Chap7: Probabilités

# Chap7: Probabilités ## Expériences aléatoire ### Introduction Les probabilités sont une branche des mathématiques qui nous permet de quantifier l'incertitude. Elles sont omniprésentes dans notre quotidien, de la météo aux jeux de hasard, en passant par les décisions économiques ou médicales. Pour commencer notre exploration des probabilités, il est essentiel de comprendre ce qu'est une "expérience aléatoire", ses composantes et comment nous pouvons l'analyser. Dans ce chapitre, nous allons définir rigoureusement ce concept fondamental, explorer l'ensemble de tous les résultats possibles et apprendre à manipuler les événements qui en découlent. ### Concepts Clés #### Définition d'une expérience aléatoire Une **expérience aléatoire** est une expérience dont le résultat n'est pas certain et ne peut pas être prédit à l'avance, mais pour laquelle tous les résultats possibles sont connus. ##### Caractéristiques principales * **Imprévisible :** On ne peut pas connaître le résultat avant la réalisation de l'expérience. * **Résultats connus :** On peut lister tous les résultats possibles de l'expérience. * **Répétable :** L'expérience peut être répétée plusieurs fois dans des conditions identiques. ##### Exemples d'expériences aléatoires * Lancer un dé à six faces et observer le chiffre obtenu. * Lancer une pièce de monnaie et observer si elle tombe sur Pile ou Face. * Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes et observer sa valeur et sa couleur. * Observer la couleur d'une boule tirée d'une urne contenant des boules de différentes couleurs. #### Univers des possibles (\( \Omega \)) L'**univers des possibles**, noté \( \Omega \) (prononcé "Omega"), est l'ensemble de tous les résultats individuels et distincts qu'une expérience aléatoire peut produire. Chaque élément de \( \Omega \) est appelé un **résultat** ou une **éventualité**. ##### Exemples d'univers * Pour le lancer d'un dé : \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) * Pour le lancer d'une pièce : \( \Omega = \{\text{Pile}, \text{Face}\} \) * Pour le lancer de deux pièces : \( \Omega = \{\text{(P, P)}, \text{(P, F)}, \text{(F, P)}, \text{(F, F)}\} \) (où P représente Pile et F représente Face) #### Événements Un **événement** est un sous-ensemble de l'univers des possibles \( \Omega \). Il s'agit d'une collection d'un ou plusieurs résultats possibles de l'expérience aléatoire. Un événement est réalisé si l'un de ses résultats est obtenu lors de l'expérience. ##### Types d'événements * **Événement élémentaire :** Un événement qui ne contient qu'un seul résultat de \( \Omega \). * Exemple : "Obtenir un 3" lors du lancer d'un dé. Cet événement est \( \{3\} \). * **Événement impossible :** L'événement qui ne contient aucun résultat. Il est noté \( \emptyset \) (ensemble vide) et sa probabilité est 0. * Exemple : "Obtenir un 7" lors du lancer d'un dé à six faces. * **Événement certain :** L'événement qui contient tous les résultats de \( \Omega \). Il est noté \( \Omega \) et sa probabilité est 1. * Exemple : "Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6" lors du lancer d'un dé. * **Événement contraire (ou complémentaire) :** Pour un événement A, son événement contraire, noté \( \bar{A} \) (ou \( A^c \)), est l'ensemble de tous les résultats de \( \Omega \) qui ne sont pas dans A. * Exemple : Si A est "Obtenir un nombre pair" lors du lancer d'un dé (\( A = \{2, 4, 6\} \)), alors \( \bar{A} \) est "Obtenir un nombre impair" (\( \bar{A} = \{1, 3, 5\} \)). ##### Opérations sur les événements Soient A et B deux événements de l'univers \( \Omega \). * **Union (A ou B) :** L'union de A et B, notée \( A \cup B \), est l'événement qui se réalise si A se réalise, ou B se réalise, ou les deux se réalisent. * Exemple : A = "Obtenir un nombre pair", B = "Obtenir un multiple de 3". \( A \cup B \) = "Obtenir un nombre pair ou un multiple de 3" = \( \{2, 3, 4, 6\} \). * **Intersection (A et B) :** L'intersection de A et B, notée \( A \cap B \), est l'événement qui se réalise si A et B se réalisent simultanément. * Exemple : Pour les mêmes A et B ci-dessus, \( A \cap B \) = "Obtenir un nombre pair ET un multiple de 3" = \( \{6\} \). * **Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs) :** Deux événements A et B sont dits incompatibles si leur intersection est l'événement impossible, c'est-à-dire \( A \cap B = \emptyset \). Ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. * Exemple : A = "Obtenir un 1", B = "Obtenir un 2" lors du lancer d'un dé. \( A \cap B = \emptyset \). #### Fréquence et Probabilité ##### Fréquence La **fréquence** d'un événement est le rapport entre le nombre de fois où cet événement s'est produit lors d'une série d'expériences et le nombre total d'expériences réalisées. \[ F(A) = \frac{\text{nombre de réalisations de A}}{\text{nombre total d'expériences}} \] La **loi des grands nombres** stipule que lorsque le nombre de répétitions d'une expérience aléatoire augmente, la fréquence d'un événement tend à se stabiliser autour de sa probabilité théorique. ##### Probabilité (Loi de Laplace) Lorsque tous les événements élémentaires d'une expérience aléatoire ont la même chance de se réaliser (on parle d'**équiprobabilité**), la probabilité d'un événement A est donnée par la formule de Laplace : \[ P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à A}}{\text{nombre total de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} \] Où \( \text{card}(A) \) est le nombre d'éléments dans l'événement A et \( \text{card}(\Omega) \) est le nombre d'éléments dans l'univers \( \Omega \). ##### Propriétés des probabilités * La probabilité d'un événement A est toujours comprise entre 0 et 1 : \( 0 \le P(A) \le 1 \). * La probabilité de l'événement certain est 1 : \( P(\Omega) = 1 \). * La probabilité de l'événement impossible est 0 : \( P(\emptyset) = 0 \). * La probabilité de l'événement contraire \( \bar{A} \) est \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \). * Pour deux événements A et B : \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \). * Si A et B sont incompatibles (c'est-à-dire \( A \cap B = \emptyset \)), alors \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). ### Vocabulaire * **Expérience aléatoire :** Processus dont le résultat est incertain mais dont tous les résultats possibles sont connus. * **Univers (des possibles) (\( \Omega \)) :** L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. * **Résultat / Éventualité :** Un élément unique de l'univers.\( \Omega \). * **Événement :** Un sous-ensemble de l'univers \( \Omega \), regroupant un ou plusieurs résultats. * **Événement élémentaire :** Événement ne contenant qu'un seul résultat. * **Événement impossible (\( \emptyset \)) :** Événement qui ne peut jamais se produire. * **Événement certain (\( \Omega \)) :** Événement qui se produit toujours. * **Événement contraire (\( \bar{A} \) ou \( A^c \)) :** Tous les résultats de \( \Omega \) qui ne sont pas dans l'événement A. * **Union d'événements (\( A \cup B \)) :** L'événement "A ou B se réalise" (A, B ou les deux). * **Intersection d'événements (\( A \cap B \)) :** L'événement "A et B se réalisent" (A et B simultanément). * **Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs) :** Événements qui ne peuvent pas se produire en même temps (leur intersection est vide). * **Fréquence :** Rapport du nombre de réalisations d'un événement au nombre total d'expériences. * **Probabilité :** Mesure de la chance qu'un événement se produise, nombre entre 0 et 1. * **Équiprobabilité :** Situation où chaque événement élémentaire a la même probabilité de se produire. * **Loi des grands nombres :** Théorème selon lequel la fréquence d'un événement tend vers sa probabilité théorique à mesure que le nombre d'expériences augmente. ### Exemples #### Exemple 1 : Lancer d'un dé équilibré à 6 faces L'univers est \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). * **Événement A :** "Obtenir un nombre pair". \( A = \{2, 4, 