Chap3 : Rapports et proportions

# Chap3 : Rapports et proportions ## Fraction simple ### Introduction Bienvenue à ce cours sur les fractions simples! Les fractions sont un outil fondamental en mathématiques et sont omniprésentes dans notre vie quotidienne, notamment dans les domaines du devis et de l'estimation. Elles nous permettent de représenter des parties d'un tout, que ce soit une portion d'un matériau, une partie d'un budget, ou une fraction du temps nécessaire pour accomplir une tâche. Comprendre les fractions vous aidera à calculer des quantités précises, à évaluer des proportions et à réaliser des estimations fiables. Dans cette leçon, nous allons revoir ce qu'est une fraction, comment les différents types de fractions fonctionnent, comment les simplifier, et comment effectuer les opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) avec elles. Ces compétences sont essentielles pour les rapports et les proportions, qui sont au cœur du calcul dans le devis et l'estimation. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fraction? Une fraction représente une partie d'un tout. Elle est composée de trois éléments principaux: * **Le numérateur:** Le chiffre du haut, qui indique le nombre de parties que nous avons. * **Le dénominateur:** Le chiffre du bas, qui indique le nombre total de parties égales qui composent le tout. * **La barre de fraction:** Le trait qui sépare le numérateur et le dénominateur. Exemple: Si vous avez une pizza coupée en 8 parts égales et que vous en mangez 3, vous avez mangé \( \frac{3}{8} \) de la pizza. Ici, 3 est le numérateur et 8 est le dénominateur. #### Types de fractions Il existe plusieurs types de fractions: * **Fractions propres:** Le numérateur est plus petit que le dénominateur. Elles représentent une valeur inférieure à 1. Exemples: \( \frac{1}{2} \), \( \frac{3}{4} \), \( \frac{7}{10} \). * **Fractions impropres:** Le numérateur est égal ou plus grand que le dénominateur. Elles représentent une valeur égale ou supérieure à 1. Exemples: \( \frac{5}{3} \), \( \frac{7}{7} \), \( \frac{9}{2} \). * **Nombres fractionnaires (ou fractions mixtes):** Composés d'un nombre entier et d'une fraction propre. On peut convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire et vice-versa. Exemple: \( \frac{5}{2} \) est égal à \( 2 \frac{1}{2} \). * **Conversion de fraction impropre en nombre fractionnaire:** Divisez le numérateur par le dénominateur. Le quotient est le nombre entier, le reste est le nouveau numérateur et le dénominateur reste le même. \( \frac{7}{3} = 2 \text{ reste } 1 \implies 2 \frac{1}{3} \). * **Conversion de nombre fractionnaire en fraction impropre:** Multipliez le nombre entier par le dénominateur, puis ajoutez le numérateur. Le résultat est le nouveau numérateur, et le dénominateur reste le même. \( 2 \frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3} \). #### Fractions équivalentes Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même valeur, même si leurs numérateurs et dénominateurs sont différents. On obtient une fraction équivalente en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre (différent de zéro). Exemple: \( \frac{1}{2} \) est équivalent à \( \frac{2}{4} \) car \( \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} \). #### Simplification des fractions Simplifier une fraction signifie la réduire à sa forme la plus simple (ou irréductible), où le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseurs communs, à l'exception de 1. Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Exemple: Pour simplifier \( \frac{6}{8} \), le PGCD de 6 et 8 est 2. Donc, \( \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} \). #### Opérations avec les fractions ##### Addition et Soustraction * **Avec le même dénominateur:** Il suffit d'additionner ou de soustraire les numérateurs et de garder le dénominateur commun. Exemple: \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5} \). Exemple: \( \frac{4}{7} - \frac{1}{7} = \frac{4-1}{7} = \frac{3}{7} \). * **Avec des dénominateurs différents:** Il faut d'abord trouver un dénominateur commun (le plus petit commun multiple, PPCM, des dénominateurs est souvent le plus simple), convertir les fractions en fractions équivalentes avec ce dénominateur commun, puis additionner ou soustraire. Exemple: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \) Le PPCM de 3 et 2 est 6. \( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \). ##### Multiplication Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. N'oubliez pas de simplifier la fraction résultante si possible. Exemple: \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \). ##### Division Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième fraction. L'inverse d'une fraction s'obtient en échangeant son numérateur et son dénominateur. Exemple: \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4} \). Cette fraction peut être simplifiée: \( \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \). ### Vocabulaire * **Fraction:** Représentation numérique d'une partie d'un tout. * **Numérateur:** Le nombre au-dessus de la barre de fraction, indiquant le nombre de parties que l'on considère. * **Dénominateur:** Le nombre en dessous de la barre de fraction, indiquant le nombre total de parties égales dans le tout. * **Fractions propres:** Fractions où le numérateur est plus petit que le dénominateur. * **Fractions impropres:** Fractions où le numérateur est égal ou plus grand que le dénominateur. * **Nombre fractionnaire (ou fraction mixte):** Un nombre composé d'un entier et d'une fraction propre. * **Fractions équivalentes:** Fractions qui représentent la même valeur. * **Simplification:** Processus de réduction d'une fraction à sa forme la plus simple (irréductible). * **Dénominateur commun:** Un dénominateur partagé par deux fractions ou plus, souvent nécessaire pour l'addition ou la soustraction. * **Inverse:** Pour une fraction \( \frac{a}{b} \), son inverse est \( \frac{b}{a} \). ### Exemples 1. **Représentation:** Un entrepreneur a utilisé \( \frac{5}{8} \) d'un sac de ciment. Cela signifie que le sac a été divisé en 8 parties égales, et 5 de ces parties ont été utilisées. 2. **Fractions équivalentes dans un devis:** Un plan indique \( \frac{1}{4} \) de réduction. Pour un calcul plus facile, on peut l'exprimer comme \( \frac{2}{8} \) ou \( \frac{25}{100} \) (25%). 3. **Simplification pour la clarté:** Une mesure donne \( \frac{10}{16} \) de mètre. Pour une meilleure compréhension, vous simplifiez cette fraction à \( \frac{5}{8} \) de mètre. 4. **Addition de matériaux:** Pour un projet, vous avez besoin de \( \frac{1}{2} \) mètre cube de sable et plus tard \( \frac{1}{4} \) mètre cube supplémentaire. La quantité totale de sable nécessaire est \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) mètre cube. 5. **Partage des tâches:** Trois ouvriers doivent partager une tâche. Le premier fait \( \frac{1}{3} \) du travail et le second \( \frac{1}{6} \). Quelle fraction du travail reste pour le troisième? \( 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = 1 - (\frac{2}{6} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{3}{6} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). Le troisième ouvrier doit faire \( \frac{1}{2} \) du travail. 6. **Calcul de surface:** Une zone rectangulaire a une longueur de \( \frac{3}{4} \) mètre et une largeur de \( \frac{2}{3} \) mètre. Quelle est sa surface? Surface = longueur \( \times \) largeur \( = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} \). En simplifiant, la surface est \( \frac{1}{2} \) mètre carré. 