Fonctions (suite et fin)

# Fonctions (suite et fin) ## Ensemble de définition, sens de variation et courbe des fonctions qui à x associe ax+b; affines par intervalle et des fonctions usuelles ### Introduction Bienvenue à cette dernière partie de notre chapitre sur les fonctions! Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des fonctions en explorant trois aspects fondamentaux : l'**ensemble de définition** (pour quelles valeurs de x une fonction existe-t-elle?), le **sens de variation** (comment la fonction évolue-t-elle quand x augmente?) et la **représentation graphique** (comment visualiser la fonction?). Nous nous concentrerons particulièrement sur les fonctions affines, les fonctions affines par intervalle, et quelques fonctions usuelles essentielles. Préparez-vous à consolider vos connaissances pour mieux analyser et interpréter le comportement des fonctions! ### Concepts Clés #### 1. L'Ensemble de Définition d'une Fonction L'ensemble de définition d'une fonction \( f \) (noté \( D_f \)) est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles le calcul de \( f(x) \) est possible. Autrement dit, ce sont toutes les valeurs de \( x \) qui ont une image par \( f \). * **Règles fondamentales pour déterminer \( D_f \):** * **Fonctions polynomiales (comme \( f(x) = ax+b \) ou \( f(x) = x^2 \)):** Elles sont définies pour tous les nombres réels. Leur ensemble de définition est \( \mathbb{R} \) ou \( ]-\infty; +\infty[ \). * **Fonctions avec un dénominateur (quotient de fonctions):** Le dénominateur ne doit jamais être égal à zéro. Vous devez exclure les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur. * Exemple: Pour \( f(x) = \frac{1}{x-2} \), \( x-2 \neq 0 \) donc \( x \neq 2 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \) ou \( ]-\infty; 2[ \cup ]2; +\infty[ \). * **Fonctions avec une racine carrée:** L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle (\( \geq 0 \)). * Exemple: Pour \( f(x) = \sqrt{x+3} \), \( x+3 \geq 0 \) donc \( x \geq -3 \). \( D_f = [-3; +\infty[ \). #### 2. Le Sens de Variation d'une Fonction Le sens de variation décrit comment la valeur de \( f(x) \) change lorsque \( x \) augmente. Une fonction peut être croissante, décroissante ou constante sur un intervalle donné. * **Définitions :** * **Fonction croissante:** Sur un intervalle \( I \), si pour tous \( a, b \in I \) tels que \( a < b \), on a \( f(a) \leq f(b) \). Graphiquement, la courbe monte de gauche à droite. * **Fonction strictement croissante:** Si pour tous \( a, b \in I \) tels que \( a < b \), on a \( f(a) < f(b) \). * **Fonction décroissante:** Sur un intervalle \( I \), si pour tous \( a, b \in I \) tels que \( a < b \), on a \( f(a) \geq f(b) \). Graphiquement, la courbe descend de gauche à droite. * **Fonction strictement décroissante:** Si pour tous \( a, b \in I \) tels que \( a < b \), on a \( f(a) > f(b) \). * **Fonction constante:** Sur un intervalle \( I \), si pour tous \( a, b \in I \), on a \( f(a) = f(b) \). Graphiquement, la courbe est une ligne horizontale. * **Tableau de variation:** Un tableau qui résume le sens de variation d'une fonction sur ses différents intervalles de définition. #### 3. Fonctions Affines et leur Courbe Une fonction affine est une fonction de la forme \( f(x) = ax+b \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels. * **Représentation graphique:** La courbe représentative d'une fonction affine est une **droite**. * **Coefficient directeur (pente) \( a \):** * Si \( a > 0 \), la fonction est **strictement croissante**. * Si \( a < 0 \), la fonction est **strictement décroissante**. * Si \( a = 0 \), la fonction est **constante** (\( f(x) = b \), droite horizontale). * **Ordonnée à l'origine \( b \):** C'est la valeur de \( f(0) \). Elle représente l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe \( y \)). #### 4. Fonctions Affines par Intervalle Une fonction affine par intervalle est une fonction dont l'expression change selon l'intervalle où se trouve \( x \). Sa représentation graphique est une succession de segments de droite. * **Exemple:** \( f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ -x+3 