Chap3: Fonctions: Généralités

# Chap3: Fonctions: Généralités ## Représentation graphique poinr par point dans une fenêtre donnée. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions! Après avoir rappelé les bases des fonctions, nous allons nous concentrer sur une méthode fondamentale pour visualiser une fonction: la **représentation graphique point par point**. Cette technique consiste à calculer des points précis de la fonction et à les placer dans un repère. Nous verrons également l'importance de travailler "dans une fenêtre donnée", c'est-à-dire en limitant notre affichage à une partie spécifique du graphique pour mieux analyser le comportement de la fonction. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur les fonctions Une **fonction** est un processus qui, à chaque nombre d'entrée (appelé **antécédent**), associe un unique nombre de sortie (appelé **image**). * **Notation:** On note souvent une fonction \( f \) de \( x \) vers \( f(x) \). Par exemple, \( f: x o 2x+3 \) ou \( f(x) = 2x+3 \). * **Image:** Si \( f(x) = y \), alors \( y \) est l'image de \( x \) par la fonction \( f \). * **Antécédent:** Si \( f(x) = y \), alors \( x \) est un antécédent de \( y \) par la fonction \( f \). Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. #### 2. Le plan cartésien Pour représenter graphiquement une fonction, nous utilisons un **repère orthogonal** (ou cartésien) composé de deux axes perpendiculaires: * L'**axe des abscisses** (axe horizontal, généralement noté \( x \)). * L'**axe des ordonnées** (axe vertical, généralement noté \( y \) ou \( f(x) \)). Chaque point du plan est défini par ses **coordonnées** \( (x, y) \), où \( x \) est son abscisse et \( y \) est son ordonnée. #### 3. Méthode de construction point par point La courbe représentative d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( (x, f(x)) \) dans le repère. Pour la construire point par point, suivez ces étapes: 1. **Choisir des valeurs de \( x \):** Sélectionnez plusieurs valeurs pour la variable \( x \) dans un intervalle donné. Il est souvent judicieux de choisir des valeurs régulièrement espacées (par exemple, des entiers consécutifs). 2. **Calculer les images \( f(x) \):** Pour chaque valeur de \( x \) choisie, calculez l'image correspondante \( f(x) \) en utilisant l'expression de la fonction. 3. **Créer un tableau de valeurs:** Organisez vos calculs dans un tableau avec une ligne pour \( x \) et une ligne pour \( f(x) \) (ou \( y \)). Chaque colonne du tableau représente les coordonnées \( (x, f(x)) \) d'un point à placer. 4. **Placer les points:** Dessinez un repère orthogonal et placez chacun des points \( (x, f(x)) \) calculés. 5. **Relier les points:** Si la fonction est continue (ce qui est le cas pour la plupart des fonctions étudiées en Seconde), reliez les points placés par une courbe lisse. N'oubliez pas que vous n'avez tracé qu'une partie de la courbe. #### 4. La notion de "fenêtre donnée" (ou fenêtre graphique) Une **fenêtre graphique** est un cadre délimité sur le repère qui vous permet de visualiser une portion spécifique de la courbe représentative d'une fonction. Elle est définie par: * Un intervalle pour les abscisses (\( [x_{min}, x_{max}] \)). * Un intervalle pour les ordonnées (\( [y_{min}, y_{max}] \)). **Pourquoi est-ce important ?** * Les fonctions peuvent s'étendre à l'infini. Une fenêtre permet de se concentrer sur la partie la plus intéressante de la courbe. * Elle aide à ajuster l'échelle du graphique pour que tous les points pertinents soient visibles. * En pratique, sur une calculatrice graphique ou un logiciel, vous définissez ces intervalles pour afficher la courbe. ### Vocabulaire * **Fonction:** Une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ un unique élément d'un ensemble d'arrivée. * **Image:** Le résultat \( f(x) \) obtenu en appliquant la fonction \( f \) à une valeur \( x \). * **Antécédent:** La ou les valeurs \( x \) qui donnent un certain \( y \) par la fonction \( f \) (c'est-à-dire \( f(x) = y \)). * **Variable indépendante (\( x \)):** La valeur d'entrée de la fonction. * **Variable dépendante (\( y \) ou \( f(x) \)):** La valeur de sortie de la fonction, qui dépend de \( x \). * **Repère orthogonal / cartésien:** Système de coordonnées avec deux axes perpendiculaires (abscisses et ordonnées). * **Abscisse:** La coordonnée horizontale d'un point. * **Ordonnée:** La coordonnée verticale d'un point. * **Point:** Un emplacement sur le graphique défini par ses coordonnées \( (x, y) \). * **Courbe représentative:** L'ensemble de tous les points \( (x, f(x)) \) d'une fonction. * **Tableau de valeurs:** Un tableau listant les valeurs de \( x \) et leurs images \( f(x) \) correspondantes. * **Fenêtre graphique:** Les bornes \( x_{min}, x_{max}, y_{min}, y_{max} \) qui définissent la portion du graphique visible. ### Exemples #### Exemple 1: Fonction linéaire Soit la fonction \( f(x) = 2x + 1 \). Nous allons la représenter graphiquement pour \( x \) variant de \( -2 \) à \( 2 \) dans une fenêtre où \( y \) varie de \( -3 \) à \( 5 \). 1. **Tableau de valeurs:** | \( x \) | \( f(x) = 2x + 1 \) | Point \( (x, f(x)) \) | | :-------- | :-------------------- | :--------------------- | | -2 | \( 2(-2)+1 = -3 \) | (-2, -3) | | -1 | \( 2(-1)+1 = -1 \) | (-1, -1) | | 0 | \( 2(0)+1 = 1 \) | (0, 1) | | 1 | \( 2(1)+1 = 3 \) | (1, 3) | | 2 | \( 2(2)+1 = 5 \) | (2, 5) | 2. **Représentation graphique:** Placez ces points dans un repère avec \( x_{min}=-2, x_{max}=2, y_{min}=-3, y_{max}=5 \) puis reliez-les. Vous obtiendrez une droite. #### Exemple 2: Fonction quadratique Soit la fonction \( g(x) = x^2 - 3 \). Nous allons la représenter graphiquement pour \( x \) variant de \( -3 \) à \( 3 \) dans une fenêtre où \( y \) varie de \( -5 \) à \( 6 \). 1. **Tableau de valeurs:** | \( x \) | \( g(x) = x^2 - 3 \) | Point \( (x, g(x)) \) | | :-------- | :-------------------- | :--------------------- | | -3 | \( (-3)^2 - 3 = 6 \) | (-3, 6) | | -2 | \( (-2)^2 - 3 = 1 \) | (-2, 1) | | -1 | \( (-1)^2 - 3 = -2 \) | (-1, -2) | | 0 | \( (0)^2 - 3 = -3 \) | (0, -3) | | 1 | \( (1)^2 - 3 = -2 \) | (1, -2) | | 2 | \( (2)^2 - 3 = 1 \) | (2, 1) | | 3 | \( (3)^2 - 3 = 6 \) | (3, 6) | 2. **Représentation graphique:** Placez ces points dans un repère avec \( x_{min}=-3, x_{max}=3, y_{min}=-5, y_{max}=6 \) puis reliez-les par une courbe douce. Vous obtiendrez une parabole. ### Exercices #### Exercice 1 Soit la fonction \( h(x) = -x + 4 \). a. Complétez le tableau de valeurs pour \( x \) variant de 0 à 5: | \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :-------- | :- | :- | :- | :- | :- | :- | | \( h(x) \) | | | | | | | b. Placez les points obtenus dans un repère orthogonal. c. Quelle fenêtre graphique \( [x_{min}, x_{max}] \) et \( [y_{min}, y_{max}] \) serait appropriée pour visualiser tous ces points ? #### Exercice 2 Soit la fonction \( k(x) = x^2 - 2x \). a. Calculez les images pour \( x = -1, 0, 1, 2, 3 \). b. Représentez graphiquement ces points dans une fenêtre \( x ext{ entre } -2 ext{ et } 4 \) et \( y ext{ entre } -2 ext{ et } 4 \). ### Devoirs #### Devoir 1 Soit la fonction \( f(x) = 0.5x^2 + 2x - 1 \). a. Créez un tableau de valeurs pour \( x \) variant de \( -5 \) à \( 1 \) avec un pas de 1 (c'est-à-dire pour \( x = -5, -4, ext{...}, 0, 1 \)). b. Dessinez la représentation graphique de \( f \) en plaçant les points calculés dans un repère orthogonal. c. Indiquez la fenêtre graphique \( [x_{min}, x_{max}] imes [y_{min}, y_{max}] \) que vous avez utilisée pour votre graphique. #### Devoir 2 La température \( T \) d'un liquide en fonction du temps \( t \) (en minutes) est donnée par la formule \[ T(t) = -t^2 + 6t + 10 \] pour \( t ext{ appartenant à } [0, 6] \). a. Calculez les températures toutes les minutes, de \( t=0 \) à \( t=6 \), et dressez un tableau de valeurs. b. Représentez graphiquement l'évolution de la température en fonction du temps. Choisissez une fenêtre graphique appropriée pour que la courbe soit bien visible. ### Résumé Pour récapituler les points essentiels de cette leçon: * La **représentation graphique point par point** est une méthode fondamentale pour visualiser le comportement d'une fonction. * Elle consiste à calculer les coordonnées \( (x, f(x)) \) de plusieurs points clés et à les placer dans un repère. * Un **tableau de valeurs** est un outil indispensable pour organiser les calculs des points. * La notion de **fenêtre graphique** (définie par \( x_{min}, x_{max}, y_{min}, y_{max} \)) est cruciale pour se concentrer sur une partie pertinente de la courbe et ajuster l'échelle. * La précision dans les calculs et le placement des points est essentielle pour obtenir une représentation correcte de la fonction. ## Utilisation d'une représentation graphique. