Chap1: Calculs dans IR

# Chap1: Calculs dans IR ## ℝ et ses sous-ensembles ### Introduction Bienvenue dans ce premier chapitre sur les calculs dans l'ensemble des nombres réels ! Dans ce cours, nous allons explorer l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) et ses différents sous-ensembles. Comprendre ces distinctions est fondamental pour toutes les notions mathématiques que vous aborderez au lycée et au-delà. Nous allons découvrir comment les nombres que vous connaissez depuis toujours s'organisent en différentes catégories. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un nombre réel (\( \mathbb{R} \)) ? Un **nombre réel** est tout nombre qui peut être représenté sur une droite numérique continue. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons couramment, qu'ils soient entiers, décimaux, des fractions, des racines carrées, ou même des nombres comme \( \pi \). L'ensemble des nombres réels est noté \( \mathbb{R} \). #### Les sous-ensembles de \( \mathbb{R} \) L'ensemble des nombres réels est vaste et contient plusieurs sous-ensembles, c'est-à-dire des ensembles de nombres qui font partie de \( \mathbb{R} \) mais qui ont des propriétés spécifiques. ##### Les nombres entiers naturels (\( \mathbb{N} \)) * **Définition :** Ce sont les nombres utilisés pour compter des objets. Ils sont positifs et n'ont pas de partie décimale. Le zéro est inclus. * **Exemples :** \( 0, 1, 2, 3, 4, ext{...} \) * **Notation :** \( \mathbb{N} \) ##### Les nombres entiers relatifs (\( \mathbb{Z} \)) * **Définition :** Ce sont les nombres entiers naturels, auxquels on ajoute leurs opposés (nombres négatifs). Ils n'ont pas de partie décimale. * **Exemples :** \( ext{...}, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ext{...} \) * **Notation :** \( \mathbb{Z} \) * **Relation :** Tout nombre entier naturel est aussi un entier relatif, donc \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \). ##### Les nombres décimaux (\( \mathbb{D} \)) * **Définition :** Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de \( 10 \) (\( 10^n \), où \( n \) est un entier naturel), c'est-à-dire \( \frac{a}{10^n} \) où \( a \in \mathbb{Z} \) et \( n \in \mathbb{N} \). Leur écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la virgule. * **Exemples :** \( 1.5 = \frac{15}{10^1} \), \( -3.25 = \frac{-325}{10^2} \), \( 7 = \frac{7}{10^0} \), \( 0.001 = \frac{1}{10^3} \) * **Notation :** \( \mathbb{D} \) * **Relation :** Tout entier relatif est aussi un nombre décimal (ex: \( 5 = 5.0 = \frac{5}{10^0} \)), donc \( \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \). ##### Les nombres rationnels (\( \mathbb{Q} \)) * **Définition :** Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction \( \frac{a}{b} \) où \( a \) est un entier relatif (\( a \in \mathbb{Z} \)) et \( b \) est un entier relatif non nul (\( b \in \mathbb{Z}^* \)). Leur écriture décimale est soit finie, soit infinie et périodique. * **Exemples :** \( \frac{1}{3} = 0.333 ext{...} \), \( \frac{3}{4} = 0.75 \), \( -2 = \frac{-2}{1} \), \( 0.142857142857 ext{...} = \frac{1}{7} \) * **Notation :** \( \mathbb{Q} \) * **Relation :** Tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel (ex: \( 1.5 = \frac{3}{2} \)), donc \( \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \). ##### Les nombres irrationnels (\( \mathbb{I} \)) * **Définition :** Ce sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire comme une fraction de deux entiers. Leur écriture décimale est infinie et non périodique. * **Exemples :** \( \sqrt{2} \approx 1.41421356 ext{...} \), \( \pi \approx 3.14159265 ext{...} \), \( e \approx 2.71828182 ext{...} \) * **Notation :** \( \mathbb{I} \) (parfois noté \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)) * **Relation :** L'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) est l'union des nombres rationnels et irrationnels : \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \). Les ensembles \( \mathbb{Q} \) et \( \mathbb{I} \) sont disjoints (\( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset \)). ##### La hiérarchie des ensembles Il est important de retenir cette hiérarchie : \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \] #### La droite numérique et les intervalles Les nombres réels peuvent être représentés sur une **droite numérique**. Chaque point de la droite correspond à un unique nombre réel, et chaque nombre réel correspond à un unique point sur la droite. Un **intervalle** est un sous-ensemble de nombres réels qui sont compris entre deux valeurs. On utilise des crochets pour les représenter : * \( [a, b] \) : tous les \( x \) tels que \( a \le