Courbes représentatives

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - déterminer si une courbe représentative d’une fonction possède un centre de symétrie et, le cas échéant, en calculer les coordonnées ; - identifier un axe de symétrie (vertical ou horizontal) d’une courbe et en déduire les propriétés de la fonction associée ; - reconnaître les différents types d’asymptotes (horizontales, verticales, obliques) d’une courbe et les obtenir par calcul de limites ; - justifier rigoureusement chaque résultat à l’aide de définitions, de propriétés et de démonstrations ; - résoudre des exercices du type Baccalauréat camerounais portant sur la symétrie et les asymptotes. **Prérequis** : - notion de fonction réelle d’une variable réelle, de son graphe et de ses variations ; - maîtrise des limites finies et infinies, notamment les limites en $+\infty$ et $-\infty$ ; - connaissance des fonctions paires et impaires, ainsi que des transformations de base (translation, réflexion) ; - capacité à manipuler les expressions algébriques et à résoudre des équations du premier et du second degré. --- ### Introduction contextualisée L’étude des courbes représentatives permet de passer d’une description purement algébrique d’une fonction à une interprétation géométrique riche. La symétrie révèle des régularités qui facilitent le tracé, tandis que les asymptotes décrivent le comportement de la courbe lorsqu’elle s’éloigne de l’origine ou lorsqu’elle approche une valeur interdite. Dans le programme officiel du Baccalauréat camerounais (série SH), ces deux notions sont essentielles : elles apparaissent régulièrement dans les exercices de représentation graphique, d’étude de fonctions rationnelles, exponentielles ou logarithmiques, et constituent souvent le point de départ d’une analyse plus fine (variations, extremums, points d’inflexion). Nous allons donc développer, de façon rigoureuse et progressive, les critères permettant de détecter un centre de symétrie ou un axe de symétrie, puis nous nous intéresserons aux différentes asymptotes, en insistant sur les démonstrations et les exemples détaillés. Chaque notion sera accompagnée de deux exemples entièrement résolus, du plus simple au plus délicat, afin que l’élève puisse s’entraîner à reproduire le raisonnement attendu lors de l’examen. --- ## I. Leçon 17 : Centre de symétrie, axe de symétrie ### A. Centre de symétrie d’une courbe > **Définition** : Une courbe $\mathcal{C}$ représentée par $y=f(x)$ possède un **centre de symétrie** $S(x_0,y_0)$ si, pour tout point $M(x,y)$ de $\mathcal{C}$, le point symétrique de $M$ par rapport à $S$, noté $M'$, appartient également à $\mathcal{C}$. Cette condition se traduit analytiquement par : $$ \forall x\in D_f,\quad f(2x_0-x)=2y_0-f(x). \tag{1} $$ En effet, le point symétrique de $M(x,f(x))$ par rapport à $S(x_0,y_0)$ a pour coordonnées $$ M'\bigl(2x_0-x,\;2y_0-f(x)\bigr). $$ L’appartenance de $M'$ à $\mathcal{C}$ signifie que son ordonnée vaut $f$ de son abscisse, d’où (1). > **Propriété 1** : Si $f$ admet un centre de symétrie $S(x_0,y_0)$, alors la fonction $g(x)=f(x+x_0)-y_0$ est **impaire**, c’est‑à‑dire $g(-x)=-g(x)$. *Démonstration* : Posons $u=x+x_0$. Alors $x=u-x_0$. En utilisant (1) avec $x$ remplacé par $u$ : $$ f(2x_0-u)=2y_0-f(u). $$ Mais $2x_0-u = x_0-(u-x_0)=x_0-x$. Donc $$ f(x_0-x)=2y_0-f(x_0+x). $$ En ajoutant $y_0$ des deux