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \) Pour tracer une telle fonction, on trace chaque partie de la fonction sur son intervalle respectif. #### 5. Fonctions Usuelles (Révisions) ##### a. Fonction Carré: \( f(x) = x^2 \) * **Ensemble de définition:** \( D_f = \mathbb{R} \). * **Sens de variation:** * Strictement décroissante sur \( ]-\infty; 0] \). * Strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \). * **Courbe représentative:** Une **parabole** dont le sommet est l'origine \( (0,0) \) et dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. * **Parité:** C'est une fonction paire, car \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \). ##### b. Fonction Inverse: \( f(x) = \frac{1}{x} \) * **Ensemble de définition:** \( D_f = \mathbb{R}^* \) (c'est-à-dire \( ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[ \)). \( x \) ne peut pas être nul. * **Sens de variation:** * Strictement décroissante sur \( ]-\infty; 0[ \). * Strictement décroissante sur \( ]0; +\infty[ \). * **Courbe représentative:** Une **hyperbole** ayant l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées comme asymptotes. * **Parité:** C'est une fonction impaire, car \( f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x) \). ##### c. Fonction Racine Carrée: \( f(x) = \sqrt{x} \) * **Ensemble de définition:** \( D_f = [0; +\infty[ \) (\( x \) doit être positif ou nul). * **Sens de variation:** Strictement croissante sur \( [0; +\infty[ \). * **Courbe représentative:** C'est une partie de la parabole \( y=x^2 \) (celle qui est au-dessus de l'axe des abscisses) tournée sur le côté. Elle part de l'origine \( (0,0) \). ### Vocabulaire * **Ensemble de définition (\( D_f \)):** L'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est définie. * **Sens de variation:** La manière dont \( f(x) \) change (augmente ou diminue) quand \( x \) augmente. * **Fonction croissante:** La courbe monte. * **Fonction décroissante:** La courbe descend. * **Fonction constante:** La courbe est horizontale. * **Fonction affine:** Fonction de la forme \( f(x) = ax+b \), dont la courbe est une droite. * **Coefficient directeur (pente):** Le nombre \( a \) dans \( ax+b \), qui indique l'inclinaison de la droite. * **Ordonnée à l'origine:** Le nombre \( b \) dans \( ax+b \), qui est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. * **Fonction affine par intervalle:** Fonction définie par différentes expressions affines sur différents intervalles. * **Fonction carré:** \( f(x) = x^2 \), dont la courbe est une parabole. * **Fonction inverse:** \( f(x) = \frac{1}{x} \), dont la courbe est une hyperbole. * **Fonction racine carrée:** \( f(x) = \sqrt{x} \). * **Parabole:** Courbe représentative de la fonction carré. * **Hyperbole:** Courbe représentative de la fonction inverse. ### Exemples #### Exemple 1: Détermination de l'Ensemble de Définition Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes : 1. \( f(x) = -3x + 7 \) * C'est une fonction affine (polynomiale), donc \( D_f = \mathbb{R} \). 2. \( g(x) = \frac{2x+1}{x-5} \) * Le dénominateur ne peut pas être nul: \( x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 \). Donc \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{5\} \). 3. \( h(x) = \sqrt{4-x} \) * L'expression sous la racine doit être positive ou nulle: \( 4-x \geq 0 \implies 4 \geq x \implies x \leq 4 \). Donc \( D_h = ]-\infty; 4] \). #### Exemple 2: Sens de Variation et Tracé d'une Fonction Affine Soit la fonction \( f(x) = -2x + 4 \). * **Sens de variation:** Le coefficient directeur est \( a = -2 \). Puisque \( a < 0 \), la fonction \( f \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \). * **Tracé:** C'est une droite. Nous avons besoin de deux points. * Pour \( x = 0 \), \( f(0) = -2(0)+4 = 4 \). Point \( (0, 4) \). * Pour \( x = 2 \), \( f(2) = -2(2)+4 = 0 \). Point \( (2, 0) \). Reliez ces deux points pour tracer la droite. #### Exemple 3: Fonction Affine par Intervalle Soit la fonction \( g(x) = \begin{cases} x+2 & \text{si } x < 1 \\ -x+4 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \) * Pour \( x < 1 \): \( g(x) = x+2 \) * Prenons \( x = 0 \), \( g(0) = 