Etude des réseaux de conducteurs

# Etude des réseaux de conducteurs ## Notion de puissance et d'énergie (loi de Joule) ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur des concepts fondamentaux en électricité : la puissance et l'énergie électriques. Comprendre la puissance et l'énergie est essentiel pour savoir comment les appareils fonctionnent, combien d'électricité ils consomment et comment cette énergie peut être convertie, notamment en chaleur. Nous explorerons également la **loi de Joule**, qui décrit la relation entre l'énergie électrique et la chaleur qu'elle produit. ### Concepts Clés #### La Puissance Électrique (P) La puissance électrique est la vitesse à laquelle l'énergie électrique est transférée ou convertie. C'est une mesure de la quantité de travail qu'un circuit électrique peut effectuer par unité de temps. En termes simples, plus un appareil est puissant, plus il consomme d'énergie rapidement. * **Symbole :** \(P\) * **Unité du Système International (SI) :** le Watt (W) * \(1 \text{ Watt} = 1 \text{ Joule par seconde} \quad (1 W = 1 J/s)\) ##### Formules de la Puissance Électrique Pour un circuit en courant continu (DC), la puissance électrique peut être calculée de plusieurs manières : 1. **Avec la tension et le courant :** \[ P = U \cdot I \] Où : * \(P\) est la puissance en Watts (W) * \(U\) est la tension (ou différence de potentiel) aux bornes du composant en Volts (V) * \(I\) est l'intensité du courant qui traverse le composant en Ampères (A) 2. **Avec la résistance et le courant (en utilisant la loi d'Ohm \(U = R \cdot I\)) :** \[ P = R \cdot I^2 \] Où : * \(R\) est la résistance du composant en Ohms (\(\Omega\)) 3. **Avec la tension et la résistance (en utilisant la loi d'Ohm \(I = U / R\)) :** \[ P = \frac{U^2}{R} \] #### L'Énergie Électrique (E) L'énergie électrique est la quantité totale d'électricité consommée ou produite sur une certaine période. C'est ce que l'on paie sur la facture d'électricité. * **Symbole :** \(E\) * **Unité du Système International (SI) :** le Joule (J) ##### Formule de l'Énergie Électrique L'énergie est le produit de la puissance par le temps : \[ E = P \cdot t \] Où : * \(E\) est l'énergie en Joules (J) * \(P\) est la puissance en Watts (W) * \(t\) est le temps en secondes (s) ##### Unités de Mesure Courantes de l'Énergie Bien que le Joule soit l'unité SI, d'autres unités sont couramment utilisées, notamment pour la consommation domestique : * **Le Watt-heure (Wh) :** Souvent utilisé pour les petits appareils ou pour des durées courtes. * \(1 Wh = 3600 J\) (car 1 heure = 3600 secondes) * **Le Kilowatt-heure (kWh) :** C'est l'unité que vous trouvez sur votre facture d'électricité. * \(1 kWh = 1000 Wh = 3.6 \times 10^6 J\) #### La Loi de Joule (Effet Joule) L'effet Joule est le phénomène par lequel un conducteur traversé par un courant électrique dégage de la chaleur. C'est une conversion d'énergie électrique en énergie thermique. Cet effet est à la base du fonctionnement de nombreux appareils chauffants (radiateurs, fers à repasser, bouilloires, etc.). ##### Formule de l'Énergie Thermique (Loi de Joule) L'énergie thermique \(Q\) (souvent désignée par \(E_{th}\)) dissipée par un conducteur par effet Joule est donnée par : \[ Q = R \cdot I^2 \cdot t \] Où : * \(Q\) est l'énergie thermique (chaleur) en Joules (J) * \(R\) est la résistance du conducteur en Ohms (\(\Omega\)) * \(I\) est l'intensité du courant en Ampères (A) * \(t\) est la durée pendant laquelle le courant circule en secondes (s) On peut aussi l'exprimer comme : \[ Q = U \cdot I \cdot t \] ou \[ Q = \frac{U^2}{R} \cdot t \] Ces formules montrent que la chaleur produite est directement proportionnelle à la résistance, au carré du courant et au temps. C'est pourquoi les conducteurs avec une résistance élevée et parcourus par un courant important chauffent beaucoup. ### Vocabulaire * **Puissance