côtés et en réarrangeant : $$ f(x_0+x)-y_0 = -\bigl(f(x_0-x)-y_0\bigr). $$ En posant $g(t)=f(t+x_0)-y_0$, on obtient $g(-x)=-g(x)$. ∎ Cette propriété montre que le centre de symétrie se réduit à une translation qui rend la fonction impaire. > **Propriété 2** : Une fonction impaire possède forcément un centre de symétrie à l’origine $(0,0)$. *Preuve* : Pour une fonction impaire $f(-x)=-f(x)$. En prenant $x_0=0$, $y_0=0$ dans (1) on obtient exactement $f(-x)=-f(x)$. --- #### Exemple 1 : Fonction rationnelle simple Étudions la courbe de $f(x)=\dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$. 1. **Vérification de la condition (1)** : Cherchons $x_0,y_0$ tels que $$ f(2x_0-x)=2y_0-f(x)\quad\forall x\neq0. $$ Calculons le côté gauche : $$ f(2x_0-x)=\frac{1}{2x_0-x}. $$ Le côté droit vaut $$ 2y_0-\frac{1}{x}. $$ Nous voulons une égalité valable pour tout $x$. Multiplions par $x(2x_0-x)$ : $$ x = \bigl(2y_0-\frac{1}{x}\bigr)x(2x_0-x)=2y_0x(2x_0-x)-(2x_0-x). $$ En développant et en regroupant les termes en $x$, on obtient une identité polynomial en $x$ qui doit être nulle pour tous les coefficients. Après calcul, on trouve que les seules solutions sont $x_0=0$ et $y_0=0$. 2. **Conclusion** : Le centre de symétrie est $S(0,0)$. 3. **Vérification via la propriété d’impairité** : $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$ → fonction impaire → centre à l’origine. > **À retenir** : Pour une fonction de la forme $f(x)=\dfrac{a}{x-b}+c$, le centre de symétrie est $(b,c)$. --- #### Exemple 2 : Fonction polynomiale du troisième degré Considérons $f(x)=x^{3}-3x$. 1. **Recherche du centre** : Supposons un centre $S(x_0,y_0)$. La condition (1) donne $$ (2x_0-x)^{3}-3(2x_0-x)=2y_0-\bigl(x^{3}-3x\bigr). $$ Développons le côté gauche : $$ (2x_0)^{3}-3(2x_0)^{2}x+3(2x_0)x^{2}-x^{3}-6x_0+3x. $$ En regroupant les termes en $x^{3}$, $x^{2}$, $x$ et constants, nous obtenons : - Coefficient de $x^{3}$ : $-1$ à gauche, $-1$ à droite (ok). - Coefficient de $x^{2}$ : $6x_0$ à gauche, $0$ à droite → $6x_0=0$ ⇒ $x_0=0$. - Avec $x_0=0$, le terme en $x^{2}$ disparaît. - Coefficient de $x$ : à gauche $3(2x_0)^{2}+3 = 3$ (puisque $x_0=0$) ; à droite $+3$ (ok). - Constant : à gauche $0-0=0$ ; à droite $2y_0$ → $2y_0=0$ ⇒ $y_0=0$. Donc le centre est $S(0,0)$. 2. **Vérification d’impairité** : $f(-x)=(-x)^{3}-3(-x)=-x^{3}+3x=-(x^{3}-3x)=-f(x)$. Donc fonction impaire, centre à l’origine. > **À retenir** : Tout polynôme ne contenant que des puissances impaires de $x$ est impair et possède un centre de symétrie à l’origine. --- ### B. Axe de symétrie d’une courbe > **Définition** : Une courbe $\mathcal{C}$ représentée par $y=f(x)$ possède un **axe de symétrie vertical** $x=a$ si, pour tout point $M(x,y)$ de $\mathcal{C}$, le point symétrique de $M$ par rapport à la droite $x=a$, c’est‑à‑dire $M'(2a-x,y)$, appartient également à $\mathcal{C}$. Cette propriété se traduit par : $$ \forall x\in D_f,\quad f(2a-x)=f(x). \tag{2} $$ De même, un **axe de symétrie horizontal** $y=b$ implique $$ \forall x\in D_f,\quad 2b-f(x)=f(x)\;\Longleftrightarrow\; f(x)=b, $$ ce qui ne peut être vrai que pour une fonction constante ; donc, dans l’étude des fonctions non constantes, on ne considère pratiquement que les axes verticaux. > **Propriété** : Si $f$ vérifie (2) pour un certain $a$, alors la fonction $g(x)=f(x+a)$ est **paire**, c’est‑à‑dire $g(-x)=g(x)$. *Démonstration* : Posons $u=x+a$. Alors $x=u-a$. En utilisant (2) avec $x$ remplacé par $u$ : $$ f(2a-u)=f(u). $$ Mais $2a-u = a-(u-a)=a-x$. Donc $$ f(a-x)=f(a+x). $$ En posant $g(t)=f(t+a)$, on obtient $g(-x)=g(x)$. ∎ Ainsi, détecter un axe de symétrie revient à vérifier si, après une translation horizontale, la fonction devient paire. --- #### Exemple 1 : Fonction quadratique Prenons $f(x)=x^{2}-4x+3$. 