Chap11 : Arcs de circonférence, position relative d’un cercle et une droite(Suite et fin)

# Chap11 : Arcs de circonférence, position relative d’un cercle et une droite(Suite et fin) ## Centre d’un arc de circonférence donné (part1) ### Introduction Dans cette leçon, nous allons apprendre une technique fondamentale en géométrie et en dessin : comment retrouver le centre d'un cercle lorsque nous n'avons qu'un morceau de sa circonférence, appelé un arc. C'est une compétence très utile pour pouvoir compléter un dessin ou comprendre les propriétés d'une forme courbe. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un arc de circonférence ? Un **arc de circonférence** est une portion, une partie, de la ligne courbe d'un cercle. Imaginez que vous coupiez une part de pizza : la croûte de cette part est un arc de circonférence. #### Rappel : le centre d'un cercle Le **centre** d'un cercle est le point qui est à égale distance de tous les points situés sur la circonférence du cercle. Cette distance s'appelle le **rayon** \(R\). #### La méthode des médiatrices pour trouver le centre d'un arc Pour trouver le centre d'un arc, nous allons utiliser une propriété importante des cercles et des segments de droite : 1. **Choix des points :** Sélectionnez au moins trois points distincts sur l'arc de circonférence donné. Nous en utiliserons trois pour la construction. 2. **Création de cordes :** Reliez deux de ces points pour former une première **corde**. Puis, reliez un des points de la première corde au troisième point pour former une deuxième **corde**. 3. **Construction des médiatrices :** La **médiatrice** d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire. La médiatrice de toute corde d'un cercle passe toujours par le centre du cercle. * Construisez la médiatrice de la première corde. * Construisez la médiatrice de la deuxième corde. 4. **Détermination du centre :** Le point où les deux médiatrices se coupent est le **centre** de l'arc (et donc du cercle entier dont l'arc fait partie). ### Vocabulaire * **Arc de circonférence :** Une partie de la circonférence d'un cercle. * **Circonférence :** Le périmètre d'un cercle, la ligne courbe qui le délimite. * **Centre :** Le point central d'un cercle, équidistant de tous les points de la circonférence. * **Rayon :** La distance du centre à n'importe quel point de la circonférence. Noté \(R\) ou \(r\). * **Corde :** Un segment de droite qui relie deux points d'une circonférence. * **Médiatrice :** Une droite qui coupe un segment en son milieu et lui est perpendiculaire. ### Exemples **Exemple 1 : Trouver le centre d'un arc donné** Imaginez que vous avez un arc de cercle dessiné sur une feuille. Suivons les étapes pour trouver son centre : 1. **Étape 1 :** Dessinez l'arc (ou utilisez l'arc déjà dessiné). 2. **Étape 2 :** Choisissez trois points sur cet arc. Appelons-les A, B et C. 3. **Étape 3 :** Tracez la corde AB et la corde BC. 4. **Étape 4 :** À l'aide d'une règle et d'un compas, construisez la médiatrice du segment AB. (Rappel : ouvrez le compas à plus de la moitié de la longueur AB, tracez des arcs de cercle depuis A et B, puis reliez les points d'intersection des arcs). 5. **Étape 5 :** De la même manière, construisez la médiatrice du segment BC. 6. **Étape 6 :** Le point où les deux médiatrices se croisent est le centre du cercle. Appelons-le O. 7. **Étape 7 (facultatif) :** Vous pouvez maintenant vérifier en plaçant la pointe de votre compas en O et en ouvrant le compas jusqu'à A (ou B ou C). Vous devriez pouvoir tracer le cercle complet qui contient l'arc original. ### Exercices 1. Sur une feuille de papier, tracez un arc de cercle à main levée (n'essayez pas de faire un cercle complet). Utilisez la méthode des médiatrices pour trouver le centre de cet arc. Vérifiez votre construction avec un compas. 2. Expliquez avec vos propres mots pourquoi la médiatrice d'une corde passe toujours par le centre du cercle. ### Devoirs 1. Répétez l'exercice 1 avec trois arcs de tailles différentes. Assurez-vous d'être précis avec vos constructions. Prenez une photo ou joignez vos constructions à votre devoir. 2. Cherchez des objets autour de vous qui contiennent des arcs de cercle (par exemple, le bord d'une tasse, une fenêtre en arc, etc.). Choisissez-en un et essayez d'imaginer où serait son centre s'il était un cercle complet. Si possible, faites un croquis et indiquez le centre approximatif. ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui comment retrouver le centre d'un cercle à partir d'un simple arc de circonférence. La méthode clé consiste à choisir trois points sur l'arc, former deux cordes, puis construire les médiatrices de ces cordes. L'intersection de ces médiatrices nous donne le centre du cercle. Cette technique est essentielle pour la construction géométrique et la compréhension des propriétés des cercles. ## Centre d’un arc de circonférence donné (part2) ### Introduction Bonjour les futurs dessinateurs! Aujourd'hui, nous allons continuer notre exploration des arcs de circonférence. Dans la leçon précédente, nous avons commencé à comprendre ce qu'est un arc. Aujourd'hui, nous allons apprendre une méthode très importante pour trouver le **centre** d'un arc de circonférence lorsque celui-ci est déjà dessiné. Connaître le centre nous permet de mieux comprendre et de reproduire précisément ces formes courbées. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un arc de circonférence ? Un arc de circonférence est une **partie** d'une circonférence (un cercle). Imaginez que vous coupez une part de gâteau, le bord extérieur de cette part est un arc! Chaque arc vient d'une circonférence qui a un **centre** et un **rayon**. Notre défi est de trouver ce centre. #### La méthode des médiatrices Pour trouver le centre d'un arc, nous allons utiliser une astuce de géométrie très pratique qui s'appelle la **méthode des médiatrices**. ##### Étape 1 : Choisir des points sur l'arc 1. Sur l'arc de circonférence que l'on vous donne, choisissez **trois points** différents. Appelons-les A, B et C. Il est préférable que ces points ne soient pas trop proches les uns des autres pour plus de précision. ##### Étape 2 : Dessiner des cordes 2. Reliez le point A au point B avec une ligne droite. Cette ligne s'appelle une **corde**. 3. Reliez le point B au point C avec une autre ligne droite. C'est une deuxième corde. ##### Étape 3 : Construire les médiatrices 4. **Pour la corde AB :** Trouvez le milieu du segment AB. Dessinez une ligne droite qui passe par ce milieu et qui est **perpendiculaire** (forme un angle droit de 90 degrés) à la corde AB. Cette ligne s'appelle la **médiatrice** du segment AB. 5. **Pour la corde BC :** Faites la même chose. Trouvez le milieu du segment BC. Dessinez une ligne droite qui passe par ce milieu et qui est **perpendiculaire** à la corde BC. C'est la médiatrice du segment BC. ##### Étape 4 : Trouver le centre 6. Les deux médiatrices que vous avez dessinées (celle de AB et celle de BC) vont se **croiser** en un point. Ce point d'intersection est le **centre** de l'arc de circonférence! Nous l'appellerons le point O. #### Pourquoi ça marche ? Chaque médiatrice d'une corde d'une circonférence passe toujours par le centre de cette circonférence. Donc, en ayant deux médiatrices de deux cordes différentes, leur point d'intersection doit forcément être le centre! ### Vocabulaire * **Arc de circonférence :** Une portion de la ligne courbe d'une circonférence. * **Circonférence :** Le contour d'un cercle. * **Centre :** Le point central d'un cercle ou d'une circonférence, d'où partent tous les rayons. * **Rayon :** La distance entre le centre et n'importe quel point de la circonférence. * **Corde :** Un segment de droite qui relie deux points d'une circonférence ou d'un arc. * **Médiatrice :** Une ligne droite qui coupe un segment en son milieu et qui est perpendiculaire à ce segment. * **Perpendiculaire :** Deux lignes sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle de 90 degrés. * **Compas :** Un instrument de dessin utilisé pour tracer des cercles et des arcs. * **Équerre :** Un instrument de dessin utilisé pour tracer des lignes droites et vérifier les angles droits. * **Règle :** Un instrument de dessin utilisé pour tracer des lignes droites et mesurer des distances. ### Exemples #### Exemple de construction pas à pas Imaginons que vous avez un arc dessiné sur votre feuille de papier. 1. **Dessinez l'arc :** Prenez votre compas et tracez un arc de circonférence sans noter le centre. 