Statistiques (suite et fin)

# Statistiques (suite et fin) ## o Représentations graphiques : diagramme à bâtons, diagramme à bandes, diagramme circulaire. ### Introduction Bienvenue à cette dernière partie de notre chapitre sur les statistiques ! Après avoir appris à collecter et organiser les données, il est temps de découvrir comment les présenter de manière visuelle et impactante. Les représentations graphiques sont des outils essentiels en statistiques. Elles permettent de rendre les informations plus claires, plus faciles à comprendre et à analyser en un coup d'œil. Nous allons explorer trois types de diagrammes couramment utilisés : le diagramme à bâtons, le diagramme à bandes et le diagramme circulaire. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Séries Statistiques Avant de plonger dans les représentations graphiques, rappelons quelques notions importantes : * **Variable qualitative :** Caractéristique qui ne peut pas être mesurée par un nombre (ex: couleur des yeux, mode de transport préféré). Elle peut être nominale (sans ordre) ou ordinale (avec un ordre). * **Variable quantitative discrète :** Caractéristique qui peut être mesurée par un nombre entier (ex: nombre d'enfants, nombre de frères et sœurs). Le choix du bon type de graphique dépendra de la nature de la variable étudiée. #### 1. Le Diagramme à Bâtons Le diagramme à bâtons est idéal pour représenter les distributions de **variables qualitatives** ou de **variables quantitatives discrètes**. ##### Caractéristiques : * Il est constitué de rectangles (les "bâtons") non jointifs. * Chaque bâton représente une modalité (une catégorie ou une valeur) de la variable. * La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif (nombre d'occurrences) ou à la fréquence (relative ou en pourcentage) de la modalité correspondante. * L'axe horizontal (abscisses) représente les modalités de la variable. * L'axe vertical (ordonnées) représente les effectifs ou les fréquences. ##### Quand l'utiliser ? Pour visualiser la répartition d'une variable où chaque catégorie ou valeur est distincte et les comparer facilement. #### 2. Le Diagramme à Bandes Le diagramme à bandes est très similaire au diagramme à bâtons, mais les barres sont horizontales. Il est souvent utilisé pour les **variables qualitatives**. ##### Caractéristiques : * Il est constitué de rectangles (les "bandes") horizontaux non jointifs. * Chaque bande représente une modalité de la variable. * La longueur de chaque bande est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de la modalité. * L'axe vertical (ordonnées) représente les modalités de la variable. * L'axe horizontal (abscisses) représente les effectifs ou les fréquences. ##### Quand l'utiliser ? Il est particulièrement utile lorsque les noms des catégories sont longs ou lorsqu'on veut comparer des pourcentages ou des effectifs entre plusieurs groupes. #### 3. Le Diagramme Circulaire (Camembert) Le diagramme circulaire, souvent appelé "camembert", est utilisé pour représenter la répartition de **variables qualitatives** ou de **variables quantitatives discrètes** (surtout lorsqu'il y a peu de modalités) en montrant la proportion de chaque catégorie par rapport à l'ensemble. ##### Caractéristiques : * Il s'agit d'un cercle divisé en secteurs angulaires. * Chaque secteur représente une modalité de la variable. * L'aire de chaque secteur (et donc son angle au centre) est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de la modalité. * La somme des angles de tous les secteurs doit être égale à \[ 360^ ext{o} \]. ##### Calcul de l'angle d'un secteur : L'angle d'un secteur se calcule de la manière suivante : \[ \text{Angle} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \times 360^ ext{o} \] ou bien, si vous utilisez la fréquence relative ou le pourcentage : \[ \text{Angle} = \text{Fréquence relative} \times 360^ ext{o} \] ou encore : \[ \text{Angle} = \frac{\text{Pourcentage}}{100} \times 360^ ext{o} \] ##### Quand l'utiliser ? Pour montrer la contribution de chaque partie à un tout, notamment avec des pourcentages clairs. ### Vocabulaire * **Effectif :** Le nombre de fois qu'une valeur ou une modalité apparaît dans une série statistique. * **Effectif total :** Le nombre total d'individus ou d'observations dans la série statistique. * **Fréquence