Méthodes d'analyse de circuits (association des dipoles actifs non identiques)

# Méthodes d'analyse de circuits (association des dipoles actifs non identiques) ## Théorèmes du pont diviseur ### Introduction Dans l'étude des circuits électriques, il est souvent nécessaire de déterminer la tension aux bornes d'une résistance ou le courant qui la traverse, sans devoir résoudre un système d'équations complexe. Les théorèmes du pont diviseur de tension et du pont diviseur de courant sont des outils puissants qui simplifient grandement cette tâche pour des configurations de circuits spécifiques. Cette leçon vous expliquera comment utiliser ces théorèmes, y compris dans le contexte de circuits contenant des dipôles actifs non identiques, où des méthodes complémentaires sont parfois nécessaires. ### Concepts Clés #### Le Pont Diviseur de Tension (PDT) Le théorème du pont diviseur de tension est utilisé pour déterminer la tension aux bornes d'une résistance lorsque plusieurs résistances sont connectées en série et alimentées par une source de tension unique. * **Principe:** Lorsque des résistances sont en série, le courant est le même à travers chacune d'elles. La tension totale se divise entre elles proportionnellement à leur résistance. * **Conditions d'application:** S'applique à des résistances en série alimentées par une source de tension. * **Formule:** La tension \( V_x \) aux bornes d'une résistance \( R_x \) dans une série de résistances est donnée par: \[ V_x = V_{total} \frac{R_x}{R_{total}} \] où: * \( V_{total} \) est la tension totale appliquée à l'ensemble des résistances en série. * \( R_x \) est la résistance aux bornes de laquelle on veut calculer la tension. * \( R_{total} \) est la somme de toutes les résistances en série (\( R_{total} = R_1 + R_2 + ... + R_n \)). #### Le Pont Diviseur de Courant (PDC) Le théorème du pont diviseur de courant est utilisé pour déterminer le courant traversant une résistance lorsque plusieurs résistances sont connectées en parallèle et alimentées par une source de courant unique. * **Principe:** Lorsque des résistances sont en parallèle, la tension à leurs bornes est la même. Le courant total se divise entre elles de manière inversement proportionnelle à leur résistance (ou directement proportionnelle à leur conductance). * **Conditions d'application:** S'applique à des résistances en parallèle alimentées par une source de courant (ou une source de tension avec une résistance équivalente en série pour convertir en source de courant équivalente). * **Formule (pour deux résistances en parallèle):** Pour un courant total \( I_{total} \) qui se divise entre deux résistances parallèles \( R_1 \) et \( R_2 \), le courant \( I_1 \) traversant \( R_1 \) est donné par: \[ I_1 = I_{total} \frac{R_2}{R_1 + R_2} \] Et le courant \( I_2 \) traversant \( R_2 \) est donné par: \[ I_2 = I_{total} \frac{R_1}{R_1 + R_2} \] * **Note:** Pour plus de deux résistances en parallèle, on peut regrouper les résistances restantes en une résistance équivalente pour appliquer la formule ci-dessus, ou utiliser la formule générale avec les conductances (\( G = 1/R \)): \( I_x = I_{total} \frac{G_x}{G_{total}} \). #### Application dans des Circuits avec Dipôles Actifs Non Identiques Les théorèmes de pont diviseur s'appliquent directement aux réseaux *passifs* (ne contenant que des résistances). Lorsque le circuit contient plusieurs sources d'énergie (dipôles actifs non identiques), l'application directe de ces théorèmes n'est généralement pas possible sur l'ensemble du circuit. Cependant, ils restent extrêmement utiles en combinaison avec d'autres méthodes d'analyse de circuits. * **Limitation des Théorèmes de Pont Diviseur:** Les formules de base supposent une seule source de tension pour le PDT et une seule source de courant pour le PDC, appliquée à un réseau passif. * **Méthodes d'Analyse Complémentaires:** Pour les circuits avec plusieurs sources