Calcul littéral (suite)

# Calcul littéral (suite) ## Développement des polynômes ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le développement des polynômes ! En mathématiques, et particulièrement en calcul littéral, il est souvent nécessaire de transformer des expressions. Le développement est l'une de ces transformations clés : il s'agit de convertir un **produit** de facteurs en une **somme** de termes. C'est une compétence fondamentale qui vous sera utile tout au long de votre scolarité. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un polynôme ? Un **polynôme** est une expression mathématique composée de variables (généralement notées \( x \), \( y \), etc.), de constantes et d'opérations d'addition, de soustraction et de multiplication. Les variables dans un polynôme ne peuvent avoir que des exposants entiers positifs ou nuls. Voici un exemple de polynôme : \[ P(x) = 3x^2 + 2x - 5 \] Les termes \( 3x^2 \), \( 2x \) et \( -5 \) sont les **monômes** qui composent le polynôme. #### Le Développement : Transformer un produit en une somme Développer une expression littérale, c'est utiliser les règles de la distributivité pour transformer une multiplication en une addition ou une soustraction de plusieurs termes. L'objectif est de « dérouler » les parenthèses. #### Distributivité Simple La distributivité simple s'applique lorsqu'un facteur multiplie une somme ou une différence entre parenthèses. Chaque terme à l'intérieur de la parenthèse est multiplié par le facteur extérieur. La formule générale est : \[ k(a+b) = ka + kb \] et aussi : \[ k(a-b) = ka - kb \] #### Double Distributivité La double distributivité est utilisée lorsque nous multiplions deux parenthèses ensemble, chacune contenant au moins deux termes. Chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse. La formule générale est : \[ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd \] #### Les Identités Remarquables Les identités remarquables sont des cas particuliers de double distributivité qui reviennent très souvent. Les connaître par cœur permet de gagner du temps et d'éviter les erreurs. Il y en a trois principales à maîtriser : 1. **Carré d'une somme :** \[ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2 \] 2. **Carré d'une différence :** \[ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - 2ab + b^2 \] 3. **Produit d'une somme par une différence :** \[ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \] Ces formules sont extrêmement importantes et sont la base de nombreuses transformations en algèbre. ### Vocabulaire * **Polynôme :** Expression algébrique formée de la somme de plusieurs monômes. * **Développement :** Opération consistant à transformer un produit en une somme. * **Terme :** Partie d'une expression séparée par une addition ou une soustraction. * **Distributivité :** Propriété de la multiplication par rapport à l'addition ou la soustraction. * **Identité remarquable :** Égalité vraie pour toutes les valeurs des variables, utilisée pour développer ou factoriser rapidement certaines expressions. * **Coefficient :** Le nombre qui multiplie une variable ou une puissance de variable dans un terme (ex: 3 est le coefficient de \( x^2 \) dans \( 3x^2 \)). ### Exemples Voici quelques exemples pour illustrer les méthodes de développement : #### Exemple 1 : Distributivité simple Développer l'expression \( A = 3(2x+5) \) \( A = 3 imes 2x + 3 imes 5 \) \( A = 6x + 15 \) #### Exemple 2 : Double distributivité Développer l'expression \( B = (x+3)(2x-1) \) \( B = x imes 2x + x imes (-1) + 3 imes 2x + 3 imes (-1) \) \( B = 2x^2 - x + 6x - 3 \) \( B = 2x^2 + 5x - 3 \) #### Exemple 3 : Identité remarquable (Carré d'une somme) Développer l'expression \( C = (x+4)^2 \) En utilisant la formule \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) avec \( a=x \) et \( b=4 \) : \( C = x^2 + 2 imes x imes 4 + 4^2 \) \( C = x^2 + 8x + 16 \) #### Exemple 4 : Identité