électrique (P) :** Vitesse à laquelle l'énergie est consommée ou produite. Unité : Watt (W). * **Énergie électrique (E) :** Quantité totale d'électricité consommée ou produite sur une période. Unité : Joule (J), Watt-heure (Wh), Kilowatt-heure (kWh). * **Watt (W) :** Unité de puissance électrique. * **Joule (J) :** Unité d'énergie électrique (et de chaleur). * **Watt-heure (Wh) :** Unité pratique d'énergie, équivalente à 3600 Joules. * **Kilowatt-heure (kWh) :** Unité d'énergie utilisée pour la facturation de l'électricité. * **Tension (U) :** Différence de potentiel électrique, mesurée en Volts (V). * **Courant (I) :** Flux d'électrons, mesuré en Ampères (A). * **Résistance (R) :** Opposition au passage du courant électrique, mesurée en Ohms (\(\Omega\)). * **Effet Joule :** Phénomène de dégagement de chaleur par un conducteur parcouru par un courant électrique. * **Dissipation thermique :** Perte d'énergie sous forme de chaleur. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de puissance d'une lampe Une lampe est connectée à une source de tension de \(12V\) et laisse passer un courant de \(0.5A\). **Question :** Quelle est la puissance de cette lampe ? **Solution :** Nous utilisons la formule \(P = U \cdot I\). \[ P = 12V \cdot 0.5A = 6W \] La puissance de la lampe est de \(6\) Watts. #### Exemple 2 : Calcul de l'énergie consommée par la lampe La lampe de l'exemple 1 (\(P = 6W\)) fonctionne pendant \(2\) heures. **Question :** Quelle est l'énergie consommée en Joules et en Watt-heures ? **Solution :** 1. **Convertir le temps en secondes :** \(t = 2 ext{ heures} = 2 \times 3600 ext{ secondes} = 7200 s\) 2. **Calculer l'énergie en Joules :** \(E = P \cdot t\) \[ E = 6W \cdot 7200s = 43200 J \] 3. **Calculer l'énergie en Watt-heures :** \(E = P \cdot t\) \[ E = 6W \cdot 2h = 12 Wh \] L'énergie consommée est de \(43200 J\) ou \(12 Wh\). #### Exemple 3 : Application de la loi de Joule Un élément chauffant a une résistance de \(20 \Omega\). Un courant de \(5A\) le traverse pendant \(10\) minutes. **Question :** Quelle est l'énergie thermique dissipée par l'effet Joule ? **Solution :** 1. **Convertir le temps en secondes :** \(t = 10 ext{ minutes} = 10 \times 60 ext{ secondes} = 600 s\) 2. **Utiliser la formule de la loi de Joule :** \(Q = R \cdot I^2 \cdot t\) \[ Q = 20 \Omega \cdot (5A)^2 \cdot 600s \] \[ Q = 20 \Omega \cdot 25A^2 \cdot 600s \] \[ Q = 500 \cdot 600 J \] \[ Q = 300000 J \] L'énergie thermique dissipée est de \(300 000 J\) ou \(300 kJ\). ### Exercices 1. Un fer à repasser a une puissance de \(1800 W\). S'il est branché sur une prise de \(230 V\), quel courant le traverse ? 2. Une ampoule LED de \(9 W\) fonctionne pendant \(8\) heures. Quelle est l'énergie consommée en Joules et en Watt-heures ? 3. Un radiateur électrique a une résistance de \(30 \Omega\). Un courant de \(6A\) le traverse pendant \(30\) minutes. Quelle est l'énergie thermique dissipée par le radiateur ? 4. Convertissez \(0.25 kWh\) en Joules. ### Devoirs 1. Une bouilloire électrique a une puissance de \(2.2 kW\). * a) Quelle est sa puissance en Watts ? * b) Si elle fonctionne pendant \(15\) minutes pour faire bouillir de l'eau, quelle énergie consomme-t-elle en kWh ? * c) Si le coût de l'électricité est de \(0.18\) € par kWh, combien coûte l'utilisation de la bouilloire pendant \(15\) minutes ? 2. Comparez la consommation d'énergie d'une console de jeux vidéo de \(80 W\) allumée pendant \(5\) heures et d'un four à micro-ondes de \(1200 W\) utilisé pendant \(10\) minutes. Lequel consomme le plus d'énergie ? 3. Recherchez la puissance nominale (indiquée en Watts) de trois appareils électriques courants dans votre maison (par exemple, un réfrigérateur, un téléviseur, un sèche-cheveux). Estimez ensuite leur consommation d'énergie en kWh sur une semaine d'utilisation typique. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les notions fondamentales de la puissance et de l'énergie électriques, ainsi que la loi de Joule. La **puissance électrique** (\(P\), en Watts) est la vitesse de consommation ou de production d'énergie, tandis que l'**énergie électrique** (\(E\), en Joules ou kWh) est la quantité totale consommée sur une période. Nous avons vu que la puissance peut être calculée par \(P = U \cdot I\), et l'énergie par \(E = P \cdot t\). Enfin, la **loi de Joule** nous a montré que l'énergie électrique convertie en chaleur (\(Q\)) dans un conducteur est donnée par \(Q = R \cdot I^2 \cdot t\). Ces concepts sont cruciaux pour comprendre le fonctionnement des circuits, l'efficacité des appareils et la gestion de la consommation électrique au quotidien. ## Association des dipoles actifs identiques (série, parallèle, mixte et loi des mailles ou 2ième loi de Kirchhoff) ou batterie(1) ### Introduction Dans le monde de l'électricité, les dipôles actifs sont des composants essentiels qui fournissent de l'énergie, comme les piles et les générateurs. Souvent, pour obtenir la tension ou le courant désiré, nous devons associer plusieurs de ces dipôles ensemble. Cette leçon vous apprendra comment associer des dipôles actifs identiques en série, en parallèle ou de manière mixte, et comment analyser ces circuits complexes à l'aide de la loi des mailles de Kirchhoff. Comprendre ces concepts est fondamental pour concevoir et analyser des systèmes électriques. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur les Dipôles Actifs Un dipôle actif, comme une batterie, est une source d'énergie électrique. Il est caractérisé par deux grandeurs importantes : * **La Force Électromotrice (f.e.m.) \(E\):** C'est la tension "idéale" fournie par le générateur à vide (sans courant débité). Elle est exprimée en Volts (V). * **La Résistance Interne \(r\):** C'est une résistance qui représente les pertes d'énergie à l'intérieur du générateur. Elle est exprimée en Ohms (\( \Omega \)). La tension \(U_{PN}\) aux bornes d'un dipôle actif débitant un courant \(I\) est donnée par la loi d'Ohm généralisée : \[ U_{PN} = E - rI \] #### 2. Association de Dipôles Actifs Identiques Lorsque nous parlons de dipôles actifs "identiques", cela signifie qu'ils ont tous la même f.e.m. \(E\) et la même résistance interne \(r\). ##### a) Association en Série Lorsque des dipôles sont connectés en série, le pôle positif de l'un est connecté au pôle négatif de l'autre, et ainsi de suite. Le courant est le même dans chaque dipôle. * **Schéma :** G1 ---- G2 ---- G3 ... (+ -) (+ -) (+ -) * **Caractéristiques :** Les f.e.m. s'additionnent et les résistances internes s'additionnent. * **Pour \(n\) dipôles identiques en série :** * F.e.m. équivalente : \[ E_{eq} = nE \] * Résistance interne équivalente : \[ r_{eq} = nr \] ##### b) Association en Parallèle Lorsque des dipôles sont connectés en parallèle, tous les pôles positifs sont connectés ensemble, et tous les pôles négatifs sont connectés ensemble. La tension aux bornes de chaque dipôle est la même. * **Condition Importante :** Pour que l'association en parallèle de dipôles actifs identiques soit stable et efficace, tous les dipôles doivent avoir la même f.e.m. et être connectés dans le même sens. Sinon, des courants de circulation internes peuvent apparaître et décharger les dipôles. * **Schéma :** + --- G1 --- - | (+ -) | + --- G2 --- - | (+ -) | + --- G3 --- - * **Caractéristiques :** La f.e.m. équivalente est égale à la f.e.m. d'un seul dipôle. La résistance interne équivalente diminue. * **Pour \(n\) dipôles identiques en parallèle :** * F.e.m. équivalente : \[ E_{eq} = E \] * Résistance interne équivalente : \[ r_{eq} = \frac{r}{n} \] ##### c) Association Mixte (Série-Parallèle) Une association mixte combine des groupes de dipôles en série et des groupes de dipôles en parallèle. Pour simplifier, on traite d'abord les associations en série, puis