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions ! Après avoir découvert les bases des fonctions, nous allons maintenant nous concentrer sur un outil essentiel pour les comprendre et les analyser : la représentation graphique. Une courbe représentative n'est pas juste un joli dessin ; c'est une mine d'informations qui nous permet de visualiser le comportement d'une fonction, de résoudre des équations et des inéquations de manière visuelle et de décrire ses variations. Apprendre à lire et à interpréter correctement un graphique est une compétence fondamentale en mathématiques. ### Concepts clés #### Rappel sur les fonctions Une fonction \( f \) est un processus qui, à chaque nombre \( x \) (appelé **antécédent**), associe un unique nombre \( y \) (appelé **image**). On note \( y = f(x) \). * **Domaine de définition :** L'ensemble de tous les nombres \( x \) pour lesquels la fonction \( f(x) \) est définie. * **Notation :** \( f: x \mapsto f(x) \) ou \( y = f(x) \). #### Représentation graphique d'une fonction La **représentation graphique** (ou courbe représentative) d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( M(x; y) \) du plan dont les coordonnées vérifient \( y = f(x) \). Chaque point de la courbe a pour **abscisse** un antécédent \( x \) et pour **ordonnée** son image \( f(x) \). #### Lire une représentation graphique L'objectif principal est d'extraire des informations de la courbe sans avoir l'expression algébrique de la fonction. ##### Déterminer l'image d'un nombre (\( f(x) \) si \( x \) est donné) Pour trouver l'image d'un nombre \( x \) donné : 1. Repérez \( x \) sur l'**axe des abscisses** (axe horizontal). 2. Montez ou descendez verticalement jusqu'à rencontrer la courbe. 3. Lisez l'ordonnée de ce point sur l'**axe des ordonnées** (axe vertical). C'est l'image \( f(x) \). ##### Déterminer les antécédents d'un nombre (\( x \) si \( f(x) \) est donné) Pour trouver le ou les antécédents d'un nombre \( y \) donné : 1. Repérez \( y \) sur l'**axe des ordonnées** (axe vertical). 2. Tracez une droite horizontale passant par ce point. 3. Les points d'intersection de cette droite avec la courbe ont pour abscisse les antécédents recherchés. Il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs. ##### Résoudre graphiquement une équation du type \( f(x) = k \) Pour résoudre l'équation \( f(x) = k \) (où \( k \) est un nombre donné) : 1. Tracez la droite horizontale d'équation \( y = k \). 2. Les solutions de l'équation sont les **abscisses** des points d'intersection entre la courbe de \( f \) et la droite \( y = k \). ##### Résoudre graphiquement une inéquation du type \( f(x) < k \) ou \( f(x) > k \) Pour résoudre l'inéquation \( f(x) < k \) : 1. Tracez la droite horizontale d'équation \( y = k \). 2. Identifiez la partie de la courbe qui se situe **en dessous** de cette droite. 3. Les solutions sont les **abscisses** de tous les points de cette partie de la courbe. Pour résoudre l'inéquation \( f(x) > k \) : 1. Tracez la droite horizontale d'équation \( y = k \). 2. Identifiez la partie de la courbe qui se situe **au-dessus** de cette droite. 3. Les solutions sont les **abscisses** de tous les points de cette partie de la courbe. ##### Résoudre graphiquement \( f(x) = g(x) \) Pour résoudre l'équation \( f(x) = g(x) \) : 1. Tracez les courbes représentatives des fonctions \( f \) et \( g \). 2. Les solutions sont les **abscisses** des points d'intersection entre les deux courbes. ##### Résoudre graphiquement \( f(x) < g(x) \) ou \( f(x) > g(x) \) Pour résoudre l'inéquation \( f(x) < g(x) \) : 1. Tracez les courbes représentatives de \( f \) et \( g \). 2. Identifiez les intervalles où la courbe de \( f \) est **en dessous** de la courbe de \( g \). 3. Les solutions sont les **abscisses** correspondantes à ces intervalles. Pour résoudre l'inéquation \( f(x) > g(x) \) : 1. Tracez les courbes représentatives de \( f \) et \( g \). 2. Identifiez les intervalles où la courbe de \( f \) est **au-dessus** de la courbe de \( g \). 3. Les solutions sont les **abscisses** correspondantes à ces intervalles. ##### Variations d'une fonction À partir de la courbe, on peut déterminer les intervalles où la fonction est : * **Croissante :** La courbe "monte" de gauche à droite. Si \( x_1 < x_2 \), alors \( f(x_1) < f(x_2) \). * **Décroissante :** La courbe "descend" de gauche à droite. Si \( x_1 < x_2 \), alors \( f(x_1) > f(x_2) \). * **Constante :** La courbe est horizontale. Si \( x_1 < x_2 \), alors \( f(x_1) = f(x_2) \). On peut aussi identifier les **extremums** (maximums et minimums locaux ou globaux). Un **tableau de variations** résume ces informations. ### Vocabulaire * **Fonction :** Processus qui associe une image unique à chaque antécédent. * **Antécédent :** Nombre de départ \( x \) pour une fonction. * **Image :** Nombre d'arrivée \( y \) qui est le résultat de la fonction appliquée à un antécédent, \( y = f(x) \). * **Représentation graphique / Courbe représentative :** Ensemble des points \( (x, f(x)) \) dans un repère. * **Abscisse :** Coordonnée horizontale d'un point (correspond à \( x \)). * **Ordonnée :** Coordonnée verticale d'un point (correspond à \( y \) ou \( f(x) \)). * **Domaine de définition :** Ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) existe. * **Fonction croissante :** Une fonction dont les images augmentent quand les antécédents augmentent. * **Fonction décroissante :** Une fonction dont les images diminuent quand les antécédents augmentent. * **Fonction constante :** Une fonction dont les images restent les mêmes quand les antécédents augmentent. * **Maximum :** La plus grande valeur atteinte par la fonction sur un intervalle donné. * **Minimum :** La plus petite valeur atteinte par la fonction sur un intervalle donné. * **Tableau de variations :** Tableau qui récapitule les sens de variation d'une fonction sur son domaine de définition. ### Exemples Considérons la courbe représentative \( C_f \) d'une fonction \( f \) définie sur \( [-4; 5] \) dans un repère orthogonal. 1. **Déterminer l'image de 2 par \( f \).** * Je me place sur l'axe des abscisses à \( x = 2 \). * Je monte (ou descends) jusqu'à la courbe. * Je lis l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées. Supposons \( f(2) = 1 \). 2. **Déterminer les antécédents de -1 par \( f \).** * Je me place sur l'axe des ordonnées à \( y = -1 \). * Je trace une droite horizontale. Si cette droite coupe la courbe en deux points, leurs abscisses sont les antécédents. Supposons les antécédents soient \( x = -3 \) et \( x = 4 \). 3. **Résoudre graphiquement l'équation \( f(x) = 0 \).** * Je cherche les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (car \( y=0 \)). Les solutions sont leurs abscisses. Supposons \( x = -3.5 \), \( x = 0 \) et \( x = 4.5 \). 4. **Résoudre graphiquement l'inéquation \( f(x) > 1 \).** * Je trace la droite horizontale \( y = 1 \). * J'identifie les portions de la courbe qui sont au-dessus de cette droite. * Les solutions sont les intervalles d'abscisses correspondants. Par exemple, si la courbe est au-dessus de \( y=1 \) pour \( x \) entre \( -0.5 \) et \( 2 \), alors \( S = ]-0.5; 2[ \). 5. **Décrire les variations de la fonction \( f \).** * De \( x = -4 \) à \( x = -1 \), la fonction descend : elle est décroissante. * De \( x = -1 \) à \( x = 2 \), la fonction monte : elle est croissante. * De \( x = 2 \) à \( x = 5 \), la fonction descend : elle est décroissante. ### Exercices Soit la fonction \( g \) dont la courbe représentative \( C_g \) est donnée ci-dessous (imaginez un graphique où la fonction commence à \( (-4, 2) \), descend à \( (-2, -1) \), remonte à \( (1, 3) \) puis redescend à \( (4, 0) \)). Le domaine de définition est \( [-4; 4] \). 1. **Lecture d'images :** a. Déterminer \( g(0) \). b. Déterminer \( g(-2) \). c. Déterminer \( g(4) \). 2. **Lecture d'antécédents :** a. Déterminer le ou les antécédents de 2 par \( g \). b. Déterminer le ou les antécédents de -1 par \( g \). c. Déterminer le ou les antécédents de 3 par \( g \). 3. **Résolution d'équations :** a. Résoudre graphiquement l'équation \( g(x) = 0 \). b. Résoudre graphiquement l'équation \( g(x) = 3 \). 4. **Résolution d'inéquations :** a. Résoudre graphiquement l'inéquation \( g(x) > 0 \). b. Résoudre graphiquement l'inéquation \( g(x) \le 2 \). 5. **Variations :** a. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction \( g \) est-elle croissante ? b. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction \( g \) est-elle décroissante ? c. Quel est le maximum de \( g \) sur \( [-4; 4] \) et pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) est-il atteint ? ### Devoirs Soit \( f \) et \( h \) deux fonctions dont les courbes représentatives \( C_f \) et \( C_h \) sont données ci-dessous (imaginez \( C_f \) comme une parabole ouverte vers le bas, passant par \( (-1,0) \), \( (0,1) \), \( (1,0) \) et \( C_h \) comme une droite passant par \( (-2,-1) \) et \( (2,3) \)). Le domaine de définition pour les deux fonctions est \( [-2; 2] \). 1. **Lecture d'informations sur \( C_f \) :** a. Donner \( f(0) \). b. Donner les antécédents de 0 par \( f \). c. Quel est le maximum de \( f \) sur \( [-2; 2] \) ? 2. **Lecture d'informations sur \( C_h \) :** a. Donner \( h(1) \). b. Donner l'antécédent de 1 par \( h \). 3. **Résolution graphique d'équations et inéquations :** a. Résoudre graphiquement \( f(x) = h(x) \). b. Résoudre graphiquement \( f(x) > h(x) \). c. Résoudre graphiquement \( h(x) < 0 \). 