remarquable (Carré d'une différence) Développer l'expression \( D = (2x-3)^2 \) En utilisant la formule \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) avec \( a=2x \) et \( b=3 \) : \( D = (2x)^2 - 2 imes 2x imes 3 + 3^2 \) \( D = 4x^2 - 12x + 9 \) #### Exemple 5 : Identité remarquable (Produit d'une somme par une différence) Développer l'expression \( E = (5x-2)(5x+2) \) En utilisant la formule \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) avec \( a=5x \) et \( b=2 \) : \( E = (5x)^2 - 2^2 \) \( E = 25x^2 - 4 \) ### Exercices Développez et réduisez les expressions suivantes : 1. \( A = 4(3x-7) \) 2. \( B = -2x(x^2+5) \) 3. \( C = (x+5)(x+2) \) 4. \( D = (3x-1)(2x+4) \) 5. \( E = (x+6)^2 \) 6. \( F = (4x-3)^2 \) 7. \( G = (7x-1)(7x+1) \) ### Devoirs Pour la prochaine séance, veuillez développer et réduire les expressions suivantes. Montrez toutes les étapes de votre calcul : 1. \( H = 5(2x^2 - 3x + 1) \) 2. \( I = (2x+3)(5x-2) \) 3. \( J = (4x-5)^2 \) 4. \( K = (rac{x}{2} + 3)^2 \) 5. \( L = (\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 3) \) 6. **Problème :** Un terrain rectangulaire a pour longueur \( (2x+5) \) mètres et pour largeur \( (x-1) \) mètres. Exprimez l'aire de ce terrain en fonction de \( x \) sous forme développée et réduite. ### Résumé Le développement est l'art de transformer un produit en une somme. Nous avons exploré trois méthodes principales : * **La distributivité simple** (un terme multiplié par une parenthèse). * **La double distributivité** (une parenthèse multipliée par une autre). * **Les trois identités remarquables** : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) et \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). Après chaque développement, il est crucial de **réduire** l'expression en regroupant les termes de même nature. Maîtriser le développement est une étape essentielle pour manipuler et simplifier des expressions algébriques plus complexes. Entraînez-vous régulièrement pour bien ancrer ces compétences ! ## Simplification des fractions rationnelles ### Introduction Bienvenue à cette séance sur la simplification des fractions rationnelles! En mathématiques, notamment en algèbre, nous rencontrons souvent des expressions qui peuvent sembler complexes. Les fractions rationnelles, qui sont des quotients de polynômes, en font partie. Apprendre à les simplifier est une compétence essentielle qui vous permettra de travailler plus efficacement avec ces expressions, de résoudre des équations et d'interpréter des fonctions. L'objectif de cette leçon est de comprendre ce qu'est une fraction rationnelle, d'identifier les valeurs pour lesquelles elle est définie, et surtout, d'acquérir les techniques de factorisation nécessaires pour simplifier ces fractions à leur forme la plus irréductible. ### Concepts clés #### 1. Définition d'une fraction rationnelle Une **fraction rationnelle** est une expression mathématique de la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} \), où \( P(x) \) et \( Q(x) \) sont des polynômes, et \( Q(x) \) n'est pas le polynôme nul. * **Numérateur:** Le polynôme \( P(x) \) est le numérateur de la fraction. * **Dénominateur:** Le polynôme \( Q(x) \) est le dénominateur de la fraction. Exemples: * \( \frac{3x+1}{x-2} \) * \( \frac{x^2+5x-3}{x^3-1} \) * \( \frac{4}{x} \) (ici \( P(x)=4 \) est un polynôme constant) #### 2. Condition d'existence et valeurs interdites Une fraction rationnelle n'est définie que si son dénominateur n'est pas nul. Les valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro sont appelées les **valeurs interdites**. Pour trouver les valeurs interdites, il faut résoudre l'équation \( Q(x) = 0 \). Exemple: Pour la fraction \( \frac{3x+1}{x-2} \), le dénominateur est \( x-2 \). Nous résolvons \( x-2 = 0 \), ce qui donne \( x=2 \). Donc, \( x=2 \) est une valeur interdite. La fraction est définie pour tout \( x \neq 2 \). #### 3. Méthodes