Rappel

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Identifier et manipuler les grandeurs physiques de base (longueur, masse, temps, force, travail, puissance) en utilisant le Système International d’unités (SI). - Representer une force par un vecteur, calculer sa résultante et son moment par rapport à un point ou un axe. - Appliquer les conditions d’équilibre d’un corps rigide (somme des forces nulles, somme des moments nulle) pour résoudre des problèmes de statique simples (poutres, leviers, poulies). - Déterminer le travail d’une force constante ou variable et la puissance associée dans un contexte d’atelier ou de chantier. - Utiliser les lois de Newton pour analyser le mouvement rectiligne uniforme et uniformément accéléré d’un corps soumis à des forces connues. - Interpréter un schéma de machine simple (levier, poulie, plan incliné) et en déterminer le avantage mécanique et le rendement. **Prérequis** : L’élève doit maîtriser les notions vues en classe de seconde : - Les grandeurs scalaires et vectorielles, leurs notations et leurs opérations (addition, produit scalaire, produit vectoriel). - Les unités du Système International (m, kg, s, N, J, W) et leurs dérivées. - La représentation graphique d’un vecteur dans un plan cartésien. - Les notions de vitesse, d’accélération et les équations du mouvement rectiligne uniforme (MRU) et uniformément accéléré (MRUA). - Le concept de force, de poids (P = m·g) et de réaction d’appui. --- ## Introduction contextualisée En mécanique appliquée (série TI, Première F4), le chapitre « Rappel » permet de consolider les acquis de la seconde avant d’aborder l’étude des systèmes mécaniques plus complexes (transmissions, mécanismes, résistance des matériaux). Au Cameroun, les techniciens interviennent fréquemment sur des chantiers de construction, des ateliers de maintenance d’engins agricoles ou des lignes de montage dans les usines agro‑alimentaires. Une bonne maîtrise des notions de vecteur, de moment, d’équilibre, de travail et de puissance est indispensable pour dimensionner un étais de coffrage, calculer la force nécessaire à soulever une charge avec une poulie, ou encore estimer la puissance d’un moteur entraînant un convoyeur à bande. Ce rappel sera donc illustré par des situations professionnelles réalistes : levage d’une poutre de béton sur un chantier de Douala, utilisation d’un cric hydraulique dans un garage de Yaoundé, et fonctionnement d’un convoyeur à bande dans une usine de transformation du cacao à Buea. --- ## I. Leçon 1 – Notions vues en seconde 1 ### 1.1 Grandeurs physiques et unités du SI Une grandeur physique se caractérise par une valeur numérique et une unité. Le Système International définit sept unités de base : mètre (m) pour la longueur, kilogramme (kg) pour la masse, seconde (s) pour le temps, ampère (A) pour le courant électrique, kelvin (K) pour la température, mole (mol) pour la quantité de substance et candela (cd) pour l’intensité lumineuse. En mécanique, les unités dérivées les plus utilisées sont le newton (N = kg·m·s⁻²) pour la force, le joule (J = N·m) pour le travail ou l’énergie, et le watt (W = J·s⁻¹) pour la puissance. > Un newton est la force qui imprime à une masse de 1 kg une accélération de 1 m·s⁻². ### 1.2 Vecteurs : définition, représentation et opérations Un vecteur est une grandeur orientée caractérisée par une norme (ou module), une direction et un sens. On le note \(\vec{A}\) et on le représente par une flèche. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même norme, même direction et même sens. **Addition de vecteurs** : \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\) se fait par la règle du parallélogramme ou la méthode tête‑à‑queue. **Produit scalaire** : \(\vec{A}\cdot\vec{B}= \|\vec{A}\|\,\|\vec{B}\|\cos\theta\) (résultat scalaire). **Produit vectoriel** : \(\vec{A}\times\vec{B}= \|\vec{A}\|\,\|\vec{B}\|\sin\theta\,\vec{u}\) où \(\vec{u}\) est unitaire perpendiculaire au plan \((\vec{A},\vec{B})\) suivant la règle de la main droite. > Le produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal aux deux vecteurs et son norme égale