Notion de groupes

# Notion de groupes ## Loi de composition interne # Loi de composition interne\n\n## Introduction\nBienvenue à cette leçon sur la loi de composition interne, un concept fondamental en mathématiques qui ouvre la porte à la compréhension des structures algébriques comme les groupes. Nous allons découvrir ce qu'est une loi de composition interne, comment la reconnaître et pourquoi elle est si importante. C'est une notion clé pour comprendre comment les éléments d'un ensemble peuvent être combinés entre eux.\n\n## Concepts clés\n\n### Définition d'une loi de composition interne\nSoit \\( E \\) un ensemble non vide. On appelle **loi de composition interne** sur \\( E \\) toute opération qui, à deux éléments quelconques de \\( E \\) pris dans un certain ordre, associe un unique élément de \\( E \\).\nEn d'autres termes, si \\( \star \\) est une loi de composition interne sur \\( E \\), alors pour tous \\( a \\in E \\) et \\( b \\in E \\), le résultat \\( a \\star b \\) est aussi un élément de \\( E \\).\nOn peut la noter formellement comme une application :\n\\[ \\star : E \\times E \\to E \\\]\n\\[ (a, b) \\mapsto a \\star b \\\]\nLes symboles courants pour une loi de composition interne incluent \\( + \\) (addition), \\( \times \\) ou \\( \cdot \\) (multiplication), \\( \circ \\) (composition de fonctions), ou un symbole générique comme \\( \star \\) ou \\( \top \\).\n\n### Exemples et contre-exemples\n\n#### Exemples de lois de composition interne\n* **L'addition sur l'ensemble des nombres entiers naturels \\( \mathbb{N} \\)** : Pour tout \\( a, b \\in \\mathbb{N} \\), \\( a + b \\in \\mathbb{N} \\). Par exemple, \\( 3 + 5 = 8 \\), et \\( 3, 5, 8 \\in \\mathbb{N} \\).\n* **La multiplication sur l'ensemble des nombres réels \\( \mathbb{R} \\)** : Pour tout \\( a, b \\in \\mathbb{R} \\), \\( a \\times b \\in \\mathbb{R} \\). Par exemple, \\( \\sqrt{2} \\times \\pi \\approx 4.44 \\), et \\( \\sqrt{2}, \\pi, 4.44 \\in \\mathbb{R} \\).\n* **L'addition vectorielle sur l'ensemble des vecteurs du plan \\( V_2 \\)** : La somme de deux vecteurs du plan est toujours un vecteur du plan.\n* **La composition de fonctions sur l'ensemble des fonctions affines de \\( \mathbb{R} \\) dans \\( \mathbb{R} \\)** : Si \\( f(x) = ax+b \\) et \\( g(x) = cx+d \\), alors \\( (f \\circ g)(x) = f(g(x)) = a(cx+d)+b = acx+ad+b \\) est également une fonction affine.\n\n#### Contre-exemples (lois qui ne sont pas internes)\n* **La soustraction sur l'ensemble des nombres entiers naturels \\( \mathbb{N} \\)** : Pour certains \\( a, b \\in \\mathbb{N} \\), \\( a - b \\notin \\mathbb{N} \\). Par exemple, \\( 3 \\in \\mathbb{N} \\) et \\( 5 \\in \\mathbb{N} \\), mais \\( 3 - 5 = -2 \\) qui n'est pas un nombre naturel.\n* **La division sur l'ensemble des nombres entiers relatifs \\( \mathbb{Z} \\)** : Pour certains \\( a, b \\in \\mathbb{Z} \\) avec \\( b \\neq 0 \\), \\( a \\div b \\notin \\mathbb{Z} \\). Par exemple, \\( 3 \\in \\mathbb{Z} \\) et \\( 2 \\in \\mathbb{Z} \\), mais \\( 3 \\div 2 = 1.5 \\) qui n'est pas un entier relatif.\n\n### Propriétés des lois de composition interne (aperçu)\nUne loi de composition interne peut posséder diverses propriétés qui la rendent plus ou moins "structurée". Nous étudierons ces propriétés plus en détail dans les leçons futures, mais voici un aperçu des plus courantes :\n* **Commutativité** : Une loi \\( \star \\) est commutative si pour tous \\( a, b \\in E \\), \\( a \\star b = b \\star a \\).\n * Exemple : L'addition sur \\( \mathbb{R} \\) est commutative (\\( a+b = b+a \\)).\n * Contre-exemple : La soustraction n'est pas commutative (\\( 5-3 \\neq 3-5 \\)).\n* **Associativité** : Une loi \\( \star \\) est associative si pour tous \\( a, b, c \\in E \\), \\( (a \\star b) \\star c = a \\star (b \\star c) \\).\n * Exemple : La multiplication sur \\( \mathbb{R} \\) est associative (\\( (a \\times b) \\times c = a \\times (b \\times c) \\)).\n * Contre-exemple : La division n'est pas associative (\\( (8 \\div 4) \\div 2 = 2 \\div 2 = 1 \\) mais \\( 8 \\div (4 \\div 2) = 8 \\div 2 = 4 \\)).\n\n## Vocabulaire\n* **Ensemble** : Collection d'objets distincts.\n* **Loi de composition interne** : Opération qui, combinant deux éléments d'un ensemble, produit un résultat qui appartient également à cet ensemble.\n* **Opération** : Règle qui permet de combiner des éléments.\n* **Élément** : Objet qui fait partie d'un ensemble.