de simplification Simplifier une fraction rationnelle consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs, pour obtenir une fraction équivalente avec un numérateur et un dénominateur de degrés inférieurs (si possible). Les étapes pour simplifier une fraction rationnelle sont généralement les suivantes: 1. **Factoriser le numérateur et le dénominateur:** C'est l'étape la plus cruciale. Pour cela, vous devrez utiliser les techniques de factorisation que vous connaissez: * **Mise en évidence d'un facteur commun:** Si un terme est commun à tous les éléments du polynôme. Exemple: \( 2x+4 = 2(x+2) \) * **Utilisation des identités remarquables:** * \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \) * \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \) * \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) Exemple: \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \) * **Factorisation de trinômes du second degré** (si vous avez déjà vu cette méthode). 2. **Identifier les valeurs interdites:** Déterminer les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur *initial*. 3. **Simplifier en annulant les facteurs communs:** Une fois que le numérateur et le dénominateur sont factorisés, vous pouvez diviser par les facteurs qui apparaissent à la fois en haut et en bas. #### 4. Règles de signe utiles Lors de la simplification, il est parfois utile de se souvenir des règles de signe et de la relation \( -(a-b) = b-a \). * \( \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B} \) * \( \frac{-A}{-B} = \frac{A}{B} \) * \( (x-a) \) et \( (a-x) \) sont des opposés. Donc, \( (a-x) = -(x-a) \). ### Vocabulaire * **Fraction rationnelle:** Quotient de deux polynômes, \( \frac{P(x)}{Q(x)} \). * **Polynôme:** Expression mathématique composée de termes où la variable a des exposants entiers non négatifs (ex: \( x^2+2x-3 \)). * **Numérateur:** Partie supérieure d'une fraction.\( P(x) \). * **Dénominateur:** Partie inférieure d'une fraction. \( Q(x) \). * **Factorisation:** Processus d'écriture d'une expression comme un produit de facteurs. * **Facteur commun:** Expression qui divise plusieurs termes d'un polynôme. * **Identité remarquable:** Formule algébrique qui permet de factoriser ou de développer rapidement certaines expressions. * **Valeurs interdites:** Valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur d'une fraction rationnelle est nul, rendant la fraction non définie. ### Exemples **Exemple 1: Factorisation par facteur commun simple** Simplifier \( A(x) = \frac{2x+6}{x+3} \). 1. **Factorisation:** * Numérateur: \( 2x+6 = 2(x+3) \) * Dénominateur: \( x+3 \) (déjà factorisé) 2. **Valeurs interdites:** \( x+3=0 \Rightarrow x=-3 \). La fraction est définie pour \( x \neq -3 \). 3. **Simplification:** \[ A(x) = \frac{2(x+3)}{x+3} = 2 \] Pour \( x \neq -3 \). **Exemple 2: Utilisation d'une identité remarquable** Simplifier \( B(x) = \frac{x^2-16}{x-4} \). 1. **Factorisation:** * Numérateur: \( x^2-16 = (x-4)(x+4) \) (identité remarquable \( a^2-b^2 \)) * Dénominateur: \( x-4 \) 2. **Valeurs interdites:** \( x-4=0 \Rightarrow x=4 \). La fraction est définie pour \( x \neq 4 \). 3. **Simplification:** \[ B(x) = \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4 \] Pour \( x \neq 4 \). **Exemple 3: Combinaison de techniques** Simplifier \( C(x) = \frac{x^2+3x}{x^2-9} \). 1. **Factorisation:** * Numérateur: \( x^2+3x = x(x+3) \) (facteur commun \( x \)) * Dénominateur: \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \) (identité remarquable \( a^2-b^2 \)) 2. **Valeurs interdites:** \( x^2-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=3 \) ou \( x=-3 \). La fraction est définie pour \( x \neq 3 \) et \( x \neq -3 \). 3. **Simplification:** \[ C(x) = \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x}{x-3} \] Pour \( x \neq 3 \) et \( x \neq -3 \). **Exemple 4: Utilisation de \( (a-x) = -(x-a) \)** Simplifier \( D(x) = \frac{2x-4}{2-x} \). 