4. **Création :** Tracez une fonction \( k \) sur \( [-3; 3] \) telle que : * \( k(0) = 2 \) * \( k \) est décroissante sur \( [-3; 0] \) * \( k \) est croissante sur \( [0; 3] \) * Les antécédents de 0 par \( k \) sont -2 et 2. ### Résumé Félicitations ! Vous avez maintenant exploré les bases de l'utilisation des représentations graphiques pour analyser les fonctions. Retenez que la courbe d'une fonction est un outil visuel puissant qui permet de : * Trouver rapidement l'image d'un nombre donné. * Identifier les antécédents d'une valeur donnée. * Résoudre graphiquement des équations comme \( f(x) = k \) ou \( f(x) = g(x) \). * Résoudre graphiquement des inéquations comme \( f(x) < k \) ou \( f(x) > g(x) \). * Décrire le sens de variation (croissance, décroissance) et les extremums d'une fonction. La maîtrise de la lecture graphique est essentielle pour la suite de vos études en mathématiques et vous aidera à mieux comprendre les relations entre les quantités dans diverses situations. Continuez à pratiquer ! ## Sens de variations ### Introduction En mathématiques, les fonctions nous aident à modéliser des situations du monde réel. Comprendre comment une fonction se comporte, c'est-à-dire si ses valeurs augmentent ou diminuent, est fondamental. C'est ce que l'on appelle le "sens de variations" d'une fonction. Dans cette leçon, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur différents intervalles, et comment représenter ces informations à l'aide d'un tableau de variations. ### Concepts Clés #### Fonction croissante Une fonction \( f \) est dite **croissante** sur un intervalle \( I \) si pour tout \( x_1 \) et \( x_2 \) appartenant à \( I \): Si \( x_1 < x_2 \), alors \( f(x_1) \leq f(x_2) \). * **Interprétation graphique**: Lorsque vous lisez la courbe de la fonction de gauche à droite, elle "monte" ou reste horizontale. #### Fonction strictement croissante Si \( x_1 < x_2 \), alors \( f(x_1) < f(x_2) \). #### Fonction décroissante Une fonction \( f \) est dite **décroissante** sur un intervalle \( I \) si pour tout \( x_1 \) et \( x_2 \) appartenant à \( I \): Si \( x_1 < x_2 \), alors \( f(x_1) \geq f(x_2) \). * **Interprétation graphique**: Lorsque vous lisez la courbe de la fonction de gauche à droite, elle "descend" ou reste horizontale. #### Fonction strictement décroissante Si \( x_1 < x_2 \), alors \( f(x_1) > f(x_2) \). #### Fonction constante Une fonction \( f \) est dite **constante** sur un intervalle \( I \) si pour tout \( x_1 \) et \( x_2 \) appartenant à \( I \): \( f(x_1) = f(x_2) \). * **Interprétation graphique**: La courbe de la fonction est une droite horizontale sur cet intervalle. #### Tableau de variations Le tableau de variations est un outil graphique qui résume le sens de variation d'une fonction sur son domaine de définition. Il se compose généralement de deux lignes: 1. **Première ligne**: Les valeurs de \( x \) (les bornes des intervalles où le sens de variation change, ou les points où la fonction n'est pas définie). 2. **Deuxième ligne**: Le sens de variation de \( f \) (symbolisé par des flèches) et les valeurs de la fonction aux points importants (minima, maxima, limites). * **Flèche montante (\(\nearrow\))**: Indique que la fonction est croissante. * **Flèche descendante (\(\searrow\))**: Indique que la fonction est décroissante. * **Flèche horizontale (\(\rightarrow\))**: Indique que la fonction est constante. #### Extrema (Maximum et Minimum) * **Maximum local (ou relatif)**: Une fonction \( f \) admet un maximum local en \( x_0 \) s'il existe un intervalle autour de \( x_0 \) tel que pour tout \( x \) dans cet intervalle, \( f(x) \leq f(x_0) \). * **Minimum local (ou relatif)**: Une fonction \( f \) admet un minimum local en \( x_0 \) s'il existe un intervalle autour de \( x_0 \) tel que pour tout \( x \) dans cet intervalle, \( f(x) \geq f(x_0) \). * **Maximum global (ou absolu)**: La plus grande valeur que la fonction peut prendre sur tout son domaine de définition. * **Minimum global (ou absolu)**: La plus petite valeur que la fonction peut prendre sur tout son domaine de définition. ### Vocabulaire * **Fonction croissante**: Une fonction dont les valeurs augmentent ou restent égales lorsque les valeurs de l'entrée augmentent. * **Fonction décroissante**: Une fonction dont les valeurs diminuent ou restent égales lorsque les valeurs de l'entrée augmentent. * **Fonction constante**: Une fonction dont les valeurs restent identiques, quelle que soit la valeur de l'entrée. * **Intervalle de croissance**: Un intervalle sur lequel une fonction est croissante. * **Intervalle de décroissance**: Un intervalle sur lequel une fonction est décroissante. * **Tableau de variations**: Un tableau qui résume le sens de variation d'une fonction. * **Maximum (local/global)**: La valeur la plus élevée que la fonction atteint (sur un intervalle ou sur tout le domaine). * **Minimum (local/global)**: La valeur la plus basse que la fonction atteint (sur un intervalle ou sur tout le domaine). * **Extremum**: Terme général désignant un maximum ou un minimum (local ou global). ### Exemples #### Exemple 1: La fonction carrée Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \). * Sur l'intervalle \( ]-\infty, 0] \), si nous prenons \( x_1 < x_2 \leq 0 \), alors \( x_1^2 > x_2^2 \), donc \( f(x_1) > f(x_2) \). La fonction \( f \) est **décroissante** sur \( ]-\infty, 0] \). * Sur l'intervalle \( [0, +\infty[ \), si nous prenons \( 0 \leq x_1 < x_2 \), alors \( x_1^2 < x_2^2 \), donc \( f(x_1) < f(x_2) \). La fonction \( f \) est **croissante** sur \( [0, +\infty[ \). Son tableau de variations est: | \( x \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( +\infty \) | |------------------|---------------|-------------|---------------| | \( f(x) \) | \(\searrow\) | \( 0 \) | \(\nearrow\) | Le minimum global de la fonction est \( 0 \) atteint en \( x=0 \). #### Exemple 2: La fonction inverse Considérons la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) (définie pour \( x \neq 0 \)). * Sur l'intervalle \( ]-\infty, 0[ \): Si \( x_1 < x_2 < 0 \), alors \( \frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2} \), donc \( f(x_1) > f(x_2) \). La fonction est **décroissante**. * Sur l'intervalle \( ]0, +\infty[ \): Si \( 0 < x_1 < x_2 \), alors \( \frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2} \), donc \( f(x_1) > f(x_2) \). La fonction est **décroissante**. Attention: La fonction est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \) et sur \( ]0, +\infty[ \), mais pas sur \( ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \) (car \( -2 < 2 \) mais \( f(-2) = -0.5 < f(2) = 0.5 \)). ### Exercices 1. **À partir d'un graphique**: Observez la courbe représentative d'une fonction \( g \) sur l'intervalle \( [-5, 5] \). * Sur quels intervalles \( g \) est-elle croissante ? * Sur quels intervalles \( g \) est-elle décroissante ? * Quels sont les extrema locaux et globaux de \( g \)? 2. **Tableau de variations**: Complétez le tableau de variations ci-dessous pour une fonction \( h \) définie sur \( [-3, 4] \). | \( x \) | \( -3 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 4 \) | |------------------|-----------|-------------|-------------|-------------| | \( h(x) \) | \( 5 \) | \(\searrow\) | \( -1 \) | \(\nearrow\) | * Donnez le sens de variation de \( h \) sur \( [0, 2] \) et sur \( [2, 4] \). * Quelle est la valeur minimale de \( h \) sur \( [-3, 4] \)? * Comparez \( h(1) \) et \( h(0.5) \). Justifiez. 3. **Fonction affine**: Soit \( f(x) = -2x + 3 \). * Déterminez le sens de variation de \( f \) sur \( \mathbb{R} \). * Dressez son tableau de variations. ### Devoir 1. **Analyse de fonction**: Soit la fonction \( f(x) = x^3 - 3x \) définie sur \( [-2, 2] \). * En utilisant une calculatrice graphique ou un logiciel, représentez la fonction. * Déterminez les intervalles sur lesquels \( f \) est croissante ou décroissante. * Dressez le tableau de variations de \( f \) sur \( [-2, 2] \). * Précisez les extrema locaux et globaux sur cet intervalle. 2. **Comparaison**: Soit une fonction \( g \) dont le tableau de variations est le suivant: | \( x \) | \( -5 \) | \( -1 \) | \( 3 \) | \( 7 \) | |------------------|-----------|-------------|-------------|-------------| | \( g(x) \) | \( 10 \) | \(\searrow\) | \( -2 \) | \(\nearrow\) | * Comparez \( g(-3) \) et \( g(-2) \). * Comparez \( g(4) \) et \( g(6) \). * Peut-on comparer \( g(-4) \) et \( g(5) \)? Expliquez pourquoi. 3. **Problème contextualisé**: La hauteur \( h(t) \) (en mètres) d'une balle lancée en l'air est donnée par la fonction \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \), où \( t \) est le temps en secondes après le lancer.