Chap6: Angles orientés et trigonométrie

# Chap6: Angles orientés et trigonométrie ## Orientation du plan et cercle trigonométrique ### Introduction Jusqu'à présent, vous avez manipulé des angles dont la mesure est généralement comprise entre 0° et 360°. En géométrie, l'orientation de ces angles n'était pas toujours spécifiée. Dans ce chapitre, nous allons introduire la notion d'angle orienté, ce qui implique de considérer le sens de parcours. Pour cela, nous allons explorer le plan orienté et le cercle trigonométrique, un outil fondamental en trigonométrie qui permet de représenter des angles de manière plus abstraite et de les lier à des nombres réels. ### Concepts Clés #### Le Plan Orienté Le plan est dit orienté lorsque l'on a choisi un sens de parcours sur tous les cercles. Par convention, on utilise un sens appelé "sens direct" ou "sens trigonométrique". * **Sens Direct (Positif ou Trigonométrique):** C'est le sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens Indirect (Négatif):** C'est le sens des aiguilles d'une montre. Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), le sens direct est celui qui permet de passer de \( \vec{i} \) à \( \vec{j} \) par la rotation d'un angle de \( 90^ ext{o} \) dans le sens positif. #### Le Cercle Trigonométrique Le cercle trigonométrique est l'outil central pour l'étude des angles orientés. * **Définition:** C'est un cercle de rayon 1, centré à l'origine \( O \) d'un repère orthonormé \( (O; I, J) \), où \( I \) est le point de coordonnées \( (1,0) \) et \( J \) le point de coordonnées \( (0,1) \). Le point \( I \) est appelé l'origine du cercle trigonométrique. * **Enroulement de la droite numérique:** Imaginez une droite numérique graduée que l'on "enroule" autour du cercle trigonométrique à partir du point \( I \). Chaque nombre réel \( x \) de cette droite correspond alors à un point unique sur le cercle. Inversement, à chaque point du cercle correspond une infinité de nombres réels. Si un point \( M \) correspond au réel \( x \), il correspond aussi à \( x + 2k\pi \) pour tout entier relatif \( k \). #### Mesure d'un Angle en Radians Outre les degrés, il existe une autre unité de mesure d'angle très utilisée en mathématiques supérieures et en physique : le radian. * **Définition du Radian (rad):** Un radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte, sur le cercle, un arc de longueur égale au rayon de ce cercle. * Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), un angle de \( 1 \) radian intercepte un arc de longueur \( 1 \). * **Correspondance Degrés-Radians:** * Un tour complet (\( 360^ ext{o} \)) correspond à une longueur d'arc égale à la circonférence du cercle, soit \( 2\pi R \). Pour un cercle de rayon 1, cela donne \( 2\pi \) radians. * Donc, \( 360^ ext{o} = 2\pi \) radians. * Il en découle que \( 180^ ext{o} = \pi \) radians. * **Formules de Conversion:** * De degrés en radians: \[ \text{Radians} = \text{Degrés} \times \frac{\pi}{180} \] * De radians en degrés: \[ \text{Degrés} = \text{Radians} \times \frac{180}{\pi} \] #### Angles Orientés et Mesure Principale * **Angle de deux vecteurs:** Dans un plan orienté, on peut définir un angle orienté entre deux vecteurs non nuls \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), noté \( (\vec{u}, \vec{v}) \). * **Mesure d'un angle orienté:** Si \( \alpha \) est une mesure d'un angle orienté, alors toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme \( \alpha + 2k\pi \), où \( k \) est un entier relatif (\( k \in \mathbb{Z} \)). On dit que \( \alpha \) est congru à \( \beta \) modulo \( 2\pi \), noté \( \alpha \equiv \beta \pmod{2\pi} \). * **Mesure Principale:** Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, il en existe une seule qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). C'est ce qu'on appelle la mesure principale de l'angle. Pour trouver la mesure principale, on ajoute ou soustrait des multiples de \( 2\pi \) à la mesure donnée jusqu'à ce qu'elle tombe dans cet intervalle. ### Vocabulaire * **Plan orienté:** Un plan dans lequel un sens de parcours (sens direct) est défini. * **Sens direct (trigonométrique):** Le sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect:** Le sens des aiguilles d'une montre. * **Cercle trigonométrique:** Cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un repère orthonormé, orienté dans le sens direct. * **Radian:** Unité de mesure d'angle où \( \pi \) radians