les associations en parallèle des résultats obtenus, ou inversement. * **Exemple :** \(m\) branches en parallèle, chaque branche contenant \(p\) dipôles identiques en série. * F.e.m. d'une branche (\(p\) dipôles en série) : \(E_{branche} = pE\) * Résistance interne d'une branche : \(r_{branche} = pr\) * F.e.m. équivalente totale (\(m\) branches en parallèle) : \[ E_{eq} = pE \] * Résistance interne équivalente totale : \[ r_{eq} = \frac{pr}{m} \] #### 3. Loi des Mailles (2ème Loi de Kirchhoff) La loi des mailles est un outil fondamental pour analyser les circuits électriques, surtout quand ils sont complexes avec plusieurs générateurs et résistances. * **Énoncé :** La somme algébrique des tensions le long de toute maille (boucle fermée) d'un circuit est nulle. \[ \sum U = 0 \] * **Autre formulation :** Dans une maille, la somme algébrique des f.e.m. est égale à la somme algébrique des chutes de tension (\(RI\)) dans le même sens de parcours. \[ \sum E = \sum RI \] * **Méthode d'application :** 1. Dessiner le circuit et identifier les mailles. 2. Choisir un sens de parcours arbitraire (horaire ou anti-horaire) pour chaque maille. 3. Attribuer un sens aux courants dans chaque branche. 4. Écrire l'équation de la maille en respectant les conventions de signe : * Une f.e.m. \(E\) est positive si on la traverse du pôle négatif au pôle positif (sens du générateur). Elle est négative dans le sens inverse. * Une chute de tension \(RI\) est positive si le courant \(I\) traverse la résistance \(R\) dans le sens de parcours choisi. Elle est négative si le courant est dans le sens inverse. ### Vocabulaire * **Dipôle actif :** Composant électrique qui fournit de l'énergie (ex : pile, générateur). * **Force Électromotrice (f.e.m.) \(E\) :** Tension à vide d'un générateur, capacité à créer un courant. * **Résistance interne \(r\) :** Résistance présente à l'intérieur d'un générateur, responsable d'une chute de tension interne. * **Association en série :** Les composants sont connectés bout à bout, le même courant les traverse. * **Association en parallèle :** Les composants sont connectés entre les mêmes points, la même tension est appliquée à leurs bornes. * **Association mixte :** Combinaison d'associations en série et en parallèle. * **Maille :** Boucle fermée dans un circuit électrique. * **Loi des mailles (2ème loi de Kirchhoff) :** Principe selon lequel la somme des tensions dans une maille est nulle. ### Exemples #### Exemple 1 : Association Série Trois piles identiques, chacune avec \(E = 1.5\text{ V}\) et \(r = 0.1\text{ }\Omega\), sont associées en série. * \(E_{eq} = 3 \times 1.5\text{ V} = 4.5\text{ V}\) * \(r_{eq} = 3 \times 0.1\text{ }\Omega = 0.3\text{ }\Omega\) #### Exemple 2 : Association Parallèle Quatre piles identiques, chacune avec \(E = 1.5\text{ V}\) et \(r = 0.2\text{ }\Omega\), sont associées en parallèle. * \(E_{eq} = 1.5\text{ V}\) * \(r_{eq} = \frac{0.2\text{ }\Omega}{4} = 0.05\text{ }\Omega\) #### Exemple 3 : Loi des Mailles Considérons une maille simple avec un générateur \(E_1 = 12\text{ V}\) (\(r_1 = 0.5\text{ }\Omega\)) et une résistance \(R = 10\text{ }\Omega\). Calculer le courant \(I\) dans le circuit. En appliquant la loi des mailles (sens horaire, partant du pôle négatif de \(E_1\)) : \( E_1 - r_1I - RI = 0 \) \( E_1 = (r_1 + R)I \) \( I = \frac{E_1}{r_1 + R} = \frac{12\text{ V}}{0.5\text{ }\Omega + 10\text{ }\Omega} = \frac{12\text{ V}}{10.5\text{ }\Omega} \approx 1.14\text{ A} \) ### Exercices 1. Deux générateurs identiques (\(E = 6\text{ V}\), \(r = 0.3\text{ }\Omega\)) sont associés en série. Calculez \(E_{eq}\) et \(r_{eq}\). 2. Trois batteries de voiture identiques (\(E = 12\text{ V}\), \(r = 0.06\text{ }\Omega\)) sont connectées en parallèle. Déterminez la f.e.m. et la résistance interne équivalentes de l'ensemble. 