\n* **Commutatif** : Propriété d'une loi où l'ordre des éléments n'affecte pas le résultat.\n* **Associatif** : Propriété d'une loi où le regroupement des éléments n'affecte pas le résultat lors de l'opération sur trois éléments ou plus.\n\n## Exemples pratiques\n\n1. **Sur l'ensemble \\( S = \\{0, 1\\} \\)** :\n On définit l'opération \\( \\oplus \\) (addition modulo 2) telle que \\( a \\oplus b \\) est le reste de la division de \\( a+b \\) par 2.\n * \\( 0 \\oplus 0 = 0 \\)\n * \\( 0 \\oplus 1 = 1 \\)\n * \\( 1 \\oplus 0 = 1 \\)\n * \\( 1 \\oplus 1 = 0 \\) (car \\( 1+1=2 \\) et le reste de \\( 2 \\div 2 \\) est 0).\n Tous les résultats \\( (0, 1, 0) \\) appartiennent à l'ensemble \\( S \\). Donc, \\( \\oplus \\) est une loi de composition interne sur \\( S \\).\n\n2. **Sur l'ensemble des nombres réels strictement positifs \\( \mathbb{R}^*_+ \\)** :\n Considérons la loi \\( \star \\) définie par \\( a \\star b = \\frac{a+b}{2} \\) (la moyenne arithmétique).\n Si \\( a, b \\in \\mathbb{R}^*_+ \\), alors \\( a > 0 \\) et \\( b > 0 \\), donc \\( a+b > 0 \\), et \\( \\frac{a+b}{2} > 0 \\).\n Ainsi, \\( a \\star b \\in \\mathbb{R}^*_+ \\). \\( \star \\) est bien une loi de composition interne sur \\( \mathbb{R}^*_+ \\).\n\n## Exercices\n\nPour chaque ensemble \\( E \\) et opération \\( \star \\) ci-dessous, déterminez si \\( \star \\) est une loi de composition interne sur \\( E \\). Justifiez votre réponse.\n\n1. \\( E = \\mathbb{Z} \\) (nombres entiers relatifs) et \\( a \\star b = a \\times b \\) (multiplication).\n2. \\( E = \\mathbb{R}_- \\) (nombres réels négatifs ou nuls) et \\( a \\star b = a + b \\) (addition).\n3. \\( E = \\mathbb{Q}^* \\) (nombres rationnels non nuls) et \\( a \\star b = a \\div b \\) (division).\n4. \\( E = \\{ \\text{polynômes de degré 2} \\} \\) et \\( a \\star b = a + b \\) (addition de polynômes).\n\n## Devoirs\n\n1. Soit l'ensemble \\( E = \\{0, 1, 2\\} \\). On définit l'opération \\( \\otimes \\) (multiplication modulo 3) telle que \\( a \\otimes b \\) est le reste de la division de \\( a \\times b \\) par 3. Construisez la table de cette opération et déterminez si \\( \\otimes \\) est une loi de composition interne sur \\( E \\).\n2. Considérez l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels, noté \\( M_2(\\mathbb{R}) \\).\n * L'addition matricielle est-elle une loi de composition interne sur \\( M_2(\\mathbb{R}) \\) ? Justifiez.\n * La multiplication matricielle est-elle une loi de composition interne sur \\( M_2(\\mathbb{R}) \\) ? Justifiez.\n3. Sur l'ensemble \\( \mathbb{Z} \\), on définit une loi \\( \\Delta \\) par \\( a \\Delta b = a+b-ab \\). Cette loi est-elle une loi de composition interne sur \\( \mathbb{Z} \\) ? Justifiez. Est-elle commutative ? Est-elle associative ?\n\n## Résumé\nDans cette leçon, nous avons exploré la notion de **loi de composition interne**. Nous avons appris qu'une loi est interne sur un ensemble \\( E \\) si, en combinant deux éléments quelconques de \\( E \\), le résultat reste toujours dans \\( E \\). Nous avons vu des exemples classiques comme l'addition et la multiplication sur les ensembles de nombres, ainsi que des contre-exemples où l'opération sort de l'ensemble de départ. Comprendre cette notion est la première étape essentielle pour aborder les structures algébriques plus complexes, comme les groupes, les anneaux et les corps, qui sont fondamentales en mathématiques. ## Groupe (abélien) ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la notion fondamentale de groupe en mathématiques. Les groupes sont des structures algébriques qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et de l'informatique. Comprendre ce qu'est un groupe, et en particulier un groupe abélien, est essentiel pour aborder des concepts plus avancés en algèbre abstraite. Nous allons définir précisément ces structures et explorer leurs propriétés à travers des exemples concrets. ### Concepts Clés #### 1. Loi de composition interne (LCI) Une loi de composition interne sur un ensemble non vide \( E \) est une opération qui, à deux éléments de \( E \), associe un unique élément de \( E \). En d'autres termes, si \( a omenclature{a}{un premier élément} omenclature{b}{un second élément} omenclature{E}{un ensemble} omenclature{\ast}{une opération} \) et \( b \) sont deux éléments de \( E \), alors le résultat de leur combinaison par la loi \( omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast \) (noté \( a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast b \)) doit également être un élément de \( E \). * **Notation:** On peut utiliser divers symboles pour une loi de composition interne, comme \( + \), \( imes \), \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \), ou \( omenclature{\bullet}{une opération} \bullet \). * **Exemple:** * L'addition sur l'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \) est une LCI car la somme de deux entiers est toujours un entier. * La soustraction sur \( \mathbb{N} \) (nombres naturels) n'est pas une LCI car \( 3 - 5 = -2 \), et \( -2 \notin \mathbb{N} \). #### 2. Définition d'un groupe Un ensemble non vide \( G \) muni d'une loi de composition interne \( omenclature{G}{un ensemble} omenclature{\ast}{une opération} \ast \) est appelé un groupe si les trois axiomes suivants sont vérifiés : ##### a. Associativité Pour tous les éléments \( a, b, c \) de \( G \), l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées n'a pas d'importance : \[ (a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast b) omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast c = a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast (b omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast c) \] ##### b. Existence d'un élément neutre Il existe un élément unique \( e \) (appelé l'élément neutre) dans \( G \) tel que pour tout élément \( a \) de \( G \) : \[ a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast e = e omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a = a \] ##### c. Existence d'un symétrique (ou inverse) Pour tout élément \( a \) de \( G \), il existe un unique élément \( a^{-1} \) (appelé le symétrique ou l'inverse de \( a \)) dans \( G \) tel que : \[ a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a^{-1} = a^{-1} omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a = e \] On note souvent un groupe \( (G, omenclature{\ast}{une opération} \ast) \). #### 3. Définition d'un groupe abélien (ou commutatif) Un groupe \( (G, omenclature{\ast}{une opération} \ast) \) est dit abélien (ou commutatif) si, en plus des trois axiomes de groupe, il vérifie l'axiome suivant : ##### d. Commutativité Pour tous les éléments \( a, b \) de \( G \) : \[ a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast b = b omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a \] ### Vocabulaire * **Loi de composition interne (LCI):** Une opération qui combine deux éléments d'un ensemble pour en produire un du même ensemble. * **Ensemble:** Une collection d'objets ou d'éléments. * **Associativité:** Propriété d'une opération où l'ordre des parenthèses n'affecte pas le résultat pour trois éléments ou plus. * **Élément neutre:** Élément d'un ensemble qui, lorsqu'il est combiné avec tout autre élément par la loi, laisse cet autre élément inchangé. * **Symétrique (ou inverse):** Pour un élément donné, l'élément qui, combiné avec le premier par la loi, donne l'élément neutre. * **Groupe:** Un ensemble muni d'une LCI qui satisfait les propriétés d'associativité, d'élément neutre et de symétrique. * **Groupe abélien (ou commutatif):** Un groupe dont la loi de composition interne est également commutative. * **Commutativité:** Propriété d'une opération où l'ordre des opérandes n'affecte pas le résultat (\( a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast b = b omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a \)). ### Exemples #### Exemple 1: L'ensemble des entiers relatifs avec l'addition \( (\mathbb{Z}, +) \) 1. **LCI?** Oui, la somme de deux entiers est un entier. \( (a+b) \in \mathbb{Z} \) si \( a, b omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Z} \). 2. **Associativité?** Oui, \( (a+b)+c = a+(b+c) \) pour tous \( a, b, c omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Z} \). 3. **Élément neutre?** Oui, \( 0 \) est l'élément neutre car \( a+0 = 0+a = a \) pour tout \( a omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Z} \). 4. **Symétrique?** Oui, pour tout \( a omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Z} \), son symétrique est \( -a \) car \( a+(-a) = (-a)+a = 0 \). 5. **Commutativité?** Oui, \( a+b = b+a \) pour tous \( a, b omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Z} \). **Conclusion:** \( (\mathbb{Z}, +) \) est un groupe abélien. #### Exemple 2: L'ensemble des nombres rationnels non nuls avec la multiplication \( (\mathbb{Q}^*, \times) \) 1. **LCI?