x \le b \) (intervalle fermé) * \( ]a, b[ \) : tous les \( x \) tels que \( a < x < b \) (intervalle ouvert) * \( [a, b[ \) : tous les \( x \) tels que \( a \le x < b \) (intervalle semi-ouvert/semi-fermé) * \( ]a, +\'\infty[ \) : tous les \( x \) tels que \( x > a \) * \( [a, +\'\infty[ \) : tous les \( x \) tels que \( x \ge a \) * \( ]-\'\infty, b[ \) : tous les \( x \) tels que \( x < b \) * \( ]-\'\infty, b] \) : tous les \( x \) tels que \( x \le b \) * \( ]-\'\infty, +\'\infty[ \) ou \( \mathbb{R} \) : tous les nombres réels. ### Vocabulaire * **Nombre réel (\( \mathbb{R} \)) :** Tout nombre qui peut être placé sur une droite numérique. Englobe tous les autres ensembles. * **Ensemble :** Une collection d'objets ou d'éléments. * **Sous-ensemble :** Un ensemble dont tous les éléments appartiennent à un autre ensemble plus grand. * **Entier naturel (\( \mathbb{N} \)) :** Nombres entiers positifs ou nuls (\( 0, 1, 2, ... \)). * **Entier relatif (\( \mathbb{Z} \)) :** Nombres entiers positifs, négatifs ou nuls (\( ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \)). * **Nombre décimal (\( \mathbb{D} \)) :** Nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \( \frac{a}{10^n} \) avec \( a \in \mathbb{Z} \) et \( n \in \mathbb{N} \) (nombre fini de chiffres après la virgule). * **Nombre rationnel (\( \mathbb{Q} \)) :** Nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \( \frac{a}{b} \) avec \( a \in \mathbb{Z} \) et \( b \in \mathbb{Z}^* \) (écriture décimale finie ou périodique). * **Nombre irrationnel (\( \mathbb{I} \)) :** Nombres réels qui ne sont pas rationnels (écriture décimale infinie et non périodique, ex: \( \sqrt{2}, \pi \)). * **Intervalle :** Un sous-ensemble de nombres réels représentant toutes les valeurs comprises entre deux bornes (ou une borne et l'infini). ### Exemples 1. **Classification de nombres :** Classez les nombres suivants dans tous les ensembles auxquels ils appartiennent : \( 5, -3, 0.75, \frac{2}{3}, \sqrt{3}, \pi, 10^{-2} \). * \( 5 \) : \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( -3 \) : \( \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( 0.75 = \frac{3}{4} = \frac{75}{100} \) : \( \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( \frac{2}{3} = 0.666 ext{...} \) : \( \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) (non décimal car écriture infinie et périodique) * \( \sqrt{3} \approx 1.732 ext{...} \) : \( \mathbb{I}, \mathbb{R} \) (irrationnel car décimale infinie et non périodique) * \( \pi \) : \( \mathbb{I}, \mathbb{R} \) * \( 10^{-2} = 0.01 = \frac{1}{100} \) : \( \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) 2. **Représentation d'intervalle :** Représentez l'intervalle \( [-2, 3[ \) sur une droite numérique. (Imaginez une droite numérique. Un point plein à -2, un point vide à 3, et une ligne continue reliant les deux.) ### Exercices 1. **Vrai ou Faux :** * a) \( -5 \in \mathbb{N} \) * b) \( 0.25 \in \mathbb{Q} \) * c) \( \sqrt{9} \in \mathbb{Z} \) * d) \( \frac{1}{3} \in \mathbb{D} \) * e) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \) 2. Donnez un exemple de nombre qui appartient à \( \mathbb{Q} \) mais pas à \( \mathbb{Z} \). 3. Représentez l'intervalle \( ]-\infty, 4] \) sur une droite numérique. ### Devoirs 1. **Complétez le tableau ci-dessous en cochant (✓) les ensembles auxquels chaque nombre appartient :** | Nombre | \( \mathbb{N} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{D} \) | \( \mathbb{Q} \) | \( \mathbb{I} \) | \( \mathbb{R} \) | | :------------ | :--------------: | :--------------: | :--------------: | :--------------: | :--------------: | :--------------: | | \( 7 \) | | | | | | | | \( -12 \) | | | | | | | | \( 0.125 \) | | | | | | | | \( \frac{5}{6} \) | | | | | | | | \( -\sqrt{7} \) | | | | | | | | \( \frac{21}{3} \) | | | | | | | 2. Donnez un exemple de nombre irrationnel différent de \( \pi \) et \( \sqrt{2} \). 3. Écrivez sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres réels \( x \) tels que \( -1 < x \le 5 \). ### Résumé Au cours de cette leçon, nous avons exploré les différents ensembles de nombres qui composent l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \). Nous avons vu que les nombres s'organisent en une hiérarchie : les entiers naturels (\( \mathbb{N} \)) sont inclus dans les entiers relatifs (\( \mathbb{Z} \)), qui sont inclus dans les décimaux (\( \mathbb{D} \)), qui sont inclus dans les rationnels (\( \mathbb{Q} \)). L'ensemble des réels (\( \mathbb{R} \)) est formé des rationnels et des irrationnels (\( \mathbb{I} \)), qui sont des nombres comme \( \sqrt{2} \) ou \( \pi \) dont la partie décimale est