Primitives d'une fonction

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - définir précisément ce qu’est une primitive d’une fonction sur un intervalle ; - énoncer et justifier les propriétés fondamentales des primitives (linéarité, unicité à une constante près) ; - calculer les primitives des fonctions usuelles : polynômes, exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques de base et leurs combinaisons simples ; - appliquer les techniques de changement de variable et d’intégration par parties lorsqu’elles sont nécessaires pour réduire une intégrale à une forme connue ; - interpréter géométriquement une primitive comme une aire sous une courbe ou comme une fonction dont la dérivée est connue ; - résoudre des exercices du type baccalauréat camerounais, en justifiant chaque étape et en détectant les erreurs fréquentes. **Prérequis** : L’élève doit maîtriser - la notion de dérivée et les règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne) ; - les fonctions de référence : $x\mapsto x^n$ ($n\in\mathbb Z$), $x\mapsto e^x$, $x\mapsto \ln x$ ($x>0$), $x\mapsto \sin x$, $x\mapsto \cos x$, $x\mapsto \tan x$ ; - le calcul des limites simples et la notion de continuité sur un intervalle ; - la manipulation algébrique de fractions rationnelles et de trigonométrie de base (identités $\sin^2x+\cos^2x=1$, $1+\tan^2x=\sec^2x$, etc.). --- ## Introduction contextualisée L’étude des primitives, ou intégrales indéfinies, constitue le versant opposé de la dérivation. Alors que la dérivée mesure le taux d’instantané d’une fonction, la primitive cherche une fonction dont le taux d’instantané reproduit exactement une fonction donnée. Cette dualité apparaît dès les travaux de Newton et Leibniz au XVIIᵉ siècle et constitue le cœur du **théorème fondamental du calcul** : si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors pour tout $a,b\in I$ $$ \int_a^b f(t)\,dt = F(b)-F(a). $$ Dans le programme camerounais de Terminale C, la leçon 19 se concentre sur les **primitives des fonctions usuelles**. Maîtriser ces antiderivées permet non seulement de résoudre des exercices d’intégration directe, mais aussi de préparer le terrain aux méthodes plus élaborées (substitution, parties, fractions partielles) qui seront abordées ultérieurement. Nous allons donc développer, de façon exhaustive, chaque famille de fonctions usuelles, en présentant : 1. une définition rigoureuse de la primitive ; 2. les propriétés essentielles (linéarité, unicité à une constante près) ; 3. les démonstrations des formules de base (souvent obtenues par dérivation connue) ; 4. au moins deux exemples entièrement résolus, du plus simple au plus délicat ; 5. des encadrés « à retenir » sous forme de blockquotes $> $ pour mettre en évidence les règles fondamentales. Enfin, nous proposerons une synthèse, un glossaire, des exercices d’application corrigés et une liste d’erreurs fréquentes afin que l’élève puisse travailler en autonomie. --- ## I. Primitives des fonctions polynomiales ### A. Définition et propriétés de base > **Définition** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I\subseteq\mathbb R$. Une fonction $F$ définie sur $I$ est appelée **primitive** de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x\in I$, > $$ > F'(x)=f(x). > $$ > L’ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ se note $\displaystyle\int f(x)\,dx$ et s’écrit $F(x)+C$, où $C$ est une constante arbitraire (constante d’intégration). > **Propriété de linéarité** : Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur $I$, alors pour tout $\alpha,\beta\in\mathbb R$, > $$ > \int \bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\,dx = \alpha F(x)+\beta G(x)+C. > $$ > **Unicité à une constante près** : Si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ sur le même intervalle $I$, alors il existe une constante $k$ telle que $F_1(x)=F_2(x)+k$ pour tout $x\in I$. Ces propriétés découlent directement des règles de dérivation (linéarité de la dérivée et nullité de la dérivée d’une constante). ### B. Primitives de $x^n$ Pour $n\in\mathbb Z$, $n\neq -1$, on cherche $F$ telle que $F'(x)=x^n$. En dérivant $x^{n+1}$ on obtient $$ \frac{d}{dx}\bigl(x^{n+1}\bigr) = (n+1)x^{n}. $$ Donc $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}. $$ > **Formule** : Pour tout entier $n\neq -1$, > $$ > \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. > $$ Le cas $n=-1$ donne $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$, qui sera traité dans la partie logarithme. ### C. Exemples entièrement résolus **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int (3x^{2}-5x+7)\,dx$. *Étape 1* : Séparer les termes grâce à la linéarité. $$ \int (3x^{2}-5x+7)\,dx = 3\int x^{2}\,dx -5\int x\,dx +7\int 1\,dx. $$ *Étape 2* : Appliquer la formule de $x^{n}$. $$ 3\int x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}, \qquad -5\int x\,dx = -5\cdot\frac{x^{2}}{2}= -\frac{5}{2}x^{2}, \qquad 7\int 1\,dx = 7x. $$ *Étape 3* : Rassembler et ajouter la constante. $$ \boxed{\displaystyle\int (3x^{2}-5x+7)\,dx = x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+7x + C}. $$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int \frac{4}{x^{3}}\,dx$. On réécrit $\frac{4}{x^{3}} = 4x^{-3}$. *Étape 1* : Appliquer la formule avec $n=-3$ (différent de $-1$). $$ \int 4x^{-3}\,dx = 4\int x^{-3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{-2}}{-2}= -2x^{-2}. $$ *Étape 2* : Écrire sous forme rationnelle et ajouter $C$. $$ \boxed{\displaystyle\int \frac{4}{x^{3}}\,dx = -\frac{2}{x^{2}}+C}. $$ --- ## II. Primitives des fonctions exponentielles et logarithmiques ### A. Fonction exponentielle $e^{x}$ > **Formule** : > $$ > \int e^{x}\,dx = e^{x}+C. > $$ > *Démonstration* : Puisque $\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$, la réciproque donne immédiatement la primitive. Pour une exponentielle de la forme $e^{ax}$ ($a\in\mathbb R^{*}$), on utilise le changement de variable $u=ax$ ou on remarque que $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\right)=e^{ax}. $$ > **Formule** : > $$ > \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C \qquad (a\neq0). > $$ ### B. Fonction logarithme naturel $\ln x$ > **Formule** : > $$ > \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C \qquad (x\neq0). > $$ > *Démonstration* : On sait que $\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}$ pour tout $x\neq0$ (en considérant séparément $x>0$ et $x<0$). Pour un logarithme avec un coefficient, on utilise la linéarité : $$ \int \frac{a}{x}\,dx = a\ln|x|+C. $$ ### C. Exemples entièrement résolus **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int \bigl(2e^{3x}-5e^{-x}\bigr)\,dx$. *Étape 1* : Séparer. $$ 2\int e^{3x}\,dx -5\int e^{-x}\,dx. $$ *Étape 2* : Appliquer la formule pour $e^{ax}$. $$ 2\cdot\frac{1}{3}e^{3x}= \frac{2}{3}e^{3x},\qquad -5\cdot\frac{1}{-1}e^{-x}=5e^{-x}. $$ *Étape 3* : Rassembler. $$ \boxed{\displaystyle\int \bigl(2e^{3x}-5e^{-x}\bigr)\,dx = \frac{2}{3}e^{3x}+5e^{-x}+C}. $$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int \frac{7}{2x-3}\,dx$. On remarque que la dérivée de $\ln|2x-3|$ vaut $\frac{2}{2x-3}$. Donc $$ \int \frac{7}{2x-3}\,dx = \frac{7}{2}\int \frac{2}{2x-3}\,dx = \frac{7}{2}\ln|2x-3|+C. $$ > **Vérification** : Deriver $\frac{7}{2}\ln|2x-3|$ donne $\frac{7}{2}\cdot\frac{2}{2x-3}= \frac{7}{2x-3}$. $$ \boxed{\displaystyle\int \frac{7}{2x-3}\,dx = \frac{7}{2}\ln|2x-3|+C}. $$ --- ## III. Primitives des fonctions trigonométriques usuelles ### A. Sinus et cosinus > **Formules** : > $$ > \int \sin x\,dx = -\cos x + C,\qquad > \int \cos x\,dx = \sin x + C. > $$ > *Démonstration* : $\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x$ et $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$. Pour des arguments linéaires $ax+b$, on utilise le changement de variable $u=ax+b$ ou on remarque que $$ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\cos(ax+b)\right)=\sin(ax+b), \quad \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}\sin(ax+b)\right)=\cos(ax+b). $$ > **Formules** : > $$ > \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C, > \qquad > \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C. > $$ ### B. Tangente, cotangente, sécante, cosécante Les primitives de ces fonctions se dérivent des identités $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, ainsi que des formes $\sec^{2}x$ et $\csc^{2}x$. > **Formules** : > $$ > \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C = \ln|\sec x|+C, > $$ > $$ > \int \cot x\,dx = \ln|\sin x|+C, > $$ > $$ > \int \sec^{2}x\,dx = \tan x + C, > $$ > $$ > \int \csc^{2}x\,dx = -\cot x + C. > $$ *Démonstration* pour $\tan x$ : écrire $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et poser $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$ ; on obtient $$ \int \tan x\,dx = \int -\frac{du}{u}= -\ln|u|+C = -\ln|\cos x|+C. $$ Les autres se démontrent de façon analogue. ### C. Exemples entièrement résolus **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int \bigl(4\sin(2x)-3\cos(5x)\bigr)\,dx$. *Étape 1* : Séparer. $$ 4\int \sin(2x)\,dx -3\int \cos(5x)\,dx. $$ *Étape 2* : Appliquer les formules avec facteur $a$. $$ 4\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)= -2\cos(2x),\qquad -3\left(\frac{1}{5}\sin(5x)\right)= -\frac{3}{5}\sin(5x). $$ *Étape 3* : Rassembler. $$ \boxed{\displaystyle\int \bigl(4\sin(2x)-3\cos(5x)\bigr)\,dx = -2\cos(2x)-\frac{3}{5}\sin(5x)+C}. $$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int \tan(3x)\,dx$. On pose $u=3x$, $du=3dx$ → $dx=\frac{du}{3}$. $$ \int \tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int \tan u\,du = \frac{1}{3}\bigl(-\ln|\cos u|\bigr)+C = -\frac{1}{3}\ln|\cos(3x)|+C. $$ > **Vérification** : Deriver $-\frac{1}{3}\ln|\cos(3x)|$ donne $-\frac{1}{3}\cdot\frac{-3\sin(3x)}{\cos(3x)}=\tan(3x)$. $$ \boxed{\displaystyle\int \tan(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\ln|\cos(3x)|+C}. $$ --- ## IV. Primitives de fonctions rationnelles simples Dans cette partie, nous ne traitons que les formes qui apparaissent directement après une manipulation élémentaire (factorisation, completion du carré). Les méthodes de fractions partielles seront étudiées plus tard, mais il est utile de connaître les intégrales de base. ### A. Intégrale de $\displaystyle\frac{1}{ax+b}$ > **Formule** : > $$ > \int \frac{dx}{ax+b}= \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C \qquad (a\neq0). > $$ > *Démonstration* : Poser $u=ax+b$, $du=a\,dx$ → $dx=\frac{du}{a}$ ; alors $$ \int \frac{dx}{ax+b}= \int \frac{1}{u}\frac{du}{a}= \frac{1}{a}\ln|u|+C. $$ ### B. Intégrale de $\displaystyle\frac{1}{x^{2}+a^{2}}$ > **Formule** : > $$ > \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}= \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C \qquad (a>0). > $$ > *Démonstration* : On connaît la dérivée de $\arctan(u)$ : $\frac{d}{du}\arctan u = \frac{1}{1+u^{2}}$. Avec $u=\frac{x}{a}$, $du=\frac{dx}{a}$, on obtient $$ \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \int \frac{1}{a^{2}(1+u^{2})}\,a\,du = \frac{1}{a}\int \frac{du}{1+u^{2}} = \frac{1}{a}\arctan u +C. $$ ### C. Exemples entièrement résolus **Exemple 1** : Calculer $\displaystyle\int \frac{5}{3x-7}\,dx$. *Étape 1* : Identifier $a=3$, $b=-7$. $$ \int \frac{5}{3x-7}\,dx = 5\int \frac{dx}{3x-7}=5\cdot\frac{1}{3}\ln|3x-7|+C = \frac{5}{3}\ln|3x-7|+C. $$ **Exemple 2** : Calculer $\displaystyle\int \frac{4}{x^{2}+9}\,dx$. On remarque que $9=3^{2}$, donc $a=3$. $$ \int \frac{4}{x^{2}+9}\,dx = 4\int \frac{dx}{x^{2}+3^{2}} = 4\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C = \frac{4}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C. $$ --- ## V. Méthodes de calcul : substitution et intégration par parties Bien que la leçon 19 se concentre sur les primitives usuelles, il est fréquent de devoir réduire une intégrale inconnue à une forme connue grâce à ces deux techniques. Nous les présentons brièvement, avec des démonstrations et des exemples, afin que l’élève puisse les appliquer lorsqu’elles sont nécessaires. ### A. Changement de variable (substitution) > **Théorème** : Soit $f$ continue sur un intervalle $J$ et $\phi$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $\phi(I)\subseteq J$. Alors > $$ > \int f(\phi(x))\,\phi'(x)\,dx = \int f(u)\,du, > $$ > où l’on pose $u=\phi(x)$. *Démonstration* : En dérivant $F(u)=\int f(u)\,du$ on a $F'(u)=f(u)$. Par la règle de la chaîne, $$ \frac{d}{dx}F(\phi(x)) = F'(\phi(x))\,\phi'(x) = f(\phi(x))\,\phi'(x). $$ Donc $F(\phi(x))$ est une primitive de $f(\phi(x))\phi'(x)$. **Exemple** : $\displaystyle\int x\cos(x^{2})\,dx$. Posons $u=x^{2}$, alors $du=2x\,dx$ → $x\,dx=\frac{du}{2}$. $$ \int x\cos(x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u +C = \frac{1}{2}\sin(x^{2})+C. $$ ### B. Intégration par parties > **Formule** : Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle, alors > $$ > \int u\,v'\,dx = uv - \int u'\,v\,dx. > $$ > Cette formule résulte de la dérivation du produit $uv$ : $(uv)' = u'v+uv'$. **Exemple** : $\displaystyle\int x e^{x}\,dx$. Choisissons $u=x$ (donc $u'=1$) et $v'=e^{x}$ (donc $v=e^{x}$). $$ \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int 1\cdot e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}+C = e^{x}(x-1)+C. $$ --- ## Synthèse du chapitre - **Primitive** : $F$ telle que $F'=f$ ; l’ensemble des primitives s’écrit $F(x)+C$. - **Linéarité** : $\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$. - **Unicité** : Deux primitives