2. **Marquez les points :** Placez trois points distincts sur cet arc. Nommez-les A, B et C. 3. **Tracez les cordes :** * Avec votre règle, tracez un segment de A à B. C'est la corde AB. * Avec votre règle, tracez un segment de B à C. C'est la corde BC. 4. **Construisez la médiatrice de AB :** * Prenez votre compas. Placez la pointe sur A et ouvrez-le un peu plus que la moitié de la longueur de AB. Tracez un petit arc au-dessus et en dessous de AB. * Sans changer l'ouverture du compas, placez la pointe sur B et tracez deux autres petits arcs qui coupent les premiers. * Avec votre règle, reliez les deux points où les arcs se croisent. Cette ligne est la médiatrice de AB. 5. **Construisez la médiatrice de BC :** * Répétez l'étape 4 pour la corde BC. 6. **Trouvez le centre :** Observez où la médiatrice de AB et la médiatrice de BC se croisent. Marquez ce point. C'est le centre O de votre arc ! Vous pouvez vérifier en plaçant la pointe de votre compas sur O et en l'ouvrant jusqu'à A (ou B ou C) ; il devrait pouvoir retracer parfaitement l'arc. ### Exercices 1. Sur une feuille de papier, dessinez un arc de circonférence à main levée (ou en utilisant une forme arrondie). En utilisant la méthode des médiatrices, trouvez son centre. 2. Tracez trois points non alignés (qui ne sont pas sur la même ligne droite) : P, Q et R. Trouvez le centre de la circonférence qui passe par ces trois points en utilisant la méthode apprise aujourd'hui. (Indice : P, Q, R sont des points sur l'arc recherché). 3. Expliquez avec vos propres mots pourquoi il faut au moins trois points pour trouver le centre d'un arc de circonférence. ### Devoirs 1. Dessinez un grand arc de circonférence sur une nouvelle feuille. Trouvez son centre O avec la plus grande précision possible. Une fois le centre trouvé, utilisez votre compas pour redessiner l'arc complet afin de vérifier votre travail. 2. Imaginez que vous êtes un dessinateur industriel et que vous devez reproduire une pièce avec une courbe. Si l'on vous donne seulement trois points sur cette courbe, comment feriez-vous pour trouver le rayon et le centre de cette courbe ? Expliquez votre démarche. 3. Recherchez à quoi servent les arcs de circonférence dans le dessin technique ou l'architecture. Donnez un exemple concret. ### Résumé Aujourd'hui, nous avons appris une technique essentielle pour tout dessinateur : comment trouver le centre d'un arc de circonférence donné. Nous avons utilisé la **méthode des médiatrices**. Rappelez-vous les étapes clés : 1. Choisir trois points sur l'arc. 2. Tracer deux cordes entre ces points. 3. Construire la médiatrice de chaque corde. 4. L'intersection de ces deux médiatrices est le centre de l'arc. Cette compétence est fondamentale pour la précision de vos dessins. Continuez à pratiquer pour devenir de vrais experts en géométrie! ## Centre d'un arc de circonférence passant par trois points donnés ### Introduction Bienvenue à cette leçon de dessin technique! Aujourd'hui, nous allons découvrir comment trouver un point très spécial: le centre d'un arc de circonférence. Imaginez que vous avez trois points et que vous voulez dessiner une partie de cercle (un arc) qui passe exactement par ces trois points. Pour cela, nous avons besoin de trouver le centre de ce cercle imaginaire. C'est une compétence essentielle pour de nombreux dessins techniques et de conception. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un arc de circonférence? Un arc de circonférence est simplement une partie d'un cercle. Pensez à une tranche de pizza coupée sur le bord extérieur; le bord incurvé de cette tranche est un arc. #### Propriété fondamentale du cercle Le centre d'un cercle est toujours à la même distance de n'importe quel point situé sur le cercle. Cette distance est le rayon. C'est pourquoi, pour trouver le centre d'un arc qui passe par trois points, nous cherchons un point qui est équidistant de ces trois points. #### Méthode de construction du centre Pour trouver le centre d'un cercle (ou d'un arc) passant par trois points (appelons-les A, B et C) qui ne sont pas alignés, nous allons utiliser une méthode basée sur les médiatrices. 1. **Tracer les segments:** Reliez les points A et B pour former le segment AB. Reliez ensuite les points B et C pour former le segment BC. 2. **Construire la médiatrice du segment AB:** La médiatrice d'un segment est la ligne qui le coupe en son milieu et qui est perpendiculaire au segment. Tous les points sur cette ligne sont équidistants des extrémités du segment (A et B). * Prenez votre compas et, avec une ouverture supérieure à la moitié de la longueur de AB, tracez un arc de cercle depuis le point A. Faites de même depuis le point B avec la même ouverture. * Les deux arcs se croisent en deux points. Reliez ces deux points pour tracer la médiatrice du segment AB. 3. **Construire la médiatrice du segment BC:** Répétez l'étape précédente pour le segment BC. Tous les points sur cette ligne sont équidistants des extrémités du segment (B et C). * Avec votre