indépendantes (dipôles actifs), on utilise souvent des méthodes telles que: * **Le Théorème de Superposition:** Permet d'analyser le circuit en considérant une seule source active à la fois, en éteignant les autres (les sources de tension sont court-circuitées, les sources de courant sont ouvertes). Les effets de chaque source sont ensuite additionnés. * **Les Théorèmes de Thévenin et Norton:** Permettent de simplifier une partie complexe d'un circuit en une source de tension équivalente avec une résistance série (Thévenin) ou une source de courant équivalente avec une résistance parallèle (Norton). * **Application Combinée:** Une fois que le circuit a été simplifié par la superposition ou les équivalents de Thévenin/Norton, les théorèmes du pont diviseur peuvent souvent être appliqués aux parties passives du circuit résultant pour trouver les tensions ou les courants souhaités. ### Vocabulaire * **Pont Diviseur de Tension (PDT):** Configuration de résistances en série pour diviser une tension. * **Pont Diviseur de Courant (PDC):** Configuration de résistances en parallèle pour diviser un courant. * **Résistance Équivalente (\( R_{eq} \)):** Résistance unique qui peut remplacer un ensemble de résistances sans changer les caractéristiques du circuit. * **Source de Tension:** Un composant qui fournit une tension constante ou variable. * **Source de Courant:** Un composant qui fournit un courant constant ou variable. * **Dipôle Actif:** Un composant qui peut générer de l'énergie (ex: piles, générateurs). * **Dipôle Passif:** Un composant qui consomme ou stocke de l'énergie, mais n'en génère pas (ex: résistances, condensateurs, inductances). * **Superposition:** Méthode d'analyse de circuits avec plusieurs sources en considérant l'effet de chaque source séparément puis en additionnant les résultats. ### Exemples #### Exemple 1: Pont Diviseur de Tension Simple Considérons un circuit avec une source de tension \( V_{total} = 12 \text{ V} \) et deux résistances en série: \( R_1 = 100 \Omega \) et \( R_2 = 200 \Omega \). Calculons la tension \( V_2 \) aux bornes de \( R_2 \). 1. **Résistance totale:** \( R_{total} = R_1 + R_2 = 100 \Omega + 200 \Omega = 300 \Omega \). 2. **Application de la formule PDT:** \[ V_2 = V_{total} \frac{R_2}{R_{total}} = 12 \text{ V} \frac{200 \Omega}{300 \Omega} = 12 \text{ V} \times \frac{2}{3} = 8 \text{ V} \] La tension aux bornes de \( R_2 \) est de 8 V. #### Exemple 2: Pont Diviseur de Courant Simple Considérons un circuit où un courant total \( I_{total} = 3 \text{ A} \) se divise entre deux résistances en parallèle: \( R_1 = 6 \Omega \) et \( R_2 = 3 \Omega \). Calculons le courant \( I_1 \) traversant \( R_1 \) et \( I_2 \) traversant \( R_2 \). 1. **Application de la formule PDC:** \[ I_1 = I_{total} \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 3 \text{ A} \frac{3 \Omega}{6 \Omega + 3 \Omega} = 3 \text{ A} \times \frac{3}{9} = 3 \text{ A} \times \frac{1}{3} = 1 \text{ A} \] \[ I_2 = I_{total} \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 3 \text{ A} \frac{6 \Omega}{6 \Omega + 3 \Omega} = 3 \text{ A} \times \frac{6}{9} = 3 \text{ A} \times \frac{2}{3} = 2 \text{ A} \] Les courants sont \( I_1 = 1 \text{ A} \) et \( I_2 = 2 \text{ A} \). #### Exemple 3: Circuit avec Dipôles Actifs (Utilisation de la Superposition) Soit un circuit avec deux sources de tension et des résistances. Pour déterminer la tension aux bornes d'une résistance, nous utiliserions la superposition. Les étapes seraient: 1. **Étape 1: Activer Source 1 seulement.** Éteindre Source 2 (la court-circuiter si c'est une source de tension). Le circuit résultant est passif et peut être analysé en utilisant le PDT ou le PDC. 2. **Étape 2: Activer Source 2 seulement.