1. **Factorisation:** * Numérateur: \( 2x-4 = 2(x-2) \) * Dénominateur: \( 2-x = -(x-2) \) 2. **Valeurs interdites:** \( 2-x=0 \Rightarrow x=2 \). La fraction est définie pour \( x \neq 2 \). 3. **Simplification:** \[ D(x) = \frac{2(x-2)}{-(x-2)} = -2 \] Pour \( x \neq 2 \). ### Exercices Simplifiez les fractions rationnelles suivantes en précisant leurs valeurs interdites: 1. \( E(x) = \frac{5x-15}{x-3} \) 2. \( F(x) = \frac{x^2-4}{x+2} \) 3. \( G(x) = \frac{3x+3}{x^2+x} \) 4. \( H(x) = \frac{x-5}{25-x^2} \) 5. \( I(x) = \frac{x^2+6x+9}{x+3} \) ### Devoir à la maison Simplifiez les expressions suivantes. N'oubliez pas de déterminer les valeurs interdites pour chaque fraction. 1. \( J(x) = \frac{4x^2-1}{2x-1} \) 2. \( K(x) = \frac{x^2-5x}{2x-10} \) 3. \( L(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x^2-4} \) 4. \( M(x) = \frac{x^2-7x+10}{x-5} \) (Indice: Factorisez le numérateur comme un trinôme du second degré) 5. \( N(x) = \frac{3-x}{x^2-9} \) ### Résumé Pour simplifier une fraction rationnelle \( \frac{P(x)}{Q(x)} \): 1. **Trouvez les valeurs interdites:** Identifiez les valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur \( Q(x) \) est nul. 2. **Factorisez** entièrement le numérateur \( P(x) \) et le dénominateur \( Q(x) \). 3. **Simplifiez** la fraction en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. La simplification des fractions rationnelles est une compétence fondamentale en algèbre. La maîtrise de la factorisation est la clé du succès. Continuez à pratiquer ces méthodes pour les rendre naturelles et rapides! ## Simplification des fractions rationnelles ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la simplification des fractions rationnelles ! Après avoir exploré le calcul littéral et les polynômes, nous allons maintenant nous pencher sur des expressions qui ressemblent à des fractions, mais dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Apprendre à les simplifier est une compétence essentielle en mathématiques, car cela permet de travailler avec des expressions plus maniables et de résoudre des problèmes plus facilement. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ? Une **fraction rationnelle** est une expression mathématique qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux polynômes \( P(x) \) et \( Q(x) \), où \( Q(x) \) n'est pas le polynôme nul. On l'écrit généralement ainsi : \[ F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \] Par exemple, \( \frac{3x+1}{x^2-4} \) est une fraction rationnelle. #### Domaine de définition d'une fraction rationnelle Il est crucial de se rappeler qu'une division par zéro est impossible. Par conséquent, une fraction rationnelle n'est définie que lorsque son dénominateur est non nul. L'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur est différent de zéro s'appelle le **domaine de définition** de la fraction. Pour trouver le domaine de définition, on doit résoudre l'équation \( Q(x) = 0 \) et exclure ces valeurs de l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \). #### Factorisation : la clé de la simplification La simplification des fractions rationnelles repose entièrement sur la **factorisation** des polynômes au numérateur et au dénominateur. Les techniques de factorisation que vous avez déjà apprises sont essentielles ici : * **Facteur commun :** Identifier un terme commun à tous les membres du polynôme. * Exemple : \( 3x^2 + 6x = 3x(x+2) \) * **Identités remarquables :** Utiliser les formules suivantes : * \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) * \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) * \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) #### Processus de simplification Pour simplifier une fraction rationnelle, suivez ces étapes : 1. **Déterminer le domaine de définition** de la fraction en identifiant les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur. 2. **Factoriser** entièrement le numérateur et le dénominateur. 