effectue une symétrie axiale. * **Symétrie centrale :** Transformation qui fait pivoter une figure de 180° autour d'un point. * **Centre de symétrie :** Le point par rapport auquel s'effectue une symétrie centrale. * **Translation :** Transformation qui déplace une figure selon une direction, un sens et une longueur donnés. * **Vecteur de translation :** Un objet mathématique qui caractérise le déplacement (direction, sens, longueur) d'une translation. * **Image (d'un point/figure) :** Le nouveau point ou la nouvelle figure obtenue après une transformation. * **Point invariant :** Un point qui reste à sa place après une transformation. Pour une symétrie axiale, les points sur l'axe sont invariants. Pour une symétrie centrale, le centre de symétrie est invariant. Pour une translation, il n'y a pas de point invariant (sauf si le vecteur est le vecteur nul). * **Conservation :** Propriété d'une transformation à maintenir certaines caractéristiques (distances, angles, etc.) inchangées. ### Exemples #### Exemple 1: Symétrie Axiale Soit un triangle \( ABC \) et une droite \( d \). Construisons l'image \( A'B'C' \) du triangle \( ABC \) par la symétrie axiale d'axe \( d \). 1. Pour le point \( A \), tracez la perpendiculaire à \( d \) passant par \( A \). Mesurez la distance de \( A \) à \( d \) et reportez-la de l'autre côté pour obtenir \( A' \). 2. Répétez l'opération pour les points \( B \) et \( C \) pour obtenir \( B' \) et \( C' \). 3. Reliez les points \( A' \), \( B' \) et \( C' \) pour former le triangle image \( A'B'C' \). Le triangle \( A'B'C' \) est une réflexion de \( ABC \) par rapport à \( d \). #### Exemple 2: Symétrie Centrale Soit un segment \( [MN] \) et un point \( O \). Construisons l'image \( [M'N'] \) du segment \( [MN] \) par la symétrie centrale de centre \( O \). 1. Pour le point \( M \), tracez la droite \( (MO) \). Prolongez cette droite au-delà de \( O \) et placez \( M' \) tel que \( O \) soit le milieu de \( [MM'] \). 2. Répétez l'opération pour le point \( N \) pour obtenir \( N' \). 3. Reliez \( M' \) et \( N' \) pour former le segment image \( [M'N'] \). Notez que \( [M'N'] \) est parallèle à \( [MN] \) et a la même longueur. #### Exemple 3: Translation Soit un quadrilatère \( DEFG \) et un vecteur \( \vec{u} \) défini par deux points \( P \) et \( Q \) (donc \( \vec{u} = \vec{PQ} \) ). Construisons l'image \( D'E'F'G' \) du quadrilatère \( DEFG \) par la translation de vecteur \( \vec{u} \). 1. Pour chaque sommet \( D, E, F, G \), construisez son image \( D', E', F', G' \) en déplaçant le point de la même manière que \( P \) vers \( Q \). * Par exemple, pour \( D' \), tracez un segment parallèle et de même longueur que \( [PQ] \) partant de \( D \) et allant dans le même sens. Cela forme le parallélogramme \( PQD'D \). 2. Reliez les points \( D', E', F', G' \) pour former le quadrilatère image \( D'E'F'G' \). Le quadrilatère image est le même que le quadrilatère initial, juste déplacé. * Si un point \( A \) a pour coordonnées \( (x_A, y_A) \) et le vecteur de translation \( \vec{u} \) a pour composantes \( (x_u, y_u) \), alors l'image \( A' \) aura pour coordonnées \( (x_A + x_u, y_A + y_u) \). ### Exercices 1. Dessinez un triangle quelconque \( ABC \) et une droite \( d \) qui ne coupe pas le triangle. Construisez l'image \( A'B'C' \) de ce triangle par la symétrie axiale d'axe \( d \). 2. Dessinez un carré \( EFGH \) et placez un point \( O \) à l'intérieur du carré. Construisez l'image \( E'F'G'H' \) de ce carré par la symétrie centrale de centre \( O \). 3. Soient les points \( A(1, 2) \), \( B(4, 2) \), \( C(3, 4) \) et un vecteur \( \vec{u} \) de coordonnées \( (2, -1) \). * Calculez les coordonnées de l'image \( A' \) du point \( A \) par la translation de vecteur \( \vec{u} \). * Calculez les coordonnées des images \( B' \) et \( C' \) des points \( B \) et \( C \) par la même translation. 4. Sur une feuille à carreaux, dessinez une forme en L. Choisissez un axe de symétrie, un centre de symétrie et un vecteur de translation. Appliquez chacune de ces transformations à votre forme et dessinez les images obtenues. 5. Si un segment mesure \( 7 \) cm, quelle sera la longueur de son image par : * Symétrie axiale ? * Symétrie centrale ? * Translation ? Expliquez pourquoi. ### Devoirs 1. **Recherche et application :** Trouvez une image ou un motif dans la vie courante (architecture, art, nature...) qui illustre la symétrie axiale, la symétrie centrale ou la translation. Décrivez où et comment ces transformations sont visibles. 