3. Un circuit est composé d'une pile (\(E = 9\text{ V}\), \(r = 1\text{ }\Omega\)) connectée à une résistance de charge \(R_L = 8\text{ }\Omega\). Utilisez la loi des mailles pour trouver le courant circulant dans le circuit et la tension aux bornes de la résistance de charge. ### Devoirs 1. Un panneau solaire est constitué de 20 cellules photovoltaïques identiques. Chaque cellule a une f.e.m. de \(0.6\text{ V}\) et une résistance interne de \(0.01\text{ }\Omega\). * Si les 20 cellules sont connectées en série, quelles sont la f.e.m. et la résistance interne équivalentes du panneau ? * Si les 20 cellules sont connectées en parallèle, quelles sont la f.e.m. et la résistance interne équivalentes du panneau ? 2. Considérez une association mixte où 3 groupes de batteries sont connectés en parallèle. Chaque groupe contient 2 batteries identiques en série. Chaque batterie a \(E = 1.2\text{ V}\) et \(r = 0.05\text{ }\Omega\). Calculez la f.e.m. et la résistance interne équivalentes de cette association. 3. Dans un circuit comportant deux mailles : un générateur \(G_1 = (E_1, r_1)\) et un générateur \(G_2 = (E_2, r_2)\) sont connectés à une résistance \(R_3\) commune. Écrivez les équations des mailles pour déterminer les courants dans chaque branche du circuit. ### Résumé Cette leçon nous a permis d'explorer l'association des dipôles actifs identiques. Nous avons vu que l'association en série augmente la f.e.m. équivalente et la résistance interne, tandis que l'association en parallèle maintient la f.e.m. et diminue la résistance interne, ce qui est utile pour fournir des courants plus importants. L'association mixte offre une flexibilité pour atteindre des valeurs spécifiques de f.e.m. et de résistance interne. Enfin, la loi des mailles de Kirchhoff est un outil puissant pour analyser les tensions et les courants dans n'importe quel circuit fermé. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour l'étude et la conception de systèmes électriques. ## Association des dipoles actifs identiques (série, parallèle, mixte et loi des mailles ou 2ième loi de Kirchhoff) ou batterie(2) ### Introduction Dans le monde de l'électricité, comprendre comment les composants sont connectés est essentiel. Les dipôles actifs, comme les générateurs (piles ou batteries), sont les sources d'énergie dans un circuit. Cette leçon vous expliquera comment associer ces dipôles actifs de manière efficace, que ce soit en série, en parallèle ou en combinaison mixte. Nous aborderons également une loi fondamentale pour l'analyse des circuits complexes : la loi des mailles, aussi connue sous le nom de deuxième loi de Kirchhoff. ### Concepts Clés #### 1. Le Dipôle Actif Un dipôle actif est un composant qui produit de l'énergie électrique. Il est caractérisé par sa force électromotrice (f.e.m.) \( E \) (en Volts, V) et sa résistance interne \( r \) (en Ohms, \( \Omega \)). La f.e.m. représente la tension à vide (quand aucun courant ne circule), et la résistance interne représente les pertes d'énergie à l'intérieur du dipôle. #### 2. Association en Série de Dipôles Actifs Identiques Lorsque des dipôles actifs sont associés en série, ils sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le courant circule à travers chacun d'eux. Pour des dipôles actifs identiques (même \( E \) et même \( r \)), on distingue deux cas : ##### a) Association en série avec même polarité (polarités concordantes) Les pôles positifs sont connectés aux pôles négatifs successifs. L'équivalent de l'association est un seul dipôle actif dont la f.e.m. équivalente \( E_{eq} \) et la résistance interne équivalente \( r_{eq} \) sont : * **Force Électromotrice équivalente :** \[ E_{eq} = E_1 + E_2 + \dots + E_n = n \cdot E \] (où \( n \) est le nombre de dipôles et \( E \) est la f.e.m. d'un seul dipôle) * **Résistance interne équivalente :** \[ r_{eq} = r_1 + r_2 + \dots + r_n = n \cdot r \] (où \( n \) est le nombre de dipôles et \( r \) est la résistance