3. **Identifier les facteurs communs** entre le numérateur et le dénominateur. 4. **Simplifier** la fraction en barrant les facteurs communs (c'est-à-dire en les divisant l'un par l'autre, ce qui donne 1). **Important :** La simplification n'est valable que sur le domaine de définition de la fraction originale. ### Vocabulaire * **Fraction rationnelle :** Un quotient de deux polynômes. * **Numérateur :** Le polynôme situé au-dessus de la barre de fraction. * **Dénominateur :** Le polynôme situé en-dessous de la barre de fraction. * **Polynôme :** Une expression composée de variables et de coefficients, n'impliquant que les opérations d'addition, soustraction, multiplication et des exposants entiers non négatifs des variables. * **Factorisation :** L'action de transformer une somme ou une différence en un produit. * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une expression est définie (en l'occurrence, le dénominateur est non nul). * **Simplification :** Réduire une expression à sa forme la plus simple en éliminant les facteurs communs. ### Exemples Simplifions les fractions rationnelles suivantes : #### Exemple 1 Simplifier \( \frac{2x+4}{x+2} \) 1. **Domaine de définition :** \( x+2 \ne 0 \implies x \ne -2 \). Le domaine est \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). 2. **Factorisation :** * Numérateur : \( 2x+4 = 2(x+2) \) * Dénominateur : \( x+2 \) est déjà factorisé. 3. **Facteurs communs :** \( (x+2) \) 4. **Simplification :** \[ \frac{2x+4}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x+2} = 2 \] La simplification est valable pour \( x \ne -2 \). #### Exemple 2 Simplifier \( \frac{x^2-9}{x-3} \) 1. **Domaine de définition :** \( x-3 \ne 0 \implies x \ne 3 \). Le domaine est \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \). 2. **Factorisation :** * Numérateur : \( x^2-9 \) est une identité remarquable de type \( a^2-b^2 \). Donc \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \). * Dénominateur : \( x-3 \) est déjà factorisé. 3. **Facteurs communs :** \( (x-3) \) 4. **Simplification :** \[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \] La simplification est valable pour \( x \ne 3 \). #### Exemple 3 Simplifier \( \frac{x^2+2x}{x^2-4} \) 1. **Domaine de définition :** \( x^2-4 \ne 0 \implies (x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne 2 \text{ et } x \ne -2 \). Le domaine est \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \). 2. **Factorisation :** * Numérateur : \( x^2+2x = x(x+2) \) * Dénominateur : \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \) (identité remarquable). 3. **Facteurs communs :** \( (x+2) \) 4. **Simplification :** \[ \frac{x^2+2x}{x^2-4} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x-2} \] La simplification est valable pour \( x \ne 2 \text{ et } x \ne -2 \). ### Exercices Simplifiez les fractions rationnelles suivantes en précisant leur domaine de définition : 1. \( \frac{5x-10}{x-2} \) 2. \( \frac{x^2-16}{x+4} \) 3. \( \frac{3x^2+9x}{x^2-9} \) 4. \( \frac{x^2-6x+9}{x-3} \) (Indice : Pensez à une identité remarquable au numérateur) ### Devoirs Pour vous entraîner davantage, simplifiez les expressions suivantes en suivant la méthode apprise en classe : 1. \( \frac{4x^2-8x}{2x} \) 2. \( \frac{y^2-25}{y-5} \) 3. \( \frac{a^2+4a+4}{a+2} \) 4. \( \frac{2x^2-18}{x^2+3x} \) 5. \( \frac{(x+1)(x-2)}{x^2-4x+4} \) N'oubliez pas d'indiquer le domaine de définition pour chaque simplification. ### Résumé Félicitations ! Vous avez maintenant une meilleure compréhension de la simplification des fractions rationnelles. Retenez les points clés suivants : * Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. * Son domaine de définition exclut toutes les valeurs qui annulent le dénominateur. * La **factorisation** est l'outil principal pour simplifier ces fractions. * Le processus implique de factoriser le numérateur et le