Calculs dans IR (suite)

# Calculs dans IR (suite) ## Comparaisons dans ℝ ### Introduction Dans ce cours, nous allons explorer les différentes façons de comparer des nombres réels. La comparaison est une compétence fondamentale en mathématiques, essentielle pour résoudre des équations, des inéquations et comprendre les propriétés des fonctions. Nous réviserons les symboles d'inégalité et apprendrons à manipuler ces inégalités, ainsi qu'à utiliser les intervalles pour représenter les ensembles de solutions. ### Concepts Clés #### Définition de la comparaison Comparer deux nombres réels \(a\) et \(b\), c'est déterminer s'ils sont égaux, si \(a\) est plus grand que \(b\), ou si \(a\) est plus petit que \(b\). Cela se fait en étudiant le signe de leur différence \(a - b\). * Si \(a - b > 0\), alors \(a > b\) (\(a\) est strictement supérieur à \(b\)). * Si \(a - b < 0\), alors \(a < b\) (\(a\) est strictement inférieur à \(b\)). * Si \(a - b = 0\), alors \(a = b\). * \(a \ge b\) signifie que \(a\) est supérieur ou égal à \(b\). * \(a \le b\) signifie que \(a\) est inférieur ou égal à \(b\). #### Propriétés des inégalités Les inégalités ont des propriétés spécifiques que nous devons connaître pour les manipuler correctement. ##### Addition et soustraction Pour tous nombres réels \(a, b, c\) : * Si \(a \le b\), alors \[ a + c \le b + c \] * Si \(a \le b\), alors \[ a - c \le b - c \] L'ordre (le sens) d'une inégalité est **conservé** lors de l'addition ou de la soustraction d'un même nombre. ##### Multiplication et division Pour tous nombres réels \(a, b, c\) : * **Si \(c > 0\) :** * Si \(a \le b\), alors \[ ac \le bc \] * Si \(a \le b\), alors \[ a/c \le b/c \] L'ordre est **conservé**. * **Si \(c < 0\) :** * Si \(a \le b\), alors \[ ac \ge bc \] * Si \(a \le b\), alors \[ a/c \ge b/c \] L'ordre est **inversé**. * **Si \(c = 0\) :** \(ac = bc = 0\). L'inégalité devient une égalité. ##### Passage à l'inverse Pour tous nombres réels \(a, b\) **de même signe et non nuls** : * Si \(a\) et \(b\) sont strictement positifs (\(a > 0\) et \(b > 0\)) et si \(a \le b\), alors \[ 1/a \ge 1/b \] * Si \(a\) et \(b\) sont strictement négatifs (\(a < 0\) et \(b < 0\)) et si \(a \le b\), alors \[ 1/a \ge 1/b \] L'ordre est **inversé**. Attention : si \(a\) et \(b\) ont des signes différents, cette propriété ne s'applique pas de la même manière. ##### Passage au carré et à la racine carrée * **Pour des nombres positifs :** * Si \(0 \le a \le b\), alors \[ a^2 \le b^2 \] * Si \(0 \le a \le b\), alors \[ \sqrt{a} \le \sqrt{b} \] L'ordre est **conservé**. La fonction carré et la fonction racine carrée sont croissantes sur \([0; +\infty[\). * **Pour des nombres négatifs :** * Si \(a \le b \le 0\), alors \[ a^2 \ge b^2 \] L'ordre est **inversé**. La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty; 0]\). Par exemple, \(-3 < -2\) mais \((-3)^2 = 9\) et \((-2)^2 = 4\), donc \(9 > 4\). #### Intervalles dans ℝ Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Ils sont souvent utilisés pour exprimer les solutions d'inéquations. ##### Notations courantes * **Intervalle fermé :** \([a; b]\) représente l'ensemble des nombres \(x\) tels que \(a \le x \le b\). * **Intervalle ouvert :** \(]a; b[\) représente l'ensemble des nombres \(x\) tels que \(a < x < b\). * **Intervalle semi-ouvert/fermé :** \([a; b[\) (\(a \le x < b\)) ou \(]a; b]\) (\(a < x \le b\)). * **Intervalles infinis :** * \([a; +\infty[\) : \(x \ge a\) * \(]a; +\infty[\) : \(x > a\) * \(]-\infty; b]\) : \(x \le b\) * \(]-\infty; b[\) : \(x < b\) * \(]-\infty; +\infty[\) : l'ensemble de tous les nombres réels (\(x \in \mathbb{R}\)). ### Vocabulaire * **Inégalité :** Relation mathématique qui compare deux nombres ou expressions et indique qu'ils ne sont pas égaux (par exemple, \(< \), \(> \), \(\le\), \(\ge\)). * **Supérieur à (\(>\)) :** Indique qu'un nombre est plus grand qu'un autre. * **Inférieur à (\(<\)) :** Indique qu'un nombre est plus petit qu'un autre. * **Supérieur ou égal à (\(\ge\)) :** Indique qu'un nombre est plus grand ou égal à un autre. * **Inférieur ou égal à (\(\le\)) :** Indique qu'un nombre est plus petit ou égal à un autre. * **Intervalle :** Un sous-ensemble de nombres réels qui se situent entre deux valeurs spécifiées, appelées bornes. * **Borne :** Les valeurs minimales et maximales qui définissent les limites d'un intervalle. ### Exemples #### Comparaison simple Comparer \(2,5\) et \(7/3\). Nous savons que \(7/3 \approx 2,333...