** Oui, le produit de deux rationnels non nuls est un rationnel non nul. \( (a imes b) omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Q}^* \) si \( a, b omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Q}^* \). 2. **Associativité?** Oui, \( (a imes b) imes c = a imes (b imes c) \) pour tous \( a, b, c omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Q}^* \). 3. **Élément neutre?** Oui, \( 1 \) est l'élément neutre car \( a imes 1 = 1 imes a = a \) pour tout \( a omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Q}^* \). 4. **Symétrique?** Oui, pour tout \( a omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Q}^* \), son symétrique est \( 1/a \) car \( a imes (1/a) = (1/a) imes a = 1 \). 5. **Commutativité?** Oui, \( a imes b = b imes a \) pour tous \( a, b omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Q}^* \). **Conclusion:** \( (\mathbb{Q}^*, \times) \) est un groupe abélien. #### Exemple 3: L'ensemble des nombres naturels avec l'addition \( (\mathbb{N}, +) \) 1. **LCI?** Oui, la somme de deux nombres naturels est un nombre naturel. 2. **Associativité?** Oui. 3. **Élément neutre?** Oui, \( 0 \) est l'élément neutre. 4. **Symétrique?** Non. Par exemple, pour \( 5 omenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{N} \), son symétrique serait \( -5 \), mais \( -5 \notin \mathbb{N} \). **Conclusion:** \( (\mathbb{N}, +) \) n'est **pas** un groupe. ### Exercices 1. L'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) muni de la multiplication \( (\mathbb{R}, \times) \) est-il un groupe? Justifiez votre réponse en vérifiant les axiomes. 2. L'ensemble des nombres réels positifs \( \mathbb{R}^+ \) muni de la multiplication \( (\mathbb{R}^+, \times) \) est-il un groupe abélien? Justifiez. 3. Considérez l'ensemble des entiers pairs \( E = \{ 2k \mid k \nomenclature{\in}{appartient à} \in \mathbb{Z} \} \) muni de l'addition \( (E, +) \). Est-ce un groupe? Est-il abélien? Démontrez chaque axiome. ### Devoirs Soit l'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \) et l'opération \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \) définie par \( a omenclature{\ast}{une opération} \ast b = a + b + 1 \). 1. Vérifiez si \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \) est une loi de composition interne sur \( \mathbb{Z} \). 2. L'opération \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \) est-elle associative? Démontrez-le. 3. Existe-t-il un élément neutre pour \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \) dans \( \mathbb{Z} \)? Si oui, déterminez-le. 4. Tout élément de \( \mathbb{Z} \) possède-t-il un symétrique pour \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \)? Si oui, déterminez le symétrique de \( a \) en fonction de \( a \). 5. L'opération \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \) est-elle commutative? Démontrez-le. 6. \( (\mathbb{Z}, omenclature{\ast}{une opération} \ast) \) est-il un groupe abélien? Justifiez. ### Résumé En résumé, un **groupe** \( (G, omenclature{\ast}{une opération} \ast) \) est un ensemble \( G \) avec une loi de composition interne \( omenclature{\ast}{une opération} \ast \) qui satisfait à trois propriétés fondamentales : 1. **Associativité:** \( (a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast b) omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast c = a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast (b omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast c) \) 2. **Élément neutre:** Il existe \( e omenclature{\in}{appartient à} \in G \) tel que \( a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast e = e omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a = a \) 3. **Symétrique:** Pour chaque \( a omenclature{\in}{appartient à} \in G \), il existe \( a^{-1} omenclature{\in}{appartient à} \in G \) tel que \( a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a^{-1} = a^{-1} omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a = e \) De plus, un groupe est dit **abélien** (ou commutatif) si sa loi de composition interne est également commutative : 4. **Commutativité:** \( a omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast b = b omenclature{a \ast b}{le résultat de l'opération} \ast a \) La notion de groupe est puissante et permet d'unifier l'étude de nombreuses structures algébriques différentes sous un même cadre théorique.