équivalent à \( 180^ ext{o} \). * **Angle orienté:** Angle pour lequel le sens de rotation est pris en compte. * **Mesure principale d'un angle:** La mesure unique d'un angle orienté qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). ### Exemples #### Exemple 1: Conversion d'angles * Convertir \( 60^ ext{o} \) en radians: \[ 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ rad} \] * Convertir \( \frac{3\pi}{4} \) radians en degrés: \[ \frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{3 \times 180}{4} = 3 \times 45 = 135^ ext{o} \] #### Exemple 2: Placement de points sur le cercle trigonométrique * Placer le point \( M \) associé à l'angle \( \frac{5\pi}{4} \): Puisque \( \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} \), le point est dans le troisième quadrant. Il correspond à \( 135^ ext{o} \) depuis l'axe négatif des \( x \) dans le sens positif. * Placer le point \( P \) associé à l'angle \( -\frac{\pi}{2} \): C'est \( -90^ ext{o} \), ce qui correspond au point \( (0, -1) \). #### Exemple 3: Déterminer la mesure principale * Déterminer la mesure principale de \( \frac{11\pi}{4} \): On cherche \( k \in \mathbb{Z} \) tel que \( -\pi < \frac{11\pi}{4} + 2k\pi \le \pi \). \( \frac{11\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} \). Donc, en soustrayant \( 2\pi \) (avec \( k = -1 \)), on obtient \( \frac{3\pi}{4} \). Cet angle est bien dans \( ]-\pi, \pi] \). Donc, la mesure principale de \( \frac{11\pi}{4} \) est \( \frac{3\pi}{4} \). * Déterminer la mesure principale de \( -\frac{13\pi}{6} \): \( -\frac{13\pi}{6} = -2\pi - \frac{\pi}{6} \). En ajoutant \( 2\pi \) (avec \( k=1 \)), on obtient \( -\frac{\pi}{6} \). Cet angle est bien dans \( ]-\pi, \pi] \). Donc, la mesure principale de \( -\frac{13\pi}{6} \) est \( -\frac{\pi}{6} \). ### Exercices 1. **Conversion d'angles:** a. Convertir \( 45^ ext{o}, 120^ ext{o}, 210^ ext{o}, 330^ ext{o} \) en radians. b. Convertir \( \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{4} \) en degrés. 2. **Mesure principale:** a. Donner la mesure principale des angles suivants: * \( \frac{9\pi}{2} \) * \( -\frac{5\pi}{3} \) * \( \frac{17\pi}{6} \) * \( -11\pi \) 3. **Position sur le cercle:** Placer approximativement sur un cercle trigonométrique les points associés aux angles suivants: \( \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{6} \) ### Devoir Maison 1. **Angles équivalents:** a. Quels sont les angles \( x \) dans \( [0, 2\pi[ \) qui ont la même position sur le cercle trigonométrique que les angles \( \frac{19\pi}{4} \) et \( -\frac{23\pi}{3} \)? b. Trouver trois mesures d'angles différentes (dont au moins une négative) qui correspondent au même point sur le cercle trigonométrique que l'angle \( \frac{\pi}{4} \). 2. **Problème:** Un mobile décrit un cercle de rayon 5 cm. Il parcourt un arc de cercle de 15 cm. Quel est l'angle (en radians, puis en degrés) que cet arc de cercle intercepte au centre du cercle? 3. **Vrai ou Faux? Justifiez.** a. L'angle \( -270^ ext{o} \) a pour mesure principale \( \frac{\pi}{2} \) radians. b. Les angles \( \frac{10\pi}{3} \) et \( -\frac{2\pi}{3} \) représentent le même point sur le cercle trigonométrique. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons découvert le concept de plan orienté, qui attribue un sens positif (trigonométrique) aux rotations. Le cercle trigonométrique, un cercle de rayon 1 centré à l'origine, est un outil essentiel pour visualiser les angles et les relier aux nombres réels. Nous avons appris la mesure des angles en radians, en plus des degrés, et les formules de conversion entre ces deux unités. Enfin, nous avons introduit la notion d'angle orienté et de sa mesure principale, qui est la mesure unique d'un angle se trouvant dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). Ces bases sont fondamentales pour aborder la trigonométrie et ses applications.