Cha 4: Fonctions usuelles

# Cha 4: Fonctions usuelles ## Fonctions affines; Fonctions affines par intervalle ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer les fonctions affines, des outils fondamentaux en mathématiques qui modélisent de nombreuses situations de la vie courante. Nous verrons comment les identifier, les représenter graphiquement et comprendre leurs propriétés. Nous aborderons également les fonctions affines par intervalles, qui permettent de décrire des situations dont les règles changent selon les valeurs de la variable. ### I. Concepts Clés #### A. Fonctions affines * **Définition:** Une fonction \(f\) est dite **affine** si elle peut s'écrire sous la forme \[ f(x) = ax + b \] où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels fixés (constantes). L'ensemble de définition des fonctions affines est \(\mathbb{R}\). * Le nombre \(a\) est appelé le **coefficient directeur** ou la **pente** de la droite représentative. * Le nombre \(b\) est appelé l'**ordonnée à l'origine**. * **Représentation graphique:** La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une **droite**. * Le coefficient directeur \(a\) détermine l'inclinaison de la droite: * Si \(a > 0\), la fonction est croissante (la droite "monte"). * Si \(a < 0\), la fonction est décroissante (la droite "descend"). * Si \(a = 0\), la fonction est constante (la droite est horizontale, d'équation \(y = b\)). * L'ordonnée à l'origine \(b\) est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (axe \(y\)). Ce point a pour coordonnées \((0, b)\). * **Cas particuliers:** * **Fonction linéaire:** C'est une fonction affine pour laquelle \(b=0\). Son expression est de la forme \(f(x) = ax\). Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine \((0,0)\). * **Fonction constante:** C'est une fonction affine pour laquelle \(a=0\). Son expression est de la forme \(f(x) = b\). Sa représentation graphique est une droite horizontale. * **Détermination de l'expression d'une fonction affine:** * **À partir de deux points:** Si la droite représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax+b\) passe par deux points distincts \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) (avec \(x_A \neq x_B\)), alors le coefficient directeur \(a\) est donné par la formule: \[ a = rac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \] Une fois \(a\) calculé, on substitue les coordonnées d'un des points dans l'équation \(y = ax+b\) pour trouver \(b\). * **À partir d'un point et du coefficient directeur:** Si l'on connaît le coefficient directeur \(a\) et un point \(P(x_P, y_P)\) de la droite, on substitue ces valeurs dans \(y_P = a x_P + b\) pour trouver \(b\). #### B. Fonctions affines par intervalles * **Définition:** Une fonction est dite **affine par intervalles** si son expression algébrique est définie par plusieurs fonctions affines différentes, chacune s'appliquant sur un intervalle spécifique de son domaine de définition. * **Représentation graphique:** La représentation graphique d'une fonction affine par intervalles est constituée de plusieurs segments de droites ou demi-droites "collés" les uns aux autres. * **Exemple:** La fonction valeur absolue \(f(x) = |x|\) est une fonction affine par intervalles, définie par: \[ f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \] ### II. Vocabulaire * **Fonction affine:** Fonction dont la forme algébrique est \(f(x) = ax+b\). * **Coefficient directeur (pente):** Le nombre \(a\) dans l'expression \(ax+b\), indiquant l'inclinaison de la droite. * **Ordonnée à l'origine:** Le nombre \(b\) dans l'expression \(ax+b\), représentant l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. * **Fonction linéaire:** Cas particulier de fonction affine où \(b=0\). * **Fonction constante:** Cas particulier de fonction affine où \(a=0\). * **Fonction affine par intervalles:** Fonction définie par plusieurs expressions affines, chacune sur un intervalle donné. * **Abscisse:** La coordonnée \(x\) d'un point. * **Ordonnée:** La coordonnée \(y\) d'un point. ### III. Exemples #### Exemple 1: Représentation graphique d'une fonction affine Traçons la représentation graphique de la fonction \(f(x) = -2x + 3\). 1. L'ordonnée à l'origine est \(b = 3\). La droite passe par le point \((0, 3)\). 2. Pour trouver un deuxième point, choisissons \(x=1\). Alors \(f(1) = -2(1) + 3 = 1\). La droite passe donc par le point \((1, 1)\). 