compas, tracez des arcs depuis B et C avec une ouverture adéquate. * Reliez les points d'intersection des arcs pour tracer la médiatrice du segment BC. 4. **Trouver le centre:** Le point où les deux médiatrices (celle de AB et celle de BC) se coupent est le centre du cercle (et de l'arc) qui passe par les trois points A, B et C. Appelons ce point O. #### Justification mathématique Si le point O est sur la médiatrice de AB, alors la distance de O à A est égale à la distance de O à B. Autrement dit, \( OA = OB \). Si le point O est sur la médiatrice de BC, alors la distance de O à B est égale à la distance de O à C. Autrement dit, \( OB = OC \). Par conséquent, \( OA = OB = OC \). Cela signifie que le point O est bien équidistant des trois points A, B et C, et qu'il est donc le centre du cercle passant par ces trois points. ### Vocabulaire * **Arc de circonférence:** Une partie d'un cercle. (en anglais: *arc of a circle*) * **Centre:** Le point central d'un cercle, équidistant de tous les points sur le cercle. (en anglais: *center*) * **Rayon:** La distance du centre à n'importe quel point sur le cercle. (en anglais: *radius*) * **Médiatrice:** Une ligne perpendiculaire à un segment et qui passe par son milieu. Tous les points de la médiatrice sont équidistants des extrémités du segment. (en anglais: *perpendicular bisector*) * **Segments:** Une partie d'une ligne droite entre deux points. (en anglais: *line segments*) * **Équidistant:** À égale distance. (en anglais: *equidistant*) ### Exemples **Exemple 1: Dessin d'une pièce mécanique** Imaginez que vous dessinez une pièce de machine qui a une courbure spécifique. Le concepteur vous donne trois points par lesquels cette courbure doit passer. En utilisant la méthode des médiatrices, vous pouvez trouver le centre de l'arc et ensuite tracer précisément la courbure avec votre compas. **Exemple 2: Conception architecturale** En architecture, des arcs sont souvent utilisés pour les fenêtres, les portes ou les voûtes. Si vous connaissez trois points sur le contour désiré d'une arche, vous pouvez déterminer le centre pour tracer la courbe parfaite. ### Exercices 1. Tracez trois points non alignés (A, B, C) sur une feuille de papier. * a) Tracez le segment AB. * b) Construisez la médiatrice du segment AB en utilisant un compas et une règle. 2. En utilisant les mêmes points A, B, C de l'exercice 1: * a) Tracez le segment BC. * b) Construisez la médiatrice du segment BC. * c) Identifiez le point d'intersection des deux médiatrices. C'est le centre de l'arc. Nommez-le O. * d) Avec votre compas, placez la pointe sèche sur O et le crayon sur A. Dessinez l'arc passant par A, B et C. ### Devoir 1. Sur une nouvelle feuille, dessinez un triangle quelconque (un triangle qui n'est ni équilatéral, ni isocèle, ni rectangle). Appelez ses sommets P, Q et R. 2. En utilisant la méthode des médiatrices, trouvez le centre du cercle qui passe par les trois sommets de votre triangle. Ce cercle est appelé le **cercle circonscrit** au triangle. 3. Après avoir trouvé le centre, tracez le cercle entier. Est-ce que le cercle passe bien par les trois sommets P, Q et R? 4. Expliquez en vos propres mots pourquoi il est nécessaire de construire au moins deux médiatrices pour trouver le centre. ### Résumé Aujourd'hui, nous avons appris une méthode très importante en dessin géométrique: comment trouver le centre d'un arc de circonférence qui passe par trois points donnés. La clé est d'utiliser les **médiatrices** des segments formés par ces points. En construisant la médiatrice de deux segments différents (par exemple AB et BC), le point où ces deux médiatrices se rencontrent est le **centre** du cercle. Ce centre est équidistant des trois points, ce qui nous permet de tracer l'arc ou le cercle avec précision. Cette technique est fondamentale pour le dessin technique, l'architecture et bien d'autres domaines. ## Position relative d'une droite et un cercle (tangente, corde) ### Introduction Bonjour les artistes en herbe ! Aujourd'hui, nous allons découvrir comment une ligne droite et un joli cercle peuvent se rencontrer. Est-ce qu'ils se coupent, est-ce qu'ils se touchent juste un peu, ou est-ce qu'ils ne se rencontrent pas du tout ? Nous allons apprendre tout cela en dessinant ! ### Concepts Clés #### 1. La position d'une droite par rapport à un cercle Imagine un cercle, comme une roue. Une ligne droite peut se placer de trois façons différentes par rapport à lui. ##### Droite extérieure (Elle ne touche pas le cercle) * Une