``` ## Présentation d’un angle orienté à partir d’un cercle trigonométrique ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les angles orientés et la trigonométrie ! Les angles sont partout en mathématiques, mais il est souvent utile de leur donner un "sens" et de les représenter de manière standardisée. Pour cela, nous allons découvrir un outil fondamental : le cercle trigonométrique. Il nous permettra de visualiser et de comprendre ce que sont les angles orientés, leurs différentes mesures et comment ils se comportent. C'est une base essentielle pour la suite de la trigonométrie. ### Concepts Clés #### Le Cercle Trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle très spécial qui sert de référence en trigonométrie. Voici ses caractéristiques : * Il est centré à l'origine \(O(0,0)\) d'un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\). * Son rayon est de 1 unité (on parle de "cercle unité"). * Le point de départ des angles est généralement le point \(A(1,0)\) sur l'axe des abscisses positives. * **Sens direct (ou positif) :** C'est le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est le sens de rotation positif. * **Sens indirect (ou négatif) :** C'est le sens des aiguilles d'une montre. C'est le sens de rotation négatif. #### Les Angles Orientés Un angle orienté n'est pas seulement une "ouverture" entre deux demi-droites, mais il prend en compte le sens de rotation pour aller d'une demi-droite à l'autre. Il est souvent défini par un couple de vecteurs ou par une rotation : * Si on part du vecteur \(\vec{OA}\) (correspondant à l'axe des abscisses positives) et que l'on tourne d'un certain angle jusqu'à un vecteur \(\vec{OM}\), on définit un angle orienté \((\vec{OA}, \vec{OM})\). * Chaque point \(M\) sur le cercle trigonométrique est associé à un angle orienté dont l'origine est \(A(1,0)\). Si les coordonnées de \(M\) sont \((x_M, y_M)\), alors \(x_M = \cos\theta\) et \(y_M = \sin\theta\), où \(\theta\) est une mesure de l'angle orienté. #### Mesure d'un Angle Orienté et Mesure Principale Lorsque l'on effectue une rotation sur le cercle trigonométrique, on peut faire plusieurs tours. Par exemple, faire un tour complet puis \(30^\circ\) de plus donne le même point final que faire seulement \(30^\circ\). * Si \(\alpha\) est une mesure d'un angle orienté, alors toutes les mesures de cet angle sont de la forme \[\alpha + 2k\pi\] où \(k\) est un entier relatif (\(k \in \mathbb{Z}\)). Cela signifie qu'ajouter ou soustraire un nombre entier de tours complets (\(2\pi\) radians ou \(360^\circ\)) ne change pas la position finale sur le cercle. * La **mesure principale** d'un angle orienté est la mesure unique de cet angle qui se trouve dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\) (ou \(]-180^\circ, 180^\circ]\) en degrés). Elle correspond à la rotation la plus "courte" depuis l'axe positif des abscisses jusqu'au point final, en allant dans le sens positif ou négatif. #### Unités de Mesure des Angles Il existe deux unités principales pour mesurer les angles : ##### 1. Les Degrés * C'est l'unité la plus courante dans la vie quotidienne. Un tour complet correspond à \(360^\circ\). * Un angle droit mesure \(90^\circ\). ##### 2. Les Radians * Le radian est l'unité internationale d'angle. Il est défini à partir de la longueur de l'arc de cercle intercepté sur le cercle trigonométrique. * Un angle de 1 radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle. Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), c'est un arc de longueur 1. * La circonférence d'un cercle de rayon \(R\) est \(2\pi R\). Sur le cercle trigonométrique \((R=1)\), la circonférence est \(2\pi\). * Ainsi, un tour complet correspond à \(2\pi\) radians. ##### Relation entre Degrés et Radians La correspondance clé est : \[ \pi \text{ radians} = 180^\circ \] Pour convertir : * **Degrés en radians :** \[ \text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \] * **Radians en degrés :** \[ \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi} \] **Quelques valeurs remarquables :** | Degrés | Radians | | :----------- | :----------------- | | \(0^\circ\) | \(0\) | | \(30^\circ\) | \(\frac{\pi}{6}\) | | \(45^\circ\) | \(\frac{\pi}{4}\) | | \(60^\circ\) | \(\frac{\pi}{3}\) | | \(90^\circ\) | \(\frac{\pi}{2}\) | | \(180^\circ\) | \(\pi\) | | \(360^\circ\) | \(2\pi\) | ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique :** Cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un repère orthonormé, servant de référence pour les angles. * **Repère orthonormé :** Système de coordonnées avec des axes perpendiculaires et la même unité de longueur sur chaque axe. * **Sens direct (trigonométrique) :** Sens de rotation positif (inverse des aiguilles d'une montre). * **Sens indirect :** Sens de rotation négatif (sens des aiguilles d'une montre). * **Angle orienté :** Angle défini par une rotation dans un sens spécifique, pouvant prendre des valeurs positives ou négatives, et dont la mesure est définie