infinie et non périodique. Savoir distinguer ces ensembles et comprendre leurs propriétés est essentiel pour manipuler correctement les nombres en mathématiques. ## Opérations dans ℝ ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les opérations dans l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \). Nous allons revoir et approfondir les règles fondamentales qui régissent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, ainsi que les propriétés des puissances et des racines carrées. Maîtriser ces concepts est essentiel pour toute la suite de votre parcours en mathématiques. ### 1. L'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) * Les nombres réels englobent tous les nombres que vous avez étudiés jusqu'à présent : les entiers naturels \( \mathbb{N} \), les entiers relatifs \( \mathbb{Z} \), les nombres décimaux \( \mathbb{D} \), les nombres rationnels \( \mathbb{Q} \) (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction), et les nombres irrationnels (comme \( \pi \) ou \( \sqrt{2} \)). * Chaque point d'une droite numérique est associé à un nombre réel. ### 2. Opérations de base : Addition, Soustraction, Multiplication, Division #### Addition (\( + \)) * **Propriété commutative :** L'ordre des termes n'affecte pas le résultat. \( a + b = b + a \) * **Propriété associative :** L'ordre dans lequel on effectue les additions n'affecte pas le résultat. \( (a + b) + c = a + (b + c) \) * **Élément neutre :** Ajouter 0 ne change pas le nombre. \( a + 0 = a \) * **Opposé :** La somme d'un nombre et de son opposé est 0. \( a + (-a) = 0 \) #### Soustraction (\( - \)) * La soustraction est l'addition de l'opposé : \( a - b = a + (-b) \) * Elle n'est ni commutative, ni associative. #### Multiplication (\( \times \) ou \( \cdot \)) * **Propriété commutative :** L'ordre des facteurs n'affecte pas le résultat. \( a \times b = b \times a \) * **Propriété associative :** L'ordre dans lequel on effectue les multiplications n'affecte pas le résultat. \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \) * **Élément neutre :** Multiplier par 1 ne change pas le nombre. \( a \times 1 = a \) * **Zéro :** Tout nombre multiplié par 0 donne 0. \( a \times 0 = 0 \) * **Inverse :** Le produit d'un nombre non nul et de son inverse est 1. \( a \times \frac{1}{a} = 1 \) (pour \( a \ne 0 \)) #### Division (\( \div \) ou \( / \) ou \( \frac{a}{b} \)) * La division est la multiplication par l'inverse : \( \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} \) (pour \( b \ne 0 \)) * Il est impossible de diviser par zéro. #### Propriété de distributivité * La multiplication est distributive sur l'addition (et la soustraction) : * \( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \) * \( a \times (b - c) = a \times b - a \times c \) ### 3. Priorité des opérations (PEMDAS/BODMAS) Pour calculer une expression, il faut respecter l'ordre des opérations : 1. **P**arenthèses (ou crochets) 2. **E**xposants (ou puissances) 3. **M**ultiplication et **D**ivision (de gauche à droite) 4. **A**ddition et **S**oustraction (de gauche à droite) ### 4. Fractions #### Addition et soustraction de fractions * Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. * Si \( b \ne 0 \), \( \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \) * Si \( b \ne 0 \), \( \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \) * Si les dénominateurs sont différents, il faut les réduire au même dénominateur commun (PPCM). * Exemple : \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{cb}{bd} = \frac{ad+cb}{bd} \) (pour \( b \ne 0 \) et \( d \ne 0 \)) #### Multiplication de fractions * On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. * Si \( b \ne 0 \) et \( d \ne 0 \), \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \) #### Division de fractions * Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. * Si \( b \ne 0 \), \( c \ne 0 \) et \( d \ne 0 \), \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \) ### 5. Puissances * **Définition :** Pour un entier naturel \( n > 1 \), \( a^n = a \times a \times \dots \times a \) (n fois). * \( a^1 = a \) * \( a^0 = 1 \) (pour \( a \ne 0 \)) * \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (pour \( a \ne 0 \)) * **Propriétés des puissances :** * \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) * \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (pour \( a \ne 0 \)) * \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) * \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \) * \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) (pour \( b \ne 0 \)) ### 6. Racines carrées * **Définition :** Pour un nombre