3. Il suffit de tracer la droite qui passe par ces deux points \((0, 3)\) et \((1, 1)\). #### Exemple 2: Détermination de l'expression d'une fonction affine Trouvons l'expression de la fonction affine \(g\) dont la représentation graphique passe par les points \(A(1, 5)\) et \(B(3, 1)\). 1. Calcul du coefficient directeur \(a\): \[ a = rac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = rac{1 - 5}{3 - 1} = rac{-4}{2} = -2 \] 2. L'expression de la fonction est de la forme \(g(x) = -2x + b\). 3. Utilisons le point \(A(1, 5)\) pour trouver \(b\): \(5 = -2(1) + b \implies 5 = -2 + b \implies b = 7\). 4. L'expression de la fonction affine est donc \(g(x) = -2x + 7\). #### Exemple 3: Représentation graphique d'une fonction affine par intervalles Traçons la représentation graphique de la fonction \(h\) définie par: \[ h(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 1 \\ -2x + 4 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] * **Pour \(x < 1\):** La fonction est \(h(x) = x+1\). * Au point "de jonction" \(x=1\), \(h(1) = 1+1 = 2\). Nous traçons la demi-droite qui mène vers le point \((1, 2)\) mais n'inclut pas ce point (un cercle vide). * Prenons un autre point, par exemple \(x=0\), \(h(0) = 0+1 = 1\). Le point \((0, 1)\) est sur cette partie de la courbe. * **Pour \(x \geq 1\):** La fonction est \(h(x) = -2x+4\). * Au point "de jonction" \(x=1\), \(h(1) = -2(1)+4 = 2\). Ce point \((1, 2)\) est inclus (un point plein). * Prenons un autre point, par exemple \(x=2\), \(h(2) = -2(2)+4 = 0\). Le point \((2, 0)\) est sur cette partie de la courbe. La représentation graphique sera composée de deux demi-droites, se rencontrant au point \((1, 2)\). ### IV. Exercices 1. Soit la fonction \(f(x) = 3x - 1\). a. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(-1)\). b. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite représentative de \(f\) avec l'axe des ordonnées ? c. La fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier. 2. Déterminer l'expression de la fonction affine \(h\) dont la droite représentative passe par le point \(C(-2, 7)\) et a un coefficient directeur de \(-3\). 3. La droite \(D\) passe par les points \(E(2, -1)\) et \(F(4, 3)\). Déterminer l'expression de la fonction affine \(k\) dont \(D\) est la représentation graphique. 4. Une fonction \(g\) est définie par intervalles : \[ g(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 0 \\ -x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \] a. Calculer \(g(-2)\), \(g(0)\) et \(g(3)\). b. Représenter graphiquement cette fonction. ### V. Devoirs 1. Une société de téléphonie propose les tarifs suivants : * Un abonnement mensuel de 10 € pour 2 heures de communication (ou moins). * Au-delà de 2 heures, chaque minute supplémentaire est facturée 0,20 €. Soit \(x\) le temps de communication en heures pour un mois. Soit \(P(x)\) le prix à payer en euros. a. Exprimer \(P(x)\) en fonction de \(x\) pour \(0 \leq x \leq 2\). b. Exprimer \(P(x)\) en fonction de \(x\) pour \(x > 2\). (Attention aux unités : convertissez les heures supplémentaires en minutes avant de calculer le coût additionnel). c. Calculer le prix à payer pour 1h30 de communication. d. Calculer le prix à payer pour 3h15 de communication. e. Représenter graphiquement la fonction \(P\) pour \(x \in [0, 4]\). 2. Soit \(f\) une fonction affine telle que \(f(1) = 4\) et \(f(-2) = -5\). a. Déterminer l'expression de \(f(x)\). b. Trouver l'antécédent de 7 par \(f\). c. Le point \(M(5, 16)\) appartient-il à la représentation graphique de \(f\) ? Justifier. ### VI. Résumé * Une **fonction affine** est de la forme \(f(x) = ax+b\). Sa représentation graphique est une **droite**. * Le nombre \(a\) est le **coefficient directeur** (pente) et \(b\) est l'**ordonnée à l'origine** (point d'intersection avec l'axe \(y\)). * Les **fonctions linéaires** (\(b=0\)) sont des cas particuliers de fonctions affines dont la droite passe par l'origine. * Les **fonctions constantes** (\(a=0\)) sont des cas particuliers de fonctions affines dont la droite est horizontale. * On peut déterminer l'expression d'une fonction affine en connaissant deux points de sa droite représentative, ou un point et son coefficient directeur. * Une **fonction affine par intervalles** est une fonction dont l'expression change selon les intervalles de son domaine de définition. Sa représentation graphique est composée de plusieurs segments de droites.