** Éteindre Source 1 (la court-circuiter). Le circuit résultant est également passif et peut être analysé en utilisant le PDT ou le PDC. 3. **Combinaison:** La tension ou le courant total est la somme des contributions de chaque source. Par exemple, si l'étape 1 donne une tension de 5V et l'étape 2 une tension de 3V sur la même résistance, la tension réelle sera de 8V. ### Exercices 1. Un circuit en série est composé d'une source de tension de \( 24 \text{ V} \), d'une résistance \( R_1 = 1 \text{ k}\Omega \), \( R_2 = 2 \text{ k}\Omega \) et \( R_3 = 3 \text{ k}\Omega \). Calculez la tension aux bornes de \( R_2 \). 2. Un courant de \( 100 \text{ mA} \) entre dans une jonction où il se divise entre deux résistances en parallèle: \( R_A = 500 \Omega \) et \( R_B = 250 \Omega \). Déterminez le courant traversant \( R_A \). 3. Expliquez pourquoi les théorèmes de pont diviseur de tension et de courant ne peuvent pas être appliqués directement à un circuit avec deux sources de tension indépendantes. ### Devoir 1. Concevez un pont diviseur de tension pour fournir une tension de \( 5 \text{ V} \) à partir d'une source de \( 15 \text{ V} \) en utilisant seulement deux résistances. Quelles pourraient être les valeurs de ces résistances (donnez au moins deux paires de valeurs possibles)? 2. Trois résistances sont connectées en parallèle: \( R_1 = 10 \Omega \), \( R_2 = 20 \Omega \), \( R_3 = 50 \Omega \). Un courant total de \( 2.8 \text{ A} \) entre dans ce réseau. Calculez le courant traversant \( R_3 \). 3. Recherchez et expliquez brièvement le théorème de Thévenin et comment il peut être utilisé pour simplifier un circuit contenant des dipôles actifs avant d'appliquer un théorème de pont diviseur à une partie du circuit. ### Résumé Les théorèmes du pont diviseur de tension et de courant sont des méthodes essentielles pour analyser les circuits électriques. Le pont diviseur de tension simplifie le calcul des tensions dans un circuit série, tandis que le pont diviseur de courant facilite le calcul des courants dans un circuit parallèle. Bien que ces théorèmes s'appliquent directement aux réseaux passifs, ils sont indispensables en conjonction avec des méthodes comme la superposition ou les équivalents de Thévenin/Norton pour l'analyse de circuits plus complexes contenant des dipôles actifs non identiques. La maîtrise de ces outils est fondamentale pour la conception et l'analyse de circuits électroniques. ## Kirchhoff et Thevenin ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les méthodes d'analyse de circuits électriques ! Dans le monde de l'électricité, les circuits peuvent rapidement devenir complexes, surtout lorsqu'ils contiennent plusieurs sources d'énergie (appelées dipôles actifs) qui ne sont pas identiques. Pour comprendre et prédire le comportement de ces circuits, nous avons besoin d'outils puissants. Cette leçon vous introduira à deux de ces méthodes fondamentales : les lois de Kirchhoff, qui sont les bases de l'analyse de circuit, et le théorème de Thévenin, une technique astucieuse pour simplifier des parties de circuits complexes. Maîtriser ces concepts vous permettra de résoudre une grande variété de problèmes de circuits. ### Concepts Clés #### Les Lois de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff sont deux règles fondamentales qui décrivent la conservation de la charge et de l'énergie dans un circuit électrique. Elles sont essentielles pour l'analyse de circuits plus complexes. ##### Loi des Nœuds (LKC - Loi des Courants de Kirchhoff) * **Principe** : La somme algébrique des courants électriques qui entrent dans un nœud (ou qui en sortent) est égale à zéro. En d'autres termes, tout ce qui entre doit sortir. * **Formule** : \[ \sum I_{entrants} = \sum I_{sortants} \] ou \[ \sum_{k=1}^{n} I_k = 0 \] (où \( I_k \) est le courant dans la \( k \)-ième branche connectée au nœud, avec un signe conventionnel). * **Application** : Idéale pour analyser la distribution des courants dans les différentes branches d'un circuit. ##### Loi des Mailles (LKT - Loi des Tensions de Kirchhoff) * **Principe** : La somme algébrique des