1. **Mise sous forme canonique** : Complétons le carré : $$ f(x)=(x^{2}-4x+4)-1=(x-2)^{2}-1. $$ On voit immédiatement que le sommet est en $(2,-1)$ et que l’axe de symétrie est la droite $x=2$. 2. **Vérification via (2)** : Prenons $a=2$. Alors $$ f(2\cdot2-x)=f(4-x)=(4-x)^{2}-4(4-x)+3. $$ Développons : $$ (16-8x+x^{2})-16+4x+3 = x^{2}-4x+3 = f(x). $$ Donc (2) est satisfaite. 3. **Transformation en fonction paire** : $g(x)=f(x+2)=(x+2)^{2}-4(x+2)+3 = x^{2}-1$, qui est paire puisque $g(-x)=g(x)$. > **À retenir** : Toute fonction du second degré $ax^{2}+bx+c$ possède un axe de symétrie vertical $x=-\dfrac{b}{2a}$. --- #### Exemple 2 : Fonction rationnelle avec asymptote verticale Étudions $f(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-1}$. 1. **Recherche d’un axe de symétrie** : Supposons un axe $x=a$. La condition (2) donne $$ \frac{2(2a-x)}{(2a-x)^{2}-1}= \frac{2x}{x^{2}-1}. $$ Multiplions en croix : $$ 2(2a-x)(x^{2}-1)=2x\bigl((2a-x)^{2}-1\bigr). $$ Simplifions le facteur 2 : $$ (2a-x)(x^{2}-1)=x\bigl((2a-x)^{2}-1\bigr). $$ Développons les deux côtés : - Gauche : $(2a-x)(x^{2}-1)=2a x^{2}-2a -x^{3}+x$. - Droite : $x\bigl((2a-x)^{2}-1\bigr)=x\bigl(4a^{2}-4ax+x^{2}-1\bigr)=4a^{2}x-4ax^{2}+x^{3}-x$. Égalons les coefficients des monômes en $x^{3},x^{2},x$ et constants : - $x^{3}$ : à gauche $-1$, à droite $+1$ → $-1=+1$ impossible sauf si les deux côtés sont nuls, ce qui n’arrivera pas. Donc il n’existe **aucun** axe de symétrie vertical pour cette fonction. Cependant, on remarque que $f(-x)=\dfrac{-2x}{x^{2}-1}=-f(x)$ : la fonction est impaire, donc elle possède un centre de symétrie à l’origine, mais **pas** d’axe de symétrie vertical. > **À retenir** : Une fonction impaire ne possède généralement pas d’axe de symétrie vertical (sauf le cas trivial de la fonction nulle). --- ## II. Leçon 18 : Asymptotes ### A. Asymptotes horizontales > **Définition** : La droite $y=L$ est une **asymptote horizontale** de la courbe $y=f(x)$ lorsque > $$ > \lim_{x\to +\infty}f(x)=L\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=L. > $$ Si les deux limites existent et sont égales à la même valeur $L$, alors $y=L$ est l’unique asymptote horizontale. > **Propriété** : Pour une fonction rationnelle $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ où $\deg P=n$, $\deg Q=m$ : > - Si $n<m$, alors $y=0$ est asymptote horizontale. > - Si $n=m$, alors $y=\dfrac{a_n}{b_m}$ (rapport des coefficients dirigeants) est asymptote horizontale. > - Si $n>m$, il n’y a pas d’asymptote horizontale (on cherchera une asymptote oblique). *Démonstration* : On factorise $x^{m}$ au dénominateur et $x^{n}$ au numérateur, puis on examine le comportement lorsque $x\to\pm\infty$. --- #### Exemple 1 : Fonction rationnelle simple $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-5}$. - Degrés égaux ($n=m=1$). - Coefficient dirigeant du numérateur : $3$ ; du dénominateur : $2$. - Donc asymptote horizontale : $y=\dfrac{3}{2}$. Vérification par limites : $$ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x+2}{2x-5} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3+\frac{2}{x}}{2-\frac{5}{x}} =\frac{3}{2}. $$ --- #### Exemple 2 : Fonction avec terme exponentiel $f(x)=\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}$. Lorsque $x\to +\infty$, $e^{x}$ domine : $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1} =\lim_{x\to +\infty}\frac{1+e^{-x}}{1-e^{-x}}=1. $$ Lorsque $x\to -\infty$, $e^{x}\to 0$ : $$ \lim_{x\to -\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1} =\frac{0+1}{0-1}=-1. $$ Donc il y a deux asymptotes horizontales : $y=1$ (à droite) et $y=-1$ (à gauche). > **À retenir** : Une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales différentes selon le signe de $x$ qui tend vers l’infini. --- ### B. Asymptotes verticales > **Définition** : La droite $x=a$ est une **asymptote verticale** de $y=f(x)$ lorsque au moins une des limites suivantes est infinie : > $$ > \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\pm\infty\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\pm\infty. > $$ Pour une fonction rationnelle, les asymptotes verticales correspondent aux zéros réels du dénominateur qui ne sont pas également des zéros du numérateur (après simplification). > **Propriété** : Si $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ avec $P$ et $Q$ premiers entre eux, alors chaque racine réelle $a$ de $Q$ telle que $Q(a)=0$ et $P(a)\neq0$ donne une asymptote verticale $x=a$. *Démonstration* : Près d’une telle racine, le dénominateur tend vers $0$ tandis que le numérateur tend vers une valeur non nulle, d’où le quotient devient arbitrairement grand en valeur absolue. --- #### Exemple 1 : Fonction rationnelle avec facteur simple $f(x)=\dfrac{x+1}{(x-2)(x+3)}$. - Zéros du dénominateur : $x=2$ et $x=-3$. - Le numérateur ne s’annule pas en ces points ($f(2)=3/0$, $f(-3)=-2/0$). - Donc asymptotes verticales : $x=2$ et $x=-3$. Vérification des signes : - Quand $x\to 2^{-}$, $(x-2)<0$, $(x+3)>0$, numérateur positif → limite $-\infty$. - Quand $x\to 2^{+}$, dénominateur positif → limite $+\infty$. - Quand $x\to -3^{-}$, $(x+3)<0$, $(x-2)<0$, numérateur négatif → limite $+\infty$. - Quand $x\to -3^{+}$, dénominateur positif → limite $-\infty$. --- #### Exemple 2 : Fonction avec facteur commun $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}$. Factorisons : $$ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^{2}}. $$ Après simplification (en supprimant le facteur commun $(x-2)$), on obtient $$ f(x)=\frac{x+2}{x-2},\qquad x\neq2. $$ Le facteur $(x-2)$ demeure au dénominateur, donc la courbe présente une **asymptote verticale** en $x=2$. Il n’y a pas de trou, car après simplification le dénominateur ne s’annule pas complètement ; la limite lorsque $x\to2$ est infinie (signe dépendant du côté). > **À retenir** : Lors de la recherche d’asymptotes verticales, il faut toujours simplifier la fraction avant de repérer les zéros du dénominateur. --- ### C. Asymptotes obliques (ou asymptotes de type $y=ax+b$) > **Définition** : La droite $y=ax+b$ ($a\neq0$) est une **asymptote oblique** de $y=f(x)$ lorsque > $$ > \lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0. > $$ Les coefficients $a$ et $b$ se calculent par : $$ a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr]. $$ > **Propriété** : Pour une fonction rationnelle $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ avec $\deg P = \deg Q +1$, on effectue la division euclidienne de $P$ par $Q$ ; le quotient (polynôme de degré 1) donne l’asymptote oblique. *Démonstration* : Écrivons $P(x)=Q(x)(ax+b)+R(x)$ où $\deg R<\deg Q$. Alors $$ f(x)=ax+b+\frac{R(x)}{Q(x)}. $$ Comme $\deg R<\deg Q$, la fraction tend vers $0$ lorsque $x\to\pm\infty$, d’où l’asymptote $y=ax+b$. --- #### Exemple 1 : Division euclidienne $f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1}{x-1}$. - Degrés : numérateur 2, dénominateur 1 → différence 1 → asymptote oblique. - Division : $$ \frac{x^{2}+2x+1}{x-1}=x+3+\frac{4}{x-1}. $$ (En effet, $(x-1)(x+3)=x^{2}+2x-3$; le reste est $4$). - Donc asymptote oblique : $y=x+3$. Vérification : $$ \lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(x+3)\bigr] =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4}{x-1}=0. $$ --- #### Exemple 2 : Fonction avec racine carrée $f(x)=\sqrt{x^{2}+4x+5}-x$. On cherche une asymptote oblique lorsque $x\to +\infty$. 1. Factorisons $x^{2}$ sous la racine : $$ \sqrt{x^{2}+4x+5}=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}. $$ Pour $x>0$, $|x|=x$. Donc $$ f(x)=x\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}-x. $$ 2. Développement en série (ou utilisation de la conjugaison) : Multiplions par le conjugué : $$ f(x)=\frac{(x^{2}+4x+5)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4x+5}+x} =\frac{4x+5}{\sqrt{x^{2}+4x+5}+x}. $$ Factorisons $x$ au numérateur et au dénominateur : $$ f(x)=\frac{x\bigl(4+\frac{5}{x}\bigr)}{x\bigl(\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}+1\bigr)} =\frac{4+\frac{5}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}+1}. $$ Lorsque $x\to +\infty$, les termes $\frac{5}{x},\frac{4}{x},\frac{5}{x^{2}}$ tendent vers $0$ : $$ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\frac{4}{\sqrt{1}+1}= \frac{4}{2}=2. $$ Donc l’asymptote oblique est en fait **horizontale** : $y=2$. (On remarque que la fonction tend vers une constante, donc l’asymptote oblique dégénère en horizontale.) > **À retenir** : Lorsqu’on cherche une asymptote oblique, il faut toujours vérifier que le coefficient $a$ obtenu n’est pas nul ; si $a=0$, l’asymptote est horizontale. --- ## III. Synthèse du chapitre - **Centre de symétrie** $S(x_0,y_0)$ : vérifié par $f(2x_0-x)=2y_0-f(x)$ ; équivalent à rendre la fonction impaire après translation $(x_0,y_0)$. - **Axe de symétrie vertical** $x=a$ : vérifié par $f(2a-x)=f(x)$ ; équivalent à rendre la fonction paire après translation horizontale de $-a$. - **Asymptote horizontale** $y=L$ : $L=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$. - **Asymptote verticale** $x=a$ : apparaît lorsque le dénominateur d’une fonction rationnelle s’annule et que le numérateur ne s’annule pas (après simplification). - **Asymptote oblique** $y=ax+b$ : $a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$, $b=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr]$ ; pour une rationnelle, obtenu par la division euclidienne lorsque $\deg P=\deg Q+1$. > **À retenir** : La symétrie et les asymptotes sont des outils puissants pour prédire le comportement global d’une courbe sans avoir à tracer tous les points. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Centre de symétrie | Point $S$ tel que le point symétrique de tout point de la courbe par rapport à $S$ appartient également à la courbe. | | Axe de symétrie vertical | Droite $x=a$ telle que le symétrique de tout point de la courbe par rapport à cette droite appartient à la courbe. | | Fonction impaire | Fonction vérifiant $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$ de son domaine. | | Fonction paire | Fonction vérifiant $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de son domaine. | | Asymptote horizontale | Droite $y=L$ approchée par la courbe lorsque $x\to\pm\infty$. | | Asymptote verticale | Droite $x=a$ où la fonction tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsqu’on approche $a$ par la gauche ou la droite. | | Asymptote oblique | Droite $y=ax+b$ ($a\neq0$) telle que la différence $f(x)-(ax+b)$ tende vers $0$ lorsque $x\to\pm\infty$. | | Division euclidienne (pour les polynômes) | Écriture $P=Q\cdot (ax+b)+R$ avec $\deg R<\deg Q$. | | Limite en infinie | Valeur que l’expression approche lorsque la variable tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. | | Trou (removable discontinuity) | Point où la fonction n’est pas définie mais dont la limite existe et est finie. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Déterminer le centre de symétrie de la courbe représentée par $f(x)=\dfrac{5x-3}{2x+1}$. **Corrigé** 1. On cherche $x_0,y_0$ tels que $f(2x_0-x)=2y_0-f(x)$. 2. Calculons $f(2x_0-x)=\dfrac{5(2x_0-x)-3}{2(2x_0-x)+1} =\dfrac{10x_0-5x-3}{4x_0-2x+1}$. 3. L’égalité à imposer est $$ \dfrac{10x_0-5x-3}{4x_0-2x+1}=2y_0-\dfrac{5x-3}{2x+1}. $$ 4. Multiplions en croix pour éliminer les dénominateurs : $$ (10x_0-5x-3)(2x+1)=\bigl[2y_0(2x+1)-(5x-3)\bigr](4x_0-2x+1). $$ 5. Développons les deux côtés en polynômes en $x$ et égalons les coefficients. - Après développement (détaillé mais omis ici pour brièveté), on obtient le système : $\begin{cases} 10x_0\cdot2 -5\cdot2 =0 \\[2pt] \text{coefficients en }x^{2} :\; -10x_0+5 =0 \\[2pt] \text{termes constants} :\; -3\cdot1 = 2y_0\cdot1 -(-3)\cdot1 \end{cases}$ - En réalité, une méthode plus simple consiste à remarquer que la fonction est une homographie ; son centre de symétrie est le point d’intersection de ses asymptotes. 6. Asymptote verticale : dénominateur nul $\Rightarrow 2x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac12$. Asymptote horizontale : degrés égaux $\Rightarrow y=\dfrac{5}{2}$. Le centre de symétrie d’une homographie est l’intersection de ses asymptotes : $$ S\Bigl(-\frac12,\;\frac52\Bigr). $$ 7. Vérification rapide : effectuer la translation $u=x+\frac12$, $v=y-\frac52$ donne $g(u)=\dfrac{5u}{2u}$ qui se simplifie à $\dfrac52$ constante? En fait, après translation, on obtient $g(u)=\dfrac{5u}{2u}$ qui n’est pas définie en $u=0$ mais la fonction résultante est impaire : $g(-u)=-g(u)$. Donc bien centre en $(-\frac12,\frac52)$. **Réponse** : Le centre de symétrie est $S\bigl(-\frac12,\frac52\bigr)$. --- ### Exercice 2 Montrer que la courbe de $f(x)=x^{3}-6x$ possède un centre de symétrie et le déterminer. **Corrigé** 1. On remarque que $f(-x)=(-x)^{3}-6(-x)=-x^{3}+6x=-(x^{3}-6x)=-f(x)$. Donc $f$ est impaire. 2. Une fonction impaire admet un centre de symétrie à l’origine $(0,0)$. 3. Pour être rigoureux, on vérifie la condition (1) avec $x_0=0$, $y_0=0$ : $f(2\cdot0-x)=f(-x)=-f(x)=2\cdot0-f(x)$. La condition est satisfaite. **Réponse** : Le centre de symétrie est $O(0,0)$. --- ### Exercice 3 Trouver les asymptotes de la fonction $f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x-5}{x-2}$. **Corrigé** 1. Degrés : numérateur 2, dénominateur 1 → différence 1 → asymptote oblique éventuelle, pas d’asymptote horizontale. 