relative :** Le rapport entre l'effectif d'une modalité et l'effectif total. Elle est souvent exprimée en pourcentage. \[ \text{Fréquence relative} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \] * **Pourcentage :** La fréquence relative multipliée par 100. \[ \text{Pourcentage} = \text{Fréquence relative} \times 100 \] * **Série statistique :** Un ensemble de données collectées sur une population ou un échantillon. * **Modalité :** Une des valeurs possibles pour une variable qualitative ou quantitative discrète. * **Diagramme à bâtons :** Représentation graphique où la hauteur des bâtons indique la fréquence. * **Diagramme à bandes :** Représentation graphique où la longueur des bandes indique la fréquence. * **Diagramme circulaire (Camembert) :** Représentation graphique où la taille des secteurs angulaires indique la fréquence ou le pourcentage. * **Secteur angulaire :** Une portion d'un disque délimitée par deux rayons et un arc de cercle. ### Exemples #### Exemple 1 : Diagramme à Bâtons (Nombre de frères et sœurs) Un sondage a été réalisé auprès de 25 élèves de Seconde pour connaître le nombre de leurs frères et sœurs. Voici les résultats : | Nombre de frères/sœurs | Effectif | | :--------------------: | :------: | | 0 | 5 | | 1 | 12 | | 2 | 6 | | 3 | 2 | | 4 | 0 | | **Total** | **25** | **Comment construire le diagramme :** 1. Tracez deux axes perpendiculaires. L'axe horizontal est gradué avec le nombre de frères/sœurs (0, 1, 2, 3, 4). 2. L'axe vertical est gradué pour les effectifs (de 0 à 12, par exemple). 3. Pour chaque nombre de frères/sœurs, dessinez un bâton dont la hauteur correspond à l'effectif. Par exemple, pour "1 frère/sœur", le bâton montera jusqu'à 12 sur l'axe des effectifs. #### Exemple 2 : Diagramme à Bandes (Couleur préférée) Voici les couleurs préférées de 20 personnes interrogées : | Couleur préférée | Effectif | | :--------------: | :------: | | Bleu | 8 | | Rouge | 6 | | Vert | 4 | | Jaune | 2 | | **Total** | **20** | **Comment construire le diagramme :** 1. Tracez deux axes perpendiculaires. L'axe vertical est gradué avec les noms des couleurs (Bleu, Rouge, Vert, Jaune). 2. L'axe horizontal est gradué pour les effectifs (de 0 à 8, par exemple). 3. Pour chaque couleur, dessinez une bande horizontale dont la longueur correspond à l'effectif. Par exemple, pour "Bleu", la bande s'étendra jusqu'à 8 sur l'axe des effectifs. #### Exemple 3 : Diagramme Circulaire (Mode de transport pour aller au lycée) Dans une classe de 40 élèves, voici comment ils viennent au lycée : | Mode de transport | Effectif | Fréquence relative | Angle (en \[ ^\text{o} \]) | | :---------------: | :------: | :----------------: | :-----------------------: | | Vélo | 10 | 0,25 | 90 | | Bus | 15 | 0,375 | 135 | | Voiture | 5 | 0,125 | 45 | | Marche | 10 | 0,25 | 90 | | **Total** | **40** | **1** | **360** | **Calcul des angles :** * **Vélo :** \[ \frac{10}{40} \times 360^ ext{o} = 0,25 \times 360^ ext{o} = 90^ ext{o} \] * **Bus :** \[ \frac{15}{40} \times 360^ ext{o} = 0,375 \times 360^ ext{o} = 135^ ext{o} \] * **Voiture :** \[ \frac{5}{40} \times 360^ ext{o} = 0,125 \times 360^ ext{o} = 45^ ext{o} \] * **Marche :** \[ \frac{10}{40} \times 360^ ext{o} = 0,25 \times 360^ ext{o} = 90^ ext{o} \] **Comment construire le diagramme :** 1. Tracez un cercle et son centre. 2. À partir d'un rayon, utilisez un rapporteur pour tracer le premier angle (par exemple, \[ 90^ ext{o} \] pour le vélo). 3. À partir du côté final du premier angle, tracez le deuxième angle (par exemple, \[ 135^ ext{o} \] pour le bus). 4. Répétez l'opération pour tous les modes de transport. 5. N'oubliez pas d'indiquer la catégorie et/ou le pourcentage dans chaque secteur. ### Exercices #### Exercice 1 : Construction de diagramme à bâtons Voici les notes obtenues par les élèves d'une classe de Seconde lors d'un contrôle de Mathématiques (sur 20) : | Note | Effectif | | :--: | :------: | | 8 | 3 | | 10 | 5 | | 12 | 8 | | 14 | 6 | | 16 | 3 | | 18 | 2 | 1. Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ? 2. Construisez le diagramme à bâtons de cette série statistique. #### Exercice 2 : Diagramme Circulaire Un groupe d'amis a répertorié leur sport préféré : | Sport préféré | Effectif | | :------------: | :------: | | Football | 12 | | Basket | 8 | | Natation | 6 | | Tennis | 4 | 1. Calculez l'effectif total. 