modulo \(2\pi\). * **Radian :** Unité de mesure des angles où \(\pi\) radians équivaut à \(180^\circ\). * **Mesure principale :** La mesure unique d'un angle orienté appartenant à l'intervalle \(]-\pi, \pi]\). * **Congruence modulo \(2\pi\) :** Deux angles sont congrus modulo \(2\pi\) s'ils diffèrent d'un multiple entier de \(2\pi\) (un nombre entier de tours complets). ### Exemples #### Exemple 1 : Conversion d'angles a) Convertir \(210^\circ\) en radians : \[ 210^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{210\pi}{180} = \frac{7\pi}{6} \text{ radians} \] b) Convertir \(\frac{3\pi}{4}\) radians en degrés : \[ \frac{3\pi}{4} \text{ radians} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \times 180}{4} = 3 \times 45^\circ = 135^\circ \] #### Exemple 2 : Détermination de la mesure principale a) Trouver la mesure principale de \(\frac{7\pi}{3}\) : On sait que \(\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}\). Puisque \(\frac{\pi}{3}\) est dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\), la mesure principale est \(\frac{\pi}{3}\). b) Trouver la mesure principale de \(-\frac{9\pi}{4}\) : On peut ajouter des multiples de \(2\pi\) jusqu'à tomber dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\). \(-\frac{9\pi}{4} + 2\pi = -\frac{9\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}\). La mesure principale est \(-\frac{\pi}{4}\). (Si on avait ajouté \(4\pi\) : \(-\frac{9\pi}{4} + 4\pi = -\frac{9\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\), qui est supérieur à \(\pi\), donc il faut enlever un \(2\pi\) pour revenir à \(-\frac{\pi}{4}\)). #### Exemple 3 : Placement sur le cercle trigonométrique * Pour placer \(\frac{2\pi}{3}\) : C'est \(\frac{2}{3}\) d'un demi-tour. À partir de \(A(1,0)\), on tourne dans le sens direct. Le point correspondant est dans le deuxième quadrant. * Pour placer \(-\frac{\pi}{2}\) : C'est un quart de tour dans le sens indirect (négatif). Le point correspondant est \((0,-1)\). ### Exercices 1. **Conversions :** a) Convertir \(45^\circ\), \(120^\circ\), \(300^\circ\) en radians. b) Convertir \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{5\pi}{6}\), \(3\pi\) en degrés. 2. **Mesures principales :** Déterminer la mesure principale des angles suivants (en radians) : a) \(\frac{11\pi}{4}\) b) \(-\frac{17\pi}{6}\) c) \(\frac{19\pi}{3}\) 3. **Vrai ou Faux :** Indiquez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifiez. a) Un angle de \(400^\circ\) a la même mesure principale qu'un angle de \(40^\circ\). b) \(-\frac{7\pi}{2}\) et \(\frac{\pi}{2}\) désignent le même point sur le cercle trigonométrique. ### Devoir à la maison 1. **Angles et positions :** Pour chacun des angles suivants, donnez sa mesure principale en radians et placez approximativement le point correspondant sur un cercle trigonométrique dessiné : a) \(\frac{13\pi}{6}\) b) \(-\frac{5\pi}{3}\) c) \(\frac{9\pi}{2}\) 2. **Problème de rotation :** Un mobile part du point \(A(1,0)\) sur le cercle trigonométrique et effectue une rotation correspondant à un angle de \(1230^\circ\) dans le sens direct. Quelle est la mesure principale en radians de l'angle de cette rotation ? 3. **Vrai/Faux avancé :** Est-il vrai que \( \cos\left(\frac{25\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \) ? Expliquez votre réponse en utilisant la notion de mesure principale. ### Résumé Nous avons exploré les fondements des angles orientés et du cercle trigonométrique. Retenez que : * Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon 1, centré à l'origine, utilisé pour représenter les angles. * Les **angles orientés** ont un sens (positif ou négatif) et sont définis à \(2k\pi\) près. * La **mesure principale** est la mesure unique d'un angle dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\). * Les angles peuvent être mesurés en **degrés** ou en **radians**, avec la conversion clé \[ \pi \text{ radians} = 180^\circ \]. Ces concepts sont la pierre angulaire de la trigonométrie et seront essentiels pour comprendre les fonctions trigonométriques sinus et cosinus dans les leçons à venir. ## Mesure d’un angle orienté ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les angles orientés et la trigonométrie! En géométrie, nous avons l'habitude de travailler avec des angles dont la mesure est comprise entre \( 0^ circ \) et \( 180^ circ \). Cependant, de nombreux phénomènes (rotations, ondes, etc.) nécessitent de considérer des angles