2. Asymptote verticale : annulation du dénominateur $x-2=0\Rightarrow x=2$. Le numérateur en $x=2$ vaut $2\cdot4+6-5=9\neq0$ → asymptote verticale $x=2$. 3. Asymptote oblique : effectuer la division euclidienne de $2x^{2}+3x-5$ par $x-2$ : - $2x^{2}\div x = 2x$. Multiplier : $2x(x-2)=2x^{2}-4x$. Soustraire : $(2x^{2}+3x-5)-(2x^{2}-4x)=7x-5$. - $7x\div x = 7$. Multiplier : $7(x-2)=7x-14$. Soustraire : $(7x-5)-(7x-14)=9$. Donc $$ f(x)=2x+7+\frac{9}{x-2}. $$ Lorsque $x\to\pm\infty$, le terme $\frac{9}{x-2}\to0$. Ainsi, asymptote oblique : $y=2x+7$. **Réponse** : Asymptote verticale $x=2$ ; asymptote oblique $y=2x+7$. --- ### Exercice 4 Étudier la symétrie et les asymptotes de $f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$. **Corrigé** 1. **Limites à l’infini** : - Quand $x\to +\infty$, $e^{x}$ domine : $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}+1} =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+e^{-x}}=1. $$ - Quand $x\to -\infty$, $e^{x}\to0$ : $$ \lim_{x\to -\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}+1} =\frac{0}{0+1}=0. $$ Donc deux asymptotes horizontales : $y=1$ (à droite) et $y=0$ (à gauche). 2. **Symétrie** : - Calculons $f(-x)=\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} =\dfrac{1}{1+e^{x}} =1-\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}=1-f(x).$ - Donc $f(-x)+f(x)=1$. Cette relation montre que le point $(0,\tfrac12)$ est un centre de symétrie : en effet, si on définit $g(x)=f(x)-\tfrac12$, alors $g(-x)=f(-x)-\tfrac12=1-f(x)-\tfrac12=\tfrac12-f(x)=-g(x)$. - Donc $g$ est impaire, centre de symétrie de $f$ en $(0,\tfrac12)$. **Réponse** : Asymptotes horizontales $y=0$ et $y=1$ ; centre de symétrie $S\bigl(0,\frac12\bigr)$. --- ### Exercice 5 Déterminer l’axe de symétrie vertical de la courbe représentée par $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}$ et vérifier s’il existe un centre de symétrie. **Corrigé** 1. Factoriser : $$ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^{2}}=\frac{x+2}{x-2},\quad x\neq2. $$ Après simplification, il reste un facteur $(x-2)$ au dénominateur → asymptote verticale en $x=2$. 2. **Axe de symétrie vertical** : On cherche $a$ tel que $f(2a-x)=f(x)$. Avec la forme simplifiée $f(x)=\dfrac{x+2}{x-2}$, on teste $a=2$ : $$ f(2\cdot2-x)=f(4-x)=\frac{(4-x)+2}{(4-x)-2} =\frac{6-x}{2-x}. $$ Tandis que $$ f(x)=\frac{x+2}{x-2}. $$ Ces deux expressions ne sont pas identiques en général (par exemple, pour $x=0$, $f(4)=\frac{6}{2}=3$ alors que $f(0)=\frac{2}{-2}=-1$). Donc il n’y a **pas** d’axe de symétrie vertical. En fait, la fonction simplifiée est une homographie dont le centre de symétrie est l’intersection de ses asymptotes. 3. **Centre de symétrie** : Asymptote verticale $x=2$ ; asymptote horizontale : degrés égaux après simplification → $y=1$ (coefficiens dirigeants 1/1). Intersection : $S(2,1)$. On peut vérifier que $g(x)=f(x+2)-1=\dfrac{x+4}{x}-1=\dfrac{4}{x}$ est impaire. Donc centre de symétrie confirmé. **Réponse** : Pas d’axe de symétrie vertical ; centre de symétrie $S(2,1)$. --- ### Exercice 6 Trouver les asymptotes de $f(x)=\sqrt{x^{2}+6x+9}-x$. **Corrigé** 1. Remarquons que $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$. Donc $$ f(x)=\sqrt{(x+3)^{2}}-x=|x+3|-x. $$ 2. Étudions le signe de $x+3$ : - Si $x\ge -3$, alors $|x+3|=x+3$ et $f(x)=x+3-x=3$. - Si $x< -3$, alors $|x+3|=-(x+3)=-x-3$ et $f(x)=-x-3-x=-2x-3$. 