2. Calculez la fréquence relative et le pourcentage pour chaque sport. 3. Calculez l'angle de chaque secteur pour un diagramme circulaire. 4. Décrivez les étapes pour dessiner ce diagramme circulaire. #### Exercice 3 : Quel graphique choisir ? Pour chaque situation, indiquez le ou les types de diagrammes (à bâtons, à bandes, circulaire) qui seraient les plus appropriés et justifiez votre choix : 1. Répartition des espèces d'arbres dans une forêt. 2. Nombre d'appels téléphoniques reçus chaque jour de la semaine. 3. Répartition du budget familial par poste de dépense. 4. Taille (en cm) des élèves d'une classe. ### Devoir #### Devoir 1 : Sondage et représentation Choisissez un sujet d'intérêt (par exemple, le genre de musique préféré de vos camarades, le fruit préféré de votre famille, le moyen de transport de vos amis pour venir au lycée) et : 1. Collectez des données auprès d'au moins 20 personnes. 2. Organisez vos données dans un tableau d'effectifs et de fréquences (ou pourcentages). 3. Construisez la représentation graphique (diagramme à bâtons ou circulaire) que vous jugez la plus pertinente pour présenter vos résultats. N'oubliez pas le titre et les légendes. #### Devoir 2 : Étude comparative Le tableau suivant montre la répartition des animaux de compagnie dans deux villes différentes : | Animal | Ville A (Effectif) | Ville B (Effectif) | | :----: | :----------------: | :----------------: | | Chien | 150 | 200 | | Chat | 120 | 180 | | Poisson | 80 | 60 | | Oiseau | 50 | 40 | | **Total** | **400** | **480** | 1. Pour la Ville A, construisez un diagramme à bâtons. 2. Pour la Ville B, construisez un diagramme circulaire. Détaillez les calculs des angles. ### Résumé Nous avons parcouru trois types de représentations graphiques fondamentales en statistiques : * **Le diagramme à bâtons :** Excellent pour les variables qualitatives ou quantitatives discrètes, il permet de comparer visuellement les effectifs ou fréquences de chaque modalité grâce à la hauteur de bâtons non jointifs. * **Le diagramme à bandes :** Une variante horizontale du diagramme à bâtons, particulièrement utile pour les noms de catégories longs ou des comparaisons. * **Le diagramme circulaire :** Idéal pour montrer la répartition d'un tout en ses différentes parties (pourcentages), où chaque secteur angulaire est proportionnel à la fréquence de la modalité qu'il représente. Le calcul précis de l'angle ( \( \text{Fréquence relative} \times 360^ ext{o} \) ) est crucial pour sa construction. Ces outils sont essentiels pour transformer des données brutes en informations claires et exploitables, facilitant ainsi leur analyse et leur interprétation. Le choix du bon graphique est la clé pour communiquer efficacement les résultats d'une étude statistique. ## Caractéristiques de position et de dispersion ### Introduction En statistiques, pour comprendre une série de données, il ne suffit pas de les lister. Nous avons besoin d'outils pour résumer ces données et en extraire des informations clés. Ces outils sont les **caractéristiques de position** (qui nous disent où se situe la "moyenne" des données) et les **caractéristiques de dispersion** (qui nous indiquent à quel point les données sont étalées ou concentrées). Dans cette leçon, nous allons revoir et approfondir ces concepts essentiels pour analyser et interpréter des séries statistiques. ### Concepts Clés #### La Moyenne (\( \bar{x} \)) La moyenne arithmétique est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs. Elle représente le "centre de gravité" de la série. * **Pour une série simple** (valeurs non groupées) : \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \] où \( N \) est l'effectif total (le nombre de valeurs). * **Pour une série groupée** (avec fréquences ou effectifs) : Si les valeurs \( x_i \) ont des effectifs \( n_i \) (ou fréquences \( f_i \)) : \[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_k x_k}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i \] avec \( N = \sum_{i=1}^{k} n_i \) l'effectif total. Ou encore \( \bar{x} = \sum_{i=1}^{k} f_i x_i \). #### La Médiane (\( Me \)) La médiane est la valeur qui partage la série statistique (ordonnée) en deux groupes de même effectif : 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et 50% sont supérieures ou égales. * **Méthode de calcul :** 1. Ordonner la série de données par ordre croissant. 