Chap5: Fonctions logarithmes népérien

# Chap5: Fonctions logarithmes népérien ## Présentation; propriétés ### 1. Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux fonctions logarithmes népériens ! Après avoir étudié la puissante fonction exponentielle, nous allons maintenant découvrir sa fonction "jumelle" ou "réciproque", la fonction logarithme népérien, souvent notée \( \ln \). Cette fonction est fondamentale en mathématiques et trouve de nombreuses applications en physique, en biologie, en économie, etc. Nous allons explorer sa définition, ses propriétés algébriques clés et son lien étroit avec la fonction exponentielle. ### 2. Concepts Clés #### 2.1. Définition de la fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien est définie comme l'unique primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \) qui s'annule en 1. * **Notation :** On la note \( \ln \) (ou parfois \( \log_e \)). * **Domaine de définition :** La fonction \( \ln \) est définie pour tout nombre réel strictement positif, c'est-à-dire sur \( ]0; +\infty[ \). * **Valeur clé :** Puisqu'elle s'annule en 1, nous avons \( \ln(1) = 0 \). #### 2.2. La fonction \( \ln \) comme réciproque de la fonction exponentielle La fonction \( \ln \) est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \( x \mapsto e^x \). Cela signifie que : * Pour tout \( x > 0 \), \( e^{\ln x} = x \). * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \ln(e^x) = x \). De cette relation découle une autre valeur clé : * Puisque \( e^1 = e \), alors \( \ln(e) = 1 \). #### 2.3. Propriétés algébriques fondamentales Pour tous nombres réels strictement positifs \( a \) et \( b \), et pour tout entier relatif \( n \) (ces propriétés peuvent s'étendre aux réels \( n \)) : * **Logarithme d'un produit :** \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) * **Logarithme d'un quotient :** \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \) * **Logarithme de l'inverse :** \( \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b) \) * **Logarithme d'une puissance :** \( \ln(a^n) = n \ln(a) \) * **Cas particulier (racine carrée) :** \( \ln(\sqrt{a}) = \ln(a^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(a) \) #### 2.4. Signe de \( \ln x \) Le signe de \( \ln x \) dépend de la valeur de \( x \) par rapport à 1 : * Si \( 0 < x < 1 \), alors \( \ln x < 0 \). * Si \( x = 1 \), alors \( \ln x = 0 \). * Si \( x > 1 \), alors \( \ln x > 0 \). #### 2.5. Dérivée, Variations et Limites * **Dérivée :** La fonction \( \ln \) est dérivable sur \( ]0; +\infty[ \) et sa dérivée est : \[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \] * **Variations :** Puisque \( \frac{1}{x} > 0 \) pour tout \( x > 0 \), la fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( ]0; +\infty[ \). * **Limites :** * En \( +\infty \) : \( \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \) * En \( 0 \) (par valeurs supérieures) : \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \) * **Croissances comparées :** La fonction \( \ln x \) croît moins vite que toute puissance de \( x \) à l'infini, et décroît moins vite que \( x \) en 0. * \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \) pour tout \( n > 0 \). * \( \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \) pour tout \( n > 0 \). * Une limite importante est \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \). ### 3. Vocabulaire * **Logarithme népérien :** La fonction mathématique inverse de l'exponentielle, notée \( \ln \). * **Exponentielle :** La fonction \( x \mapsto e^x \), dont la réciproque est \( \ln \). * **Primitive :** Une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. La fonction \( \ln x \) est une primitive de \( \frac{1}{x} \). * **Fonction réciproque :** Si \( f \) est une fonction, sa réciproque \( f^{-1} \) (si elle existe) vérifie \( f(f^{-1}(x)) = x \) et \( f^{-1}(f(x)) = x \). * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie. ### 4. Exemples * **Calcul de valeurs :** * \( \ln(e^5) = 5 \) * \( e^{\ln 7} = 7 \) * \( \ln\left(\frac{1}{e^3}\right) = \ln(e^{-3}) = -3 \) * \( \ln(\sqrt{e}) = \frac{1}{2}\ln(e) = \frac{1}{2} \) * **Simplification d'expressions :** * Simplifier \( A = \ln(12) - \ln(3) \) : \( A = \ln\left(\frac{12}{3}\right) = \ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2) \) * Simplifier \( B = \ln(5) + \ln(2) - 2\ln(10) \) : \( B = \ln(5 \times 2) - \ln(10^2) = \ln(10) - \ln(100) = \ln\left(\frac{10}{100}\right) = \ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\ln(10) \) * **Résolution d'équations et inéquations :** * Résoudre \( \ln x = 4 \) : \( e^{\ln x} = e^4 \implies x = e^4 \). (\( x > 0 \) est bien respecté) * Résoudre \( \ln(2x-1) = 0 \) : D'abord, condition d'existence : \( 2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2} \). \( \ln(2x-1) = \ln(1) \implies 2x-1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \). (\( 1 > \frac{1}{2} \) est respecté) * Résoudre \( \ln x > 3 \) : Condition d'existence : \( x > 0 \). \( \ln x > \ln(e^3) \). Puisque \( \ln \) est strictement croissante, \( x > e^3 \). L'ensemble des solutions est \( ]e^3; +\infty[ \). * Résoudre \( \ln(x^2-1) \le \ln(3) \) : Conditions d'existence : \( x^2-1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0 \). Donc \( x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[ \). Puisque \( \ln \) est strictement croissante : \( x^2-1 \le 3 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2 \). En combinant avec les conditions d'existence, l'ensemble des solutions est \( [-2; -1[ \cup ]1; 2] \). ### 5. Exercices 1. Calculer les valeurs exactes de : a. \( \ln(e^7) \) b. \( \ln(\frac{1}{e}) \) c. \( e^{\ln(10)} \) d. \( \ln(\sqrt{e^4}) \) 2. Simplifier les expressions suivantes : a. \( \ln(6) + \ln(5) - \ln(30) \) b. \( 3\ln(2) - \ln(4) + \ln(1) \) c. \( \ln(x^2y^3) - \ln(x) - 2\ln(y) \) (pour \( x,y > 0 \)) 3. Résoudre les équations suivantes : a. \( \ln x = 5 \) b. \( \ln(x+2) = 1 \) c. \( \ln(x^2) = 4 \) d. \( \ln(x) + \ln(x+3) = \ln(4) \) 4. Résoudre les inéquations suivantes : a. \( \ln x < 2 \) b. \( \ln(3x-5) \ge 0 \) c. \( \ln(x-1) + \ln(x+1) \le \ln(8) \) ### 6. Devoirs à la maison 1. **Domaine de définition :** Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : a. \( f(x) = \ln(x^2-5x+6) \) b. \( g(x) = \ln\left(\frac{x+1}{2-x}\right) \) 2. **Vrai ou Faux :** Pour \( a,b > 0 \), dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. a. \( (\ln(ab))^2 = (\ln a)^2 + (\ln b)^2 \) b. \( \ln(a+b) = \ln a + \ln b \) c. Si \( \ln a = \ln b \), alors \( a = b \) 3. **Étude de signe :** Étudier le signe de \( f(x) = x^2 (\ln x - 1) \) sur son domaine de définition. 4. **Application :** Le nombre de bactéries dans une culture suit la formule \( N(t) = 1000 \cdot e^{0.2t} \), où \( t \) est le temps en heures. Au bout de combien de temps la population de bactéries aura-t-elle doublé ? (Donner une valeur approchée à l'heure près). ### 7. Résumé La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur \( ]0; +\infty[ \), s'annule en 1 (\( \ln(1)=0 \)) et vaut 1 en \( e \) (\( \ln(e)=1 \)). Ses propriétés algébriques sont cruciales pour la manipulation des expressions : \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \), \( \ln(a/b) = \ln a - \ln b \), et \( \ln(a^n) = n \ln a \). Elle est strictement croissante sur son domaine de définition, a une dérivée \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) et des limites importantes : \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \). La maîtrise de ces concepts est essentielle pour aborder les chapitres suivants. ## Limites faisant intervenir ln ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer les limites de fonctions qui impliquent le logarithme népérien. La fonction logarithme népérien, notée \( \ln(x) \), est une fonction fondamentale en analyse. Comprendre son comportement aux bornes de son ensemble de définition (autour de \( 0 \) et à l'infini) est crucial pour l'étude de fonctions plus complexes. Nous aborderons les limites classiques, les formes indéterminées et les techniques de levée d'indétermination, notamment les croissances