diffèrent d’une constante. - **Formules de base** (à retenir) : > $ \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\neq-1)$ > $ \displaystyle\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C\;(a\neq0)$ > $ \displaystyle\int \frac{dx}{x}= \ln|x|+C$ > $ \displaystyle\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$ > $ \displaystyle\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C$ > $ \displaystyle\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C$ > $ \displaystyle\int \cot x\,dx = \ln|\sin x|+C$ > $ \displaystyle\int \sec^{2}x\,dx = \tan x +C$ > $ \displaystyle\int \csc^{2}x\,dx = -\cot x +C$ > $ \displaystyle\int \frac{dx}{ax+b}= \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$ > $ \displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}= \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C$ - **Méthodes utiles** : substitution $u=\phi(x)$ ; intégration par parties $\int u\,v' = uv-\int u'v$. - **Vérification** : toujours dériver le résultat obtenu pour s’assurer qu’on retrouve l’intégrande. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Primitive | Fonction $F$ telle que $F'=f$ sur un intervalle. | | Constante d’intégration | Constante $C$ ajoutée à toute primitive pour représenter l’ensemble des antiderivées. | | Linéarité de l’intégrale | Propriété $\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$. | | Substitution | Changement de variable $u=\phi(x)$ permettant de transformer $\int f(\phi(x))\phi'(x)dx$ en $\int f(u)du$. | | Intégration par parties | Formule $\int u\,v' = uv-\int u'v$ dérivée de la règle du produit. | | Fonction exponentielle | $x\mapsto e^{x}$, propre à être égale à sa dérivée. | | Logarithme naturel | Fonction $\ln x$ définie pour $x>0$, vérifiant $(\ln x)'=1/x$. | | Fonction trigonométrique | Fonctions $\sin, \cos, \tan, \cot, \sec, \csc$ liées au cercle trigonométrique. | | Arctangente | Fonction réciproque de la tangente sur $(-\pi/2,\pi/2)$, notée $\arctan$. | | Fractions rationnelles | Quotient de deux polynômes ; certaines formes simples donnent des intégrales logarithmiques ou arctangentes. | | Continuité | Propriété garantissant l’existence de primitives sur un intervalle (théorème de l’existence de primitives). | | Dérivée | Taux d’instantané d’une fonction, notée $f'$ ou $\frac{df}{dx}$. | | Intervalle | Sous-ensemble connexe de $\mathbb R$ de la forme $[a,b]$, $(a,b)$, etc. | | Constante | Valeur fixe ne dépendant pas de la variable d’intégration. | --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 Calculer $\displaystyle\int (6x^{4}-2x^{2}+3)\,dx$. **Corrigé** : $$ \begin{aligned} \int (6x^{4}-2x^{2}+3)\,dx &= 6\int x^{4}\,dx -2\int x^{2}\,dx +3\int 1\,dx\\ &= 6\cdot\frac{x^{5}}{5} -2\cdot\frac{x^{3}}{3}+3x +C\\ &= \frac{6}{5}x^{5}-\frac{2}{3}x^{3}+3x+C. \end{aligned} $$ --- ### Exercice 2 Déterminer $\displaystyle\int \bigl(4e^{5x}-7e^{-2x}\bigr)\,dx$. **Corrigé** : $$ \begin{aligned} \int 4e^{5x}\,dx &= 4\cdot\frac{1}{5}e^{5x}= \frac{4}{5}e^{5x},\\ \int -7e^{-2x}\,dx &= -7\cdot\frac{1}{-2}e^{-2x}= \frac{7}{2}e^{-2x}. \end{aligned} $$ Donc $$ \boxed{\displaystyle\int \bigl(4e^{5x}-7e^{-2x}\bigr)\,dx = \frac{4}{5}e^{5x}+\frac{7}{2}e^{-2x}+C}. $$ --- ### Exercice 3 Calculer $\displaystyle\int \frac{3}{2x+1}\,dx$. **Corrigé** : $$ \int \frac{3}{2x+1}\,dx = 3\int \frac{dx}{2x+1}=3\cdot\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C = \frac{3}{2}\ln|2x+1|+C. $$ --- ### Exercice 4 Déterminer $\displaystyle\int \bigl(5\sin(3x)+2\cos(4x)\bigr)\,dx$. **Corrigé** : $$ \begin{aligned} \int 5\sin(3x)\,dx &= 5\Bigl(-\frac{1}{3}\cos(3x)\Bigr)= -\frac{5}{3}\cos(3x),\\ \int 2\cos(4x)\,dx &= 2\Bigl(\frac{1}{4}\sin(4x)\Bigr)= \frac{1}{2}\sin(4x). \end{aligned} $$ Ainsi $$ \boxed{\displaystyle\int \bigl(5\sin(3x)+2\cos(4x)\bigr)\,dx = -\frac{5}{3}\cos(3x)+\frac{1}{2}\sin(4x)+C}. $$ --- ### Exercice 5 Calculer $\displaystyle\int \frac{8}{x^{2}+16}\,dx$. **Corrigé** : On remarque $16=4^{2}$, donc $a=4$. $$ \int \frac{8}{x^{2}+16}\,dx = 8\int \frac{dx}{x^{2}+4^{2}} = 8\cdot\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{4}\right)+C = 2\arctan\!\left(\frac{x}{4}\right)+C. $$ --- ### Exercice 6 (un peu plus délicat) Déterminer $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ (pour $x>0$). **Corrigé** : On utilise l’intégration par parties. Choisissons $u=\ln x$ (donc $u'=\frac{1}{x}$) et $v'=x$ (donc $v=\frac{x^{2}}{2}$). $$ \begin{aligned} \int x\ln x\,dx &= uv - \int u'v\,dx\\ &= \ln x\cdot\frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{2}\,dx\\ &= \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\ &= \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}+C\\ &= \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}+C. \end{aligned} $$ On peut factoriser $\frac{x^{2}}{4}$ : $$ \boxed{\displaystyle\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{4}\bigl(2\ln x-1\bigr)+C}. $$ --- ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier la constante d’intégration** *Piège* : Écrire $\int 2x\,dx = x^{2}$ au lieu de $x^{2}+C$. *Correction* : Toujours ajouter $+C$ après avoir trouvé une antiderivée, sauf lorsqu’on calcule une intégrale définie où les constantes se simplifient. 2. **Confondre la dérivée et la primitive des fonctions exponentielles** *Piège* : Penser que $\int e^{ax}\,dx = e^{ax}+C$ (en oubliant le facteur $1/a$). *Correction* : Rappeler que $\frac{d}{dx}\bigl(\frac{1}{a}e^{ax}\bigr)=e^{ax}$ ; donc la primitive comporte le facteur $\frac{1}{a}$. 3. **Mauvaise gestion du signe avec les fonctions trigonométriques** *Piège* : Écrire $\int \sin x\,dx = \cos x + C$ (oubli du signe moins). *Correction* : Se souvenir que la dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$, donc la primitive de $\sin x$ est $-\cos x + C$. 4. **Erreur de substitution : oublier de changer le différentiel** *Piège* : Dans $\int x\cos(x^{2})\,dx$, poser $u=x^{2}$ puis écrire $\int \cos u\,dx$ au lieu de $\int \cos u\,\frac{du}{2x}$. *Correction* : Toujours exprimer $dx$ en fonction de $du$ : $dx = \frac{du}{2x}$, puis simplifier l’expression avant d’intégrer. 5. **Mauvaise application de la formule du logarithme** *Piège* : Écrire $\int \frac{dx}{ax+b}= \ln|ax+b|+C$ (omettre le facteur $1/a$). *Correction* : Rappeler la démonstration avec $u=ax+b$ : $dx = du/a$, d’où le facteur $1/a$. 6. **Confondre $\int \tan x\,dx$ et $\int \cot x\,dx$** *Piège* : Donner $\ln|\sin x|+C$ pour la tangente. *Correction* : Récupérer les démonstrations : $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C$, $\int \cot x\,dx = \ln|\sin x|+C$. En étant vigilant sur ces points, l’élève évite la plupart des pertes de points aux épreuves du baccalauréat. --- *Fin du cours de référence sur les primitives des fonctions usuelles.*