2. Si l'effectif total \( N \) est impair, la médiane est la valeur centrale, à la position \( \frac{N+1}{2} \). 3. Si l'effectif total \( N \) est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux positions \( \frac{N}{2} \) et \( \frac{N}{2} + 1 \). #### Les Quartiles (\( Q_1, Q_3 \)) Les quartiles divisent la série ordonnée en quatre parties égales. Ils fournissent des informations sur la répartition des données. * **Premier Quartile (\( Q_1 \)) :** C'est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% (un quart) des données lui soient inférieures ou égales. * **Troisième Quartile (\( Q_3 \)) :** C'est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75% (trois quarts) des données lui soient inférieures ou égales. * **Méthode de calcul (une des méthodes possibles pour le niveau Seconde) :** 1. Ordonner la série. 2. Calculer \( P_1 = N \times 0.25 \) et \( P_3 = N \times 0.75 \). 3. Si \( P_1 \) n'est pas un entier, \( Q_1 \) est la valeur à la position \( \lfloor P_1 \rfloor + 1 \). Si \( P_1 \) est un entier, \( Q_1 \) est la valeur à la position \( P_1+1 \). 4. Appliquer la même logique pour \( Q_3 \) avec \( P_3 \). #### L'Étendue L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une série. Elle donne une idée rapide de la dispersion totale. * **Formule :** \( \text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale} \) #### L'Écart Interquartile (\( IQR \)) L'écart interquartile est la différence entre le troisième quartile (\( Q_3 \)) et le premier quartile (\( Q_1 \)). Il représente l'étendue des 50% des données centrales, moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue. * **Formule :** \( IQR = Q_3 - Q_1 \) #### La Variance (\( V \)) et l'Écart-type (\( \sigma \)) Ces mesures quantifient la dispersion des données autour de la moyenne. Plus la variance (ou l'écart-type) est grande, plus les données sont dispersées. * **La Variance :** La moyenne des carrés des écarts à la moyenne. * **Pour une série simple :** \[ V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \] * **Pour une série groupée :** \[ V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 \] Une autre formule très utile pour le calcul est : \( V = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 \right) - \bar{x}^2 \) (Formule de Koenig). * **L'Écart-type :** La racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que les données, ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance. \[ \sigma = \sqrt{V} \] ### Vocabulaire * **Série statistique :** Ensemble de données collectées. * **Effectif (\( N \)) :** Le nombre total de valeurs dans une série statistique. L'effectif d'une modalité est le nombre de fois où cette modalité apparaît. * **Fréquence :** La proportion d'une valeur ou d'une classe dans une série statistique, calculée comme \( \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}} \). Elle est souvent exprimée en pourcentage. * **Moyenne (\( \bar{x} \)) :** Somme des valeurs divisée par l'effectif total. * **Médiane (\( Me \)) :** Valeur centrale d'une série ordonnée. * **Quartiles (\( Q_1, Q_3 \)) :** Valeurs qui délimitent les 25% et 75% inférieurs d'une série ordonnée. * **Étendue :** Différence entre la valeur maximale et minimale. * **Écart interquartile (\( IQR \)) :** Différence entre \( Q_3 \) et \( Q_1 \), mesure de la dispersion des 50% centraux des données. * **Variance (\( V \)) :** Moyenne des carrés des écarts à la moyenne, mesure de la dispersion globale. * **Écart-type (\( \sigma \)) :** Racine carrée de la variance, mesure de dispersion dans la même unité que les données. ### Exemples Considérons les notes obtenues par 10 élèves à un contrôle de mathématiques (sur 20) : `12, 8, 15, 10, 18, 12, 14, 9, 16, 11` 1. **Ordonner la série :** `8, 9, 10, 11, 12, 12, 14, 15, 16, 18` \( N = 10 \) 2. **Moyenne (\( \bar{x} \)) :** \( \bar{x} = \frac{8+9+10+11+12+12+14+15+16+18}{10} = \frac{125}{10} = 12.5 \) La moyenne des notes est de 12.5/20. 3. **Médiane (\( Me \)) :** \( N=10 \) est pair. Les valeurs centrales sont aux positions \( \frac{10}{2} = 5 \) et \( \frac{10}{2} + 1 = 6 \). Les 5e et 6e valeurs sont 12 et 12. \( Me = \frac{12+12}{2} = 12 \) Au moins 50% des élèves ont une note inférieure ou égale à 12, et au moins 50% ont une note supérieure ou égale à 12. 