6\} \). * \( P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). * **Événement B :** "Obtenir un multiple de 3". \( B = \{3, 6\} \). * \( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). * **Intersection \( A \cap B \) :** "Obtenir un nombre pair ET un multiple de 3". \( A \cap B = \{6\} \). * \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \). * **Union \( A \cup B \) :** "Obtenir un nombre pair OU un multiple de 3". \( A \cup B = \{2, 3, 4, 6\} \). * \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). #### Exemple 2 : Tirage d'une boule dans une urne Une urne contient 3 boules rouges (R), 2 boules vertes (V) et 5 boules bleues (B). On tire une boule au hasard. L'univers est \( \Omega = \{R_1, R_2, R_3, V_1, V_2, B_1, B_2, B_3, B_4, B_5\} \). \( \text{card}(\Omega) = 10 \). * **Événement R :** "Tirer une boule rouge". \( \text{card}(R) = 3 \). * \( P(R) = \frac{3}{10} \). * **Événement V :** "Tirer une boule verte". \( \text{card}(V) = 2 \). * \( P(V) = \frac{2}{10} \). * **Événement B :** "Tirer une boule bleue". \( \text{card}(B) = 5 \). * \( P(B) = \frac{5}{10} \). * **Probabilité de tirer une boule rouge ou verte :** Les événements R et V sont incompatibles (on ne peut pas tirer une boule qui soit rouge ET verte à la fois). * \( P(R \cup V) = P(R) + P(V) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \). ### Exercices #### Exercice 1 : Lancer de deux pièces de monnaie On lance deux pièces de monnaie distinctes (par exemple, une de 1 euro et une de 2 euros) et on observe les faces obtenues. 1. Déterminez l'univers \( \Omega \) de cette expérience aléatoire. 2. Soit A l'événement : "Obtenir au moins un Pile". Calculez \( P(A) \). 3. Soit B l'événement : "Obtenir deux Faces". Calculez \( P(B) \). 4. Que représente l'événement B par rapport à l'événement A ? Expliquez votre réponse. #### Exercice 2 : Tirage de cartes On tire une carte au hasard d'un jeu de 32 cartes. 1. Quel est le nombre de cas possibles (\( \text{card}(\Omega) \)) ? 2. Soit C l'événement : "Tirer un carreau". Calculez \( P(C) \). 3. Soit R l'événement : "Tirer un roi". Calculez \( P(R) \). 4. Déterminez l'événement \( C \cap R \) et calculez \( P(C \cap R) \). 5. Déterminez l'événement \( C \cup R \) et calculez \( P(C \cup R) \). ### Devoirs #### Exercice 1 : Lancer de deux dés On lance deux dés à six faces équilibrés et on observe les chiffres obtenus. On s'intéresse à la somme des deux faces. 1. Quel est l'univers \( \Omega \) de cette expérience si l'on représente chaque résultat par un couple \( (d_1, d_2) \) où \( d_1 \) est le résultat du premier dé et \( d_2 \) celui du second ? Combien y a-t-il de résultats possibles (\( \text{card}(\Omega) \)) ? 2. Soit A l'événement : "La somme des faces est égale à 7". Calculez \( P(A) \). 3. Soit B l'événement : "Obtenir deux faces identiques" (un double). Calculez \( P(B) \). 4. Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Justifiez votre réponse. Calculez \( P(A \cap B) \) et \( P(A \cup B) \). #### Exercice 2 : Sondage en classe Dans une classe de Terminale de 30 élèves, un sondage a révélé que : * 18 élèves aiment les mathématiques. * 12 élèves aiment la physique. * 5 élèves aiment à la fois les mathématiques et la physique. On choisit un élève au hasard dans cette classe. 1. Soit M l'événement : "L'élève choisi aime les mathématiques". Calculez \( P(M) \). 2. Soit P l'événement : "L'élève choisi aime la physique". Calculez \( P(P) \). 3. Calculez la probabilité que l'élève choisi aime les mathématiques **et** la physique. 4. Calculez la probabilité que l'élève choisi aime les mathématiques **ou** la physique. 5. Calculez la probabilité que l'élève choisi n'aime **ni** les mathématiques **ni** la physique. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons posé les bases des probabilités en définissant l'**expérience aléatoire** comme un processus dont le résultat est incertain mais dont tous les résultats possibles sont connus. Nous avons introduit l'**univers des possibles** (\( \Omega \)), qui est l'ensemble de toutes les issues. Ensuite, nous avons exploré les **événements**, qui sont des sous-ensembles de cet univers, et les différentes opérations (union, intersection, contraire) et types d'événements (élémentaire, impossible, certain, incompatibles). Enfin, nous avons abordé la notion de **probabilité**, en particulier pour les cas d'**équiprobabilité** avec la **loi de Laplace** (nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles). Nous avons également rappelé les propriétés fondamentales des probabilités, qui nous serviront de fondation pour les chapitres à venir. ## Probabilité d’un évènement ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les probabilités ! Les probabilités sont une branche des mathématiques qui nous permet de quantifier l'incertitude des événements. Que ce soit pour prédire le résultat d'un jeu de hasard, analyser des risques ou prendre des décisions éclairées, comprendre la probabilité d'un évènement est essentiel. Dans cette leçon, nous allons explorer les concepts fondamentaux pour calculer et interpréter ces probabilités. ### Concepts Clés #### Expérience aléatoire et Univers ##### Définition d'une expérience aléatoire Une **expérience aléatoire** est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude, même si elle est réalisée dans les mêmes conditions. Le hasard intervient dans son déroulement. * **Exemples**: Lancer un dé, tirer une carte d'un jeu, observer la couleur d'une boule tirée d'une urne. ##### Les issues (ou éventualités) Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé une **issue** ou une **éventualité**. * **Exemple**: Lors du lancer d'un dé à six faces, les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. ##### L'Univers (ou ensemble des possibles) \( \Omega \) L'**univers** (noté \( \Omega \) - la lettre grecque "Omega") est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. * **Exemple**: Pour le lancer d'un dé à six faces, \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). #### Évènements ##### Définition d'un évènement Un **évènement** est un sous-ensemble de l'univers \( \Omega \), c'est-à-dire un ensemble d'une ou plusieurs issues d'une expérience aléatoire. Il est souvent désigné par une lettre majuscule (A, B, E, etc.). * **Exemple**: Lors du lancer d'un dé, l'évènement "obtenir un nombre pair" correspond à l'ensemble \( \{2, 4, 6\} \). ##### Types d'évènements * **Évènement élémentaire**: Un évènement qui ne contient qu'une seule issue. * **Exemple**: ## Probabilités conditionnelles ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les probabilités conditionnelles ! Jusqu'à présent, vous avez appris à calculer la probabilité d'un événement de manière générale. Cependant, dans de nombreuses situations réelles, la survenue d'un événement peut influencer la probabilité qu'un autre événement se produise. Les probabilités conditionnelles nous permettent de prendre en compte cette information supplémentaire pour affiner nos prévisions. C'est un outil essentiel pour analyser des situations complexes, des diagnostics médicaux aux décisions économiques. ### Concepts Clés #### Définition d'une probabilité conditionnelle ##### Événements et notations Lorsque nous parlons de la probabilité d'un événement \( A \) sachant qu'un événement \( B \) est déjà réalisé, nous utilisons la notation \( P(A|B) \). Cela se lit "probabilité de A sachant B". Pour que cette probabilité soit définie, il faut impérativement que l'événement \( B \) soit de probabilité non nulle, c'est-à-dire \( P(B) \ne 0 \). ##### Formule fondamentale La probabilité de \( A \) sachant \( B \) est définie par la formule suivante : \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Où : * \( P(A \cap B) \) est la probabilité que les deux événements \( A \) et \( B \) se réalisent simultanément (probabilité de l'intersection de A et B). * \( P(B) \) est la probabilité que l'événement \( B \) se réalise. ##### Conséquence de la formule (Formule des probabilités