dénominateur, puis d'annuler les facteurs communs. * La simplification est valide uniquement sur le domaine de définition de la fraction originale. En maîtrisant ces étapes, vous pourrez manipuler les expressions algébriques avec plus d'aisance et résoudre des problèmes plus complexes. Continuez à pratiquer ! ## Équations dont la résolution se ramène à celle d’équations du premier degré dans IR ### Introduction Dans la continuité de notre travail sur le calcul littéral, nous allons apprendre à résoudre des équations qui, à première vue, ne semblent pas être du premier degré. L'objectif est de les transformer astucieusement pour les ramener à des équations que nous savons déjà résoudre : les équations du premier degré. Cela nous permettra de maîtriser une plus grande variété de problèmes mathématiques. ### Concepts Clés #### 1. Rappel : Équations du premier degré Une équation du premier degré est une équation de la forme \(ax + b = 0\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et \(a \neq 0\). Sa résolution est directe : \[ ax + b = 0 \] \[ ax = -b \] \[ x = -\frac{b}{a} \] **Exemple :** Résoudre \(3x - 6 = 0\) \(3x = 6\) \(x = \frac{6}{3}\) \(x = 2\) La solution est \(2\). #### 2. Équations produits nuls Une équation produit nul est une équation de la forme \(A(x) \times B(x) = 0\), où \(A(x)\) et \(B(x)\) sont des expressions littérales. **Propriété fondamentale :** Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. Donc, l'équation \(A(x) \times B(x) = 0\) est équivalente à résoudre : \(A(x) = 0\) **ou** \(B(x) = 0\) **Méthode de résolution :** 1. S'assurer que l'équation est bien sous la forme d'un produit égal à zéro (si ce n'est pas le cas, factoriser ou développer pour arriver à cette forme). 2. Égaler chaque facteur à zéro. 3. Résoudre chaque équation du premier degré obtenue. 4. Les solutions de l'équation produit nul sont l'ensemble de toutes les solutions trouvées. #### 3. Équations avec des quotients (valeurs interdites) Une équation avec un quotient est de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \). **Condition d'existence :** La division par zéro est impossible. Par conséquent, le dénominateur \(B(x)\) ne doit jamais être nul. Il faut donc déterminer les **valeurs interdites** pour \(x\) en résolvant \(B(x) = 0\). **Propriété fondamentale :** Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Donc, l'équation \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \) est équivalente à : \(A(x) = 0\) **et** \(B(x) \neq 0\) **Méthode de résolution :** 1. Déterminer les valeurs interdites en résolvant \(B(x) = 0\). 2. Résoudre l'équation du numérateur \(A(x) = 0\). 3. Vérifier que les solutions obtenues ne sont pas des valeurs interdites. Si une solution est une valeur interdite, elle doit être exclue de l'ensemble des solutions. #### 4. Équations se ramenant à un produit nul (via identités remarquables) Certaines équations ne sont pas directement des produits nuls, mais peuvent le devenir par factorisation, souvent à l'aide des identités remarquables : * \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) * \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) * \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) **Cas particulier :** Équations de la forme \(x^2 = k\) * Si \(k > 0\), alors l'équation a deux solutions : \(x = \sqrt{k}\) ou \(x = -\sqrt{k}\). * Si \(k = 0\), alors l'équation a une seule solution : \(x = 0\). * Si \(k < 0\), alors l'équation n'a aucune solution réelle. **Exemple de transformation :** Résoudre \( (x+3)^2 = 4 \) On peut écrire \( (x+3)^2 - 4 = 0 \). C'est de la forme \(a^2 - b^2\) avec \(a = (x+3)\) et \(b = 2\). Donc, \( ((x+3) - 2)((x+3) + 2) = 0 \) Ce qui donne \( (x+1)(x+5) = 0 \). C'est une équation produit nul. #### 5. Mise en équation d'un problème Pour résoudre un problème, il est souvent nécessaire de le traduire en langage mathématique, c'est-à-dire de le mettre en équation. Les étapes sont : 1. **Choix de l'inconnue :** Identifier la quantité recherchée et la désigner par une lettre (souvent \(x\)). 