4. **Quartiles (\( Q_1, Q_3 \)) :** * **Pour \( Q_1 \) :** \( N \times 0.25 = 10 \times 0.25 = 2.5 \). On prend la 3e valeur (position \( \lfloor 2.5 \rfloor + 1 \)). \( Q_1 = 10 \) * **Pour \( Q_3 \) :** \( N \times 0.75 = 10 \times 0.75 = 7.5 \). On prend la 8e valeur (position \( \lfloor 7.5 \rfloor + 1 \)). \( Q_3 = 15 \) 25% des élèves ont une note inférieure ou égale à 10, et 75% ont une note inférieure ou égale à 15. 5. **Étendue :** \( \text{Étendue} = 18 - 8 = 10 \) L'écart entre la meilleure et la moins bonne note est de 10 points. 6. **Écart Interquartile (\( IQR \)) :** \( IQR = Q_3 - Q_1 = 15 - 10 = 5 \) 50% des notes centrales sont réparties sur 5 points. 7. **Variance (\( V \)) et Écart-type (\( \sigma \)) :** Calculons les carrés des écarts à la moyenne (\( \bar{x} = 12.5 \)) \( (8-12.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25 \) \( (9-12.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25 \) \( (10-12.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25 \) \( (11-12.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25 \) \( (12-12.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25 \) (deux fois) \( (14-12.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25 \) \( (15-12.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25 \) \( (16-12.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25 \) \( (18-12.5)^2 = (5.5)^2 = 30.25 \) Somme des carrés des écarts : \( 20.25 + 12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25 + 30.25 = 92.5 \) \( V = \frac{92.5}{10} = 9.25 \) \( \sigma = \sqrt{9.25} \approx 3.04 \) L'écart-type de 3.04 points indique que les notes sont assez dispersées autour de la moyenne de 12.5. ### Exercices **Exercice 1 :** Voici la taille (en cm) d'un groupe de 8 amis : `165, 172, 180, 168, 175, 160, 172, 178` Calculez : 1. La moyenne. 2. La médiane. 3. L'étendue. 4. \( Q_1 \) et \( Q_3 \). 5. L'écart interquartile. **Exercice 2 :** Une classe de Seconde a obtenu les notes suivantes à un devoir surveillé : | Note (\( x_i \)) | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 | |------------------|---|---|----|----|----|----| | Effectif (\( n_i \)) | 2 | 4 | 7 | 5 | 3 | 1 | Calculez : 1. L'effectif total. 2. La moyenne de la classe. 3. La médiane de la classe. 4. La variance et l'écart-type de ces notes. ### Devoir Maison **DM 1 : Comparaison de performances** Deux athlètes, A et B, ont participé à 10 compétitions de saut en longueur. Voici leurs performances (en mètres) : * **Athlète A :** `6.80, 7.00, 6.95, 7.10, 6.75, 7.05, 6.90, 7.15, 6.85, 7.00` * **Athlète B :** `6.50, 7.30, 6.80, 7.20, 6.60, 7.40, 6.70, 7.10, 6.90, 7.00` 1. Pour chaque athlète, calculez la moyenne, la médiane, l'étendue, les quartiles et l'écart-type de leurs performances. 2. Quel athlète semble le plus régulier ? Justifiez votre réponse en utilisant les caractéristiques calculées. 3. Quel athlète a la meilleure performance globale ? Justifiez. **DM 2 : Recherche de valeur manquante** Une série de 5 nombres a une moyenne de 12 et une étendue de 10. Les nombres sont, par ordre croissant : `x, 10, 12, y, 16`. La médiane de cette série est 12. 1. Trouvez les valeurs de \( x \) et \( y \). 2. Calculez l'écart-type de cette série. ### Résumé Les caractéristiques de position (moyenne, médiane, quartiles) et de dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart-type) sont des outils fondamentaux pour analyser et comprendre les séries statistiques. * **Moyenne :** Le centre arithmétique de la série. * **Médiane :** La valeur qui coupe la série ordonnée en deux moitiés égales. * **Quartiles (\( Q_1, Q_3 \)) :** Délimitent les 25% et 75% des données inférieures. L'intervalle \( [Q_1, Q_3] \) contient les 50% centraux des données. * **Étendue :** La largeur totale de la série. * **Écart interquartile :** La largeur des 50% centraux, moins sensible aux valeurs extrêmes. * **Variance et Écart-type :** Mesurent la dispersion des données autour de la moyenne. L'écart-type est particulièrement utile car il s'exprime dans la même unité que les données. Comprendre et savoir calculer ces caractéristiques vous permet d'interpréter et de comparer des ensembles de données de manière pertinente.