l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent. ### 1.3 Mouvement rectiligne : MRU et MRUA - **Mouvement rectiligne uniforme (MRU)** : vitesse constante \(v\). Équation : \(x(t)=x_0+vt\). - **Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)** : accélération constante \(a\). Équations : \[ v(t)=v_0+at,\qquad x(t)=x_0+v_0t+\tfrac12at^2,\qquad v^2=v_0^2+2a(x-x_0). \] > Dans un MRUA, l’espace parcouru pendant un intervalle de temps \(\Delta t\) vaut \( \Delta x = v_m\Delta t\) où \(v_m=\frac{v_0+v}{2}\) est la vitesse moyenne. ### 1.4 Deuxième loi de Newton La somme des forces extérieures appliquées à un corps égale le produit de sa masse par son accélération : \(\displaystyle \sum\vec{F}=m\vec{a}\). > La deuxième loi de Newton permet de relier la dynamique (forces) à la cinétique (accélération). ### 1.5 Exemple chiffré : détermination de l’accélération d’un chariot de chantier Un chariot de masse \(m=150\; \text{kg}\) est tiré par une force constante \(F=600\; \text{N}\) suivant une piste horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre les roues et le rail est \(\mu=0,15\). Déterminer l’accélération du chariot. **Solution** : 1. Poids : \(P=m g =150\times9,81=1471,5\; \text{N}\). 2. Réaction normale : \(N=P\) (piste horizontale) → \(N=1471,5\; \text{N}\). 3. Force de frottement : \(f=\mu N =0,15\times1471,5=220,7\; \text{N}\) (opposée au mouvement). 4. Résultante horizontale : \(\sum F = F-f =600-220,7=379,3\; \text{N}\). 5. Accélération : \(a=\frac{\sum F}{m}= \frac{379,3}{150}=2,53\; \text{m·s}^{-2}\). > Le chariot acquiert une accélération de \(2,5\; \text{m·s}^{-2}\) environ. --- ## II. Leçon 2 – Notions vues en seconde 2 ### 2.1 Force, moment d’une force et couple Une force \(\vec{F}\) appliquée en un point \(A\) d’un corps rigide produit un moment (ou torque) par rapport à un point \(O\) : \(\displaystyle \vec{M}_O = \vec{OA}\times\vec{F}\). Le moment mesure la tendance de la force à faire tourner le corps autour de \(O\). Son unité est le newton‑mètre (N·m). > Le moment d’une force est nul si la ligne d’action de la force passe par le point considéré. Un **couple** est formé par deux forces égales, opposées et non alignées ; son moment est indépendant du point de référence : \(\displaystyle \vec{M}= \vec{r}\times\vec{F}\) où \(\vec{r}\) relie les points d’application. ### 2.2 Équilibre d’un corps rigide Un corps rigide est en équilibre si et seulement si : \[ \sum\vec{F}= \vec{0}\qquad\text{et}\qquad\sum\vec{M}_O= \vec{0}\quad(\forall O). \] Ces deux conditions vectorielles se traduisent en trois équations scalaires dans un plan (ΣFₓ=0, ΣFᵧ=0, ΣM_z=0) ou six dans l’espace. > Pour résoudre un problème d’équilibre, on choisit un point où l’on veut éliminer les moments des inconnues (souvent un appui). ### 2.3 Machines simples : levier, poulie, plan incliné - **Levier** : barre rigide pivotant autour d’un fulcrum. Avantage mécanique (AM) = \(\dfrac{\text{bras de levier de la force}}{\text{bras de levier de la résistance}}\). - **Poulie fixe** : change seulement la direction de la force (AM=1). Poulie mobile : AM=2 (si une seule corde soutient la charge). - **Plan incliné** : AM = \(\dfrac{\text{longueur du plan}}{\text{hauteur verticale}}\) = \(\dfrac{1}{\sin\alpha}\) où \(\alpha\) est l’inclinaison. Le **rendement** \(\eta\) d’une machine réelle est : \(\displaystyle \eta = \frac{\text{utile}}{\text{fournit}} \times 100\%\). Il est toujours < 100 % à cause des frottements. > Dans un levier idéal, le travail entrant égale le travail sortant : \(F_{\text{effort}}\times d_{\text{effort}} = F_{\text{charge}}\times d_{\text{charge}}\). ### 2.4 Travail et puissance Le travail d’une force constante \(\vec{F}\) le long d’un déplacement \(\vec{s}\) est : \(\displaystyle W = \vec{F}\cdot\vec{s}=F s\cos\theta\). Si la force varie, on intègre : \(W=\int \vec{F}\cdot d\vec{s}\). La puissance instantanée est : \(P = \dfrac{dW}{dt}= \vec{F}\cdot\vec{v}\). La puissance moyenne sur un intervalle \(\Delta t\) : \(P_m = \dfrac{W}{\Delta t}\). > Un watt correspond à un joule de travail effectué en une seconde. ### 2.5 Exemple chiffré : dimensionnement d’un levier pour soulever un bloc de béton Sur un chantier de Bafoussam, il faut soulever un bloc de béton de masse \(m=800\; \text{kg}\) à l’aide d’un levier de seconde classe (fulcrum à une extrémité, charge au milieu, effort à l’autre extrémité). La distance du fulcrum à la charge est \(d_c=0,4\; \text{m}\). On souhaite limiter l’effort à \(F_e=200\; \text{N}\). Déterminer la longueur totale du levier nécessaire. **Solution** : 1. Poids du bloc : \(P=m g =800\times9,81=7848\; \text{N}\). 