3. Ainsi, la fonction est définie par morceaux : $$ f(x)=\begin{cases} 3, & x\ge -3,\\[2pt] -2x-3, & x<-3. \end{cases} $$ 4. **Asymptotes** : - Pour $x\to +\infty$, on est dans la première branche, $f(x)=3$ constant → asymptote horizontale $y=3$. - Pour $x\to -\infty$, on est dans la deuxième branche, $f(x)=-2x-3$ qui tend vers $+\infty$ linéairement ; on cherche une asymptote oblique : $$ a=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to -\infty}\frac{-2x-3}{x}= -2, $$ $$ b=\lim_{x\to -\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr] =\lim_{x\to -\infty}\bigl[(-2x-3)-(-2)x\bigr] =\lim_{x\to -\infty}(-3)= -3. $$ Donc asymptote oblique pour $x\to -\infty$ : $y=-2x-3$ (qui coïncide exactement avec la branche gauche, donc c’est en fait la fonction elle-même sur cet intervalle). **Réponse** : Asymptote horizontale $y=3$ (à droite) ; asymptote oblique $y=-2x-3$ (à gauche, branche de la fonction). --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre centre de symétrie et axe de symétrie** : Beaucoup d’élèves pensent qu’une fonction impaire possède forcément un axe de symétrie vertical. Rappelons que l’impairité donne un centre à l’origine, pas un axe vertical (sauf le cas trivial de la fonction nulle). 2. **Oublier de simplifier avant de chercher les asymptotes verticales** : Dans un exemple comme $\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}$, si l’on ne factorise pas, on pourrait croire qu’il y a deux asymptotes verticales ($x=2$ double racine) alors qu’après simplification il n’en reste qu’une. Toujours réduire la fraction au préalable. 3. **Prendre la limite d’une fonction rationnelle pour une asymptote oblique alors que les degrés diffèrent de plus de 1** : Si $\deg P\ge \deg Q+2$, il n’y a pas d’asymptote oblique (on obtient une asymptote parabolique ou de degré supérieur). Vérifier toujours la différence des degrés avant d’appliquer la formule de la division euclidienne. 4. **Négliger le signe lors du calcul des limites à l’infini pour les asymptotes horizontales** : Certaines fonctions ont deux asymptotes horizontales différentes (ex. $\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$). Il faut évaluer séparément les limites en $+\infty$ et en $-\infty$. 5. **Utiliser la mauvaise forme pour vérifier une symétrie** : Pour tester un axe de symétrie vertical $x=a$, il faut vérifier $f(2a-x)=f(x)$, et non $f(-x)=f(x)$ (qui ne teste que l’axe $x=0$). De même, pour un centre de symétrie, la condition est $f(2x_0-x)=2y_0-f(x)$, et non simplement $f(-x)=-f(x)$ sauf si le centre est l’origine. 6. **Confondre asymptote oblique et asymptote horizontale quand le coefficient $a$ vaut zéro** : Après le calcul de $a=\lim f(x)/x$, si on obtient $a=0$, l’asymptote est horizontale $y=b$ avec $b=\lim f(x)$. Ne pas conclure à tort qu’il n’y a pas d’asymptote. --- *Fin du cours de référence.* --- *Ce document respecte les exigences du programme officiel MINESEC/IGE pour la série SH, niveau Terminale, et propose une approche par compétences permettant à l’élève de maîtriser les notions de symétrie et d’asymptotes, indispensables pour réussir l’épreuve de mathématiques du Baccalauréat camerounais.*