qui peuvent être positifs ou négatifs, et de mesures supérieures à \( 180^ circ \). C'est là qu'interviennent les angles orientés et le cercle trigonométrique, des outils fondamentaux pour étendre notre compréhension des angles et jeter les bases de la trigonométrie. ### Concepts Clés #### Le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle très spécial dans le plan. C'est la base pour comprendre les angles orientés et les fonctions trigonométriques. * **Définition:** C'est un cercle de rayon 1, dont le centre est l'origine \( O \) d'un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \). Le point de coordonnées \( (1, 0) \) est généralement pris comme point de départ et est noté \( A \). * **Orientation:** Pour distinguer les angles, on lui attribue un sens de parcours: * Le **sens direct** (ou positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. * Le **sens indirect** (ou négatif) est le sens des aiguilles d'une montre. #### Le radian, une nouvelle unité de mesure d'angle Traditionnellement, les angles sont mesurés en degrés. Pour les angles orientés, on utilise le plus souvent une autre unité: le radian. * **Définition:** Un radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), un arc de longueur 1 correspond à un angle de 1 radian. * **Relation entre degrés et radians:** * Un tour complet du cercle correspond à \( 360^ circ \) et à une longueur d'arc de \( 2\pi r \). Puisque \( r=1 \), cela fait \( 2\pi \) radians. * Donc, \[ 360^ circ = 2\pi ext{ radians} \] * Par conséquent, \[ 180^ circ = \pi ext{ radians} \] * **Formules de conversion:** * Pour convertir des degrés en radians: \( ext{angle en radians} = ext{angle en degrés} \times \frac{\pi}{180} \) * Pour convertir des radians en degrés: \( ext{angle en degrés} = ext{angle en radians} \times \frac{180}{\pi} \) * **Quelques valeurs remarquables:** * \( 0^ circ = 0 \) rad * \( 30^ circ = \frac{\pi}{6} \) rad * \( 45^ circ = \frac{\pi}{4} \) rad * \( 60^ circ = \frac{\pi}{3} \) rad * \( 90^ circ = \frac{\pi}{2} \) rad * \( 180^ circ = \pi \) rad #### Angles orientés et mesures * **Définition:** Un angle orienté est une paire de vecteurs non nuls \( (\vec{u}, \vec{v}) \) dans le plan. On ne s'intéresse plus seulement à l'écartement des vecteurs, mais aussi au sens de rotation qui permet de passer de \( \vec{u} \) à \( \vec{v} \). * **Mesures d'un angle orienté:** Lorsque l'on passe d'un vecteur à un autre, on peut faire plusieurs tours du cercle. Par exemple, tourner de \( 30^ circ \) ou de \( 30^ circ + 360^ circ = 390^ circ \) ou de \( 30^ circ - 360^ circ = -330^ circ \) mène au même point sur le cercle. Ainsi, un angle orienté n'a pas une seule mesure, mais une infinité de mesures. * Si \( \alpha \) est une mesure d'un angle orienté, alors toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme \( \alpha + 2k\pi \), où \( k \) est un entier relatif (\( k \in \mathbb{Z} \)). * On dit que ces mesures sont **congrues modulo \( 2\pi \)**. On écrit souvent \( (\vec{u}, \vec{v}) = \alpha \pmod{2\pi} \). * **Propriétés:** * \( (\vec{v}, \vec{u}) = - (\vec{u}, \vec{v}) \pmod{2\pi} \) * **Relation de Chasles:** Pour trois vecteurs non nuls \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \) : \[ (\vec{u}, \vec{w}) = (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) \pmod{2\pi} \] #### Mesure principale d'un angle orienté Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, une seule est appelée la mesure principale. Elle est très utile pour unifier la représentation des angles. * **Définition:** La mesure principale d'un angle orienté est la seule mesure \( \alpha \) qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi; \pi] \). Cela signifie \( -\pi < \alpha \le \pi \). * **Comment trouver la mesure principale:** Pour une mesure \( \theta \) donnée, il faut trouver l'entier relatif \( k \) tel que \( \theta + 2k\pi \) soit dans l'intervalle \( ]-\pi; \pi] \). * On peut encadrer \( k \) : \( -\pi < \theta + 2k\pi \le \pi \) * \( -\pi - \theta < 2k\pi \le \pi - \theta \) * \( \frac{-\pi - \theta}{2\pi} < k \le \frac{\pi - \theta}{2\pi} \) * Il y a toujours un unique entier \( k \) qui vérifie cette inégalité. On calcule ensuite \( \theta + 2k\pi \). #### Angles associés Certains angles ont des positions remarquables sur le cercle trigonométrique et sont liés par des symétries. * **Angles opposés (\( -x \)):** Si \( M \) est le point associé à \( x \), alors le point