\( t \) est défini sur l'intervalle \( [0, 4] \). * À l'aide de votre calculatrice graphique, tracez la courbe de \( h(t) \). * Décrivez le sens de variation de la hauteur de la balle en fonction du temps. À quel moment la balle atteint-elle sa hauteur maximale? * Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle? ### Résumé En résumé, le sens de variations d'une fonction nous indique comment ses valeurs évoluent. Une fonction est **croissante** si ses valeurs montent, **décroissante** si ses valeurs descendent, et **constante** si ses valeurs restent les mêmes. Le **tableau de variations** est un outil essentiel pour représenter visuellement ces informations, en indiquant les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les extrema (maximums et minimums). Comprendre le sens de variation est crucial pour analyser le comportement des fonctions et résoudre des problèmes dans divers domaines. ## Notion d'extremus. ### Introduction Dans l'étude des fonctions, il est souvent très utile de savoir où une fonction atteint ses valeurs les plus grandes ou les plus petites sur un intervalle donné. Ces valeurs particulières sont appelées des **extremums**. Comprendre cette notion nous permet de résoudre de nombreux problèmes concrets, que ce soit en physique, en économie ou en ingénierie, en trouvant par exemple un coût minimal, un profit maximal ou une hauteur maximale. ### Concepts Clés #### Maximum d'une fonction sur un intervalle Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( M \) est le **maximum** de \( f \) sur \( I \) si : * Pour tout nombre \( x \) de l'intervalle \( I \), on a \( f(x) \le M \). * Il existe au moins un nombre \( x_0 \) dans l'intervalle \( I \) tel que \( f(x_0) = M \). Autrement dit, \( M \) est la plus grande valeur que la fonction \( f \) peut prendre sur l'intervalle \( I \). #### Minimum d'une fonction sur un intervalle Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( m \) est le **minimum** de \( f \) sur \( I \) si : * Pour tout nombre \( x \) de l'intervalle \( I \), on a \( f(x) \ge m \). * Il existe au moins un nombre \( x_0 \) dans l'intervalle \( I \) tel que \( f(x_0) = m \). Autrement dit, \( m \) est la plus petite valeur que la fonction \( f \) peut prendre sur l'intervalle \( I \). #### L'extremum Un **extremum** est soit un maximum, soit un minimum de la fonction sur un intervalle donné. #### Identification des extremums avec un tableau de variations Les tableaux de variations sont des outils précieux pour identifier les extremums d'une fonction : * Lorsque la fonction change de sens de variation (passe de croissante à décroissante), elle atteint un **maximum local**. * Lorsque la fonction change de sens de variation (passe de décroissante à croissante), elle atteint un **minimum local**. **Exemple de tableau de variations :** | \( x \) | \( -\/\infty \) | \( -1 \) | \( 2 \) | \( +\/\infty \) | | :------------ | :----------: | :------: | :------: | :----------: | | Variations de \( f \) | | \( \nearrow \) | \( \searrow \) | \( \nearrow \) | | Valeurs de \( f \) | | \( 5 \) | \( -3 \) | | Dans cet exemple, sur l'intervalle \( [ -1 ; 2 ] \), le maximum est \( 5 \) (atteint en \( x = -1 \)) et le minimum est \( -3 \) (atteint en \( x = 2 \)). ### Vocabulaire * **Extremum** : Terme générique désignant un maximum ou un minimum d'une fonction sur un intervalle donné. * **Maximum** : La plus grande valeur atteinte par une fonction sur un intervalle donné. * **Minimum** : La plus petite valeur atteinte par une fonction sur un intervalle donné. * **Intervalle** : Une portion de la droite des nombres réels, sur laquelle on étudie la fonction. * **Tableau de variations** : Un tableau qui résume le sens de variation (croissante ou décroissante) d'une fonction sur différents intervalles. ### Exemples #### Exemple 1 : Fonction quadratique Soit la fonction \( f(x) = x^2 \) définie sur l'intervalle \( [ -3 ; 2 ] \). 1. **Tracé de la courbe :** La représentation graphique de \( y = x^2 \) est une parabole dont le sommet est à l'origine \( (0,0) \). 2. **Analyse sur l'intervalle \( [ -3 ; 2 ] \) :** * \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \) * \( f(0) = 0^2 = 0 \) * \( f(2) = 2^2 = 4 \) 3. **Identification des extremums :** * Sur l'intervalle \( [ -3 ; 2 ] \), la valeur la plus petite est \( 0 \), atteinte en \( x = 0 \). Donc, le **minimum** de \( f \) sur \( [ -3 ; 2 ] \) est \( m = 0 \). * La valeur la plus grande est \( 9 \), atteinte en \( x = -3 \). Donc, le **maximum** de \( f \) sur \( [ -3 ; 2 ] \) est \( M = 9 \). #### Exemple 2 : Lecture graphique Considérons la représentation graphique d'une fonction \( g \) sur l'intervalle \( [-4 ; 4] \) : Si le graphique montre un point le plus haut à \( ( -2, 3 ) \) et un point le plus bas à \( ( 1, -1 ) \) : * Le **maximum** de \( g \) sur \( [-4 ; 4] \) est \( 3 \), atteint en \( x = -2 \). * Le **minimum** de \( g \) sur \( [-4 ; 4] \) est \( -1 \), atteint en \( x = 1 \). ### Exercices 1. **À partir d'un tableau de variations :** Soit une fonction \( h \) dont le tableau de variations est le suivant : | \( x \) | \( -2 \) | \( 0 \) | \( 3 \) | \( 5 \) | | :------------ | :------: | :------: | :------: | :-----: | | Variations de \( h \) | \( \searrow \) | \( \nearrow \) | \( \searrow \) | \( \nearrow \) | | Valeurs de \( h \) | \( 4 \) | \( 0 \) | \( 6 \) | \( 2 \) | a. Quel est le minimum de \( h \) sur l'intervalle \( [ -2 ; 5 ] \) ? En quelle(s) valeur(s) de \( x \) est-il atteint ? b. Quel est le maximum de \( h \) sur l'intervalle \( [ 0 ; 5 ] \) ? En quelle(s) valeur(s) de \( x \) est-il atteint ? c. La valeur \( 6 \) est-elle un maximum global de \( h \) sur \( [-2 ; 5 ] \) ? Justifiez. 2. **Avec une fonction simple :** Considérez la fonction \( f(x) = - (x-2)^2 + 5 \) sur l'intervalle \( [ 0 ; 4 ] \). a. Sans tracer la courbe, déterminez si elle admet un maximum ou un minimum. Justifiez. b. Quelle est la valeur de cet extremum et pour quelle valeur de \( x \) est-il atteint ? ### Devoirs 1. **Analyse graphique :** Un ballon est lancé en l'air. Sa hauteur \( h \) (en mètres) en fonction du temps \( t \) (en secondes) est donnée par la fonction \( h(t) = -5t^2 + 20t \). (Pour \( t \) dans \( [0;4] \)). a. Tracez la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle \( [0 ; 4] \). b. À quel instant le ballon atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ? c. Quelle est la hauteur minimale du ballon sur cet intervalle ? À quel(s) instant(s) est-elle atteinte ? 2. **Problème d'optimisation :** Un agriculteur souhaite clôturer un champ rectangulaire en utilisant 100 mètres de clôture. Il veut que la surface de son champ soit la plus grande possible. a. Si la longueur du champ est \( L \) et sa largeur est \( l \), écrivez les équations qui représentent le périmètre et l'aire du champ. b. Exprimez l'aire du champ en fonction de sa longueur \( L \) uniquement. c. Déterminez les dimensions du champ qui donneront l'aire maximale. Quelle est cette aire maximale ? ### Résumé Pour conclure, les **extremums** sont des points clés dans l'étude des fonctions, représentant les valeurs les plus grandes (maximums) ou les plus petites (minimums) que la fonction peut atteindre sur un intervalle donné. Ils peuvent être identifiés graphiquement, à l'aide d'un tableau de variations, ou par des calculs pour des fonctions spécifiques. La capacité à trouver et à comprendre ces extremums est fondamentale pour analyser le comportement des fonctions et résoudre des problèmes d'optimisation dans divers domaines. ## Sens de variations ### Introduction Comprendre le comportement d'une fonction est essentiel en mathématiques. Une des façons d'analyser une fonction est d'étudier comment ses valeurs évoluent lorsque la variable d'entrée change. C'est ce que nous appelons le "sens de variations" d'une fonction. Cela nous permet de savoir si la courbe représentative de la fonction "monte", "descend" ou reste "stable" sur certains intervalles. ### Concepts Clés #### Fonction croissante Une fonction \(f\) est dite **croissante** sur un intervalle \(I\) si pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) appartenant à \(I\) : Si \(a < b\), alors \(f(a) \le f(b)\). Si \(f(a) < f(b)\), la fonction est dite **strictement croissante**. Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction croissante monte de gauche à droite sur l'intervalle \(I\). #### Fonction décroissante Une fonction \(f\) est dite **décroissante** sur un intervalle \(I\) si pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) appartenant à \(I\) : Si \(a < b\), alors \(f(a) \ge f(b)\). Si \(f(a) > f(b)\), la fonction est dite **strictement décroissante**. Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction décroissante descend de gauche à droite sur l'intervalle \(I\). #### Fonction constante Une fonction \(f\) est dite **constante** sur un intervalle \(I\) si pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) appartenant à \(I\) : Si \(a < b\), alors \(f(a) = f(b)\). Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction constante est une droite horizontale sur l'intervalle \(I\). #### Tableau de variations Le tableau de variations est un outil très utile pour résumer le comportement d'une fonction sur son domaine de définition. Il se compose généralement de deux lignes : * La première ligne indique les intervalles sur lesquels la fonction est étudiée, ainsi que les valeurs importantes de \(x\) où la fonction change de sens de variation (par exemple, les extrémums). * La seconde ligne utilise des flèches pour indiquer le sens de variation de la fonction : une flèche montante pour une fonction croissante, une flèche descendante pour une fonction décroissante. Les valeurs de la fonction aux points importants sont également indiquées aux extrémités des flèches. Exemple de tableau de variations: | \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | | :-------- | :--------- | :------ | :------ | :--------- | | Variations | \(\nearrow\) | \(f(x_1)\) | \(\searrow\) | \(f(x_2)\) | \(\nearrow\) | #### Extrémums (Maximum et Minimum) Les points où une fonction change de sens de variation sont souvent des **extreremums**. * Un **maximum local** (ou relatif) est la valeur la plus élevée de la fonction dans un certain intervalle. * Un **minimum local** (ou relatif) est la valeur la plus basse de la fonction dans un certain intervalle. * Un **maximum global** (ou absolu) est la valeur la plus élevée que la fonction peut atteindre sur tout son domaine de définition. * Un **minimum global** (ou absolu) est la valeur la plus basse que la fonction peut atteindre sur tout son domaine de définition. ### Vocabulaire * **Fonction croissante** : Une fonction dont les valeurs augmentent (ou restent stables) lorsque la variable augmente. * **Fonction décroissante** : Une fonction dont les valeurs diminuent (ou restent stables) lorsque la variable augmente. * **Fonction constante** : Une fonction dont les valeurs restent les mêmes lorsque la variable augmente. * **Tableau de variations** : Tableau résumant le sens de variation d'une fonction sur différents intervalles. * **Intervalle** : Un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. * **Extrémum** : Valeur maximale ou minimale d'une fonction (localement ou globalement). * **Maximum** : La plus grande valeur atteinte par une fonction. * **Minimum** : La plus petite valeur atteinte par une fonction. * **Monotone** : Une fonction est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle donné. ### Exemples #### Exemple 1: Fonction linéaire Soit la fonction \(f(x) = 2x - 3\). Pour tout \(a < b\) : \(f(b) - f(a) = (2b - 3) - (2a - 3) = 2b - 3 - 2a + 3 = 2b - 2a = 2(b - a)\). Puisque \(a < b\), \(b - a > 0\), donc \(2(b - a) > 0\). Ainsi, \(f(b) - f(a) > 0\), ce qui signifie \(f(b) > f(a)\). La fonction \(f(x) = 2x - 3\) est donc **strictement croissante** sur \(\;\mathbb{R}\;\). #### Exemple 2: Fonction quadratique Soit la fonction \(g(x) = x^2\). * Sur l'intervalle \([0, +\infty[\) : Si \(0 \le a < b\), alors \(a^2 < b^2\), donc \(g(a) < g(b)\). La fonction est **strictement croissante**. * Sur l'intervalle \(]-\infty, 0]\) : Si \(a < b \le 0\), alors \(a^2 > b^2\), donc \(g(a) > g(b)\). La fonction est **strictement décroissante**. Son tableau de variations est : | \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | | :-------- | :--------- | :---- | :--------- | | Variations | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | Le minimum de la fonction est \(0\) atteint en \(x = 0\). #### Exemple 3: Lecture graphique Considérons la courbe représentative d'une fonction \(h\) : * De \(-\infty\) à \(-2\), la courbe descend : \(h\) est décroissante. * De \(-2\) à \(1\), la courbe monte : \(h\) est croissante. * De \(1\) à \(+\infty\), la courbe descend : \(h\) est décroissante. Le tableau de variations associé : | \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(1\) | \(+\infty\) | | :-------- | :--------- | :------ | :---- | :--------- | | Variations | \(\searrow\) | \(-3\) | \(2\) | \(\searrow\) | On observe un minimum local de \(-3\) en \(x=-2\) et un maximum local de \(2\) en \(x=1\). ### Exercices 1. **Vrai ou Faux ?** * Si une fonction est strictement croissante sur \([2, 5]\), alors \(f(3) < f(4)\). * Si \(f(x) = -x+5\), alors \(f\) est croissante sur \(\;\mathbb{R}\;\). * Le minimum d'une fonction est toujours atteint en \(x=0\). 2. **Complétez le tableau de variations** pour une fonction \(k\) dont on sait qu'elle est décroissante sur \(]-\infty, 3]\) et croissante sur \([3, +\infty[\), et que \(k(3) = -5\). | \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | | :-------- | :--------- | :---- | :--------- | | Variations | | | | 3. **Pour la fonction \(f(x) = -3x + 1\)**, montrez son sens de variation sur \(\;\mathbb{R}\;\) en utilisant la définition. 4. **À partir du graphique d'une fonction \(g\) donnée (imaginez une parabole ouverte vers le bas, sommet en \((2, 4)\))** : * Sur quel(s) intervalle(s) la fonction \(g\) est-elle croissante ? * Sur quel(s) intervalle(s) la fonction \(g\) est-elle décroissante ? * Quel est le maximum (local et global) de la fonction ? ### Devoirs 1. **Soit la fonction \(h(x) = x^2 - 4x + 3\).** * Calculez \(h(0)\), \(h(1)\), \(h(2)\), \(h(3)\), \(h(4)\). * Conjecturez le sens de variation de la fonction sur les intervalles \(]-\infty, 2]\) et \([2, +\infty[\). * (Pour les plus avancés) Démontrez ces conjectures. * Construisez le tableau de variations de \(h\). 2. **Un agriculteur souhaite clôturer un champ rectangulaire d'une aire de \(100\) m\(^2\).** Il dispose de \(P\) mètres de clôture. * Si la largeur du champ est \(x\), exprimez la longueur en fonction de \(x\). * Exprimez le périmètre \(P(x)\) en fonction de \(x\). * Étudiez le sens de variation de la fonction \(P(x)\) pour \(x > 0\) (vous pouvez utiliser une calculatrice graphique ou un tableur). * Quelle est la forme du champ qui minimise la quantité de clôture nécessaire ? 3. **Tracez la courbe d'une fonction \(f\) qui respecte les conditions suivantes :** * \(f\) est décroissante sur \(]-\infty, -1]\). * \(f\) est croissante sur \([-1, 3]\). * \(f\) est décroissante sur \([3, +\infty[\). * \(f(-1) = 0\). * \(f(3) = 5\). * Indiquez les extrémums sur votre graphique. ### Résumé Les variations d'une fonction décrivent comment ses valeurs changent lorsque la variable d'entrée augmente. Une fonction est **croissante** si ses valeurs montent, **décroissante** si ses valeurs descendent, et **constante** si ses valeurs restent les mêmes. Le **tableau de variations** est un outil clé pour visualiser ces comportements sur différents intervalles. Les points où la fonction change de variation sont souvent des **extrémums** (maximums ou minimums). Comprendre le sens de variation est fondamental pour analyser le comportement global d'une fonction et résoudre divers problèmes en mathématiques et dans d'autres disciplines. ## Ensemble de définition ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions ! Une fonction est une "machine" qui prend un nombre en entrée (appelé "antécédent" ou "variable") et produit un autre nombre en sortie (appelé "image"). Mais toutes les "machines" ne peuvent pas traiter n'importe quelle entrée. Par exemple, tu ne peux pas diviser par zéro, et tu ne peux pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif (du moins, pas avec les nombres réels que nous étudions en Seconde). C'est là qu'intervient l'**ensemble de définition** (ou **domaine de définition**) d'une fonction. Il s'agit de l'ensemble de tous les nombres réels pour lesquels la fonction est "définie", c'est-à-dire pour lesquels le calcul de l'image est possible et donne un nombre réel. Comprendre et savoir déterminer l'ensemble de définition est une compétence fondamentale en mathématiques. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que l'ensemble de définition ? L'ensemble de définition d'une fonction \(f\), noté \(D_f\) (ou parfois simplement \(D\)), est l'ensemble de tous les nombres réels \(x\) pour lesquels l'expression \(f(x)\) a un sens et donne un nombre réel. En d'autres termes, ce sont toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles il est possible de calculer \(f(x)\). #### Comment déterminer l'ensemble de définition ? Il existe quelques règles fondamentales à connaître pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction : ##### 1. Fonctions polynomiales Une fonction polynomiale est une fonction qui s'écrit comme une somme de termes, où chaque terme est un nombre multiplié par une puissance entière positive de \(x\) (par exemple, \(3x^2 - 5x + 2\)). **Règle :** Toutes les fonctions polynomiales sont définies pour tous les nombres réels. **Exemple :** Si \(f(x) = 2x^3 - 4x + 7\), l'ensemble de définition est \(D_f = A (x) \ge 0 \). ##### 4. Fonctions combinant plusieurs restrictions Lorsque la fonction présente plusieurs des cas précédents (par exemple, une fraction avec une racine carrée au numérateur), vous devez appliquer toutes les restrictions simultanément. L'ensemble de définition sera l'intersection des ensembles de valeurs qui satisfont chaque restriction. ### Vocabulaire * **Fonction :** Un processus qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (antécédent) un unique élément d'un ensemble d'arrivée (image). * **Variable (souvent \(x\)) :** La valeur d'entrée d'une fonction. * **Image :** La valeur de sortie d'une fonction, notée \(f(x)\). * **Antécédent :** Une valeur d'entrée qui, par la fonction, donne une certaine image. * **Ensemble de définition (ou Domaine de définition) \(D_f\) :** L'ensemble de toutes les valeurs de la variable \(x\) pour lesquelles la fonction est définie. * **Nombres Réels (\(\\mathbb{R}\)) :** L'ensemble de tous les nombres que nous utilisons habituellement (positifs, négatifs, décimaux, fractions, racines, etc.). Représenté par l'intervalle \(]-\\infty; +\\infty[\). * **Fraction rationnelle :** Une fonction qui est le quotient de deux