\). Puisque \(2,5 - 7/3 = 2,5 - 2,333... = 0,166... > 0\), alors \[ 2,5 > 7/3 \] #### Résolution d'inéquation Résoudre l'inéquation \(3x - 5 \le x + 7\). 1. Soustraire \(x\) des deux côtés : \(3x - x - 5 \le x - x + 7 \implies 2x - 5 \le 7\). 2. Ajouter \(5\) aux deux côtés : \(2x - 5 + 5 \le 7 + 5 \implies 2x \le 12\). 3. Diviser par \(2\) (nombre positif, l'ordre ne change pas) : \(2x / 2 \le 12 / 2 \implies x \le 6\). La solution est l'intervalle \(]-\infty; 6]\). #### Résolution d'inéquation avec multiplication par un négatif Résoudre l'inéquation \(-2x + 1 > 9\). 1. Soustraire \(1\) des deux côtés : \(-2x + 1 - 1 > 9 - 1 \implies -2x > 8\). 2. Diviser par \(-2\) (nombre négatif, l'ordre est inversé) : \(-2x / (-2) < 8 / (-2) \implies x < -4\). La solution est l'intervalle \(]-\infty; -4[\). #### Utilisation de la fonction inverse Comparer \(1/3\) et \(1/5\). Puisque \(0 < 3 < 5\), en prenant l'inverse, l'ordre s'inverse : \[ 1/3 > 1/5 \] #### Utilisation de la fonction carré Comparer \((-4)^2\) et \((-3)^2\). Puisque \(-4 < -3 < 0\), en prenant le carré, l'ordre s'inverse : \((-4)^2 = 16\) et \((-3)^2 = 9\). Donc \[ 16 > 9 \] ### Exercices 1. Comparer les nombres suivants en utilisant \(<\), \(>\), \(\le\) ou \(\ge\) : * a) \(3,14\) et \(\pi\) * b) \(-5/2\) et \(-2,5\) * c) \(\sqrt{2}\) et \(1,4\) * d) \(1/4\) et \(1/\sqrt{17}\) 2. Résoudre les inéquations suivantes et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle : * a) \(2x + 3 < 11\) * b) \(4 - 3x \ge 10\) * c) \(5(x - 2) \le 2x + 1\) * d) \(x/3 - 1 > x/2\) 3. Soit \(x \in [-3; 5]\). Donner l'intervalle dans lequel se trouve \(2x + 1\). 4. Si \(x \in ]-\infty; -2[\), que peut-on dire de \(1/x\) ? ### Devoir 1. Classer les nombres suivants par ordre croissant : \(0,3\) ; \(1/3\) ; \(\sqrt{0,1}\) ; \(0,33\). 2. Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite numérique : * a) \(-5x + 7 < 2x - 14\) * b) \(x^2 \ge 9\) (Indice : attention aux signes !) 3. Donner les intervalles correspondants aux conditions suivantes : * a) \(x < 7\) et \(x \ge -2\) * b) \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(x \ne 0\) 4. Établir une comparaison entre \(\sqrt{x+1}\) et \(\sqrt{x}\) pour \(x \ge 0\). Justifier votre réponse. ### Résumé * Comparer deux nombres \(a\) et \(b\) revient à étudier le signe de leur différence \(a-b\). * L'addition et la soustraction d'un même nombre ne changent pas le sens d'une inégalité. * La multiplication ou la division par un nombre **positif** ne change pas le sens d'une inégalité. * La multiplication ou la division par un nombre **négatif** inverse le sens d'une inégalité. * Le passage à l'inverse inverse l'ordre pour des nombres de même signe. * Le passage au carré inverse l'ordre pour des nombres négatifs et conserve l'ordre pour des nombres positifs. * Les intervalles sont une manière pratique de représenter des ensembles de nombres réels et les solutions d'inéquations. ## Valeurs absolues ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les valeurs absolues ! En mathématiques, la valeur absolue est un concept fondamental qui mesure la distance d'un nombre par rapport à zéro sur la droite numérique, sans tenir compte de sa direction. Elle est toujours positive ou nulle. Comprendre les valeurs absolues est essentiel pour résoudre divers types d'équations et d'inéquations, et pour aborder des concepts plus avancés en algèbre et en analyse. Dans ce cours, nous allons définir la valeur absolue, explorer ses propriétés, et apprendre à résoudre des problèmes qui l'impliquent. ### Concepts clés #### Définition de la valeur absolue La valeur absolue d'un nombre réel \( x \), notée \( |x| \), est sa distance à zéro sur la droite numérique. Elle est définie comme suit : - Si \( x \ge 0 \), alors \( |x| = x \). - Si \( x < 0 \), alors \( |x| = -x \). En d'autres termes, la valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle. Si le nombre est déjà positif ou nul, sa valeur absolue est lui-même. Si le nombre est négatif, sa valeur absolue est son opposé (qui est