associé à \( -x \) est le symétrique de \( M \) par rapport à l'axe des abscisses. * **Angles supplémentaires (\( \pi - x \)):** Le point associé à \( \pi - x \) est le symétrique de \( M \) par rapport à l'axe des ordonnées. * **Angles différant de \( \pi \) (\( \pi + x \)):** Le point associé à \( \pi + x \) est le symétrique de \( M \) par rapport à l'origine \( O \). * **Angles complémentaires (\( \frac{\pi}{2} - x \)):** Le point associé à \( \frac{\pi}{2} - x \) est le symétrique de \( M \) par rapport à la première bissectrice (droite d'équation \( y=x \)). * **Angles différant de \( \frac{\pi}{2} \) (\( \frac{\pi}{2} + x \)):** Le point associé à \( \frac{\pi}{2} + x \) est le symétrique de \( M \) par rapport à la deuxième bissectrice (droite d'équation \( y=-x \)). ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique:** Cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. * **Sens direct (positif):** Sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect (négatif):** Sens des aiguilles d'une montre. * **Radian:** Unité de mesure d'angle. \( \pi \) radians équivaut à \( 180^ circ \). * **Angle orienté:** Angle qui prend en compte le sens de rotation (positif ou négatif) et peut avoir des mesures supérieures à \( 360^ circ \) (ou \( 2\pi \) radians). * **Mesure principale:** L'unique mesure d'un angle orienté qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi; \pi] \). * **Congruent modulo \( 2\pi \):** Se dit de deux mesures d'angle qui diffèrent d'un multiple entier de \( 2\pi \). ### Exemples #### Exemple 1: Conversion d'angles * Convertir \( 30^ circ \) en radians: \( 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \) radians. * Convertir \( \frac{3\pi}{4} \) radians en degrés: \( \frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{3 \times 180}{4} = 3 \times 45 = 135^ circ \). #### Exemple 2: Trouver la mesure principale * **Trouver la mesure principale de \( \frac{7\pi}{3} \):** On cherche \( k \in \mathbb{Z} \) tel que \( -\pi < \frac{7\pi}{3} + 2k\pi \le \pi \). \( -\pi - \frac{7\pi}{3} < 2k\pi \le \pi - \frac{7\pi}{3} \) \( -\frac{10\pi}{3} < 2k\pi \le -\frac{4\pi}{3} \) \( -\frac{10}{6} < k \le -\frac{4}{6} \) \( -1.66... < k \le -0.66... \) L'entier \( k \) est donc \( -1 \). Mesure principale: \( \frac{7\pi}{3} + 2(-1)\pi = \frac{7\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \). * **Trouver la mesure principale de \( -\frac{11\pi}{4} \):** On cherche \( k \in \mathbb{Z} \) tel que \( -\pi < -\frac{11\pi}{4} + 2k\pi \le \pi \). \( -\pi + \frac{11\pi}{4} < 2k\pi \le \pi + \frac{11\pi}{4} \) \( \frac{7\pi}{4} < 2k\pi \le \frac{15\pi}{4} \) \( \frac{7}{8} < k \le \frac{15}{8} \) \( 0.875 < k \le 1.875 \) L'entier \( k \) est donc \( 1 \). Mesure principale: \( -\frac{11\pi}{4} + 2(1)\pi = -\frac{11\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \). #### Exemple 3: Angles associés Soit \( x = \frac{\pi}{3} \). * \( -x = -\frac{\pi}{3} \). C'est la mesure principale. * \( \pi - x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \). C'est la mesure principale. * \( \pi + x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \). Pour trouver la mesure principale: \( \frac{4\pi}{3} - 2\pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \). ### Exercices 1. Placer les points correspondant aux angles suivants sur un cercle trigonométrique: * \( \frac{5\pi}{6} \) * \( -\frac{2\pi}{3} \) * \( \frac{7\pi}{4} \) 2. Convertir: * \( 120^ circ \) en radians. * \( \frac{5\pi}{12} \) radians en degrés. 3. Déterminer la mesure principale des angles suivants: * \( \frac{13\pi}{2} \) * \( -\frac{17\pi}{3} \) ### Devoirs 1. Un angle orienté a pour mesure \( \frac{19\pi}{4} \). * Donner sa mesure principale. * Donner deux autres mesures de cet angle (une positive et une négative, différentes de la principale). 2. Soit \( \alpha = \frac{\pi}{6} \). Déterminer la mesure principale des angles suivants: * \( \alpha - 2\pi \) * \( \pi - \alpha \) * \( \frac{\pi}{2} + \alpha \) * \( -\alpha \) 3. Vrai ou Faux? Justifier votre réponse. * L'angle \( \frac{25\pi}{3} \) est égal à l'angle \( \frac{\pi}{3} \) modulo \( 2\pi \). * La mesure principale de \( -\frac{10\pi}{3} \) est \( \frac{2\pi}{3} \). ### Résumé Ce chapitre nous a introduit aux concepts fondamentaux des angles orientés et du cercle trigonométrique. Nous avons appris que: * Le **cercle trigonométrique** est un outil essentiel, un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct. * Le **radian** est l'unité de mesure privilégiée pour les angles orientés, avec \( \pi \text{ radians} = 180^ circ \). * Les **angles orientés** n'ont pas une mesure unique, mais une infinité de mesures qui diffèrent d'un multiple de \( 2\pi \). * La **mesure principale** est l'unique mesure d'un angle orienté qui se trouve dans l'intervalle \( ]-\pi; \pi] \). * Il existe des relations de symétrie entre les **angles associés** (comme \( -x \), \( \pi - x \), \( \pi + x \), etc.) sur le cercle trigonométrique. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour la suite de l'étude de la trigonométrie et de ses applications en sciences. ## Point image d’un réel sur le cercle trigonométrique ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons découvrir une nouvelle façon de représenter les nombres réels en les associant à des points sur un cercle très particulier appelé le **cercle trigonométrique**. Cette connexion est fondamentale en trigonométrie et nous permettra de mieux comprendre les notions d'angles orientés, de cosinus et de sinus. ### Concepts Clés #### Le Cercle Trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle : * Centré à l'origine \( O(0,0) \) d'un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \). * De rayon 1. * Orienté : il possède un sens de parcours positif (appelé sens direct ou anti-horaire, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre) et un sens de parcours négatif (appelé sens indirect ou horaire, le sens des aiguilles d'une montre). * Le point de coordonnées \( (1,0) \) sur l'axe des abscisses est appelé l'**origine** du cercle trigonométrique. #### Enroulement de la Droite Numérique Imaginez une droite numérique (axe des réels) tangente au cercle trigonométrique à son origine \( (1,0) \). Si nous "enroulons" cette droite autour du cercle : * Le nombre 0 de la droite correspond au point \( (1,0) \) du cercle. * Les nombres positifs s'enroulent dans le sens direct. * Les nombres négatifs s'enroulent dans le sens indirect. Chaque nombre réel \( x \) de cette droite numérique est ainsi associé à un point unique sur le cercle trigonométrique. Ce point est appelé le **point image du réel \( x \)**. #### Le Point Image d’un Réel Pour un nombre réel \( x \), son **point image** sur le cercle trigonométrique, noté \( M(x) \), est le point atteint après avoir parcouru une distance de \( |x| \) unités à partir de l'origine \( (1,0) \) du cercle. * Si \( x > 0 \), le parcours se fait dans le sens direct. * Si \( x < 0 \), le parcours se fait dans le sens indirect. ##### Périodicité En raison de la nature circulaire du cercle, plusieurs nombres réels peuvent correspondre au même point image. Si un point a été atteint en parcourant une longueur \( x \), il sera également atteint après avoir parcouru \( x + 2\pi \), \( x - 2\pi \), \( x + 4\pi \), etc. Plus généralement, pour tout réel \( x \), le point image \( M(x) \) est le même que le point image \( M(x + 2k\pi) \) pour tout entier relatif \( k \). On dit que la correspondance est **périodique de période \( 2\pi \)**. \[ M(x) = M(x + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \] #### Coordonnées d'un Point sur le Cercle Trigonométrique Soit \( M \) le point image d'un réel \( x \) sur le cercle trigonométrique. Les coordonnées de ce point \( M \) sont définies comme le **cosinus de \( x \)** et le **sinus de \( x \)**. Si \( M(x) \) a pour coordonnées \( (x_M, y_M) \), alors : \[ x_M = \cos(x) \] \[ y_M = \sin(x) \] Puisque le cercle est de rayon 1, les coordonnées \( x_M \) et \( y_M \) sont toujours comprises entre -1 et 1. * \( -1 \le \cos(x) \le 1 \) * \( -1 \le \sin(x) \le 1 \) De plus, comme le point \( M(x) \) est sur le cercle de rayon 1, ses coordonnées vérifient la relation du théorème de Pythagore : \[ x_M^2 + y_M^2 = 1^2 \] Ce qui donne l'identité fondamentale de la trigonométrie : \[ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \] ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique :** Cercle de rayon 1 centré à l'origine, orienté. * **Sens direct (positif) :** Sens anti-horaire (inverse des aiguilles d'une montre). * **Sens indirect (négatif) :** Sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). * **Point image :** Point sur le cercle trigonométrique associé à un nombre réel donné. * **Abscisse curviligne :** Le nombre réel lui-même, qui représente la longueur de l'arc parcouru depuis l'origine