polynômes, de la forme \( \frac{N(x)}{D(x)} \). * **Racine carrée (\( \sqrt{} \)) :** L'opération inverse de l'élévation au carré. La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel. * **Dénominateur :** La partie inférieure d'une fraction. Il ne peut jamais être égal à zéro. ### Exemples Déterminons l'ensemble de définition pour les fonctions suivantes : #### Exemple 1 : Fonction polynomiale Soit \(f(x) = 5x^4 - 2x^2 + 10\). Il s'agit d'une fonction polynomiale. Il n'y a aucune restriction. **Solution :** \(D_f = \mathbb{R}\) ou \(]-\infty; +\infty[\). #### Exemple 2 : Fonction rationnelle Soit \(g(x) = \frac{3x+1}{x-4}\). Cette fonction est une fraction. Le dénominateur ne peut pas être nul. On pose \(x-4 \neq 0\), ce qui implique \(x \neq 4\). **Solution :** \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) ou \(]-\infty; 4[ \cup ]4; +\infty[\). #### Exemple 3 : Fonction avec racine carrée Soit \(h(x) = \sqrt{2x+6}\). La racine carrée exige que l'expression sous la racine soit positive ou nulle. On pose \(2x+6 \ge 0\). \(2x \ge -6\) \(x \ge -3\). **Solution :** \(D_h = [-3; +\infty[\). #### Exemple 4 : Fonction avec plusieurs restrictions Soit \(k(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-5}\). Il y a deux restrictions ici : 1. **Racine carrée :** L'expression sous la racine doit être positive ou nulle : \(x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\). 2. **Dénominateur :** Le dénominateur ne doit pas être nul : \(x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5\). Nous devons donc avoir \(x \ge 1\) ET \(x \neq 5\). **Solution :** \(D_k = [1; 5[ \cup ]5; +\infty[\). ### Exercices Déterminez l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : 1. \(f(x) = -x^3 + 7x - 12\) 2. \(g(x) = \frac{1}{3x-9}\) 3. \(h(x) = \sqrt{5-x}\) 4. \(i(x) = \frac{x^2+2x}{\sqrt{x+4}}\) 5. \(j(x) = \frac{x-1}{x^2-16}\) ### Devoir Maison Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes, en justifiant chaque étape : 1. \(f(x) = \frac{2x+5}{(x-2)(x+3)}\) 2. \(g(x) = \sqrt{9-x^2}\) 3. \(h(x) = \frac{\sqrt{2x+1}}{x}\) 4. \(k(x) = \frac{x}{x^2+1}\) (Attention : le dénominateur est-il toujours non nul ?) ### Résumé L'**ensemble de définition** d'une fonction est crucial car il nous dit pour quelles valeurs de \(x\) la fonction est mathématiquement valide. Pour le déterminer, nous devons principalement nous rappeler de ces deux règles d'or : * **On ne divise jamais par zéro.** Si la fonction est une fraction \( \frac{N(x)}{D(x)} \), alors \(D(x) \neq 0\). * **On ne prend jamais la racine carrée d'un nombre négatif.** Si la fonction contient \( \sqrt{A(x)} \), alors \(A(x) \ge 0\). Pour les fonctions polynomiales, il n'y a pas de restriction, donc l'ensemble de définition est toujours \( \mathbb{R} \). Quand plusieurs restrictions s'appliquent, vous devez les combiner pour trouver l'ensemble des \(x\) qui satisfont toutes les conditions simultanément. Maîtriser l'ensemble de définition est essentiel pour la suite de l'étude des fonctions ! ## Programme de calcul de l'image. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions ! Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un concept fondamental : les programmes de calcul et comment ils nous aident à comprendre le mécanisme des fonctions, notamment pour trouver l'image d'un nombre. Un programme de calcul est une suite d'opérations appliquées à un nombre de départ. Il est essentiel pour saisir les bases de ce qu'est une fonction et comment elle transforme des nombres. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un programme de calcul ? Un programme de calcul est une série d'instructions mathématiques à exécuter dans un ordre précis, en partant d'un nombre donné. Chaque étape utilise le résultat de l'étape précédente pour produire un nouveau nombre. #### Application aux fonctions Un programme de calcul peut être vu comme une **fonction**. Une fonction est un processus qui associe à chaque nombre de départ (appelé **antécédent**) un unique nombre d'arrivée (appelé **image**). #### Déterminer l'image d'un nombre Pour déterminer l'image d'un nombre à travers un programme de calcul, il suffit de suivre les étapes du programme en remplaçant le nombre de départ par la valeur souhaitée. #### Notation des fonctions Lorsque nous avons un programme de calcul qui transforme un nombre \( x \) en un résultat, nous pouvons associer ce programme à une fonction \( f \). L'image de \( x \) par la fonction \( f \) est notée \( f(x) \). On lit « f de x ». Par exemple, si un programme de calcul consiste à « multiplier par 3 puis ajouter 5 », la fonction associée serait \( f(x) = 3x + 5 \). #### L'antécédent L'**antécédent** est le nombre de départ qui, une fois passé par le programme de calcul (ou la fonction), donne une certaine image. Trouver un antécédent, c'est résoudre le problème « quel nombre je dois choisir au départ pour obtenir tel résultat ? » C'est l'opération inverse de la recherche de l'image. ### Vocabulaire * **Programme de calcul :** Une séquence ordonnée d'opérations mathématiques. * **Fonction :** Un processus qui associe à chaque nombre de départ un unique nombre d'arrivée. * **Image :** Le nombre obtenu à la fin d'un programme de calcul ou par une fonction, à partir d'un nombre de départ. * **Antécédent :** Le nombre de départ qui conduit à une image donnée par une fonction. * **Variable :** Une lettre (souvent \( x \)) utilisée pour représenter un nombre qui peut varier. ### Exemples #### Exemple 1 Considérons le programme de calcul suivant : 1. Choisir un nombre. 2. Le multiplier par 2. 3. Ajouter 3 au résultat. Calculons l'image de quelques nombres : * **Pour le nombre 5 :** 1. \( 5 \) 2. \( 5 \times 2 = 10 \) 3. \( 10 + 3 = 13 \) L'image de 5 est 13. On peut écrire \( f(5) = 13 \). * **Pour le nombre -2 :** 1. \( -2 \) 2. \( -2 \times 2 = -4 \) 3. \( -4 + 3 = -1 \) L'image de -2 est -1. On peut écrire \( f(-2) = -1 \). Ce programme de calcul peut être représenté par la fonction \[ f(x) = 2x + 3 \] #### Exemple 2 Soit la fonction \( g \) définie par le programme de calcul : 1. Choisir un nombre. 2. Soustraire 1. 3. Élever le résultat au carré. * **Pour le nombre 4 :** 1. \( 4 \) 2. \( 4 - 1 = 3 \) 3. \( 3^2 = 9 \) L'image de 4 est 9. On peut écrire \( g(4) = 9 \). Ce programme de calcul correspond à la fonction \[ g(x) = (x-1)^2 \] ### Exercices #### Exercice 1 Considérons le programme de calcul suivant : 1. Choisir un nombre. 2. Ajouter 7. 3. Multiplier le résultat par -3. 4. Soustraire 10. 1. Calculez l'image des nombres suivants : a. \( 2 \) b. \( -5 \) c. \( 0 \) 2. Écrivez l'expression de la fonction \( h(x) \) associée à ce programme de calcul. #### Exercice 2 Soit la fonction \( k(x) = 5x - 8 \). 1. Calculez l'image de \( 3 \) par la fonction \( k \). 2. Calculez l'image de \( -1 \) par la fonction \( k \). 3. Décrivez un programme de calcul qui correspond à cette fonction \( k \). ### Devoir à la maison #### Exercice 1 Soit le programme de calcul : 1. Choisir un nombre. 2. Élever le nombre au carré. 3. Multiplier le résultat par 4. 4. Soustraire 1. 1. Calculez l'image de \( -3 \) par ce programme. 2. Calculez l'image de \( 1/2 \) par ce programme. 3. Écrivez l'expression de la fonction \( f(x) \) associée à ce programme. 4. Trouvez un (des) antécédent(s) de \( 15 \) par ce programme (c'est-à-dire, quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour obtenir 15 à la fin ?). #### Exercice 2 Un programme de calcul donne 17 lorsque le nombre de départ est 2, et -3 lorsque le nombre de départ est 0. Le programme consiste à multiplier le nombre de départ par un certain nombre, puis à ajouter un autre nombre. 1. Écrivez l'expression de la fonction \( f(x) \) associée à ce programme sous la forme \( f(x) = ax + b \). 2. Déterminez les valeurs de \( a \) et \( b \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les programmes de calcul et leur lien étroit avec les fonctions. Nous avons appris que : * Un programme de calcul est une suite d'opérations appliquées à un nombre de départ. * Il permet de définir une fonction qui, à chaque **antécédent** \( x \), associe une unique **image** \( f(x) \). * Pour trouver l'image d'un nombre, il suffit de suivre les étapes du programme de calcul. * La notation \( f(x) \) est utilisée pour représenter l'image de \( x \) par la fonction \( f \). La compréhension de ces concepts est fondamentale pour aborder les chapitres futurs sur les fonctions. ## Ensemble de définition ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions ! Les fonctions sont un outil fondamental en mathématiques pour décrire les relations entre différentes quantités. Avant de pouvoir "utiliser" une fonction, il est essentiel de comprendre pour quelles valeurs de départ elle a un sens. C'est ce que nous appelons l'**ensemble de définition**. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fonction ? Une fonction est un processus qui associe à chaque nombre d'entrée (appelé **variable**) un unique nombre de sortie. On la note souvent \( f \) et on écrit \( f: x \mapsto f(x) \) ou \( y = f(x) \). * **\( x \)** est la variable (ou l'antécédent). * **\( f(x) \)** est l'image de \( x \) par la fonction \( f \). #### L'ensemble de définition (ou domaine) L'**ensemble de définition** d'une fonction \( f \), noté \( D_f \), est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) peut être calculée et donne un résultat réel. En d'autres termes, ce sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction "existe" mathématiquement. #### Comment déterminer l'ensemble de définition ? Pour la plupart des fonctions que nous rencontrons en Seconde, l'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \) (l'ensemble de tous les nombres réels) sauf dans deux cas principaux où des restrictions apparaissent : ##### Restriction 1 : Dénominateur nul Il est **interdit de diviser par zéro**. Si votre fonction contient une fraction (un quotient), le dénominateur de cette fraction ne doit jamais être égal à zéro. Si \( f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} \), alors l'ensemble de définition est l'ensemble de tous les \( x \) tels que \( D(x) \neq 0 \). ##### Restriction 2 : Racine carrée d'un nombre négatif Il est **interdit de calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif**. L'expression sous le radical (la racine carrée) doit être positive ou nulle. Si \( f(x) = \sqrt{A(x)} \), alors l'ensemble de définition est l'ensemble de tous les \( x \) tels que \( A(x) \ge 0 \). ##### Cas particuliers et combinaisons * **Fonctions polynomiales** (ex: \( f(x) = 2x+3 \) ou \( g(x) = x^2 - 4x + 1 \)): Elles ne contiennent ni dénominateur, ni racine carrée. Leur ensemble de définition est toujours \( \mathbb{R} \). * **Fonctions rationnelles** (ex: \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \)): Il faut exclure les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur. * **Fonctions avec racines carrées** (ex: \( f(x) = \sqrt{x-3} \)): L'expression sous la racine doit être \( \ge 0 \). * **Combinaisons** : Si une fonction combine ces deux restrictions (par exemple, une racine carrée au dénominateur), il faudra satisfaire toutes les conditions simultanément. ### Vocabulaire * **Fonction :** Règle qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ un unique élément d'un ensemble d'arrivée. * **Variable (indépendante) :** Le nombre d'entrée d'une fonction, généralement noté \( x \). * **Image :** Le nombre de sortie d'une fonction, noté \( f(x) \). * **Antécédent :** Le nombre \( x \) dont \( f(x) \) est l'image. * **Ensemble de définition (Domaine) :** L'ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable \( x \) pour lesquelles la fonction est définie (donne un résultat réel). * **Nombres réels (\( \mathbb{R} \)) :** L'ensemble de tous les nombres que nous utilisons habituellement (entiers, décimaux, fractions, racines, etc.). * **Intervalle :** Un sous-ensemble de nombres réels souvent utilisé pour exprimer des ensembles de définition (ex: \( [2;+\infty[ \) ou \( ]-\infty;5[ \)). ### Exemples Déterminons l'ensemble de définition des fonctions suivantes : #### Exemple 1 : Fonction polynomiale Soit \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \). * Cette fonction ne contient ni fraction, ni racine carrée. * Il n'y a aucune restriction. * **\( D_f = \mathbb{R} \)** ou \( D_f = ]-\infty;+\infty[ \). #### Exemple 2 : Fonction rationnelle Soit \( g(x) = \frac{2x+1}{x-3} \). * La fonction contient une fraction. Le dénominateur ne doit pas être nul. * Condition : \( x-3 \neq 0 \). * Donc, \( x \neq 3 \). * **\( D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \)** ou \( D_g = ]-\infty;3[ \cup ]3;+\infty[ \). #### Exemple 3 : Fonction avec racine carrée Soit \( h(x) = \sqrt{x+4} \). * La fonction contient une racine carrée. L'expression sous la racine doit être positive ou nulle. * Condition : \( x+4 \ge 0 \). * Donc, \( x \ge -4 \). * **\( D_h = [-4;+\infty[ \)**. #### Exemple 4 : Combinaison de restrictions Soit \( k(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-5} \). * **Restriction 1 (racine carrée) :** L'expression sous la racine doit être positive ou nulle : \( x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \). * **Restriction 2 (dénominateur) :** Le dénominateur ne doit pas être nul : \( x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 \). * Nous devons satisfaire les deux conditions simultanément : \( x \ge 1 \) ET \( x \neq 5 \). * L'ensemble des nombres \( x \) supérieurs ou égaux à 1 est \( [1;+\infty[ \). Parmi ces nombres, nous devons exclure 5. * **\( D_k = [1;5[ \cup ]5;+\infty[ \)**. ### Exercices Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes : 1. \( f(x) = 5 - 2x \) 2. \( g(x) = \frac{x}{x+7} \) 3. \( h(x) = \sqrt{2x-6} \) 4. \( k(x) = \frac{x^2+1}{\sqrt{x}} \) ### Devoir Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes et exprimez-le sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles : 1. \( f(x) = (x-1)(x+2) \) 2. \( g(x) = \frac{3x-5}{2x+4} \) 3. \( h(x) = \sqrt{9-3x} \) 4. \( k(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x} \) ### Résumé * L'**ensemble de définition** \( D_f \) d'une fonction \( f \) est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) peut être calculée. * Les deux principales restrictions à retenir sont : * **Ne jamais diviser par zéro.** (Le dénominateur \( \neq 0 \)) * **Ne jamais prendre la racine carrée d'un nombre négatif.** (L'expression sous la racine \( \ge 0 \)) * Si plusieurs restrictions sont présentes, elles doivent toutes être respectées simultanément. * Il est important d'exprimer l'ensemble de définition correctement, souvent sous forme d'intervalles ou d'union d'intervalles. ## Représentation graphique poinr par point dans une fenêtre donnée. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les fonctions! Une fonction est un outil mathématique puissant qui nous permet de décrire des relations entre des quantités. Pour mieux comprendre ces relations, nous allons apprendre à visualiser les fonctions en traçant leurs courbes représentatives. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur la méthode de construction point par point d'un graphique, en nous assurant que notre tracé se situe dans une "fenêtre" ou un cadre de visualisation spécifique. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fonction ? ##### Définition Une fonction \( f \) est une relation qui associe à chaque nombre d'un ensemble de départ (appelé **antécédent**) un unique nombre dans un ensemble d'arrivée (appelé **image**). On la note souvent \( f: x \mapsto f(x) \) ou \( y = f(x) \). * \( x \) est la variable indépendante (l'antécédent). * \( f(x) \) ou \( y \) est la variable dépendante (l'image de \( x \) par \( f \)). #### Le plan cartésien ##### Repères et Coordonnées Pour représenter graphiquement une fonction, nous utilisons le plan cartésien, qui est défini par deux axes perpendiculaires se coupant en un point appelé l'origine (0,0): * L'**axe des abscisses** (horizontal), souvent noté \( (Ox) \) ou axe des \( x \). * L'**axe des ordonnées** (vertical), souvent noté \( (Oy) \) ou axe des \( y \). Chaque point du plan est identifié par ses **coordonnées** \( (x; y) \), où \( x \) est son abscisse et \( y \) est son ordonnée. #### Représentation graphique d'une fonction ##### Définition La **courbe représentative** d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( (x; f(x)) \) du plan cartésien. Chaque point de la courbe a pour abscisse un antécédent \( x \) et pour ordonnée son image \( f(x) \). ##### Pourquoi point par point ? Pour tracer la courbe d'une fonction, surtout si elle est nouvelle ou complexe, nous commençons par calculer les coordonnées de plusieurs points. En reliant ces points, nous obtenons une approximation de la courbe complète. ##### La fenêtre graphique Une **fenêtre graphique** (ou intervalle de visualisation) est une zone spécifique du plan cartésien dans laquelle nous souhaitons observer le graphique de la fonction. Elle est définie par: * Un intervalle pour les abscisses: \( [x_{min}, x_{max}] \). * Un intervalle pour les ordonnées: \( [y_{min}, y_{max}] \). Ceci nous permet de nous concentrer sur la partie la plus pertinente de la fonction pour une étude donnée. #### Méthode de construction point par point Pour tracer la courbe représentative d'une fonction \( f \) dans une fenêtre donnée, suivez ces étapes: 1. **Choisir l'intervalle de \( x \)**: Identifiez l'intervalle \( [x_{min}, x_{max}] \) qui correspond à la fenêtre donnée pour l'axe des abscisses. 2. **Sélectionner des valeurs de \( x \)**: Choisissez plusieurs valeurs d'antécédents \( x \) dans cet intervalle. Plus vous choisissez de points, plus votre tracé sera précis. Il est souvent judicieux de choisir des valeurs régulièrement espacées. 3. **Calculer les images \( f(x) \)**: Pour chaque valeur de \( x \) choisie, calculez l'image correspondante \( f(x) \) en utilisant la formule de la fonction. 4. **Construire un tableau de valeurs**: Organisez les paires \( (x; f(x)) \) dans un tableau. Chaque ligne du tableau représente un point à placer. 