2. **Mise en équation :** Écrire une égalité traduisant les informations du problème en utilisant l'inconnue. 3. **Résolution :** Résoudre l'équation obtenue. 4. **Vérification et interprétation :** Vérifier si la solution a du sens dans le contexte du problème et formuler la réponse. ### Vocabulaire * **Équation :** Une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. * **Inconnue :** La lettre (souvent \(x\)) dont on cherche la valeur dans une équation. * **Solution :** La ou les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. * **Produit nul :** Un produit dont la valeur est zéro. * **Valeur interdite :** Une valeur que l'inconnue ne peut pas prendre car elle rendrait une expression (souvent un dénominateur) nulle. * **Factorisation :** Transformer une somme ou une différence en un produit. * **Identité remarquable :** Formules algébriques utiles pour factoriser ou développer des expressions. ### Exemples #### Exemple 1 : Équation produit nul Résoudre \((2x - 3)(x + 5) = 0\) Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. \(2x - 3 = 0\) ou \(x + 5 = 0\) \(2x = 3\) ou \(x = -5\) \(x = \frac{3}{2}\) ou \(x = -5\) Les solutions sont \( \frac{3}{2} \) et \(-5\). #### Exemple 2 : Équation de la forme \(x^2 = k\) Résoudre \(x^2 - 9 = 0\) On peut écrire \(x^2 = 9\). Comme \(9 > 0\), il y a deux solutions : \(x = \sqrt{9}\) ou \(x = -\sqrt{9}\) \(x = 3\) ou \(x = -3\) Les solutions sont \(3\) et \(-3\). Alternativement, on utilise l'identité remarquable \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) : \(x^2 - 3^2 = 0\) \((x - 3)(x + 3) = 0\) \(x - 3 = 0\) ou \(x + 3 = 0\) \(x = 3\) ou \(x = -3\) #### Exemple 3 : Équation avec un quotient Résoudre \( \frac{x+1}{x-2} = 0 \) 1. **Valeur interdite :** Le dénominateur \(x-2\) ne doit pas être nul. \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). Donc, \(2\) est une valeur interdite. 2. **Résolution du numérateur :** Le numérateur doit être nul. \(x + 1 = 0 \implies x = -1\). 3. **Vérification :** La solution \(x = -1\) n'est pas la valeur interdite \(2\). La solution est \(-1\). #### Exemple 4 : Équation à transformer Résoudre \((x+3)^2 = 4\) On réécrit l'équation pour la ramener à un produit nul : \((x+3)^2 - 4 = 0\) \((x+3)^2 - 2^2 = 0\) On utilise l'identité remarquable \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) avec \(a = (x+3)\) et \(b = 2\). \(((x+3) - 2)((x+3) + 2) = 0\) \((x+1)(x+5) = 0\) C'est une équation produit nul : \(x+1 = 0\) ou \(x+5 = 0\) \(x = -1\) ou \(x = -5\) Les solutions sont \(-1\) et \(-5\). ### Exercices Résolvez les équations suivantes : 1. \((3x + 1)(x - 4) = 0\) 2. \(x^2 - 25 = 0\) 3. \( \frac{2x-6}{x+1} = 0 \) 4. \((x-5)^2 = 9\) ### Devoir Maison Résolvez les équations et le problème suivants : 1. \((4x - 2)(2x + 8) = 0\) 2. \( (x+1)^2 - 16 = 0 \) 3. \( \frac{5x+10}{x-3} = 0 \) 4. **Problème :** Un rectangle a une longueur de \(x+5\) cm et une largeur de \(x-2\) cm. Son aire est de \(24\) cm². Détermine les dimensions du rectangle. *Aide : L'aire d'un rectangle est Longueur \( \times \) Largeur.* ### Résumé Pour résoudre des équations qui ne sont pas directement du premier degré, nous avons vu plusieurs techniques : * **Équations produits nuls :** Si \(A(x) \times B(x) = 0\), alors \(A(x) = 0\) ou \(B(x) = 0\). * **Équations avec quotients :** Si \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \), alors \(A(x) = 0\) **et** \(B(x) \neq 0\). Il faut toujours identifier et exclure les **valeurs interdites**. * **Équations avec des carrés :** Soit en utilisant la propriété \(x^2 = k\), soit en factorisant à l'aide des **identités remarquables** (notamment \(a^2 - b^2\)) pour les ramener à des équations produits nuls. Ces méthodes permettent de ramener la résolution à celle d'équations du premier degré, que nous maîtrisons déjà.