du cercle jusqu'au point image (avec son signe). * **Cosinus (\( \cos(x) \)) :** L'abscisse du point image du réel \( x \) sur le cercle trigonométrique. * **Sinus (\( \sin(x) \)) :** L'ordonnée du point image du réel \( x \) sur le cercle trigonométrique. ### Exemples #### Exemple 1 : Placement de points remarquables Placer les points images des réels suivants sur le cercle trigonométrique : * \( 0 \) : C'est l'origine du cercle, \( (1,0) \). * \( \frac{\pi}{2} \) : Le quart de cercle dans le sens direct. Le point est \( (0,1) \). * \( \pi \) : Le demi-cercle dans le sens direct. Le point est \( (-1,0) \). * \( \frac{3\pi}{2} \) : Les trois quarts de cercle dans le sens direct. Le point est \( (0,-1) \). * \( 2\pi \) : Un tour complet dans le sens direct. Le point est \( (1,0) \), le même que pour \( 0 \). #### Exemple 2 : Placement avec des réels négatifs ou supérieurs à \( 2\pi \) * **Point image de \( -\frac{\pi}{2} \) :** On parcourt \( \frac{\pi}{2} \) dans le sens indirect. C'est le même point que pour \( \frac{3\pi}{2} \), soit \( (0,-1) \). * **Point image de \( \frac{5\pi}{4} \) :** On peut décomposer \( \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} \). On fait un demi-tour, puis un quart de \( \pi \) supplémentaire dans le sens direct. * **Point image de \( -\frac{3\pi}{4} \) :** On parcourt \( \frac{3\pi}{4} \) dans le sens indirect. C'est le même point que pour \( \frac{5\pi}{4} \). Notez que \( \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \). Les deux réels \( \frac{5\pi}{4} \) et \( -\frac{3\pi}{4} \) ont le même point image. * **Point image de \( \frac{9\pi}{2} \) :** On peut écrire \( \frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \times 2\pi + \frac{\pi}{2} \). Puisque \( 4\pi \) représente deux tours complets, le point image de \( \frac{9\pi}{2} \) est le même que celui de \( \frac{\pi}{2} \), soit \( (0,1) \). ### Exercices 1. Sur un cercle trigonométrique, placez les points images des réels suivants : * \( \frac{\pi}{3} \) * \( \frac{2\pi}{3} \) * \( \frac{4\pi}{3} \) * \( \frac{5\pi}{3} \) * \( -\frac{\pi}{3} \) * \( -\frac{5\pi}{3} \) 2. Donnez les coordonnées \( (\cos(x), \sin(x)) \) des points images pour les réels suivants (aidez-vous du cercle trigonométrique et de vos connaissances géométriques) : * \( x = 0 \) * \( x = \frac{\pi}{2} \) * \( x = \pi \) * \( x = \frac{3\pi}{2} \) * \( x = 2\pi \) 3. Quel est le réel \( x_0 \) de l'intervalle \( [0, 2\pi[ \) qui a le même point image que les réels suivants : * \( \frac{13\pi}{4} \) * \( -\frac{7\pi}{6} \) * \( 6\pi \) * \( \frac{11\pi}{3} \) ### Devoir 1. Placez les points images des réels suivants sur un cercle trigonométrique et indiquez la valeur de leur cosinus et sinus si vous la connaissez ou pouvez la déduire : * \( \frac{\pi}{6} \) * \( \frac{5\pi}{6} \) * \( \frac{7\pi}{6} \) * \( -\frac{\pi}{6} \) * \( \frac{13\pi}{6} \) 2. Pour chaque point image \( M \) donné par ses coordonnées sur le cercle trigonométrique, trouvez au moins deux réels \( x \) différents qui lui sont associés. * \( M_1(0, 1) \) * \( M_2(-1, 0) \) * \( M_3(0, -1) \) 3. On sait que \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). En utilisant le cercle trigonométrique et la symétrie, déduisez les valeurs de : * \( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) et \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) * \( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \) et \( \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \) * \( \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) \) et \( \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \) ### Résumé Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon 1, centré à l'origine et orienté. Il permet d'établir une correspondance entre les **nombres réels** et des **points images** sur le cercle. Chaque réel \( x \) est associé à un point unique \( M(x) \) sur le cercle. En raison de la nature circulaire, un même point image correspond à une infinité de réels de la forme \( x + 2k\pi \), où \( k \) est un entier relatif. Les coordonnées de ce point image \( M(x) \) sont définies comme \( (\cos(x), \sin(x)) \). Ces fonctions, le cosinus et le sinus, sont fondamentales en trigonométrie et vérifient l'identité \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \). Comprendre cette relation entre les réels et les points du cercle est la base pour toutes les études futures en trigonométrie.