2. **Construction complexe :** Dessinez un pentagone régulier. Construisez son image par une symétrie axiale, puis appliquez une symétrie centrale à l'image obtenue. Enfin, translatez le résultat. Décrivez les étapes et les figures intermédiaires. 3. **Coordonnées et vecteurs :** Soit un triangle \( M(0, 0) \), \( N(3, 0) \), \( P(1, 2) \). * Déterminez les coordonnées de l'image \( M''N''P'' \) de ce triangle après une translation de vecteur \( \vec{v}(-2, 1) \) suivie d'une symétrie centrale de centre \( O'(0,0) \) (l'origine). * Vérifiez si l'aire du triangle a été conservée. Rappel : L'aire d'un triangle peut être calculée avec la formule \( A = \frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| \) pour des points \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \). ### Résumé Nous avons exploré trois transformations fondamentales du plan : la **symétrie axiale**, la **symétrie centrale** et la **translation**. Chacune déplace les figures de manière spécifique : * La **symétrie axiale** reflète une figure par rapport à un axe. * La **symétrie centrale** fait pivoter une figure de 180° autour d'un point. * La **translation** glisse une figure selon un vecteur. Malgré leurs différences, toutes ces transformations ont une propriété commune cruciale : elles **conservent les distances, les alignements, les angles et les aires**. Cela signifie qu'elles ne déforment jamais les figures. Elles sont des outils puissants pour comprendre la géométrie et sont omniprésentes dans l'art, le design et la nature. ## Propriétés des homothéties ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre consacré aux transformations du plan. Nous allons nous intéresser à une transformation particulière : l'homothétie. Après avoir rappelé sa définition, nous allons explorer en détail les propriétés fondamentales des homothéties, c'est-à-dire ce qu'elles conservent ou modifient dans les figures géométriques. Comprendre ces propriétés est essentiel pour manipuler et analyser les figures dans le plan. ### Concepts Clés #### 1. Définition et rappels de l'homothétie Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure par rapport à un point fixe, appelé le centre de l'homothétie. Elle est définie par : * **Un centre O** (un point fixe). * **Un rapport k** (un nombre réel non nul). Pour tout point M du plan, son image M' par l'homothétie de centre O et de rapport k est le point tel que : * O, M et M' sont alignés. * \( \vec{OM'} = k \vec{OM} \) #### 2. Propriétés de conservation Les homothéties conservent certaines propriétés géométriques des figures. Cela signifie que la figure transformée possède les mêmes caractéristiques que la figure originale concernant ces aspects. ##### a. Conservation de l'alignement Si trois points A, B, C sont alignés, alors leurs images A', B', C' par une homothétie seront également alignées. L'ordre des points est également conservé. ##### b. Conservation du parallélisme Si deux droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont parallèles, alors leurs images \( (d'_1) \) et \( (d'_2) \) par une homothétie seront également parallèles. ##### c. Conservation des angles Les homothéties conservent la mesure des angles. Si un angle a une certaine mesure dans la figure originale, son image aura la même mesure dans la figure transformée. #### 3. Propriétés liées au rapport de l'homothétie Bien que certaines propriétés soient conservées, d'autres sont modifiées proportionnellement au rapport \( k \). ##### a. Transformation des longueurs La longueur d'un segment est multipliée par la valeur absolue du rapport \( k \). Si un segment [AB] a pour longueur \( L \), son image [A'B'] aura pour longueur \( L' = |k| \times L \). \[ A'B' = |k| \times AB \] * Si \( |k| > 1 \), l'homothétie est un agrandissement. * Si \( 0 < |k| < 1 \), l'homothétie est une réduction. * Si \( k = 1 \), l'homothétie est l'identité (la figure ne change pas). * Si \( k = -1 \), l'homothétie est une symétrie centrale (par rapport au centre O). ##### b. Transformation des aires L'aire d'une figure est multipliée par le carré du rapport \( k \). Si une figure a une aire \( A \), son image aura une aire \( A' = k^2 \times A \). \[ A' = k^2 \times A \] #### 4. Cas particuliers * **Homothétie de rapport \( k=1 \):** Tout point est sa propre image. C'est l'identité. * **Homothétie de rapport \( k=-1 \):** L'image d'un point M est le symétrique de M par rapport au centre O. C'est une symétrie centrale. ### Vocabulaire * **Homothétie:** Transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure par rapport à un point fixe. * **Centre d'homothétie (O):** Le point fixe à partir duquel l'agrandissement ou la réduction est effectué. * **Rapport d'homothétie (k):** Le nombre réel non nul qui détermine l'échelle de l'agrandissement ou de la réduction, ainsi que le sens (si k est négatif). * **Image:** La figure ou le point obtenu après l'application de l'homothétie. * **Antécédent:** La figure ou le point de départ avant l'application de l'homothétie. * **Alignement:** La propriété pour des points d'être situés sur une même droite. * **Parallélisme:** La propriété pour des droites de ne jamais se croiser. * **Angle:** L'ouverture formée par deux demi-droites issues d'un même point. ### Exemples #### Exemple 1: Construction d'une image Soit un triangle ABC et un point O. Construisons l'image A'B'C' du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \( k = 2 \). 1. Tracez les droites (OA), (OB) et (OC). 2. Sur chaque droite, placez les points A', B', C' tels que \( \vec{OA'} = 2 \vec{OA} \), \( \vec{OB'} = 2 \vec{OB} \) et \( \vec{OC'} = 2 \vec{OC} \). 3. Reliez A', B', C' pour former le triangle A'B'C'. Vous observerez que A'B'C' est un agrandissement de ABC. Les côtés de A'B'C' sont deux fois plus longs que ceux de ABC, et les angles sont identiques. #### Exemple 2: Calcul de longueurs et d'aires Soit un rectangle ABCD de longueur \( L = 6 \text{ cm} \) et de largeur \( l = 4 \text{ cm} \). Son aire est \( A = 24 \text{ cm}^2 \). On applique une homothétie de rapport \( k = 1,5 \). 1. **Longueurs:** La nouvelle longueur \( L' = |1,5| \times 6 = 1,5 \times 6 = 9 \text{ cm} \). La nouvelle largeur \( l' = |1,5| \times 4 = 1,5 \times 4 = 6 \text{ cm} \). 2. **Aire:** La nouvelle aire \( A' = k^2 \times A = (1,5)^2 \times 24 = 2,25 \times 24 = 54 \text{ cm}^2 \). On peut vérifier que \( L' \times l' = 9 \times 6 = 54 \text{ cm}^2 \), ce qui correspond bien au calcul de l'aire par la formule \( k^2 \times A \). ### Exercices 1. Soit un segment [EF] de longueur 5 cm. Par une homothétie de rapport \( k = -3 \), quelle sera la longueur de son image [E'F'] ? 2. Un triangle ABC a une aire de \( 18 \text{ cm}^2 \). Quelle est l'aire de son image A'B'C' par une homothétie de rapport \( k = 0,5 \) ? 3. Soient deux droites (d) et (d') parallèles. Si on applique une homothétie, leurs images (d\_image) et (d'\_image) seront-elles parallèles ? Justifiez. 4. Sur une feuille, dessinez un point O et un carré ABCD. Construisez l'image du carré ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport \( k = 0,5 \). ### Devoir à la maison 1. Un cercle de rayon \( R = 10 \text{ cm} \) est transformé par une homothétie de rapport \( k = -2,5 \). a. Quel est le rayon du cercle image ? b. Quelle est l'aire du cercle image ? (Rappel: Aire d'un cercle \( = \pi R^2 \)) 2. Soient trois points A, B, C non alignés et un point O. Construisez l'image A'B'C' du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \( k = -1,5 \). Que remarquez-vous concernant l'orientation du triangle ? 3. Dans un repère, on donne le point \( A(1, 2) \), \( B(3, 4) \) et le centre de l'homothétie \( O(0, 0) \). Déterminez les coordonnées des images A' et B' des points A et B par l'homothétie de rapport \( k = 2 \). Calculez la longueur AB et A'B' et vérifiez la propriété des longueurs. ### Résumé Les homothéties sont des transformations puissantes qui permettent d'agrandir ou de réduire des figures. Elles possèdent des propriétés clés : * Elles **conservent** l'alignement, le parallélisme et les mesures des angles. * Elles **multiplient** les longueurs par \( |k| \). * Elles **multiplient** les aires par \( k^2 \). Le rapport \( k \) détermine si c'est un agrandissement (\( |k|>1 \)) ou une réduction (\( 0<|k|<1 \)), et sa valeur négative inverse l'orientation de la figure par rapport au centre. Ces propriétés sont fondamentales pour l'étude de la géométrie et ses applications.