positif). **Exemples :** - \( |5| = 5 \) - \( |-3| = 3 \) - \( |0| = 0 \) - \( |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} \) #### Propriétés de la valeur absolue Voici quelques propriétés importantes des valeurs absolues : - **Non-négativité :** La valeur absolue d'un nombre est toujours supérieure ou égale à zéro. \[ |x| \ge 0 \] - **Symétrie :** La valeur absolue d'un nombre est égale à la valeur absolue de son opposé. \[ |x| = |-x| \] - **Produit :** La valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues. \[ |xy| = |x||y| \] - **Quotient :** La valeur absolue d'un quotient est le quotient des valeurs absolues (avec \( y \ne 0 \)). \[ |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} \] - **Inégalité triangulaire :** La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues. \[ |x+y| \le |x|+|y| \] - **Lien avec la racine carrée :** La racine carrée du carré d'un nombre est égale à la valeur absolue de ce nombre. \[ \sqrt{x^2} = |x| \] #### Distance entre deux nombres réels La valeur absolue est utilisée pour définir la distance entre deux nombres réels \( a \) et \( b \) sur la droite numérique. La distance \( d(a,b) \) entre \( a \) et \( b \) est donnée par : \[ d(a,b) = |b-a| = |a-b| \] **Exemple :** La distance entre \( -2 \) et \( 5 \) est \( |5 - (-2)| = |5+2| = |7| = 7 \). C'est aussi \( |-2 - 5| = |-7| = 7 \). #### Équations avec des valeurs absolues Pour résoudre une équation de la forme \( |X| = a \) : - Si \( a < 0 \), l'équation n'a **pas de solution**, car une valeur absolue ne peut pas être négative. - Si \( a = 0 \), l'équation a une **unique solution** : \( X = 0 \). - Si \( a > 0 \), l'équation a **deux solutions** : \( X = a \) ou \( X = -a \). **Exemples :** 1. Résoudre \( |x| = 7 \) Solution : \( x=7 \) ou \( x=-7 \). L'ensemble des solutions est \( \{ -7, 7 \} \). 2. Résoudre \( |2x-1| = 5 \) Solution : \( 2x-1 = 5 \) ou \( 2x-1 = -5 \) \( 2x = 6 \) ou \( 2x = -4 \) \( x = 3 \) ou \( x = -2 \). L'ensemble des solutions est \( \{ -2, 3 \} \). #### Inéquations avec des valeurs absolues Pour résoudre une inéquation de la forme \( |X| \le a \) ou \( |X| \ge a \) : - Si \( |X| \le a \) (avec \( a \ge 0 \)) : Cela signifie que \( X \) est à une distance de zéro inférieure ou égale à \( a \). Les solutions sont \( -a \le X \le a \). - Si \( |X| \ge a \) (avec \( a \ge 0 \)) : Cela signifie que \( X \) est à une distance de zéro supérieure ou égale à \( a \). Les solutions sont \( X \ge a \) ou \( X \le -a \). **Exemples :** 1. Résoudre \( |x| < 3 \) Solution : \( -3 < x < 3 \). L'ensemble des solutions est l'intervalle \( ]-3, 3[ \). 2. Résoudre \( |x| \ge 4 \) Solution : \( x \ge 4 \) ou \( x \le -4 \). L'ensemble des solutions est \( ]-\infty, -4] \cup [4, +\infty[ \). 3. Résoudre \( |2x+1| \le 7 \) Solution : \( -7 \le 2x+1 \le 7 \) \( -7-1 \le 2x \le 7-1 \) \( -8 \le 2x \le 6 \) \( -4 \le x \le 3 \). L'ensemble des solutions est l'intervalle \( [-4, 3] \). ### Vocabulaire - **Valeur absolue :** La distance d'un nombre à zéro sur la droite numérique. Toujours positive ou nulle. - **Opposé :** Pour un nombre \( x \), son opposé est \( -x \). - **Distance :** En mathématiques, la longueur entre deux points, souvent calculée avec la valeur absolue entre deux nombres réels. - **Équation :** Une affirmation que deux expressions sont égales, impliquant souvent une ou plusieurs inconnues. - **Inéquation :** Une affirmation que deux expressions sont liées par une inégalité (comme \( <, >, \le, \ge \)). - **Intervalle :** Un ensemble de nombres réels compris entre deux valeurs données (ou allant à l'infini). ### Exemples pratiques 1. **Calcul de valeurs absolues :** a. \( |9| = 9 \) b. \( |-12.5| = 12.5 \) c. \( |\sqrt{2} - 3| \) (sachant que \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), \( \sqrt{2} - 3 \) est négatif) Donc \( |\sqrt{2} - 3| = -(\sqrt{2} - 3) = 3 - \sqrt{2} \) 2. **Calcul de distances :** a. Quelle est la distance entre les points d'abscisse \( -4 \) et \( 6 \) sur la droite numérique ? \( d(-4, 6) = |6 - (-4)| = |6+4| = |10| = 10 \) 3. **Résolution d'équations :** a. Résoudre \( |3x+2| = 11 \) \( 3x+2 = 11 \) ou \( 3x+2 = -11 \) \( 3x = 9 \) ou \( 3x = -13 \) \( x = 3 \) ou \( x = -\frac{13}{3} \) L'ensemble des solutions est \( \{ -\frac{13}{3}, 3 \} \). 