7. **Partage de ressources:** Vous avez \( \frac{5}{2} \) litres de peinture et chaque pot de peinture utilisé pour le travail prend \( \frac{1}{2} \) litre. Combien de pots pouvez-vous remplir? Nombre de pots = \( \frac{5}{2} \div \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{10}{2} = 5 \). Vous pouvez remplir 5 pots. ### Exercices 1. **Simplifiez les fractions suivantes à leur forme irréductible:** a) \( \frac{12}{18} \) b) \( \frac{20}{25} \) c) \( \frac{7}{21} \) 2. **Effectuez les opérations suivantes. Simplifiez vos réponses si nécessaire:** a) \( \frac{3}{8} + \frac{1}{8} \) b) \( \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \) c) \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \) d) \( \frac{7}{10} \div \frac{2}{5} \) 3. **Convertissez les fractions impropres en nombres fractionnaires et vice-versa:** a) \( \frac{11}{4} \) b) \( 3 \frac{2}{5} \) 4. **Problème pratique:** Un ouvrier doit installer 24 carreaux. Il en a déjà installé \( \frac{3}{4} \) du total. Combien de carreaux a-t-il installés? ### Devoir 1. **Calculez et simplifiez:** a) \( \frac{5}{12} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \) b) \( (\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}) \div \frac{3}{5} \) 2. **Estimation de matériaux:** Pour construire un mur, il faut \( 2 \frac{1}{2} \) sacs de ciment par mètre linéaire. Si le mur mesure \( 6 \frac{1}{4} \) mètres de long, de combien de sacs de ciment aurez-vous besoin? 3. **Gestion de budget:** Un projet a un budget total de 12 000 €. \( \frac{1}{3} \) du budget est alloué aux matériaux, \( \frac{2}{5} \) à la main-d'œuvre, et le reste aux frais annexes. a) Quelle fraction du budget est allouée aux frais annexes? b) Quel est le montant en euros alloué à chaque catégorie (matériaux, main-d'œuvre, frais annexes)? 4. **Débit de fluide:** Un tuyau remplit un réservoir à un débit de \( \frac{3}{4} \) litre par minute. Un autre tuyau vide le réservoir à un débit de \( \frac{1}{3} \) litre par minute. Si les deux tuyaux fonctionnent simultanément, quelle est la variation nette de volume du réservoir en une minute? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le monde des fractions simples, un concept crucial pour quiconque travaille avec des quantités et des proportions, en particulier dans le domaine du devis et de l'estimation. Nous avons appris que les fractions représentent des parties d'un tout, composées d'un numérateur et d'un dénominateur. Nous avons distingué les fractions propres, impropres et les nombres fractionnaires, et avons vu comment les convertir les uns aux autres. Nous avons également maîtrisé la simplification des fractions et l'importance de trouver des fractions équivalentes. Enfin, nous avons révisé les quatre opérations fondamentales: l'addition et la soustraction (en trouvant un dénominateur commun si nécessaire), la multiplication (en multipliant les numérateurs et les dénominateurs), et la division (en multipliant par l'inverse). Ces compétences sont la base pour comprendre les rapports et proportions plus complexes, et elles vous seront très utiles pour des calculs précis dans vos futurs projets professionnels. ## Rapport de deux grandeurs ### Introduction Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons découvrir un concept très utile en mathématiques et dans la vie de tous les jours : le rapport de deux grandeurs. Comprendre les rapports vous aidera à comparer des quantités, à ajuster des recettes, à lire des plans et bien plus encore. Un rapport est simplement une manière de comparer deux nombres ou deux quantités. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'un rapport ? Un rapport est une comparaison entre deux grandeurs de même nature. Il indique combien de fois une grandeur contient l'autre, ou quelle part de l'une correspond à l'autre. * **Exemple :** Si vous avez 5 pommes et 10 oranges, le rapport du nombre de pommes au nombre d'oranges est de 5 à 10. #### 2. Comment écrire un rapport ? Un rapport peut être écrit de plusieurs façons : * **Avec les deux points :** \( a : b \) (se lit "a à b" ou "a pour b") * **Sous forme de fraction :** \( \frac{a}{b} \) (se lit "a sur b") * **Sous forme décimale :** Lorsque \( b \) n'est pas zéro, \( \frac{a}{b} \) peut être calculé pour donner un nombre décimal. * **Dans le rapport \( a:b \) ou \( \frac{a}{b} \) :** * Le premier terme (\( a \)) est appelé l'**antécédent**. * Le deuxième terme (\( b \)) est appelé le **conséquent**. #### 3. Simplification des rapports Tout comme les fractions, les rapports peuvent et doivent souvent être