tensions le long de n'importe quelle maille fermée (boucle) dans un circuit est égale à zéro. Cela reflète le principe de conservation de l'énergie. * **Formule** : \[ \sum U_k = 0 \] (où \( U_k \) est la tension aux bornes du \( k \)-ième composant dans la maille, avec un signe conventionnel). * **Application** : Utile pour trouver les tensions inconnues ou pour vérifier la cohérence des tensions dans une boucle. #### Théorème de Thévenin Le théorème de Thévenin est un outil puissant pour simplifier des portions de circuits complexes en un équivalent plus simple. Il est particulièrement utile lorsqu'on veut analyser l'effet d'une charge variable sur un circuit donné. ##### Principe de l'Équivalent de Thévenin * Tout circuit linéaire à deux bornes peut être remplacé par un générateur de tension idéal \( U_{Th} \) en série avec une résistance \( R_{Th} \). * **Avantage** : Permet de remplacer une partie complexe du circuit par un modèle simple, facilitant l'analyse de la partie restante (la charge). ##### Calcul de la Tension de Thévenin (\( U_{Th} \)) * C'est la tension à vide (circuit ouvert) mesurée entre les deux bornes A et B du circuit dont on cherche l'équivalent de Thévenin. * **Méthode** : Déconnectez la charge entre les bornes A et B. Calculez la tension \( V_{AB} \) en utilisant les lois de Kirchhoff ou d'autres méthodes d'analyse de circuit. ##### Calcul de la Résistance de Thévenin (\( R_{Th} \)) * C'est la résistance équivalente vue entre les bornes A et B lorsque toutes les sources indépendantes à l'intérieur du circuit sont éteintes. * **Sources de tension indépendantes** : Remplacées par un court-circuit (fil). * **Sources de courant indépendantes** : Remplacées par un circuit ouvert (on enlève la source). * **Méthode** : Éteignez toutes les sources indépendantes, puis calculez la résistance équivalente entre A et B en simplifiant les résistances en série et en parallèle. ##### Association de Dipôles Actifs non Identiques * Les théorèmes de Kirchhoff et Thévenin sont particulièrement efficaces pour analyser des circuits contenant plusieurs sources de tension ou de courant (dipôles actifs) qui n'ont pas les mêmes caractéristiques (par exemple, des tensions différentes ou des résistances internes différentes). * Thévenin permet de réduire des sous-circuits complexes avec plusieurs sources à une seule source équivalente, simplifiant ainsi l'ensemble de l'analyse. ### Vocabulaire * **Nœud** : Point d'un circuit où au moins trois branches se rejoignent. * **Maille** : Chemin fermé dans un circuit électrique, commençant et finissant au même point sans passer deux fois par le même nœud intermédiaire. * **Branche** : Partie d'un circuit située entre deux nœuds consécutifs et contenant un ou plusieurs éléments. * **Dipôle actif** : Composant ou source capable de fournir de l'énergie au circuit (ex: pile, générateur de tension ou de courant). * **Source de tension indépendante** : Composant qui maintient une tension constante à ses bornes, quelle que soit la charge. * **Source de courant indépendante** : Composant qui maintient un courant constant, quelle que soit la tension à ses bornes. * **Résistance de Thévenin (\( R_{Th} \))** : Résistance équivalente d'un circuit vue de ses bornes après avoir neutralisé toutes les sources internes. * **Tension de Thévenin (\( U_{Th} \))** : Tension à vide (en circuit ouvert) mesurée aux bornes d'un circuit dont on cherche l'équivalent de Thévenin. ### Exemples #### Exemple 1 : Application des Lois de Kirchhoff Considérons le circuit suivant avec deux sources de tension \( E_1 = 10 \text{ V} \) et \( E_2 = 5 \text{ V} \), et trois résistances \( R_1 = 2 \Omega \), \( R_2 = 3 \Omega \), \( R_3 = 4 \Omega \). ```mermaid graph TD A[E1] -- R1 --> B B -- R2 --> C C -- E2 --> D D -- R3 --> A A --- E1 --- D B --- R2 --- C style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 style D fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000 