interne d'un seul dipôle) ##### b) Association en série avec polarité opposée (polarités discordantes) Si un ou plusieurs dipôles sont montés à l'envers, leur f.e.m. est soustraite de la somme. La résistance interne, elle, s'ajoute toujours. #### 3. Association en Parallèle de Dipôles Actifs Identiques Lorsque des dipôles actifs sont associés en parallèle, leurs bornes positives sont connectées ensemble et leurs bornes négatives sont connectées ensemble. Cette configuration est utile pour augmenter le courant disponible, mais elle ne modifie pas la tension pour des dipôles identiques. Pour \( n \) dipôles actifs *identiques* (même \( E \) et même \( r \)) connectés en parallèle : * **Force Électromotrice équivalente :** \[ E_{eq} = E \] La f.e.m. équivalente reste égale à la f.e.m. d'un seul dipôle. * **Résistance interne équivalente :** \[ \frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n} = \frac{n}{r} \] Donc : \[ r_{eq} = \frac{r}{n} \] #### 4. Association Mixte de Dipôles Actifs Identiques Une association mixte combine des groupements en série et en parallèle. Pour analyser de tels circuits, on simplifie progressivement : on commence par les groupements en série ou en parallèle les plus internes, puis on les remplace par leurs équivalents, jusqu'à obtenir un seul dipôle actif équivalent. #### 5. Loi des Mailles (2ème Loi de Kirchhoff) La loi des mailles, aussi appelée deuxième loi de Kirchhoff ou loi des tensions de Kirchhoff (Loi de Kirchhoff sur les Tensions - LKT), est un principe fondamental pour analyser les circuits électriques. Elle stipule que : **La somme algébrique des tensions (ou des différences de potentiel) le long de toute maille fermée d'un circuit est nulle.** Mathématiquement, pour une maille donnée : \[ \sum V = 0 \] ou, de manière équivalente, la somme des forces électromotrices est égale à la somme des chutes de tension (produits \( R \cdot I \)) : \[ \sum E = \sum R \cdot I \] ##### Comment appliquer la loi des mailles : 1. **Identifier les mailles :** Une maille est un chemin fermé dans un circuit, partant d'un point et y revenant sans passer deux fois par le même nœud. (Un nœud est un point de connexion de trois fils ou plus.) 2. **Choisir un sens de parcours :** Pour chaque maille, choisissez arbitrairement un sens de parcours (horaire ou antihoraire). 3. **Appliquer les conventions de signe :** * **Pour une f.e.m. (générateur) :** Si vous traversez le générateur du pôle négatif au pôle positif (sens ascendant de tension), la tension est positive (\( +E \)). Si vous le traversez du pôle positif au pôle négatif (sens descendant), la tension est négative (\( -E \)). * **Pour une résistance (chute de tension) :** Si vous traversez une résistance dans le même sens que le courant qui la traverse, la chute de tension est négative (\( -R \cdot I \)). Si vous la traversez dans le sens opposé au courant, la chute de tension est positive (\( +R \cdot I \)). 4. **Écrire l'équation :** Sommez toutes les tensions avec leurs signes correspondants et égalisez à zéro. ### Vocabulaire * **Dipôle actif :** Composant électrique qui fournit de l'énergie (ex: pile, batterie, générateur). * **Force Électromotrice (f.e.m., E) :** Tension à vide d'un générateur, capacité à générer une tension. Unité : Volt (V). * **Résistance interne (r) :** Résistance présente à l'intérieur d'un générateur, responsable d'une chute de tension lorsque le courant circule. Unité : Ohm (\( \Omega \)). * **Association série :** Connexion de composants les uns à la suite des autres. * **Association parallèle :** Connexion de composants entre les mêmes deux points. * **Association mixte :** Combinaison d'associations série et parallèle. * **Maille :** Tout chemin fermé dans un circuit électrique. * **Loi des mailles (2ème loi de Kirchhoff) :** Principe selon lequel la somme algébrique des tensions autour de toute maille fermée est nulle. ### Exemples #### Exemple 1 : Association en série Trois piles identiques de \( E = 1.5 \text{ V} \) et \( r = 0.1 \Omega \) sont montées en série, avec les polarités concordantes. Calculez la f.e.m. équivalente et la résistance interne équivalente. * \( n = 3 \) * \( E_{eq} = n \cdot E = 3 \cdot 1.