composées) De la définition précédente, nous pouvons déduire une formule très utile pour calculer la probabilité de l'intersection de deux événements : \[ P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) \] De manière symétrique, nous avons également : \[ P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) \] #### Représentation par un arbre pondéré Les arbres pondérés sont des outils graphiques extrêmement efficaces pour visualiser et calculer les probabilités conditionnelles. Chaque branche de l'arbre est associée à un événement et est pondérée par sa probabilité. Les probabilités conditionnelles sont placées sur les branches successives. * **Règles de construction :** * La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud est égale à 1. * La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent. Cette probabilité est la probabilité de l'intersection des événements rencontrés sur le chemin. * La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à cet événement. #### Indépendance de deux événements Deux événements \( A \) et \( B \) sont dits **indépendants** si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par : \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] **Conséquences :** Si \( A \) et \( B \) sont indépendants, alors (si les probabilités sont non nulles) : * \( P(A|B) = P(A) \) * \( P(B|A) = P(B) \) **Attention :** Ne confondez pas événements indépendants et événements incompatibles (mutuellement exclusifs). Des événements incompatibles \( A \) et \( B \) sont tels que \( A \cap B = \emptyset \), donc \( P(A \cap B) = 0 \). S'ils sont de probabilités non nulles, ils ne peuvent pas être indépendants. #### Formule des probabilités totales ##### Partition de l'univers Un ensemble d'événements \( (B_1, B_2, ..., B_n) \) forme une **partition de l'univers** (ou système complet d'événements) si : 1. Ces événements sont deux à deux incompatibles (\( B_i \cap B_j = \emptyset \) pour \( i \ne j \)). 2. Leur union est l'univers tout entier (\( B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega \)). 3. Chacun de ces événements est de probabilité non nulle (\( P(B_i) \ne 0 \)). ##### La formule Si \( (B_1, B_2, ..., B_n) \) est une partition de l'univers, alors pour tout événement \( A \), la probabilité de \( A \) est donnée par : \[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) \times P(B_i) \] Un cas très fréquent est celui d'une partition avec un événement \( B \) et son complémentaire \( \bar{B} \) (non B). Dans ce cas, la formule des probabilités totales s'écrit : \[ P(A) = P(A|B) \times P(B) + P(A|\bar{B}) \times P(\bar{B}) \] ### Vocabulaire * **Probabilité conditionnelle :** Probabilité qu'un événement se réalise sachant qu'un autre événement est déjà réalisé. * **Événement :** Un ensemble de résultats possibles d'une expérience aléatoire. * **Intersection d'événements (\( A \cap B \)) :** L'événement où \( A \) et \( B \) se réalisent simultanément. * **Arbre pondéré :** Représentation graphique des probabilités conditionnelles et des enchaînements d'événements. * **Indépendance d'événements :** Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. * **Partition de l'univers :** Un ensemble d'événements mutuellement exclusifs et dont l'union couvre tout l'espace des possibles. * **Formule des probabilités totales :** Formule permettant de calculer la probabilité d'un événement en le décomposant selon une partition de l'univers. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul direct Dans une classe de Terminale, 60% des élèves sont des filles. 30% des filles portent des lunettes. 