linkStyle 0 stroke:#000,stroke-width:2px linkStyle 1 stroke:#000,stroke-width:2px linkStyle 2 stroke:#000,stroke-width:2px linkStyle 3 stroke:#000,stroke-width:2px ``` (Note: Le diagramme Mermaid ci-dessus est une représentation simplifiée et ne peut pas représenter toutes les subtilités d'un circuit électrique avec des boucles et des nœuds spécifiques. Pour un circuit réel, dessinez-le sur papier ou utilisez un simulateur.) Nous définissons les courants \( I_1 \) dans \( R_1 \), \( I_2 \) dans \( R_2 \) et \( I_3 \) dans \( R_3 \). * **Loi des nœuds** : Si nous avons un nœud où \( I_1 \) entre et \( I_2 \) et \( I_3 \) sortent, alors \( I_1 = I_2 + I_3 \). * **Loi des mailles** : Pour la première maille (incluant \( E_1 \), \( R_1 \), \( R_2 \)), en parcourant dans le sens des aiguilles d'une montre: \[ E_1 - I_1 R_1 - I_2 R_2 = 0 \] Pour la deuxième maille (incluant \( E_2 \), \( R_3 \), \( R_2 \)), en parcourant dans le sens des aiguilles d'une montre: \[ E_2 - I_3 R_3 + I_2 R_2 = 0 \] Nous avons un système de trois équations à trois inconnues \( (I_1, I_2, I_3) \) que nous pouvons résoudre pour trouver les courants. #### Exemple 2 : Application du Théorème de Thévenin Soit un circuit composé d'une source de tension \( V_s = 12 \text{ V} \), \( R_1 = 4 \Omega \), \( R_2 = 6 \Omega \), et une résistance de charge \( R_L \) connectée aux bornes A et B. **Étape 1 : Calcul de \( U_{Th} \)** * Déconnectez \( R_L \) (circuit ouvert entre A et B). * La tension \( U_{Th} \) est la tension aux bornes de \( R_2 \) car aucun courant ne circule dans la branche A-B. * En utilisant la division de tension: \[ U_{Th} = V_s rac{R_2}{R_1 + R_2} = 12 \text{ V} rac{6 \Omega}{4 \Omega + 6 \Omega} = 12 \text{ V} rac{6}{10} = 7.2 \text{ V} \] **Étape 2 : Calcul de \( R_{Th} \)** * Neutralisez la source de tension \( V_s \) (remplacez-la par un court-circuit). * Vues des bornes A et B, les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) sont en parallèle. \[ R_{Th} = R_1 \parallel R_2 = rac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = rac{4 \Omega imes 6 \Omega}{4 \Omega + 6 \Omega} = rac{24 \Omega^2}{10 \Omega} = 2.4 \Omega \] **Étape 3 : Circuit équivalent de Thévenin** Le circuit est maintenant équivalent à une source de tension \( U_{Th} = 7.2 \text{ V} \) en série avec une résistance \( R_{Th} = 2.4 \Omega \). Si \( R_L = 10 \Omega \) est reconnectée, le courant dans \( R_L \) sera: \[ I_L = rac{U_{Th}}{R_{Th} + R_L} = rac{7.2 \text{ V}}{2.4 \Omega + 10 \Omega} = rac{7.2 \text{ V}}{12.4 \Omega} \approx 0.581 \text{ A} \] ### Exercices #### Exercice 1 : Analyse par Kirchhoff Considérez le circuit ci-dessous (imaginez un circuit avec deux mailles, une source de tension \( E_1 \), une source de courant \( I_s \), et des résistances \( R_1, R_2, R_3 \)). * Appliquez les lois de Kirchhoff pour déterminer tous les courants de branche. (On suppose que les valeurs sont fournies séparément, par exemple \( E_1 = 15 \text{ V} \), \( I_s = 2 \text{ A} \), \( R_1 = 5 \Omega \), \( R_2 = 10 \Omega \), \( R_3 = 8 \Omega \)). #### Exercice 2 : Théorème de Thévenin Pour le circuit suivant (imaginez un circuit avec une source de tension \( E = 20 \text{ V} \), une résistance \( R_A = 10 \Omega \) en série avec \( E \), et une résistance \( R_B = 15 \Omega \) en parallèle avec \( R_A \), connectée aux bornes C et D, où l'on veut connecter une charge \( R_L \)). * Déterminez l'équivalent de Thévenin entre les bornes C et D. * Calculez le courant qui traverserait une charge \( R_L = 5 \Omega \) connectée entre C et D. ### Devoir à la Maison #### Question 1 Un circuit comporte deux sources de tension indépendantes \( E_1 = 9 \text{ V} \) et \( E_2 = 6 \text{ V} \), et trois résistances \( R_a = 3 \Omega \), \( R_b = 6 \Omega \), \( R_c = 4 \Omega \). La résistance \( R_b \) est connectée entre les bornes où l'on veut calculer l'équivalent de Thévenin. Les sources et \( R_a, R_c \) forment le reste du circuit. * Appliquez le théorème de Thévenin pour trouver \( U_{Th} \) et \( R_{Th} \) aux bornes de \( R_b \). * Quel est le courant qui traverse \( R_b \)? #### Question 2 Décrivez, avec vos propres mots, les situations où le théorème de Thévenin est plus avantageux à utiliser que les lois de Kirchhoff pour analyser un circuit. Donnez un exemple concret. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré deux méthodes fondamentales pour l'analyse des circuits électriques, en particulier ceux contenant des dipôles actifs non identiques. Les **lois de Kirchhoff** (LKC et LKT) sont des principes de base pour analyser la distribution des courants et des tensions dans n'importe quel circuit. Le **théorème de Thévenin** est un outil puissant de simplification, permettant de réduire une partie complexe d'un circuit linéaire à un équivalent simple composé d'une source de tension \( U_{Th} \) en série avec une résistance \( R_{Th} \). Maîtriser ces techniques vous offre la capacité d'aborder une grande variété de problèmes de circuits, de comprendre leur comportement et de les concevoir efficacement. ## Norton et superposition ### Introduction Dans le monde de l'électricité, les circuits peuvent parfois devenir très complexes, comportant plusieurs sources d'énergie et de nombreux composants. Pour analyser ces circuits de manière plus simple et efficace, nous utilisons des outils puissants appelés théorèmes. Aujourd'hui, nous allons explorer deux de ces méthodes fondamentales : le théorème de Norton et le théorème de superposition. Ces outils nous permettront de simplifier des circuits complexes pour mieux comprendre leur comportement et calculer des tensions ou des courants spécifiques. ### Concepts Clés #### Théorème de Norton Le théorème de Norton est une méthode qui nous permet de simplifier n'importe quel circuit linéaire composé de sources et de résistances, en le remplaçant par un circuit équivalent très simple. Ce circuit équivalent de Norton est constitué d'une source de courant idéale (appelée courant de Norton \( I_N \)) en parallèle avec une résistance équivalente (appelée résistance de Norton \( R_N \)). ##### Principe Tout dipôle linéaire actif, vu de ses deux bornes A et B, peut être remplacé par un générateur de courant de Norton \( I_N \) en parallèle avec une résistance \( R_N \). ##### Calcul du courant de Norton (\( I_N \)) Le courant de Norton \( I_N \) est le courant qui circulerait si les bornes A et B étaient court-circuitées. **Étapes :** 1. Identifiez les deux bornes (A et B) du circuit où vous souhaitez appliquer le théorème de Norton. 2. Mettez ces bornes en court-circuit (connectez-les directement avec un fil de résistance nulle). 3. Calculez le courant qui traverse ce court-circuit. Ce courant est \( I_N \). ##### Calcul de la résistance de Norton (\( R_N \)) La résistance de Norton \( R_N \) est la résistance équivalente vue des bornes A et B lorsque toutes les sources indépendantes du circuit sont désactivées. **Étapes :** 1. Identifiez les deux bornes (A et B) du circuit. 2. Désactivez toutes les sources indépendantes : * Les sources de tension indépendantes sont remplacées par un court-circuit (un fil). * Les sources de courant indépendantes sont remplacées par un circuit ouvert (on retire la source et on laisse les bornes ouvertes). 3. Calculez la résistance équivalente entre les bornes A et B. Cette résistance est \( R_N \). #### Théorème de Superposition Le théorème de superposition est très utile pour analyser les circuits linéaires qui contiennent plusieurs sources d'énergie indépendantes (sources de tension et/ou sources de courant). ##### Principe Dans un circuit linéaire contenant plusieurs sources indépendantes, le courant ou la tension total(e) en un point donné du circuit est la somme algébrique des courants ou tensions produits par chaque source indépendante agissant seule, tandis que toutes les autres sources indépendantes sont désactivées. ##### Étapes d'application 1. **Choisissez une source :** Sélectionnez une seule source indépendante dans le circuit. 