simplifiés à leur forme la plus simple. Pour simplifier un rapport, vous divisez l'antécédent et le conséquent par leur plus grand commun diviseur (PGCD). * **Exemple :** Le rapport 10:20 peut être simplifié en divisant les deux termes par 10 : \( 10 \div 10 = 1 \) et \( 20 \div 10 = 2 \). Le rapport simplifié est \( 1:2 \). #### 4. Rapports équivalents Deux rapports sont équivalents s'ils représentent la même comparaison. On obtient des rapports équivalents en multipliant ou en divisant l'antécédent et le conséquent par le même nombre non nul. * **Exemple :** Le rapport \( 1:2 \) est équivalent à \( 5:10 \) car \( 1 \times 5 = 5 \) et \( 2 \times 5 = 10 \). #### 5. Importance des unités Lorsqu'on compare des grandeurs de même nature (par exemple, longueur avec longueur, poids avec poids), il est essentiel que ces grandeurs soient exprimées dans la même unité. Une fois dans la même unité, les unités s'annulent, rendant le rapport sans unité. * **Exemple :** Le rapport de 50 cm à 2 mètres. Convertissez 2 mètres en 200 cm. Le rapport est alors \( 50 \text{ cm} : 200 \text{ cm} \) ou \( 50:200 \), ce qui se simplifie à \( 1:4 \). ### Vocabulaire * **Rapport :** Comparaison entre deux grandeurs de même nature. * **Antécédent :** Le premier terme d'un rapport (le numérateur dans une fraction). * **Conséquent :** Le deuxième terme d'un rapport (le dénominateur dans une fraction). * **Grandeurs de même nature :** Quantités qui mesurent la même chose (ex: deux longueurs, deux poids). * **Simplification :** Réduction d'un rapport à sa forme la plus simple en divisant ses termes par leur PGCD. * **Rapports équivalents :** Rapports qui représentent la même comparaison, même si leurs termes sont différents. ### Exemples 1. **Rapport dans une classe :** Dans une classe, il y a 15 filles et 10 garçons. * Quel est le rapport du nombre de filles au nombre de garçons ? \( 15 \text{ filles} : 10 \text{ garçons} \) ou \( 15:10 \). Simplifié : \( 3:2 \). * Quel est le rapport du nombre de garçons au nombre total d'élèves ? (Il y a \( 15 + 10 = 25 \) élèves au total). \( 10 \text{ garçons} : 25 \text{ élèves} \) ou \( 10:25 \). Simplifié : \( 2:5 \). 2. **Rapport de longueurs :** Un segment A mesure 6 cm et un segment B mesure 18 cm. * Le rapport de la longueur de A à la longueur de B est de \( 6:18 \). * Simplifié, ce rapport est \( 1:3 \). 3. **Recette :** Une recette demande 2 tasses de farine pour 1 tasse de sucre. Le rapport farine:sucre est de \( 2:1 \). * Si vous voulez doubler la recette, vous utiliserez 4 tasses de farine et 2 tasses de sucre. Le nouveau rapport \( 4:2 \) est équivalent à \( 2:1 \). ### Exercices 1. Écrivez les rapports suivants sous leur forme simplifiée : a. 12 crayons pour 8 gommes b. 25 minutes sur 1 heure c. 400 grammes de sucre pour 1 kilogramme de farine d. 15 élèves absents sur 45 élèves inscrits 2. Trouvez deux rapports équivalents à \( 3:4 \). 3. Dans un verger, il y a 30 pommiers et 20 poiriers. Quel est le rapport du nombre de pommiers au nombre total d'arbres ? Simplifiez votre réponse. ### Devoir 1. Une carte a une échelle où 1 cm représente 5 km. Quel est le rapport de la distance sur la carte à la distance réelle ? (Attention aux unités !) 2. Un architecte réalise une maquette d'un bâtiment. La hauteur du bâtiment réel est de 50 mètres et la hauteur de la maquette est de 25 centimètres. Quel est le rapport de la hauteur de la maquette à la hauteur du bâtiment réel ? Donnez le rapport sous sa forme la plus simple. 3. Comparez les rapports suivants en les écrivant sous forme décimale ou en les simplifiant : a. \( 4:5 \) et \( 12:15 \) b. \( 7:10 \) et \( 3:4 \) 4. Une boisson est préparée en mélangeant 3 parts de sirop pour 7 parts d'eau. Exprimez ce mélange sous forme de rapport du sirop à l'eau. Si l'on veut préparer 5 litres de cette boisson, combien de litres de sirop et d'eau faut-il utiliser ? ### Résumé Aujourd'hui, nous avons appris que : * Un **rapport** compare deux grandeurs de même nature. * Il peut s'écrire \( a:b \) ou \( \frac{a}{b} \), où \( a \) est l'antécédent et \( b \) est le conséquent. * Les rapports doivent être **simplifiés** à leur forme la plus simple. * Des **rapports équivalents** représentent la même comparaison. * Il est crucial d'utiliser les **mêmes unités** avant de former un rapport pour des grandeurs de même nature. La compréhension des rapports est une compétence fondamentale qui vous sera très utile dans de nombreux domaines ! ## Rapport directement proportionnel ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les rapports et proportions ! Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un type de rapport très courant et utile : le rapport directement proportionnel. Comprendre la proportionnalité directe est essentiel non seulement en mathématiques, mais aussi dans de nombreuses situations de la vie quotidienne, notamment pour l'estimation et le devis. Que ce soit pour calculer le prix de plusieurs articles, le temps nécessaire pour parcourir une certaine distance ou la quantité d'ingrédients pour une recette, les rapports directement proportionnels nous aident à faire des prévisions et des calculs précis. ### Concepts clés #### Qu'est-ce qu'un rapport directement proportionnel ? Deux quantités sont dites directement proportionnelles si, lorsque l'une augmente, l'autre augmente dans la même proportion, et lorsque l'une diminue, l'autre diminue également dans la même proportion. En d'autres termes, le rapport entre les deux quantités reste constant. * **Définition :** Si \( y \) est directement proportionnel à \( x \), alors il existe une constante \( k \) (appelée constante de proportionnalité) telle que : \[ y = kx \] * **Exemple simple :** Si vous achetez des stylos à 2€ l'unité, le coût total est directement proportionnel au nombre de stylos achetés. Si vous achetez 1 stylo, ça coûte 2€. Si vous achetez 2 stylos, ça coûte 4€. Le rapport \( \frac{\text{coût}}{\text{nombre de stylos}} \) est toujours de 2. #### La constante de proportionnalité La constante de proportionnalité, notée \( k \), est le facteur fixe par lequel les deux quantités sont liées. Elle représente la valeur de \( y \) lorsque \( x \) est égal à 1. * **Calcul de la constante :** Vous pouvez trouver la constante de proportionnalité en divisant la quantité dépendante (\( y \)) par la quantité indépendante (\( x \)) : \[ k = \frac{y}{x} \] * **Signification :** Cette constante indique le taux de changement de \( y \) par rapport à \( x \). #### Représentation graphique Lorsqu'un rapport directement proportionnel est représenté sur un graphique (où \( x \) est sur l'axe horizontal et \( y \) sur l'axe vertical) : * La relation forme toujours une ligne droite. * Cette ligne droite passe toujours par l'origine (le point \( 0,0 \)). * La pente de cette droite est égale à la constante de proportionnalité \( k \). #### Tableaux de proportionnalité Dans un tableau, deux quantités sont directement proportionnelles si le quotient de chaque paire de valeurs correspondantes est constant. | Quantité X | Quantité Y | Rapport \( \frac{Y}{X} \) | | :--------- | :--------- | :----------------: | | 2 | 4 | 2 | | 3 | 6 | 2 | | 5 | 10 | 2 | Ici, \( k = 2 \) est la constante de proportionnalité. ### Vocabulaire * **Rapport :** La comparaison de deux quantités par division. Il peut être écrit comme \( a:b \) ou \( \frac{a}{b} \). * **Proportionnel :** Qui varie en fonction d'une autre quantité selon un rapport constant. * **Directement proportionnel :** Deux quantités dont le rapport est constant. Quand l'une double, l'autre double aussi. * **Constante de proportionnalité (\( k \)) :** Le rapport constant entre deux quantités directement proportionnelles. * **Graphique :** Une représentation visuelle des données, souvent sous forme de points et de lignes sur un plan cartésien. * **Origine :** Le point \( (0,0) \) sur un plan cartésien, où les axes \( x \) et \( y \) se croisent. * **Échelle :** L'ensemble des graduations sur les axes d'un graphique, indiquant les valeurs représentées. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul du coût des matériaux Un entrepreneur achète des carreaux de céramique pour un projet. Le prix est de 15€ par mètre carré. * **Question :** Combien coûteront 8 mètres carrés de carreaux ? * **Analyse :** Le coût total (\( y \)) est directement proportionnel à la surface (\( x \)). La constante de proportionnalité \( k \) est le prix par mètre carré, soit 15€/m². * **Calcul :** * \( y = kx \) * \( y = 15 \times 8 \) * \( y = 120 \) * **Réponse :** 8 mètres carrés de carreaux coûteront 120€. #### Exemple 2 : Préparation d'une solution Pour préparer une solution de nettoyage, on doit mélanger 3 litres de concentré avec 6 litres d'eau. * **Question :** Si l'on dispose de 5 litres de concentré, combien de litres d'eau faut-il ajouter pour maintenir la même proportion ? * **Analyse :** La quantité d'eau (\( y \)) est directement proportionnelle à la quantité de concentré (\( x \)). * **Calcul de la constante \( k \) :** * \( k = \frac{\text{eau}}{\text{concentré}} = \frac{6 \text{ L}}{3 \text{ L}} = 2 \) * La constante \( k = 2 \) signifie qu'il faut 2 fois plus d'eau que de concentré. * **Calcul de la nouvelle quantité d'eau :** * \( y = kx \) * \( y = 2 \times 5 \) * \( y = 10 \) * **Réponse :** Il faut ajouter 10 litres d'eau. #### Exemple 3 : Consommation de carburant Une voiture consomme 8 litres d'essence pour parcourir 100 km. * **Question :** Quelle distance peut-elle parcourir avec 12 litres d'essence, en supposant que la consommation est constante ? * **Analyse :** La distance (\( y \)) est directement proportionnelle à la quantité d'essence (\( x \)). * **Calcul de la constante \( k \) (kilomètres par litre) :** * \( k = \frac{\text{distance}}{\text{essence}} = \frac{100 \text{ km}}{8 \text{ L}} = 12.5 \text{ km/L} \) * **Calcul de la nouvelle distance :** * \( y = kx \) * \( y = 12.5 \times 12 \) * \( y = 150 \) * **Réponse :** La voiture peut parcourir 150 km avec 12 litres d'essence. ### Exercices 1. **Identification de la proportionnalité :** Indiquez si les situations suivantes représentent un rapport directement proportionnel. Justifiez votre réponse. * a) Le nombre d'heures travaillées et le salaire gagné (à taux horaire fixe). * b) L'âge d'une personne et sa taille. * c) Le nombre de livres achetés et le coût total (si chaque livre coûte le même prix). * d) La vitesse d'un coureur et le temps qu'il lui faut pour parcourir une distance fixe. 2. **Calcul de la constante :** Trouvez la constante de proportionnalité \( k \) pour chaque tableau et complétez les valeurs manquantes. * **Tableau A :** | X | Y | | :- | :-- | | 3 | 12 | | 5 | ? | | ? | 28 | * **Tableau B :** | X | Y | | :- | :-- | | 4 | 2 | | 10 | ? | | ? | 7 | 3. **Problème pratique :** Un ouvrier peut poser 20 mètres carrés de carrelage en 5 heures. À ce rythme, combien de mètres carrés peut-il poser en 8 heures ? ### Devoir à la maison 1. **Application à l'échelle :** Une carte a une échelle de \( 1:25000 \). Cela signifie que 1 cm sur la carte représente 25000 cm dans la réalité. * a) Si deux villes sont séparées de 8 cm sur la carte, quelle est la distance réelle en kilomètres ? * b) Si la distance réelle entre deux points est de 7.5 km, quelle sera cette distance sur la carte en centimètres ? 2. **Analyse graphique :** Tracez les points suivants sur un graphique : (2, 6), (3, 9), (5, 15). Est-ce que ces points représentent une relation directement proportionnelle ? Si oui, trouvez la constante de proportionnalité et écrivez l'équation de la droite. 3. **Comparaison de devis :** Deux entreprises proposent leurs services pour la peinture. L'entreprise A facture 300€ pour 15 m² et l'entreprise B facture 450€ pour 20 m². * a) Calculez le prix par mètre carré pour chaque entreprise. * b) Laquelle des deux entreprises est la plus avantageuse si vous avez 50 m² à peindre ? Justifiez votre réponse. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le concept fondamental de rapport directement proportionnel. Nous avons appris que deux quantités sont directement proportionnelles si leur rapport est constant. Cette constante est appelée constante de proportionnalité \( k \) et elle est calculée par la formule \( k = \frac{y}{x} \). Nous avons également vu que graphiquement, une relation directement proportionnelle est représentée par une ligne droite passant par l'origine. La compréhension de la proportionnalité directe est une compétence cruciale pour résoudre de nombreux problèmes pratiques, que ce soit en devis, en estimation ou dans la vie de tous les jours. ## Pourcentage ### Introduction Le pourcentage est un outil mathématique fondamental utilisé pour exprimer une proportion d'un tout par rapport à 100. Il nous aide à comprendre les relations entre des nombres dans divers contextes. Que ce soit pour calculer une remise lors de soldes, déterminer l'intérêt d'un prêt, comprendre la composition d'un échantillon ou analyser des statistiques, les pourcentages sont omniprésents dans notre quotidien et dans le monde professionnel des devis et estimations. Cette leçon vous guidera à travers les concepts clés du pourcentage, comment les calculer et les appliquer à des situations concrètes. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Pourcentage? Un pourcentage représente une fraction de 100. Le mot "pourcentage" signifie "pour cent" ou "par cent". Il est toujours indiqué par le symbole \( \% \). * **Représentation d'un pourcentage:** * **En fraction:** Un pourcentage peut être exprimé comme une fraction dont le dénominateur est 100. Par exemple, \( 25\% \) est égal à \( \frac{25}{100} \). * **En nombre décimal:** Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, divisez le nombre par 100. Par exemple, \( 25\% \) est égal à \( \frac{25}{100} = 0.25 \). #### Calculer un Pourcentage d'un Nombre Pour trouver \( p\% \) d'un nombre \( N \), utilisez la formule suivante: \[ \text{Valeur partielle} = \frac{p}{100} \times N \] Ou, en utilisant la forme décimale: \[ \text{Valeur partielle} = (p \div 100) \times N \] **Exemple:** Calculer \( 15\% \) de \( 200 \). \( \text{Valeur partielle} = \frac{15}{100} \times 200 = 0.15 \times 200 = 30 \) #### Exprimer une Partie en Pourcentage du Tout Pour exprimer une partie \( P \) d'un tout \( T \) en pourcentage, utilisez la formule: \[ \text{Pourcentage} = \frac{\text{Partie}}{\text{Tout}} \times 100\% \] **Exemple:** Si 30 étudiants sur 120 ont réussi un examen, quel est le pourcentage de réussite? \( \text{Pourcentage de réussite} = \frac{30}{120} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% \) #### Augmentation et Diminution en Pourcentage ##### Augmentation en pourcentage Pour augmenter une valeur \( V_{\text{initiale}} \) d'un pourcentage \( p\% \): \[ V_{\text{finale}} = V_{\text{initiale}} \times \left(1 + \frac{p}{100}\right) \] **Exemple:** Un article coûte 50 €. Son prix augmente de \( 10\% \). Quel est le nouveau prix? \( V_{\text{finale}} = 50 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right) = 50 \times (1 + 0.10) = 50 \times 1.10 = 55 \text{ €} \) ##### Diminution en pourcentage Pour diminuer une valeur \( V_{\text{initiale}} \) d'un pourcentage \( p\% \): \[ V_{\text{finale}} = V_{\text{initiale}} \times \left(1 - \frac{p}{100}\right) \] **Exemple:** Un article coûte 80 €. Il bénéficie d'une réduction de \( 20\% \). Quel est le nouveau prix? \( V_{\text{finale}} = 80 \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) = 80 \times (1 - 0.20) = 80 \times 0.80 = 64 \text{ €} \) #### Calculer le Pourcentage de Variation Pour calculer le pourcentage de variation (augmentation ou diminution) entre une valeur initiale \( V_{\text{initiale}} \) et une valeur finale \( V_{\text{finale}} \): \[ \text{Pourcentage de variation} = \frac{V_{\text{finale}} - V_{\text{initiale}}}{V_{\text{initiale}}} \times 100\% \] * Si le résultat est positif, c'est une augmentation. * Si le résultat est négatif, c'est une diminution. **Exemple:** Le loyer passe de 600 € à 630 €. Quel est le pourcentage d'augmentation? \( \text{Pourcentage de variation} = \frac{630 - 600}{600} \times 100\% = \frac{30}{600} \times 100\% = 0.05 \times 100\% = 5\% \) ### Vocabulaire * **Pourcentage:** Une