4. **Résolution d'inéquations :** a. Résoudre \( |5x-3| < 8 \) \( -8 < 5x-3 < 8 \) \( -8+3 < 5x < 8+3 \) \( -5 < 5x < 11 \) \( -1 < x < \frac{11}{5} \) L'ensemble des solutions est l'intervalle \( ]-1, \frac{11}{5}[ \). ### Exercices 1. Calculez la valeur absolue des nombres suivants : a. \( 15 \) b. \( -20 \) c. \( -\frac{5}{2} \) d. \( 4 - 9 \) 2. Déterminez la distance entre les paires de nombres suivantes : a. \( -1 \) et \( 7 \) b. \( 10 \) et \( -3 \) c. \( -5.5 \) et \( -1.5 \) 3. Résolvez les équations suivantes : a. \( |x| = 9 \) b. \( |x-4| = 2 \) c. \( |2x+3| = 0 \) d. \( |3x-7| = -1 \) 4. Résolvez les inéquations suivantes et représentez l'ensemble des solutions sur une droite numérique : a. \( |x| \le 5 \) b. \( |x| > 2 \) c. \( |x+1| < 4 \) d. \( |2x-5| \ge 3 \) ### Devoir 1. **Réflexion :** Expliquez avec vos propres mots pourquoi la valeur absolue d'un nombre ne peut jamais être négative. Donnez un exemple concret. 2. **Résolution d'équations plus complexes :** a. \( |\frac{x}{2} - 3| = 1 \) b. \( |x+5| = |2x-1| \) (Indice : élevez au carré les deux côtés ou cassez en deux équations \( X = Y \) et \( X = -Y \)) 3. **Résolution d'inéquations plus complexes :** a. \( |3-x| < 6 \) b. \( |\frac{x-1}{3}| \ge 2 \) 4. **Problème de contextualisation :** Une machine de remplissage est censée remplir des bouteilles de 500 ml. Cependant, il y a une marge d'erreur de \( \pm 10 \) ml. Exprimez cette situation à l'aide d'une inégalité de valeur absolue, puis déterminez l'intervalle des volumes acceptables pour une bouteille. ### Résumé La valeur absolue d'un nombre \( x \), notée \( |x| \), représente sa distance à zéro sur la droite numérique et est toujours positive ou nulle. Elle est définie par \( |x|=x \) si \( x \ge 0 \) et \( |x|=-x \) si \( x<0 \). La valeur absolue est un outil crucial pour calculer la distance entre deux nombres, \( |a-b| \), et pour résoudre des équations et inéquations. Les équations de type \( |X|=a \) ont deux solutions si \( a>0 \) (\( X=a \) ou \( X=-a \)), une seule si \( a=0 \) (\( X=0 \)), et aucune si \( a<0 \). Les inéquations \( |X| \le a \) se traduisent par \( -a \le X \le a \), et les inéquations \( |X| \ge a \) par \( X \le -a \) ou \( X \ge a \). La maîtrise de la valeur absolue est fondamentale pour la suite de votre parcours en mathématiques. ## Puissances ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les puissances ! Les puissances sont un outil mathématique fondamental qui nous permet d'écrire de manière concise des multiplications répétées et de manipuler de très grands ou de très petits nombres. Vous les rencontrerez fréquemment en sciences, en ingénierie et même dans la vie de tous les jours. Comprendre les puissances et leurs règles de calcul est essentiel pour la suite de votre parcours en mathématiques. ### 1. Définition d'une puissance #### 1.1 Puissance entière positive Une puissance est une manière d'écrire une multiplication répétée. Pour un nombre réel \(a\) et un entier positif \(n\), la puissance \(a^n\) se lit "a puissance n" ou "a exposant n" et est définie par: \[ a^n = a \times a \times a \times \dots \times a \quad \text{ (n fois)} \] Dans l'expression \(a^n\): * \(a\) est appelé la **base**. * \(n\) est appelé l'**exposant** (ou la puissance). **Exemples:** * \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) * \((-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\) * \(10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\) #### 1.2 Cas particuliers * **Exposant 1:** Pour tout nombre réel \(a\), \(a^1 = a\). * Exemple: \(7^1 = 7\) * **Exposant 0:** Pour tout nombre réel \(a \neq 0\), \(a^0 = 1\). * Exemple: \(12^0 = 1\), \((-3)^0 = 1\) * Attention: \(0^0\) n'est pas défini. #### 1.3 Puissance entière négative Pour un nombre réel \(a \neq 0\) et un entier positif \(n\), la puissance \(a^{-n}\) est définie par: \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \] **Exemples:** * \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\) * \(10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01\) * \( (\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9 \) ### 2. Règles de calcul avec les puissances Ces règles sont fondamentales pour simplifier les expressions impliquant des puissances. Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels non nuls, et \(m\) et \(n\) des entiers relatifs. #### 2.1 Produit de puissances de même base Pour multiplier des puissances ayant la même base, on additionne les exposants: \[ a^m \times a^n = a^{m+n} \] **Exemples:** * \(2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8\) * \(x^4 \times x^{-2} = x^{4+(-2)} = x^2\) #### 2.2 Quotient de puissances de même base Pour diviser des puissances ayant la même base, on soustrait l'exposant du dénominateur de celui du numérateur: \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \] **Exemples:** * \( \frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 \) * \( \frac{10^2}{10^{-3}} = 10^{2-(-3)} = 10^{2+3} = 10^5 \) #### 2.3 Puissance d'une puissance Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants: \[ (a^m)^n = a^{m \times n} \] **Exemples:** * \( (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 \) * \( ( (x^{-1})^2 )^{-3} = x^{(-1) \times 2 \times (-3)} = x^6 \) #### 2.4 Puissance d'un produit La puissance d'un produit est le produit des puissances: \[ (a \times b)^n = a^n \times b^n \] **Exemples:** * \( (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 \) * \( (5x)^2 = 5^2 \times x^2 = 25x^2 \) #### 2.5 Puissance d'un quotient La puissance d'un quotient est le quotient des puissances (avec \(b \neq 0\)): \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \] **Exemples:** * \( \left(\frac{2}{3} ight)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \) * \( \left(\frac{x}{y} ight)^{-2} = \frac{x^{-2}}{y^{-2}} = \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{y^2}} = \frac{y^2}{x^2} \) ### 3. Les puissances de 10 Les puissances de 10 sont particulièrement importantes en sciences et en ingénierie pour représenter de grands et de petits nombres. Elles suivent toutes les règles de calcul vues précédemment. * **Exposant positif:** \(10^n = 1\) suivi de \(n\) zéros. * \(10^1 = 10\) * \(10^3 = 1000\) * \(10^6 = 1\,000\,000\) * **Exposant négatif:** \(10^{-n} = 0,\) suivi de \(n-1\) zéros, puis un \(1\). * \(10^{-1} = 0.1\) * \(10^{-2} = 0.01\) * \(10^{-5} = 0.00001\) ### 4. Notation scientifique La notation scientifique est une façon d'écrire des nombres très grands ou très petits de manière compacte. Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est de la forme: \[ a \times 10^n \] où: * \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \le |a| < 10\) (c'est-à-dire un nombre avec une seule chiffre non nul avant la virgule). * \(n\) est un entier relatif (positif, négatif ou nul). **Exemples:** * La vitesse de la lumière est d'environ \(300\,000\,000 \text{ m/s}\). En notation scientifique: \(3 \times 10^8 \text{ m/s}\). * La taille d'une bactérie est d'environ \(0.000002 \text{ m}\). En notation scientifique: \(2 \times 10^{-6} \text{ m}\). * \(123450 = 1.2345 \times 10^5\) * \(0.000789 = 7.89 \times 10^{-4}\) ### Vocabulaire * **Puissance:** Résultat d'une multiplication répétée d'un même nombre par lui-même. \(a^n\). * **Base:** Le nombre qui est multiplié par lui-même (\(a\) dans \(a^n\)). * **Exposant:** Le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même (\(n\) dans \(a^n\)). * **Notation scientifique:** Une façon d'écrire les nombres sous la forme \(a \times 10^n\), avec \(1 \le |a| < 10\) et \(n\) un entier relatif. * **Facteur:** Chacun des nombres qui entrent dans une multiplication. ### Exemples 1. **Calculer:** * \( (-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = -64 \) * \( (0.5)^{-2} = \frac{1}{(0.5)^2} = \frac{1}{0.25} = 4 \) * \( 10^5 \times 10^{-3} = 10^{5-3} = 10^2 = 100 \) * \( \frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^3 = 8 \) * \( (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561 \) 2. **Mettre en notation scientifique:** * \( 345\,000\,000 = 3.45 \times 10^8 \) * \( 0.000000078 = 7.8 \times 10^{-8} \) 3. **Calculer en utilisant les puissances de 10 et la notation scientifique:** * \( (2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5) = (2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5) = 8 \times 10^{3+5} = 8 \times 10^8 \) * \( \frac{6 \times 10^7}{3 \times 10^2} = \frac{6}{3} \times \frac{10^7}{10^2} = 2 \times 10^{7-2} = 2 \times 10^5 \) ### Exercices 1. **Calculer les expressions suivantes:** * a) \( 5^3 \) * b) \( (-2)^4 \) * c) \( (\frac{1}{4})^{-2} \) * d) \( 7^0 \) 2. **Simplifier les expressions suivantes en une seule puissance:** * a) \( 3^2 \times 3^5 \) * b) \( \frac{7^8}{7^3} \) * c) \( (10^{-2})^3 \) * d) \( (2x)^3 \) * e) \( \frac{a^5 \times a^{-2}}{a^4} \) 3. **Écrire les nombres suivants en notation scientifique:** * a) \( 45\,000\,000\,000 \) * b) \( 0.00000012 \) * c) \( 123.45 \) ### Devoir à la maison 1. **Calculer la valeur exacte de:** * a) \( 2^5 \times 2^{-3} + (3^2)^1 \) * b) \( \frac{5^4 \times (5^{-1})^2}{5^0} \) 2. **Simplifier l'expression suivante et donner le résultat sous forme de puissance de 2:** * \( \frac{ (2^3)^4 \times 2^{-5} }{ (2^2)^2 } \) 3. **Problème d'application:** La distance moyenne de la Terre au Soleil est d'environ \(1.5 \times 10^{11}\) mètres. La lumière se déplace à une vitesse d'environ \(3 \times 10^8\) mètres par seconde. * a) Combien de secondes faut-il à la lumière du Soleil pour atteindre la Terre ? (Rappel: temps = distance / vitesse). * b) Exprimez ce temps en minutes. 4. **Compléter le tableau suivant en écrivant chaque nombre en notation scientifique:** | Nombre décimal | Notation scientifique | | -------------- | --------------------- | | \(87\,000\,000\) | | | \(0.0000045\) | | | \(1\,300\,000\,000\) | | | \(0.0000000006\) | | ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le concept des puissances, un outil essentiel en mathématiques. Voici les points clés à retenir: * **Définition:** \(a^n\) est la multiplication de \(a\) par lui-même \(n\) fois. \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) et \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)). * **Règles de calcul:** * \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) * \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) * \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) * \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \) * \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) * **Puissances de 10:** Elles sont très utiles pour écrire des nombres avec de nombreux zéros. * **Notation scientifique:** Permet d'écrire des nombres très grands ou très petits sous la forme \(a \times 10^n\), où \(1 \le |a| < 10\). Maîtriser ces concepts vous aidera grandement dans vos futurs calculs et la compréhension de nombreux phénomènes scientifiques. ## Calculs approchés ### Introduction Dans le monde réel, nous sommes souvent confrontés à des nombres qui ne sont pas "exacts" ou qui ont une infinité de décimales. Pensez à des mesures comme la taille d'un objet, le temps écoulé, ou même des constantes mathématiques comme \( \pi \). Il est rare de pouvoir les exprimer avec une précision absolue. C'est là que les **calculs approchés** deviennent essentiels. Cette leçon vous apprendra à travailler avec des valeurs approchées, à comprendre les différentes méthodes pour les obtenir (arrondi, troncature) et à évaluer la précision de ces approximations. Maîtriser ces techniques est fondamental non seulement en mathématiques, mais aussi en sciences, en ingénierie et dans la vie quotidienne. ### Concepts Clés #### 1. Valeur exacte et valeur approchée * **Valeur exacte :** C'est la valeur précise d'un nombre, souvent exprimée sous forme de fraction, de racine carrée ou avec des symboles comme \( \pi \). * Exemples : \( \frac{1}{3} \), \( \sqrt{2} \), \( \pi \). * **Valeur approchée :** C'est une valeur proche de la valeur exacte, généralement obtenue en limitant le nombre de décimales. * Exemples : \( 0.33 \) pour \( \frac{1}{3} \), \( 1.414 \) pour \( \sqrt{2} \), \( 3.14 \) pour \( \pi \). #### 2. Troncature La troncature consiste à simplement "couper" un nombre à un certain rang de décimale, en ignorant toutes les décimales suivantes. * **Règle :** On supprime toutes les décimales au-delà du rang choisi. * **Exemples :** * La troncature de \( 3.14159 \) au centième est \( 3.14 \). * La troncature de \( 7.999 \) au dixième est \( 7.9 \). * La troncature de \( -2.345 \) au centième est \( -2.34 \). #### 3. Arrondi L'arrondi est une méthode plus précise pour obtenir une valeur approchée, car elle prend en compte la décimale suivante pour décider si l'on monte ou non. * **Règles :** 1. On détermine le rang de décimale auquel on veut arrondir. 