2. **Désactivez les autres sources :** Toutes les autres sources indépendantes doivent être désactivées : * Les sources de tension indépendantes sont remplacées par un court-circuit. * Les sources de courant indépendantes sont remplacées par un circuit ouvert. 3. **Calculez l'effet :** Calculez la tension ou le courant désiré(e) dans le circuit en n'utilisant que la source active. 4. **Répétez :** Répétez les étapes 1 à 3 pour chacune des sources indépendantes du circuit. 5. **Sommez les résultats :** Additionnez algébriquement (en tenant compte des signes, c'est-à-dire du sens des courants ou des polarités des tensions) toutes les contributions individuelles pour obtenir la tension ou le courant total(e). ### Vocabulaire * **Dipôle actif :** Composant électrique qui peut fournir de l'énergie (ex: pile, générateur). * **Dipôle linéaire :** Composant dont la relation entre la tension et le courant est une ligne droite (ex: résistance). * **Source de tension indépendante :** Source qui maintient une tension constante quelle que soit la charge. * **Source de courant indépendante :** Source qui fournit un courant constant quelle que soit la charge. * **Circuit équivalent :** Circuit simplifié qui se comporte de la même manière qu'un circuit plus complexe à ses bornes. * **Court-circuit :** Connexion de très faible résistance, forçant la tension à être nulle entre deux points. * **Circuit ouvert :** Interruption dans un circuit, empêchant le courant de circuler. * **Résistance équivalente :** Valeur de résistance unique qui remplace un réseau de résistances. * **Théorème de Norton :** Méthode pour simplifier un circuit en un générateur de courant et une résistance en parallèle. * **Théorème de Superposition :** Méthode pour analyser les circuits avec plusieurs sources en considérant chaque source séparément. ### Exemples #### Exemple 1: Application du Théorème de Norton Considérons un circuit simple avec une source de tension \( V_1 = 10 \text{ V} \), une résistance \( R_1 = 2 \Omega \) et une résistance \( R_2 = 3 \Omega \). Nous voulons trouver l'équivalent de Norton aux bornes de \( R_2 \) (que nous appellerons A et B). **1. Calcul de \( I_N \) :** * On court-circuite les bornes A et B (donc \( R_2 \) est remplacée par un court-circuit). * Le courant \( I_N \) est le courant qui traverse ce court-circuit. Dans ce cas, \( I_N \) est le courant total fourni par \( V_1 \) à travers \( R_1 \). * D'après la loi d'Ohm : \( I_N = \frac{V_1}{R_1} \) * \[ I_N = \frac{10 \text{ V}}{2 \Omega} = 5 \text{ A} \] **2. Calcul de \( R_N \) :** * On désactive la source de tension \( V_1 \) (elle devient un court-circuit). * On regarde la résistance équivalente entre les bornes A et B. * Puisque \( V_1 \) est un court-circuit, \( R_1 \) est directement connectée entre les bornes A et B (en parallèle avec l'endroit où était \( R_2 \)). * Donc, \( R_N = R_1 \) * \[ R_N = 2 \Omega \] L'équivalent de Norton est donc un générateur de courant de \( 5 \text{ A} \) en parallèle avec une résistance de \( 2 \Omega \). #### Exemple 2: Application du Théorème de Superposition Considérons un circuit avec une source de tension \( V_1 = 6 \text{ V} \), une source de courant \( I_2 = 2 \text{ A} \), et trois résistances \( R_1 = 1 \Omega \), \( R_2 = 2 \Omega \), \( R_3 = 3 \Omega \). Nous voulons trouver le courant \( I_x \) qui traverse \( R_3 \). **1. Contribution de \( V_1 \) seule (\( I_2 \) est désactivée = circuit ouvert) :** * Le circuit se compose de \( V_1 \), \( R_1 \), \( R_2 \) et \( R_3 \). * \( R_2 \) et \( R_3 \) sont en série : \( R_{23} = R_2 + R_3 = 2 + 3 = 5 \Omega \). * Le courant \( I_{x1} \) (partiel) traversant \( R_3 \) est le même que le courant total fourni par \( V_1 \) à travers la résistance