2 \). Point \( (0, 2) \). * Prenons \( x = 1 \) (limite de l'intervalle), \( g(1) = 1+2 = 3 \). Point \( (1, 3) \) (à indiquer par un cercle vide si \( x \) n'était pas inclus, ici non). * Pour \( x \geq 1 \): \( g(x) = -x+4 \) * Prenons \( x = 1 \), \( g(1) = -1+4 = 3 \). Point \( (1, 3) \) (ce point relie les deux segments). * Prenons \( x = 3 \), \( g(3) = -3+4 = 1 \). Point \( (3, 1) \). Tracez le premier segment de \( (0,2) \) vers \( (1,3) \) et le second segment de \( (1,3) \) vers \( (3,1) \). #### Exemple 4: Propriétés des Fonctions Usuelles * **Fonction carré \( f(x)=x^2 \):** * \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \). \( f(3) = 3^2 = 9 \). La fonction n'est pas injective. * Minimum en \( x=0 \), \( f(0)=0 \). * **Fonction inverse \( f(x)=1/x \):** * La valeur \( x=0 \) est interdite. La courbe s'approche des axes mais ne les touche jamais. * \( f(0.1) = 10 \), \( f(10) = 0.1 \). * **Fonction racine carrée \( f(x)=\sqrt{x} \):** * \( \sqrt{-4} \) n'existe pas dans \( \mathbb{R} \). * \( \sqrt{9} = 3 \), \( \sqrt{0} = 0 \). ### Exercices 1. **Ensemble de définition:** Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a. \( f(x) = 5x^2 - 2x + 1 \) b. \( g(x) = \frac{7}{2x+8} \) c. \( h(x) = \sqrt{5-2x} \) d. \( k(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}} \) 2. **Fonctions affines:** Pour chaque fonction affine, indiquez son sens de variation et tracez sa courbe sur l'intervalle \( [-3; 3] \). a. \( f(x) = 2x - 3 \) b. \( g(x) = -x + 5 \) c. \( h(x) = 4 \) 3. **Fonction affine par intervalle:** Tracez la fonction \( m(x) \) définie par : \( m(x) = \begin{cases} -2x+1 & \text{si } x < 0 \\ 3x+1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \) 4. **Fonctions usuelles:** Complétez le tableau de variation pour la fonction carré et la fonction inverse : | Fonction | Domaine | Variation sur \( ]-\infty; 0[ \) | Variation sur \( ]0; +\infty[ \) | |---|---|---|---| | \( f(x) = x^2 \) | | | | | \( f(x) = 1/x \) | | | | ### Devoirs 1. **Problème d'ensemble de définition:** Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production \( C(x) \) pour \( x \) objets est donné par \( C(x) = 0.5x^2 + 10x + 50 \). Le nombre d'objets fabriqués ne peut pas être négatif. Quel est l'ensemble de définition pertinent pour la fonction \( C \)? 2. **Analyse de fonction affine:** On donne la fonction \( f(x) = -\frac{1}{3}x + 2 \). a. Déterminez les coordonnées des points d'intersection de la droite avec les axes du repère. b. Sans tracer la courbe, déduisez le sens de variation de \( f \). c. Calculez \( f(-6) \) et \( f(9) \). 3. **Fonction avec valeur absolue:** La fonction valeur absolue est définie par \( |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \). Tracez la courbe de la fonction \( f(x) = |x| \) et décrivez son sens de variation. 4. **Comparaison de fonctions:** a. Donnez les images de \( -2, -1, 0, 1, 2 \) par la fonction carré \( f(x)=x^2 \) et par la fonction inverse \( g(x)=1/x \) (si définie). b. Expliquez pourquoi le sens de variation de la fonction inverse est le même sur \( ]-\infty; 0[ \) et sur \( ]0; +\infty[ \), mais que cela ne signifie pas qu'elle est décroissante sur \( \mathbb{R}^* \). ### Résumé Cette leçon nous a permis de finaliser notre exploration des concepts fondamentaux des fonctions. Nous avons appris à déterminer l'**ensemble de définition**, c'est-à-dire les valeurs de \( x \) pour lesquelles une fonction est calculable, en faisant attention aux dénominateurs nuls et aux racines d'expressions négatives. Nous avons également étudié le **sens de variation**, qui décrit si une fonction est croissante ou décroissante, et comment le visualiser avec un tableau de variation ou directement à partir de la pente pour les fonctions affines. Enfin, nous avons révisé et approfondi la compréhension des courbes des fonctions affines (des droites), des fonctions affines par intervalle (des segments de droite), et des fonctions usuelles clés comme la fonction carré (parabole), la fonction inverse (hyperbole) et la fonction racine carrée. Maîtriser ces concepts est essentiel pour toute analyse future de fonctions en mathématiques.