proportion d'un tout exprimée par rapport à 100. * **Fraction:** Représentation d'une partie d'un tout, sous la forme \( \frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}} \). * **Décimal:** Un nombre qui contient une partie fractionnaire séparée par une virgule (ou un point). * **Taux:** Un rapport qui compare deux quantités de natures différentes. Dans ce contexte, souvent le taux de pourcentage. * **Augmentation:** Une croissance ou une hausse d'une quantité. * **Diminution (ou Réduction):** Une baisse ou une diminution d'une quantité. * **Valeur initiale:** La valeur d'origine d'une quantité avant toute modification. * **Valeur finale:** La valeur d'une quantité après une modification (augmentation ou diminution). * **Variation:** Le changement entre une valeur initiale et une valeur finale. ### Exemples Pratiques 1. **Réduction sur un prix:** Un pantalon coûte 75 €. Pendant les soldes, il y a une réduction de \( 30\% \). \( \text{Montant de la réduction} = 75 \times \frac{30}{100} = 75 \times 0.30 = 22.50 \text{ €} \) \( \text{Nouveau prix} = 75 - 22.50 = 52.50 \text{ €} \) Ou, en utilisant la formule de diminution: \( 75 \times (1 - 0.30) = 75 \times 0.70 = 52.50 \text{ €} \) 2. **Calcul de la TVA:** Un service coûte 120 € hors taxes (HT). Le taux de TVA est de \( 20\% \). \( \text{Montant de la TVA} = 120 \times \frac{20}{100} = 120 \times 0.20 = 24 \text{ €} \) \( \text{Prix toutes taxes comprises (TTC)} = 120 + 24 = 144 \text{ €} \) Ou, en utilisant la formule d'augmentation: \( 120 \times (1 + 0.20) = 120 \times 1.20 = 144 \text{ €} \) 3. **Répartition d'un budget:** Un budget de 1500 € est alloué. \( 40\% \) est pour les matériaux, \( 35\% \) pour la main d'œuvre, et le reste pour les frais généraux. Combien chaque catégorie reçoit-elle? * Matériaux: \( 1500 \times 0.40 = 600 \text{ €} \) * Main d'œuvre: \( 1500 \times 0.35 = 525 \text{ €} \) * Frais généraux: \( 100\% - (40\% + 35\%) = 100\% - 75\% = 25\% \) * Frais généraux (montant): \( 1500 \times 0.25 = 375 \text{ €} \) Vérification: \( 600 + 525 + 375 = 1500 \text{ €} \) ### Exercices 1. Convertissez les pourcentages suivants en fractions et en décimales: a. \( 45\% \) b. \( 7\% \) c. \( 125\% \) 2. Calculez la valeur demandée: a. \( 25\% \) de \( 300 \) b. \( 75\% \) de \( 80 \) c. \( 2\% \) de \( 1500 \) 3. Dans une classe de 40 élèves, 12 sont des filles. Quel est le pourcentage de filles dans la classe? 4. Un livre coûte 20 €. Il est augmenté de \( 5\% \). Quel est le nouveau prix? 5. Un pantalon, après une réduction de \( 15\% \), coûte 51 €. Quel était son prix initial? ### Devoir 1. Une entreprise a réalisé un chiffre d'affaires de 250 000 € l'année dernière. Cette année, le chiffre d'affaires a augmenté de \( 8\% \). Quel est le chiffre d'affaires de cette année? 2. Sur un chantier, 350 sacs de ciment ont été livrés. Les ouvriers ont utilisé 70\% des sacs. Combien de sacs de ciment ont été utilisés et combien en reste-t-il? 3. Un artisan achète des matériaux pour 800 € HT. Le taux de TVA est de \( 20\% \). Quel est le prix TTC des matériaux? 4. Le prix d'un terrain est passé de 150 000 € à 165 000 € en un an. Calculez le pourcentage d'augmentation. 5. Lors d'un inventaire, un magasin constate qu'il lui reste 480 articles d'un certain type, ce qui représente \( 60\% \) de son stock initial. Combien d'articles y avait-il au début? ### Résumé Les pourcentages sont un moyen puissant et polyvalent d'exprimer des proportions et des changements. Nous avons appris que \( p\% \) signifie \( p \) parties sur 100 et peut être exprimé comme une fraction (\( \frac{p}{100} \)) ou un décimal (\( p \div 100 \)). Nous avons couvert les méthodes essentielles pour calculer un pourcentage d'un nombre, pour exprimer une partie en pourcentage du tout, et pour gérer les augmentations et diminutions en pourcentage. Maîtriser ces concepts est crucial non seulement en mathématiques, mais aussi dans de nombreux domaines pratiques, y compris les devis et les estimations, où la précision des calculs peut avoir un impact significatif.