équivalente \( R_{eq1} = R_1 + R_{23} = 1 + 5 = 6 \Omega \). * \[ I_{x1} = \frac{V_1}{R_{eq1}} = \frac{6 \text{ V}}{6 \Omega} = 1 \text{ A} \] **2. Contribution de \( I_2 \) seule (\( V_1 \) est désactivée = court-circuit) :** * Le circuit se compose de \( I_2 \), \( R_1 \) (court-circuitée), \( R_2 \) et \( R_3 \). * Maintenant, \( R_1 \) est en parallèle avec \( R_2 \) et \( R_3 \) en série. * La source \( I_2 \) voit \( R_1 \) en parallèle avec \( R_2 + R_3 \). * Nous utilisons le diviseur de courant. Le courant \( I_{x2} \) (partiel) traversant \( R_3 \) est la part du courant \( I_2 \) qui va dans la branche \( R_2 + R_3 \). * \( R_{parallel} = \frac{R_1 (R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{1 (2 + 3)}{1 + 2 + 3} = \frac{5}{6} \Omega \) * Le courant \( I_{x2} \) est une fraction de \( I_2 \). * \[ I_{x2} = I_2 \times \frac{R_1}{R_1 + (R_2 + R_3)} = 2 \text{ A} \times \frac{1 \Omega}{1 \Omega + 5 \Omega} = 2 \text{ A} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \text{ A} \] **3. Somme des contributions :** * Le courant total \( I_x \) est la somme de \( I_{x1} \) et \( I_{x2} \). * \[ I_x = I_{x1} + I_{x2} = 1 \text{ A} + \frac{1}{3} \text{ A} = \frac{3}{3} \text{ A} + \frac{1}{3} \text{ A} = \frac{4}{3} \text{ A} \approx 1.33 \text{ A} \] ### Exercices 1. **Théorème de Norton :** Pour le circuit suivant (imaginez un générateur de tension de 12 V en série avec une résistance de 4 \(\Omega\), puis une résistance de charge de 6 \(\Omega\) en parallèle avec les bornes du générateur et de la première résistance), déterminez l'équivalent de Norton aux bornes de la résistance de 6 \(\Omega\). * a) Calculez le courant de Norton \( I_N \). * b) Calculez la résistance de Norton \( R_N \). 2. **Théorème de Superposition :** Un circuit contient deux sources de tension \( V_1 = 10 \text{ V} \) et \( V_2 = 5 \text{ V} \), et trois résistances \( R_1 = 5 \Omega \), \( R_2 = 10 \Omega \) et \( R_3 = 15 \Omega \). \( V_1 \) est en série avec \( R_1 \), \( V_2 \) est en série avec \( R_2 \), et \( R_3 \) est connectée entre le point commun de \( V_1 \) et \( R_1 \) et le point commun de \( V_2 \) et \( R_2 \). Déterminez le courant qui traverse la résistance \( R_3 \) en utilisant le théorème de superposition. ### Devoirs 1. **Analyse complète :** Un circuit contient un générateur de courant de \( 3 \text{ A} \) en parallèle avec une résistance de \( 10 \Omega \), puis en série avec une autre résistance de \( 5 \Omega \). Trouvez l'équivalent de Norton et l'équivalent de Thévenin (si vous avez étudié ce dernier) de ce circuit aux bornes de la résistance de \( 5 \Omega \). 2. **Superposition avancée :** Considérez un circuit avec deux sources de courant indépendantes (\( I_1 = 4 \text{ A} \) et \( I_2 = 2 \text{ A} \)) et une source de tension indépendante (\( V_3 = 12 \text{ V} \)), ainsi que plusieurs résistances. Choisissez un point dans le circuit et calculez la tension à ce point par rapport à la masse en utilisant le théorème de superposition. Dessinez le circuit et spécifiez les valeurs des résistances pour votre calcul. ### Résumé Nous avons vu aujourd'hui deux méthodes essentielles pour simplifier et analyser les circuits électriques linéaires : le théorème de Norton et le théorème de superposition. * Le **théorème de Norton** nous permet de réduire un circuit complexe à un générateur de courant \( I_N \) en parallèle avec une résistance \( R_N \). Il est particulièrement utile lorsque l'on souhaite étudier l'effet du circuit sur différentes charges. * Le **théorème de superposition** nous aide à gérer les circuits avec plusieurs sources en calculant l'effet de chaque source individuellement, puis en additionnant ces effets. C'est une méthode puissante pour décomposer un problème complexe en plusieurs problèmes plus simples. La maîtrise de ces théorèmes vous donnera une base solide pour l'analyse des circuits électriques plus complexes.