20% des garçons portent des lunettes. On choisit un élève au hasard. Soit F l'événement "l'élève est une fille" et L l'événement "l'élève porte des lunettes". On sait que \( P(F) = 0.60 \), donc \( P(\bar{F}) = 1 - 0.60 = 0.40 \) (garçons). On sait que \( P(L|F) = 0.30 \) (probabilité qu'un élève porte des lunettes sachant que c'est une fille). On sait que \( P(L|\bar{F}) = 0.20 \) (probabilité qu'un élève porte des lunettes sachant que c'est un garçon). Quelle est la probabilité qu'un élève soit une fille et porte des lunettes ? \[ P(L \cap F) = P(L|F) \times P(F) = 0.30 \times 0.60 = 0.18 \] Quelle est la probabilité qu'un élève porte des lunettes ? (Utilisation de la formule des probabilités totales) \[ P(L) = P(L|F) \times P(F) + P(L|\bar{F}) \times P(\bar{F}) \] \[ P(L) = (0.30 \times 0.60) + (0.20 \times 0.40) \] \[ P(L) = 0.18 + 0.08 = 0.26 \] #### Exemple 2 : Indépendance d'événements On lance un dé équilibré à six faces. Soit \( A \) l'événement "obtenir un nombre pair" (\( A = \{2, 4, 6\} \)) et \( B \) l'événement "obtenir un nombre supérieur ou égal à 3" (\( B = \{3, 4, 5, 6\} \)). * \( P(A) = 3/6 = 1/2 \) * \( P(B) = 4/6 = 2/3 \) * L'intersection \( A \cap B \) est l'événement "obtenir un nombre pair ET supérieur ou égal à 3", donc \( A \cap B = \{4, 6\} \). * \( P(A \cap B) = 2/6 = 1/3 \) Pour vérifier l'indépendance, on compare \( P(A \cap B) \) avec \( P(A) \times P(B) \) : \( P(A) \times P(B) = (1/2) \times (2/3) = 2/6 = 1/3 \) Puisque \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1/3 \), les événements \( A \) et \( B \) sont indépendants. ### Exercices 1. Dans une usine, deux machines M1 et M2 produisent des pièces. M1 produit 70% des pièces et M2 en produit 30%. La machine M1 produit 5% de pièces défectueuses, et la machine M2 produit 10% de pièces défectueuses. a. Dessinez l'arbre pondéré représentant cette situation. b. Calculez la probabilité qu'une pièce soit produite par M1 et soit défectueuse. c. Calculez la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. d. Sachant qu'une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle ait été produite par M1 ? (Ceci est un exemple de formule de Bayes, que nous verrons plus tard, mais vous pouvez le calculer avec les définitions actuelles). 2. On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Soit R l'événement "la carte tirée est un roi". Soit C l'événement "la carte tirée est un cœur". a. Calculez \( P(R) \), \( P(C) \), \( P(R \cap C) \). b. Les événements R et C sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse. c. Calculez \( P(R|C) \). ### Devoirs à la maison 1. Un sac contient 5 billes rouges et 3 billes bleues. On tire successivement et sans remise deux billes du sac. a. Dessinez l'arbre des possibilités et indiquez les probabilités sur chaque branche. b. Quelle est la probabilité de tirer deux billes de la même couleur ? c. Quelle est la probabilité de tirer au moins une bille bleue ? d. Sachant que la première bille tirée est rouge, quelle est la probabilité que la deuxième bille tirée soit également rouge ? 2. Dans une ville, 40% de la population est vaccinée contre une certaine maladie. La probabilité qu'une personne vaccinée contracte la maladie est de 0.10. La probabilité qu'une personne non vaccinée contracte la maladie est de 0.80. a. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population contracte la maladie ? b. Si une personne a contracté la maladie, quelle est la probabilité qu'elle ait été vaccinée ? ### Résumé Les probabilités conditionnelles sont fondamentales pour comprendre comment l'information sur un événement affecte la probabilité d'un autre. Nous avons défini la probabilité de \( A \) sachant \( B \) comme \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]. Cette définition conduit à la formule des probabilités composées \[ P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) \]. Les arbres pondérés sont d'excellents outils visuels pour modéliser ces situations. Nous avons également vu le concept d'événements indépendants, où \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \], ce qui implique \( P(A|B) = P(A) \). Enfin, la formule des probabilités totales, \[ P(A) = \sum P(A|B_i) \times P(B_i) \], nous permet de calculer la probabilité d'un événement en le décomposant selon une partition de l'univers. Maîtriser ces concepts est crucial pour la suite de votre parcours en probabilités.