5. **Placer les points**: Dessinez un repère cartésien et placez chaque point \( (x; f(x)) \) du tableau dans le plan. 6. **Relier les points**: Une fois tous les points placés, reliez-les par une courbe lisse si la fonction est continue (ce qui est le cas de la plupart des fonctions étudiées en Seconde). ### Vocabulaire * **Fonction**: Relation qui associe un unique nombre à chaque antécédent. * **Antécédent**: La valeur de départ \( x \). * **Image**: La valeur d'arrivée \( f(x) \). * **Courbe représentative**: Le graphique de la fonction, ensemble des points \( (x; f(x)) \). * **Plan cartésien**: Le système de coordonnées \( (x,y) \) utilisé pour tracer les graphiques. * **Abscisse**: La coordonnée \( x \) d'un point. * **Ordonnée**: La coordonnée \( y \) d'un point. * **Fenêtre graphique**: La zone du plan cartésien spécifiée pour la visualisation (intervalles pour \( x \) et \( y \)). * **Tableau de valeurs**: Tableau listant des couples \( (x; f(x)) \) à placer. * **Coordonnées**: La paire \( (x; y) \) qui identifie la position d'un point. ### Exemples #### Exemple 1: Fonction linéaire Traçons la courbe de la fonction \( f(x) = 2x - 3 \) dans la fenêtre où \( x \in [-2, 3] \). 1. **Intervalle de \( x \)**: \( [-2, 3] \). 2. **Valeurs de \( x \)**: Nous allons choisir \( -2, -1, 0, 1, 2, 3 \). 3. **Calcul des images**: * \( f(-2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7 \) * \( f(-1) = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \) * \( f(0) = 2(0) - 3 = 0 - 3 = -3 \) * \( f(1) = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1 \) * \( f(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \) * \( f(3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3 \) 4. **Tableau de valeurs**: | \( x \) | \( f(x) \) | | :-------: | :--------: | | -2 | -7 | | -1 | -5 | | 0 | -3 | | 1 | -1 | | 2 | 1 | | 3 | 3 | 5. **Placer les points**: \( (-2; -7), (-1; -5), (0; -3), (1; -1), (2; 1), (3; 3) \). 6. **Relier les points**: Vous devriez obtenir une ligne droite. #### Exemple 2: Fonction quadratique Traçons la courbe de la fonction \( g(x) = x^2 - 4 \) dans la fenêtre où \( x \in [-3, 3] \). 1. **Intervalle de \( x \)**: \( [-3, 3] \). 2. **Valeurs de \( x \)**: \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \). 3. **Calcul des images**: * \( g(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \) * \( g(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \) * \( g(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 \) * \( g(0) = (0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4 \) * \( g(1) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 \) * \( g(2) = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \) * \( g(3) = (3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \) 4. **Tableau de valeurs**: | \( x \) | \( g(x) \) | | :-------: | :--------: | | -3 | 5 | | -2 | 0 | | -1 | -3 | | 0 | -4 | | 1 | -3 | | 2 | 0 | | 3 | 5 | 5. **Placer les points**: \( (-3; 5), (-2; 0), (-1; -3), (0; -4), (1; -3), (2; 0), (3; 5) \). 6. **Relier les points**: Vous devriez obtenir une parabole (une courbe en forme de U). ### Exercices Pour chaque fonction, construisez un tableau de valeurs et tracez sa courbe représentative dans la fenêtre donnée. 1. Tracez la courbe de \( h(x) = -x + 1 \) pour \( x \in [-4, 4] \). 2. Tracez la courbe de \( k(x) = x^2 + 2x - 1 \) pour \( x \in [-3, 2] \). 3. Soit la fonction \( m(x) = \frac{1}{x} \). Représentez-la sur l'intervalle \( [-3, -0.5] \) et sur \( [0.5, 3] \). *Attention, la valeur \( x=0 \) est une valeur interdite pour cette fonction.* Que remarquez-vous autour de \( x=0 \) ? ### Devoirs 1. Représentez graphiquement la fonction \( f(x) = \sqrt{x+1} \) pour \( x \in [-1, 8] \). N'oubliez pas que l'intérieur de la racine carrée doit être positif ou nul. 2. Représentez graphiquement la fonction \( g(x) = x^3 - 2x \) pour \( x \in [-2, 2] \). 3. Expliquez dans vos propres mots pourquoi il est important de choisir suffisamment de points pour obtenir une représentation graphique précise d'une fonction, surtout pour des fonctions qui ne sont pas des lignes droites. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à représenter graphiquement une fonction point par point. Nous avons revu la notion de fonction, de plan cartésien et de coordonnées. L'essentiel est de construire un tableau de valeurs en choisissant des antécédents dans une **fenêtre graphique** spécifiée, de calculer leurs images, puis de placer ces points dans le plan et de les relier pour former la courbe. Cette méthode est fondamentale pour visualiser le comportement des fonctions et comprendre la relation entre l'algèbre et la géométrie. ## Utilisation d'une représentation graphique. ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons apprendre à interpréter et utiliser les informations fournies par la représentation graphique d'une fonction. La capacité à lire et analyser un graphique est essentielle en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines. Une bonne compréhension des graphiques vous aidera à visualiser les relations entre les quantités et à résoudre des problèmes de manière intuitive. ### Concepts Clés #### 1. Lire une image et un antécédent sur un graphique ##### 1.1 Qu'est-ce qu'une image ? Pour une fonction \( f \), l'image d'un nombre \( x \) est la valeur \( f(x) \) associée. C'est la valeur de \( y \) correspondant à un \( x \) donné. Graphiquement, pour trouver l'image de \( x \): * Localisez la valeur de \( x \) sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal). * Montez (ou descendez) verticalement depuis \( x \) jusqu'à ce que vous rencontriez la courbe représentative de \( f \). * Lisez la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Cette valeur est \( f(x) \). ##### 1.2 Qu'est-ce qu'un antécédent ? Un antécédent d'un nombre \( y \) par une fonction \( f \) est un nombre \( x \) tel que \( f(x) = y \). Autrement dit, c'est une valeur de \( x \) qui donne \( y \) comme image. Graphiquement, pour trouver les antécédents de \( y \): * Localisez la valeur de \( y \) sur l'axe des ordonnées. * Tracez une ligne horizontale depuis \( y \) jusqu'à ce qu'elle croise la courbe. * Descendez (ou montez) verticalement depuis chaque point d'intersection jusqu'à l'axe des abscisses pour lire les valeurs de \( x \). Une valeur \( y \) peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédent. #### 2. Déterminer le domaine de définition Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie et pour lesquelles la courbe représentative existe. Sur un graphique, c'est l'étendue des abscisses pour lesquelles la courbe est tracée. * Il est souvent exprimé sous forme d'intervalle, par exemple \( [a; b] \) si la courbe commence à \( x=a \) et se termine à \( x=b \). #### 3. Résoudre graphiquement des équations et inéquations ##### 3.1 Résoudre \( f(x) = k \) Pour résoudre l'équation \( f(x) = k \) graphiquement, il faut trouver les abscisses des points d'intersection entre la courbe représentative de \( f \) et la droite horizontale d'équation \( y = k \). ##### 3.2 Résoudre \( f(x) < k \) (ou \( f(x) > k \), \( f(x) \le k \), \( f(x) \ge k \)) Pour résoudre l'inéquation \( f(x) < k \) graphiquement, il faut identifier les abscisses des points de la courbe qui sont *strictement en dessous* de la droite d'équation \( y = k \). * Pour \( f(x) > k \), cherchez les points de la courbe qui sont *strictement au-dessus* de la droite \( y = k \). * Pour \( f(x) \le k \) ou \( f(x) \ge k \), incluez les points sur la droite \( y = k \) dans votre solution. ##### 3.3 Résoudre \( f(x) = g(x) \) Pour résoudre l'équation \( f(x) = g(x) \) graphiquement, il faut trouver les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions \( f \) et \( g \). #### 4. Sens de variation d'une fonction Le sens de variation décrit comment les valeurs de la fonction évoluent lorsque \( x \) augmente. On parle de fonction croissante, décroissante ou constante sur des intervalles spécifiques. * **Fonction croissante :** Quand \( x \) augmente, \( f(x) \) augmente. Graphiquement, la courbe monte de gauche à droite. * **Fonction décroissante :** Quand \( x \) augmente, \( f(x) \) diminue. Graphiquement, la courbe descend de gauche à droite. * **Fonction constante :** Quand \( x \) augmente, \( f(x) \) reste la même. Graphiquement, la courbe est horizontale. #### 5. Maximum et Minimum d'une fonction * **Maximum :** La plus grande valeur que \( f(x) \) atteint sur un intervalle donné. Le point de la courbe correspondant est un "sommet" ou un "pic". On parle de maximum local ou global. * **Minimum :** La plus petite valeur que \( f(x) \) atteint sur un intervalle donné. Le point de la courbe correspondant est un "creux". On parle de minimum local ou global. ### Vocabulaire * **Image :** La valeur \( y \) obtenue pour une valeur \( x \) donnée par une fonction \( f \) (on écrit \( y = f(x) \)). * **Antécédent :** Une valeur \( x \) qui, par la fonction \( f \), produit une valeur \( y \) (tel que \( f(x) = y \)). * **Courbe représentative :** L'ensemble de tous les points \( (x, f(x)) \) dans un repère, qui visualisent la fonction. * **Domaine de définition :** L'ensemble de toutes les valeurs possibles de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Axe des abscisses :** L'axe horizontal d'un repère, souvent associé à la variable \( x \). * **Axe des ordonnées :** L'axe vertical d'un repère, souvent associé à la variable \( y \) ou \( f(x) \).