Chap4: Proportionnalité

# Chap4: Proportionnalité ## Situations de proportionnalité ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur la proportionnalité ! La proportionnalité est une notion fondamentale en mathématiques que l'on retrouve partout dans notre vie quotidienne et dans de nombreuses sciences. Que ce soit pour calculer le prix de fruits au supermarché, adapter une recette de cuisine pour plus de convives, comprendre les échelles sur une carte ou les vitesses de déplacement, la proportionnalité est un outil essentiel. Dans ce cours, nous allons apprendre à reconnaître une situation de proportionnalité, à utiliser le coefficient de proportionnalité et à résoudre des problèmes concrets. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la proportionnalité ? Deux grandeurs sont dites **proportionnelles** si l'on peut passer des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre non nul. Ce nombre est appelé le **coefficient de proportionnalité**. ##### Le coefficient de proportionnalité Si une grandeur \(y\) est proportionnelle à une grandeur \(x\), alors il existe un nombre \(k\) tel que pour toutes les valeurs correspondantes, on a : \[ y = k \times x \] Le nombre \(k\) est le coefficient de proportionnalité. On peut le calculer en divisant une valeur de \(y\) par sa valeur correspondante de \(x\) (à condition que \(x\) ne soit pas nul) : \[ k = \frac{y}{x} \] #### Reconnaître une situation de proportionnalité ##### À partir d'un tableau de valeurs Un tableau de valeurs représente une situation de proportionnalité si le quotient de chaque valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne est constant. Ce quotient est le coefficient de proportionnalité. **Exemple :** | Nombre de stylos | Prix (€) | |---|---| | 2 | 3 | | 4 | 6 | | 6 | 9 | Vérifions les quotients : \( \frac{3}{2} = 1.5 \), \( \frac{6}{4} = 1.5 \), \( \frac{9}{6} = 1.5 \). Le quotient est constant (1.5), donc c'est un tableau de proportionnalité. ##### À partir d'une représentation graphique Dans un repère, si les points représentant une situation de proportionnalité sont tracés, ils sont tous alignés sur une droite qui passe par l'**origine** du repère (le point \((0;0)\)). **Attention :** Une droite qui ne passe pas par l'origine ne représente pas une situation de proportionnalité. #### La quatrième proportionnelle La quatrième proportionnelle est la valeur manquante dans une situation de proportionnalité à trois valeurs connues. Il existe plusieurs méthodes pour la trouver : ##### Méthode du produit en croix Si on a un tableau de proportionnalité de la forme : | a | c | |---|---| | b | x | Alors, on peut écrire l'égalité des produits en croix : \[ a \times x = b \times c \] Et on en déduit \( x \) : \[ x = \frac{b \times c}{a} \] ##### Méthode du coefficient de proportionnalité Calculer le coefficient \( k = \frac{b}{a} \) (ou \( \frac{a}{b} \) selon le sens), puis utiliser \( x = k \times c \) (ou \( x = \frac{c}{k} \) selon le sens). ### Vocabulaire * **Proportionnalité :** Relation entre deux grandeurs où l'une est obtenue en multipliant l'autre par un nombre constant. * **Coefficient de proportionnalité :** Le nombre constant qui permet de passer d'une grandeur à l'autre dans une situation de proportionnalité. * **Grandeur :** Caractéristique mesurable (prix, poids, longueur, temps, etc.). * **Tableau de proportionnalité :** Tableau de valeurs où les lignes (ou colonnes) sont proportionnelles entre elles. * **Quatrième proportionnelle :** Valeur inconnue dans une situation de proportionnalité où trois autres valeurs sont connues. * **Produit en croix :** Méthode de calcul utilisée pour trouver une quatrième proportionnelle dans une égalité de rapports (fractions). ### Exemples #### Exemple 1 : Le prix des fruits Si 3 kg de pommes coûtent 4,50 €, combien coûtent 5 kg de pommes ? * **Méthode 1 : Coefficient de proportionnalité** Le prix est proportionnel à la masse. Coefficient \( k = \frac{4,50 \text{ €}}{3 \text{ kg}} = 1,50 \text{ €/kg} \). Pour 5 kg, le prix sera \( 5 \times 1,50 = 7,50 \text{ €} \). * **Méthode 2 : Tableau et produit en croix** | Masse (kg) | Prix (€) | |---|---| | 3 | 4,50 | | 5 | x | \( 3 \times x = 5 \times 4,50 \implies 3x = 22,50 \implies x = \frac{22,50}{3} = 7,50 \). Donc 5 kg de pommes coûtent 7,50 €. #### Exemple 2 : Recette de cuisine Une recette pour 4 personnes nécessite 200g de farine. Quelle quantité de farine faut-il pour 6 personnes ? * **Tableau :** | Nombre de personnes | Farine (g) | |---|---| | 4 | 200 | | 6 | x | Par produit en croix : \( 4 \times x = 6 \times 200 \implies 4x = 1200 \implies x = \frac{1200}{4} = 300 \). Il faut donc 300g de farine pour 6 personnes. ### Exercices 1. **Identifier la proportionnalité :** Pour chacun des tableaux suivants, indiquez s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité et, si oui, donnez le coefficient. a) \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline x & 2 & 5 & 8 \\ \hline y & 7 & 17,5 & 28 \\ \hline \end{tabular} b) \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline x & 3 & 4 & 6 \\ \hline y & 9 & 12 & 15 \\ \hline \end{tabular} 2. **Compléter un tableau :** Complétez le tableau de proportionnalité suivant : \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline Quantité (L) & 2 & 5 & ... \\ \hline Prix (€) & 3 & ... & 12 \\ \hline \end{tabular} 3. **Problème simple :** Un automobiliste parcourt 180 km en 2 heures à vitesse constante. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 270 km ? ### Devoir à la maison 1. **Consommation de carburant :** Une voiture consomme 7,5 litres d'essence pour parcourir 100 km. a) Combien de litres d'essence faudra-t-il pour parcourir 240 km ? b) Quelle distance peut-elle parcourir avec un plein de 45 litres d'essence ? 2. **Échelle d'une carte :** Sur une carte dont l'échelle est \( 1:25000 \) (ce qui signifie que 1 cm sur la carte représente 25000 cm dans la réalité), a) Quelle distance réelle représente un segment de 8 cm sur la carte ? (Donnez la réponse en kilomètres). b) Quelle longueur aura sur la carte un chemin de 10 km de long dans la réalité ? ### Résumé La proportionnalité est une relation clé en mathématiques. Elle décrit des situations où deux grandeurs sont liées par une multiplication constante. Vous pouvez la reconnaître : * Dans un tableau, si les quotients des valeurs correspondantes sont égaux (ce quotient est le coefficient de proportionnalité). * Sur un graphique, si les points sont alignés sur une droite passant par l'origine. Pour résoudre des problèmes de proportionnalité, vous pouvez utiliser le **coefficient de proportionnalité** ou la méthode du **produit en croix** pour trouver une valeur manquante (la quatrième proportionnelle). Ces outils vous permettent d'adapter des quantités, de convertir des unités ou de prédire des valeurs dans de nombreuses situations de la vie courante.