2. On regarde le chiffre de la décimale juste après ce rang. 3. Si ce chiffre est \( 0, 1, 2, 3 \) ou \( 4 \), on garde le chiffre du rang choisi tel quel (arrondi par défaut). 4. Si ce chiffre est \( 5, 6, 7, 8 \) ou \( 9 \), on ajoute \( 1 \) au chiffre du rang choisi (arrondi par excès). * **Exemples :** * L'arrondi de \( 3.14159 \) au centième : * Le chiffre au centième est \( 4 \). * Le chiffre suivant est \( 1 \) (qui est entre \( 0 \) et \( 4 \)). * Donc, l'arrondi est \( 3.14 \). * L'arrondi de \( 7.999 \) au dixième : * Le chiffre au dixième est \( 9 \). * Le chiffre suivant est \( 9 \) (qui est entre \( 5 \) et \( 9 \)). * On ajoute \( 1 \) au \( 9 \) du dixième, ce qui donne \( 10 \). On reporte \( 1 \) au chiffre des unités. Donc, l'arrondi est \( 8.0 \). * L'arrondi de \( -2.345 \) au centième : * Le chiffre au centième est \( 4 \). * Le chiffre suivant est \( 5 \). * On ajoute \( 1 \) au \( 4 \), ce qui donne \( 5 \). Donc, l'arrondi est \( -2.35 \). #### 4. Valeur approchée par défaut et par excès * **Valeur approchée par défaut :** C'est la valeur tronquée. Elle est toujours inférieure ou égale à la valeur exacte si le nombre est positif. * Pour \( \sqrt{2} \approx 1.41421356... \), \( 1.414 \) est une valeur approchée par défaut au millième. * **Valeur approchée par excès :** C'est la valeur obtenue en ajoutant \( 1 \) à la dernière décimale de la troncature. Elle est toujours supérieure ou égale à la valeur exacte si le nombre est positif. * Pour \( \sqrt{2} \approx 1.41421356... \), \( 1.415 \) est une valeur approchée par excès au millième. #### 5. Encadrement d'un nombre Un encadrement permet de situer un nombre entre deux valeurs approchées, l'une par défaut et l'autre par excès, avec une certaine précision. * Si \( x \) est un nombre, et \( a \) est sa troncature à un certain rang, alors : \[ a \le x < a + 10^{-n} \] où \( n \) est le nombre de décimales de la troncature. * **Exemple :** Encadrons \( \pi \) au centième près : * La troncature de \( \pi \approx 3.14159... \) au centième est \( 3.14 \). * La valeur approchée par excès au centième est \( 3.15 \). * Donc, l'encadrement est : \( 3.14 \le \pi < 3.15 \). * L'amplitude de cet encadrement est \( 3.15 - 3.14 = 0.01 \). #### 6. Erreur absolue et erreur relative * **Erreur absolue :** C'est la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte (\( V_e \)) et la valeur approchée (\( V_a \)). Elle indique la taille de l'écart sans se soucier du signe. \[ \text{Erreur absolue} = |V_e - V_a| \] * **Erreur relative :** C'est le rapport de l'erreur absolue à la valeur exacte (si \( V_e \neq 0 \)). Elle exprime l'erreur en proportion de la valeur exacte, souvent en pourcentage. \[ \text{Erreur relative} = \frac{|V_e - V_a|}{|V_e|} \] Cela permet de comparer la précision d'approximations pour des nombres de tailles très différentes. #### 7. Chiffres significatifs Les chiffres significatifs indiquent la précision d'une mesure ou d'un calcul. Ils incluent tous les chiffres certains et le premier chiffre incertain. * **Règles simples :** * Tous les chiffres non nuls sont significatifs. (Ex: \( 123.45 \) a \( 5 \) chiffres significatifs). * Les zéros entre des chiffres non nuls sont significatifs. (Ex: \( 1002.3 \) a \( 5 \) chiffres significatifs). * Les zéros de début (à gauche du premier chiffre non nul) ne sont pas significatifs. (Ex: \( 0.0025 \) a \( 2 \) chiffres significatifs). * Les zéros de fin (à droite du dernier chiffre non nul) sont significatifs s'il y a une virgule décimale. (Ex: \( 12.00 \) a \( 4 \) chiffres significatifs ; \( 1200 \) peut avoir \( 2, 3 \) ou \( 4 \) chiffres significatifs selon le contexte, mais est ambigu sans virgule). ### Vocabulaire * **Arrondi :** Processus de réduction du nombre de décimales d'un nombre à une valeur proche selon des règles spécifiques. * **Troncature :** Action de couper un nombre à un certain rang de décimale, en ignorant les chiffres suivants. * **Valeur approchée :** Nombre qui est proche de la valeur exacte, mais non identique. * **Valeur approchée par défaut :** Valeur approchée qui est inférieure ou égale à la valeur exacte (souvent la troncature). * **Valeur approchée