réel positif \( a \), \( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré est \( a \). * \( (\sqrt{a})^2 = a \) et \( \sqrt{a^2} = a \) (si \( a \ge 0 \)) * **Propriétés des racines carrées :** (pour \( a \ge 0 \) et \( b \ge 0 \)) * \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) * \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (pour \( b > 0 \)) * **Attention :** \( \sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b} \) et \( \sqrt{a-b} \ne \sqrt{a} - \sqrt{b} \) ### Vocabulaire * **Nombre Réel (\( \mathbb{R} \)) :** Tout nombre qui peut être représenté sur une droite numérique. * **Opération :** Processus mathématique (addition, soustraction, multiplication, division). * **Terme :** Parties d'une expression séparées par une addition ou une soustraction. * **Facteur :** Parties d'une expression séparées par une multiplication. * **Dénominateur :** Le nombre sous la barre de fraction, indiquant en combien de parties le tout est divisé. * **Numérateur :** Le nombre au-dessus de la barre de fraction, indiquant combien de parties sont prises. * **Inverse :** Pour un nombre \( a \ne 0 \), son inverse est \( \frac{1}{a} \). * **Opposé :** Pour un nombre \( a \), son opposé est \( -a \). * **Puissance :** Le résultat d'une multiplication répétée d'un nombre par lui-même. * **Exposant :** Le petit nombre en haut à droite d'une base dans une puissance, indiquant le nombre de répétitions. * **Base :** Le nombre qui est multiplié par lui-même dans une puissance. * **Racine carrée :** L'opération inverse du carré d'un nombre positif. ### Exemples #### Exemple 1 : Priorité des opérations Calculez l'expression : \( A = 5 + 3 \times (8 - 2^2) \div 2 \) 1. **P**arenthèses : \( 8 - 2^2 \) * **E**xposants : \( 2^2 = 4 \) * \( 8 - 4 = 4 \) * Donc, \( A = 5 + 3 \times 4 \div 2 \) 2. **M**ultiplication et **D**ivision (de gauche à droite) : * \( 3 \times 4 = 12 \) * \( 12 \div 2 = 6 \) * Donc, \( A = 5 + 6 \) 3. **A**ddition : * \( A = 11 \) #### Exemple 2 : Opérations avec les fractions Calculez : \( B = \frac{1}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} \) 1. **M**ultiplication d'abord : \( \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{5 \times 2}{6 \times 5} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \) 2. **A**ddition : \( B = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3} \) #### Exemple 3 : Opérations avec les puissances Simplifiez : \( C = \frac{(2^3)^2 \times 2^{-4}}{2^5} \) 1. \( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 \) 2. \( C = \frac{2^6 \times 2^{-4}}{2^5} = \frac{2^{6+(-4)}}{2^5} = \frac{2^2}{2^5} \) 3. \( C = 2^{2-5} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) #### Exemple 4 : Opérations avec les racines carrées Simplifiez : \( D = 3\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{3} \) 1. Simplifiez chaque terme : * \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) * \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) 2. Substituez et combinez les termes similaires : * \( D = 3(2\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \) * \( D = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \) * \( D = (6 - 3 + 1)\sqrt{3} \) * \( D = 4\sqrt{3} \) ### Exercices 1. Calculez : \( (7 - 2 \times 3)^2 + 15 \div 3 \) 2. Simplifiez : \( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{5}{8} \) 3. Calculez : \( (2^4 \times 2^{-1})^2 \div 2^3 \) 4. Écrivez sous la forme \( a\sqrt{b} \) où \( b \) est le plus petit entier possible : \( \sqrt{75} - \sqrt{48} \) ### Devoir 1. Calculez : \( A = -3 + 4 \times (1 - (-2)^3) - 10 \div 5 \) 2. Simplifiez l'expression : \( B = \frac{2}{5} \times (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{10} \) 3. Donnez l'écriture scientifique de : \( C = (4 \times 10^3) \times (2.5 \times 10^{-7}) \) 4. Simplifiez l'expression suivante : \( D = \sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8} \) 5. Un champ rectangulaire a une longueur de \( 3 \times 10^2 \) mètres et une largeur de \( 1.5 \times 10^2 \) mètres. Calculez son aire en écriture scientifique. ### Résumé Dans ce chapitre, nous avons réaffirmé l'importance de l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) et avons revu les règles fondamentales des opérations arithmétiques : addition, soustraction, multiplication et division. Nous avons insisté sur la priorité des opérations (PEMDAS/BODMAS) pour assurer des calculs corrects. Les opérations sur les fractions, les puissances et les racines carrées ont également été abordées, avec leurs propriétés spécifiques. Une maîtrise solide de ces concepts est la base de toutes les manipulations algébriques futures.