2. Équilibre des moments autour du fulcrum : \(F_e \times d_e = P \times d_c\). 3. Donc \(d_e = \dfrac{P d_c}{F_e}= \dfrac{7848\times0,4}{200}=15,696\; \text{m}\). 4. Longueur totale du levier : \(L = d_c + d_e =0,4+15,696\approx16,1\; \text{m}\). > Un levier d’environ 16 m de long permettrait de soulever le bloc avec un effort de 200 N, mais en pratique on utilise un système de poulies pour réduire la longueur nécessaire. ### 2.6 Exemple chiffré : travail et puissance d’un convoyeur à bande Une usine de transformation du cacao à Douala utilise un convoyeur à bande horizontal pour transporter des sacs de 25 kg sur une distance de 30 m. La vitesse de la bande est constante à \(v=0,5\; \text{m·s}^{-1}\). Le coefficient de frottement entre le sac et la bande est \(\mu=0,02\). Déterminer la puissance nécessaire au moteur pour maintenir le mouvement, en négligeant l’accélération. **Solution** : 1. Poids d’un sac : \(P=25\times9,81=245,25\; \text{N}\). 2. Force normale : \(N=P\). 3. Force de frottement : \(f=\mu N =0,02\times245,25=4,905\; \text{N}\) (par sac). 4. Supposons que 10 sacs soient simultanément sur la bande → force totale résistante \(F_r =10\times f =49,05\; \text{N}\). 5. Travail nécessaire pour déplacer la bande sur 1 m : \(W = F_r \times 1\ \text{m}=49,05\; \text{J}\). 6. Puissance : \(P = \dfrac{W}{\Delta t}\) avec \(\Delta t = \dfrac{1\ \text{m}}{v}= \dfrac{1}{0,5}=2\; \text{s}\). Donc \(P = \dfrac{49,05}{2}=24,5\; \text{W}\). 7. Pour déplacer les 30 m, le travail total est \(W_{tot}=F_r \times 30 =1471,5\; \text{J}\) et le temps nécessaire \(t = \dfrac{30}{0,5}=60\; \text{s}\); puissance moyenne reste \(24,5\; \text{W}\). > Le moteur doit fournir au moins 25 W, on choisira un moteur de 50 W pour tenir compte des pertes mécaniques. --- ## III. Synthèse du chapitre - **Grandeurs et unités** : m, kg, s, N, J, W. - **Vecteur** : norme, direction, sens ; addition, produit scalaire, produit vectoriel. - **Mouvement** : MRU (\(x=x_0+vt\)), MRUA (\(v=v_0+at\), \(x=x_0+v_0t+\frac12at^2\), \(v^2=v_0^2+2a\Delta x\)). - **Deuxième loi de Newton** : \(\sum\vec{F}=m\vec{a}\). - **Moment d’une force** : \(\vec{M}_O=\vec{OA}\times\vec{F}\) (N·m). - **Équilibre d’un corps rigide** : \(\sum\vec{F}=0\) et \(\sum\vec{M}_O=0\). - **Machines simples** : levier (AM = bras effort/bras résistance), poulie fixe (AM=1), poulie mobile (AM=2), plan incliné (AM=1/ sinα). - **Travail** : \(W=\vec{F}\cdot\vec{s}\) (J). - **Puissance** : \(P=\vec{F}\cdot\vec{v}\) (W). - **Rendement** : \(\eta = \frac{utile}{fournit}\times100\%\). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Vecteur | Grandeur orientée caractérisée par norme, direction et sens. | | Résultante | Vecteur somme de plusieurs forces agissant sur un corps. | | Moment d’une force | Produit vectoriel \(\vec{r}\times\vec{F}\) mesurant la tendance à faire tourner le corps autour d’un point. | | Couple | Système de deux forces égales, opposées et non alignées ; son moment est indépendant du point de référence. | | Équilibre | État où la somme des forces et la somme des moments sont nulles. | | Avantage mécanique (AM) | Rapport entre la charge surmontée et l’effort appliqué dans une machine idéale. | | Travail | Produit scalaire de la force par le déplacement ; unité : joule (J). | | Puissance | Taux auquel le travail est effectué ; unité : watt (W). | | Rendement | Pourcentage de l’énergie utile par rapport à l’énergie fournie dans une machine réelle. | | Newton (N) | Unité de force : 1 N = 1 kg·m·s⁻². | | Joule (J) | Unité de travail ou d’énergie : 1 J = 1 N·m. | | Watt (W) | Unité de puissance : 1 W = 1 J·s⁻¹. | | Coefficient de frottement \(\mu\) | Rapport entre la force de frottement et la réaction normale. | | Fulcrum | Point d’appui autour duquel pivote un levier. | --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 – Équilibre d’une poutre appuyée Une poutre homogène de longueur \(L=4\; \text{m}\) et de masse \(m=120\; \text{kg}\) repose sur deux appuis simples A et B situés aux extrémités. Une charge ponctuelle de \(P=500\; \text{N}\) est placée à 1 m de l’appui A. Déterminer les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\). **Corrigé** : 1. Poids de la poutre : \(W=m g =120\times9,81=1177,2\; \text{N}\) agissant au milieu (2 m de chaque appui). 2. Équilibre des forces verticales : \(R_A+R_B = W+P =1177,2+500=1677,2\; \text{N}\). 3. Équilibre des moments autour de A (sens horaire positif) : \[ \sum M_A =0 \Rightarrow R_B\cdot L - W\cdot\frac{L}{2} - P\cdot 1 =0. \] \[ R_B\cdot4 -1177,2\cdot2 -500\cdot1 =0 \Rightarrow 4R_B =2354,4+500=2854,4. \] \[ R_B =\frac{2854,4}{4}=713,6\; \text{N}. \] 4. Alors \(R_A =1677,2-713,6=963,6\; \text{N}\). **Réponse** : \(R_A\approx964\; \text{N}\) vers le haut, \(R_B\approx714\; \text{N}\) vers le haut. ### Exercice 2 – Avantage mécanique d’un système de poulies Un système de poulies composé de deux poulies fixes et deux poulies mobiles est utilisé pour soulever une charge de \(800\; \text{N}\). Quelle force doit-on appliquer à l’extrémité de la corde si le système est idéal ? **Corrigé** : - Chaque poulie mobile divise la force nécessaire par 2. Avec deux poulies mobiles en série, l’avantage mécanique total est \(2\times2=4\). - Force nécessaire : \(F = \dfrac{800}{4}=200\; \text{N}\). **Réponse** : 200 N. ### Exercice 3 – Travail et puissance d’un vérin hydraulique Un vérin hydraulique exerce une force constante de \(F=15\; \text{kN}\) pour pousser une plateforme sur une distance de \(d=0,6\; \text{m}\) en \(t=3\; \text{s}\). Calculer le travail réalisé et la puissance moyenne du vérin. **Corrigé** : - Travail : \(W = F\cdot d =15000\;\text{N}\times0,6\;\text{m}=9000\;\text{J}\). - Puissance moyenne : \(P_m = \dfrac{W}{t}= \dfrac{9000}{3}=3000\;\text{W}=3\; \text{kW}\). **Réponse** : \(W=9\; \text{kJ}\), \(P_m=3\; \text{kW}\). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Consigne de prévention / règle de sécurité | |----|------------------|--------------------------------------------| | 1 | Oublier de prendre en compte le poids propre d’une poutre lorsqu’on écrit l’équilibre des moments. | Toujours représenter le poids comme une force verticale appliquée au centre de gravité du corps avant de résoudre les équations d’équilibre. | | 2 | Confondre le bras de levier (distance perpendiculaire à la ligne d’action de la force) avec la distance mesurée le long de la barre. | Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre le point de moment et la ligne d’action de la force ; tracer une perpendiculaire pour éviter l’erreur. | | 3 | Utiliser la formule du travail \(W=F s\) sans vérifier l’angle entre force et déplacement ; on obtient alors un travail trop élevé lorsqu’ils ne sont pas colinéaires. | Appliquer la forme scalaire \(W=F s\cos\theta\) ; si la force n’est pas alignée avec le déplacement, calculer le cosinus de l’angle. | | 4 | Négliger le rendement d’une machine réelle lors du dimensionnement d’un système de levage, ce qui conduit à sous‑dimensionner le moteur ou le vérin. | Toujours multiplier la force ou la puissance théorique par \(1/\eta\) (avec \(\eta\) exprimé en décimal) pour obtenir la valeur réelle à prévoir. | | 5 | Utiliser une unité incohérente (par ex. mm au lieu de m) dans le calcul d’un moment, donnant un résultat erroné de plusieurs ordres de grandeur. | Homogénéiser toutes les longueurs en mètres avant d’appliquer la formule du moment (N·m). | | 6 | Ne pas porter de lunettes de protection lorsqu’on travaille avec des ressorts sous tension ou des câbles sous charge élevée. | Le port de lunettes de sécurité est obligatoire dans tout atelier où il existe un risque de projection de débris ou de rupture de câble. | --- *Fin du cours de référence « Rappel » pour la matière Mécanique Appliquée (TI), Première, séries F4.*