par excès :** Valeur approchée qui est supérieure ou égale à la valeur exacte (souvent la troncature augmentée d'une unité au dernier rang). * **Encadrement :** Intervalle défini par une valeur approchée par défaut et une valeur approchée par excès, dans lequel se situe un nombre exact. * **Erreur absolue :** Différence positive entre la valeur exacte et la valeur approchée. * **Erreur relative :** Erreur absolue divisée par la valeur exacte, souvent exprimée en pourcentage, indiquant la précision proportionnelle. * **Chiffres significatifs :** Les chiffres d'un nombre qui portent une signification sur sa précision. ### Exemples #### Exemple 1 : Arrondi et Troncature de \( \frac{2}{3} \) Soit le nombre \( \frac{2}{3} \). Sa valeur décimale est \( 0.666666... \). * **Troncature au centième :** \( 0.66 \) * **Arrondi au centième :** Le chiffre des millièmes est \( 6 \). Donc, on arrondit au-dessus. Le résultat est \( 0.67 \). * **Troncature au millième :** \( 0.666 \) * **Arrondi au millième :** Le chiffre des dix-millièmes est \( 6 \). Donc, on arrondit au-dessus. Le résultat est \( 0.667 \). #### Exemple 2 : Encadrement de \( \sqrt{10} \) On sait que \( \sqrt{10} \approx 3.162277... \). * **Encadrement au dixième :** * Troncature au dixième : \( 3.1 \). * Valeur approchée par excès au dixième : \( 3.2 \). * Encadrement : \( 3.1 \le \sqrt{10} < 3.2 \). * **Encadrement au millième :** * Troncature au millième : \( 3.162 \). * Valeur approchée par excès au millième : \( 3.163 \). * Encadrement : \( 3.162 \le \sqrt{10} < 3.163 \). #### Exemple 3 : Calcul d'erreurs Un calcul exact donne \( V_e = 15.75 \). Une valeur approchée est \( V_a = 15.8 \). * **Erreur absolue :** \( |15.75 - 15.8| = |-0.05| = 0.05 \). * **Erreur relative :** \( \frac{0.05}{15.75} \approx 0.00317 \). * En pourcentage : \( 0.00317 \times 100 \% = 0.317 \% \). ### Exercices 1. Donnez la troncature et l'arrondi au centième des nombres suivants : * \( 7.3821 \) * \( 12.997 \) * \( 0.0456 \) * \( -5.1234 \) 2. Soit le nombre \( A = \frac{1}{7} \). Sa valeur décimale est \( 0.142857142857... \). * Donnez un encadrement de \( A \) au dix-millième. * Donnez l'arrondi de \( A \) à \( 10^{-5} \). 3. La masse d'un objet est mesurée à \( 2.45 \) kg. La masse réelle est \( 2.448 \) kg. * Calculez l'erreur absolue de cette mesure. * Calculez l'erreur relative (exprimée en pourcentage, arrondie au centième de pourcent). 4. Combien de chiffres significatifs les nombres suivants contiennent-ils ? * \( 34.50 \) * \( 0.0067 \) * \( 10500 \) (avec ambiguïté) * \( 10500.0 \) ### Devoir 1. Calculer \( B = 2 \times \sqrt{3} \). (Utilisez une calculatrice pour obtenir une valeur avec au moins 6 décimales). * Donnez la troncature de \( B \) à \( 10^{-3} \). * Donnez l'arrondi de \( B \) à \( 10^{-2} \). * Donnez un encadrement de \( B \) à \( 10^{-4} \) d'amplitude. 2. Une distance est mesurée à \( 125.7 \) m. La valeur exacte est \( 125.68 \) m. * Déterminez l'erreur absolue. * Déterminez l'erreur relative en pourcentage. 3. Un étudiant a arrondi le nombre \( 4.5678 \) à \( 4.57 \). Quel est le rang de décimale auquel il a arrondi ? Quel est le type d'arrondi (par défaut ou par excès) ? 4. Est-il toujours vrai que la troncature d'un nombre positif est une valeur approchée par défaut ? Expliquez. Et pour un nombre négatif ? ### Résumé Cette leçon a exploré les concepts fondamentaux des calculs approchés. Nous avons distingué la **valeur exacte** de la **valeur approchée** et appris deux techniques principales pour obtenir ces dernières : la **troncature** (simple coupure des décimales) et l'**arrondi** (méthode plus précise basée sur le chiffre suivant). Nous avons vu comment exprimer la précision d'une approximation par une **valeur approchée par défaut** ou **par excès**, et comment utiliser l'**encadrement** pour situer un nombre entre deux bornes. Enfin, nous avons introduit l'**erreur absolue** et l'**erreur relative** pour quantifier la différence entre la valeur exacte et l'approximation, ainsi que les **chiffres significatifs** pour évaluer la fiabilité des mesures et des calculs. Maîtriser ces techniques est crucial pour manipuler des nombres dans des situations réelles où la précision absolue est souvent impossible ou inutile.