droite est extérieure au cercle quand elle passe *à côté* du cercle sans jamais le toucher. Elle est loin du cercle. * **Dessine-la :** Trace un cercle, puis dessine une ligne droite qui passe loin de lui. ##### Droite sécante (Elle coupe le cercle) * Une droite est sécante au cercle quand elle traverse le cercle en *deux points* différents. C'est comme couper une part de gâteau rond. * **Dessine-la :** Trace un cercle, puis dessine une ligne droite qui passe à travers le cercle. Tu verras qu'elle le coupe à deux endroits. ##### Droite tangente (Elle touche le cercle en un seul point) * Une droite est tangente au cercle quand elle touche le cercle *en un seul petit point*. C'est comme la roue d'un vélo qui touche la route : elle touche le sol en un seul point à la fois. * **Dessine-la :** Trace un cercle, puis dessine une ligne droite qui vient juste toucher le bord du cercle en un seul point, sans le traverser. #### 2. La Corde * Quand une droite coupe un cercle (elle est sécante), le morceau de droite qui est *à l'intérieur* du cercle s'appelle une **corde**. * Imagine une guitare : les cordes sont droites et tendues à l'intérieur de la forme ronde de la guitare. * **Dessine-la :** Dessine un cercle et une droite sécante. Colorie le segment de droite qui est à l'intérieur du cercle. C'est la corde ! * Le **diamètre** est une corde spéciale : c'est la corde la plus longue qui passe par le centre du cercle. #### 3. Le Point de Tangence * Pour une droite tangente, le seul point où elle touche le cercle s'appelle le **point de tangence**. * C'est le point de contact unique entre la droite et le cercle. ### Vocabulaire * **Cercle :** Une forme ronde parfaite. * **Droite :** Une ligne qui est parfaitement droite et qui n'a pas de fin. * **Point :** Un endroit très précis, comme la pointe d'un crayon. * **Extérieure :** Qui est à l'extérieur, loin de. * **Sécante :** Une droite qui coupe le cercle en deux points. * **Corde :** Le segment d'une droite sécante qui est à l'intérieur du cercle. * **Tangente :** Une droite qui touche le cercle en un seul point. * **Point de tangence :** Le point où une droite tangente touche le cercle. * **Rayon :** Une ligne droite qui va du centre du cercle jusqu'à son bord. * **Diamètre :** La corde la plus longue d'un cercle, qui passe par son centre. C'est deux fois la longueur du rayon. ### Exemples 1. **Une corde :** Si tu coupes une pizza ronde avec une ligne droite, la coupe à l'intérieur de la pizza est une corde. 2. **Une tangente :** Une voiture qui roule sur une route droite. Les pneus de la voiture touchent le sol en un seul point à chaque instant. La route est tangente aux roues. 3. **Une sécante :** Un avion qui traverse un nuage rond. La trajectoire de l'avion coupe le nuage à deux endroits. 4. **Extérieure :** Un oiseau qui vole loin d'un ballon rond. L'oiseau et le ballon ne se touchent pas. ### Exercices 1. **Observe et identifie :** Regarde les dessins ci-dessous. Pour chaque ligne, dis si elle est *extérieure*, *sécante* ou *tangente* au cercle. * (Dessin 1 : un cercle et une ligne qui passe loin) -> __________ * (Dessin 2 : un cercle et une ligne qui le coupe en deux points) -> __________ * (Dessin 3 : un cercle et une ligne qui le touche juste en un point) -> __________ 2. **Dessine-moi un cercle !** Sur une feuille, dessine un grand cercle. Ensuite, dessine : * Une droite sécante et colorie la corde. * Une droite tangente et marque d'une croix le point de tangence. * Une droite extérieure. ### Devoirs 1. **Chasse aux cercles :** Cherche autour de toi des objets ronds (assiette, horloge, roue). Dessine-les et essaie d'imaginer des droites qui seraient sécantes, tangentes ou extérieures à ces objets. 2. **Dessin libre :** Sur une nouvelle feuille, dessine un grand cercle. Maintenant, utilise des lignes droites pour créer un beau dessin en utilisant des droites sécantes, tangentes et extérieures. Par exemple, tu pourrais dessiner un soleil (cercle) et ses rayons (droites tangentes ou sécantes). ### Résumé Bravo ! Aujourd'hui, nous avons appris les différentes façons dont une ligne droite et un cercle peuvent se rencontrer. Nous avons vu : * La droite **extérieure** qui ne touche pas le cercle. * La droite **sécante** qui coupe le cercle en deux points, et le morceau à l'intérieur s'appelle une **corde**. * La droite **tangente** qui touche le cercle en un seul point, appelé le **point de tangence**. Continue de t'entraîner à les dessiner et à les reconnaître partout autour de toi !