Chap2 : Relations métriques dans un triangle rectangle

# Chap2 : Relations métriques dans un triangle rectangle ## Théorème de Pythagore. ### Introduction Bienvenue à ce chapitre passionnant sur les relations métriques dans un triangle rectangle! Aujourd'hui, nous allons explorer l'un des théorèmes les plus fondamentaux et les plus utiles en géométrie : le Théorème de Pythagore. Ce théorème est essentiel pour comprendre les propriétés des triangles rectangles et est largement utilisé dans de nombreux domaines, de la construction à l'ingénierie. À la fin de cette leçon, vous serez capables d'identifier les éléments d'un triangle rectangle et d'appliquer le théorème pour trouver des longueurs de côtés manquantes. ### Concepts Clés #### 1. Le Triangle Rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90 degrés). * **Hypoténuse :** C'est le côté le plus long du triangle rectangle. Il est toujours opposé à l'angle droit. * **Côtés de l'angle droit (ou cathètes) :** Ce sont les deux côtés qui forment l'angle droit. #### 2. Énoncé du Théorème de Pythagore Le Théorème de Pythagore établit une relation fondamentale entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Il stipule que : "Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes)." Si \(a\) et \(b\) sont les longueurs des cathètes et \(c\) est la longueur de l'hypoténuse, alors la formule est : \[ a^2 + b^2 = c^2 \] #### 3. Réciproque du Théorème de Pythagore La réciproque du Théorème de Pythagore nous permet de déterminer si un triangle est un triangle rectangle en connaissant la longueur de ses trois côtés. Elle stipule que : "Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle." Autrement dit, si \(c\) est le côté le plus long d'un triangle et que \(a^2 + b^2 = c^2\), alors le triangle est rectangle en l'angle opposé au côté \(c\). ### Vocabulaire * **Triangle rectangle :** Un triangle avec un angle de 90 degrés. * **Hypoténuse :** Le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit. * **Cathètes (ou côtés de l'angle droit) :** Les deux côtés d'un triangle rectangle qui forment l'angle droit. * **Théorème de Pythagore :** La règle \(a^2 + b^2 = c^2\) qui s'applique aux triangles rectangles. * **Réciproque :** L'énoncé inverse d'un théorème, utilisé pour vérifier si une propriété est vraie. * **Carré :** Le résultat de la multiplication d'un nombre par lui-même (ex: \(3^2 = 3 imes 3 = 9\)). * **Racine carrée :** L'opération inverse du carré (ex: la racine carrée de 9 est 3, notée \( \sqrt{9} = 3 \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Trouver la longueur de l'hypoténuse Un triangle rectangle a des cathètes de 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de son hypoténuse ? **Solution :** Soit \(a = 3\) cm et \(b = 4\) cm. Nous cherchons \(c\). En utilisant le Théorème de Pythagore : \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 3^2 + 4^2 = c^2 \] \[ 9 + 16 = c^2 \] \[ 25 = c^2 \] \[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \] cm L'hypoténuse mesure 5 cm. #### Exemple 2 : Trouver la longueur d'une cathète Un triangle rectangle a une hypoténuse de 10 cm et une cathète de 6 cm. Quelle est la longueur de l'autre cathète ? **Solution :** Soit \(c = 10\) cm et \(a = 6\) cm. Nous cherchons \(b\). En utilisant le Théorème de Pythagore : \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 6^2 + b^2 = 10^2 \] \[ 36 + b^2 = 100 \] Pour trouver \(b^2\), nous soustrayons 36 des deux côtés : \[ b^2 = 100 - 36 \] \[ b^2 = 64 \] \[ b = \sqrt{64} \] \[ b = 8 \] cm L'autre cathète mesure 8 cm. #### Exemple 3 : Vérifier si un triangle est rectangle (avec la réciproque) Les côtés d'un triangle mesurent 5 cm, 12 cm et 13 cm. Ce triangle est-il un triangle rectangle ? **Solution :** Le côté le plus long est 13 cm. Nous allons vérifier si \(5^2 + 12^2 = 13^2\). \[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ 13^2 = 169 \] Puisque \(5^2 + 12^2 = 13^2\), alors, d'après la réciproque du Théorème de Pythagore, ce triangle est bien un triangle rectangle. ### Exercices 1. Dans un triangle rectangle, les deux cathètes mesurent 6 cm et 8 cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse. 2. L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure 17 m et l'une des cathètes mesure 15 m. Quelle est la longueur de l'autre cathète ? 3. Un écran de télévision a une diagonale de 80 cm et une hauteur de 48 cm. Calcule la largeur de l'écran. 4. Un triangle a des côtés de longueurs 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-ce un triangle rectangle ? Justifie ta réponse. ### Devoir 1. Une échelle de 5 mètres est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 3 mètres de la base du mur. À quelle hauteur l'échelle atteint-elle le mur ? (Fais un schéma pour t'aider). 2. Calcule la longueur de la diagonale d'un carré dont les côtés mesurent 9 cm. 3. Les trois côtés d'un triangle mesurent 9, 12 et 16 unités. Est-ce un triangle rectangle ? Explique pourquoi. 4. Un maçon veut vérifier si un angle d'un mur est bien droit. Il mesure 120 cm d'un côté de l'angle et 160 cm de l'autre côté. La diagonale mesurée entre ces deux points est de 200 cm. L'angle est-il droit ? ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui que le Théorème de Pythagore est un outil puissant pour travailler avec les triangles rectangles. Il nous permet de : * Identifier les composants d'un triangle rectangle : l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) et les cathètes (les deux côtés qui forment l'angle droit). * Appliquer la formule principale \[ a^2 + b^2 = c^2 \] pour trouver la longueur d'un côté inconnu dans un triangle rectangle. * Utiliser la réciproque du Théorème de Pythagore pour vérifier si un triangle est rectangle en connaissant les longueurs de ses trois côtés. Ce théorème est fondamental en géométrie et a des applications pratiques très diverses. Continuez à vous entraîner pour maîtriser son utilisation !