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V} \) * \( r_{eq} = n \cdot r = 3 \cdot 0.1 \Omega = 0.3 \Omega \) #### Exemple 2 : Association en parallèle Quatre batteries identiques de \( E = 12 \text{ V} \) et \( r = 0.2 \Omega \) sont montées en parallèle. Calculez la f.e.m. équivalente et la résistance interne équivalente. * \( n = 4 \) * \( E_{eq} = E = 12 \text{ V} \) * \( r_{eq} = \frac{r}{n} = \frac{0.2 \Omega}{4} = 0.05 \Omega \) #### Exemple 3 : Loi des Mailles Considérons un circuit simple avec un générateur de \( E = 10 \text{ V} \) et \( r = 1 \Omega \) connecté à une résistance externe \( R = 9 \Omega \). Trouvons le courant \( I \) circulant dans le circuit. Nous avons une seule maille. Choisissons le sens de parcours horaire et le sens du courant \( I \) dans le même sens (sortant du pôle + du générateur). En appliquant la loi des mailles (en partant du pôle négatif du générateur et en tournant dans le sens horaire) : \( +E - rI - RI = 0 \) \( E = (r+R)I \) \( I = \frac{E}{r+R} \) Substituons les valeurs : \( I = \frac{10 \text{ V}}{1 \Omega + 9 \Omega} = \frac{10 \text{ V}}{10 \Omega} = 1 \text{ A} \) ### Exercices 1. Deux générateurs de \( E_1 = 6 \text{ V}, r_1 = 0.5 \Omega \) et \( E_2 = 6 \text{ V}, r_2 = 0.5 \Omega \) sont montés en série. Calculez leur f.e.m. équivalente et leur résistance interne équivalente si : a) Ils sont montés avec les polarités concordantes. b) Ils sont montés avec les polarités opposées. 2. Trois piles identiques (\( E = 9 \text{ V}, r = 1.5 \Omega \)) sont montées en parallèle. Quelle est la f.e.m. équivalente et la résistance interne équivalente de l'ensemble ? 3. Un circuit est composé d'une batterie (\( E = 24 \text{ V}, r = 0.4 \Omega \)) et de deux résistances en série : \( R_1 = 5 \Omega \) et \( R_2 = 7.6 \Omega \). En utilisant la loi des mailles, déterminez le courant total \( I \) circulant dans le circuit. ### Devoirs 1. Quatre générateurs identiques (\( E = 3 \text{ V}, r = 0.2 \Omega \)) sont connectés en association mixte. Deux sont en série, et ce groupe est ensuite mis en parallèle avec les deux autres générateurs (également en série). Dessinez le schéma de cette association et calculez la f.e.m. équivalente et la résistance interne équivalente de l'ensemble. 2. Un circuit comprend deux mailles. La première maille contient un générateur \( G_1 (E_1 = 12 \text{ V}, r_1 = 1 \Omega) \) et une résistance \( R_1 = 5 \Omega \). La deuxième maille, connectée à la première, contient un générateur \( G_2 (E_2 = 6 \text{ V}, r_2 = 0.5 \Omega) \) et une résistance \( R_2 = 3 \Omega \). Une résistance \( R_3 = 4 \Omega \) est commune aux deux mailles. Utilisez la loi des mailles pour déterminer les courants dans chaque branche du circuit. (Conseil : Vous aurez besoin de la loi des nœuds en plus de la loi des mailles pour ce problème à deux mailles). ### Résumé * Les **dipôles actifs** (générateurs) sont caractérisés par leur f.e.m. \( E \) et leur résistance interne \( r \). * En **série**, pour \( n \) dipôles identiques de même polarité : \( E_{eq} = n \cdot E \) et \( r_{eq} = n \cdot r \). * En **parallèle**, pour \( n \) dipôles identiques : \( E_{eq} = E \) et \( r_{eq} = \frac{r}{n} \). * L'**association mixte** est une combinaison des deux types et se simplifie étape par étape. * La **loi des mailles (2ème loi de Kirchhoff)** stipule que la somme algébrique des tensions dans une maille fermée est nulle (\( \sum V = 0 \)). Elle est cruciale pour l'analyse des circuits complexes et nécessite des conventions de signe rigoureuses pour son application.