comparées. ### I. Rappel sur la fonction logarithme népérien #### A. Définition et domaine La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) sur \( ]0, +\infty[ \) qui s'annule en \( 1 \). Son domaine de définition est \( D_{\ln} = ]0, +\infty[ \). #### B. Propriétés algébriques * \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) pour \( a,b > 0 \) * \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \) pour \( a,b > 0 \) * \( \ln(a^n) = n \ln(a) \) pour \( a > 0, n \in \mathbb{Z} \) * \( \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) \) pour \( a > 0 \) * \( \ln(e) = 1 \) ### II. Limites classiques de la fonction ln #### A. Limite en 0+ Lorsque \( x \) s'approche de \( 0 \) par valeurs positives, la fonction \( \ln(x) \) tend vers l'infini négatif. Formellement : \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \] #### B. Limite en +∞ Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), la fonction \( \ln(x) \) tend également vers \( +\infty \). Formellement : \[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \] ### III. Formes indéterminées et croissances comparées Lors du calcul de limites, certaines expressions peuvent conduire à des formes indéterminées (FI) telles que \( \frac{\infty}{\infty} \), \( \frac{0}{0} \), \( 0 \times \infty \) ou \( \infty - \infty \). Pour lever ces indéterminations impliquant \( \ln(x) \), on utilise souvent le théorème des croissances comparées. #### A. Croissances comparées en +∞ La fonction logarithme népérien croît moins vite que toute puissance de \( x \) en \( +\infty \). Pour tout réel \( \alpha > 0 \) : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^\alpha} = 0 \] Ceci signifie que \( x^\alpha \) "l'emporte" sur \( \ln(x) \) en \( +\infty \). #### B. Croissances comparées en 0+ La fonction \( x \mapsto x^\alpha \ln(x) \) tend vers \( 0 \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \) par valeurs positives. Pour tout réel \( \alpha > 0 \) : \[ \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln(x) = 0 \] Ceci signifie que \( x^\alpha \) "l'emporte" sur \( \ln(x) \) en \( 0^+ \). ### IV. Limite remarquable en 1 Une limite remarquable, souvent utile pour lever des indéterminations de type \( \frac{0}{0} \) en \( 1 \). Formellement : \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \] On peut la généraliser en posant \( h = x-1 \) (donc \( x = 1+h \)). Lorsque \( x \to 1 \), \( h \to 0 \) : \[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \] ### Vocabulaire * **Limite:** Valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable s'approche d'un certain point (ou de l'infini). * **Fonction logarithme népérien (ln):** Fonction dont la dérivée est \( \frac{1}{x} \) et qui s'annule en \( 1 \). Elle est définie sur \( ]0, +\infty[ \). * **Forme indéterminée (FI):** Expression dont la limite ne peut pas être déterminée directement à partir des règles de calcul habituelles. Exemples: \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, \infty - \infty \). * **Croissances comparées:** Théorèmes qui permettent de comparer la vitesse de croissance de différentes fonctions (comme \( \ln(x) \), \( x^n \), \( e^x \)) lorsque la variable tend vers \( +\infty \) ou \( 0 \). ### Exemples #### Exemple 1: Application des limites classiques Calculer \( \lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x)) \). On a \( \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \). C'est une FI de type \( \infty - \infty \). Factorisons \( x \) : \( x - \ln(x) = x(1 - \frac{\ln(x)}{x}) \) D'après les croissances comparées, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{\ln(x)}{x}) = 1 - 0 = 1 \). Par produit, \( \lim_{x \to +\infty} x(1 - \frac{\ln(x)}{x}) = (+ \infty) \times 1 = +\infty \). Ainsi, \( \lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x)) = +\infty \). #### Exemple 2: Application des croissances comparées en 0+ Calculer \( \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) \). C'est une FI de type \( 0 \times (-\infty) \). D'après les croissances comparées en \( 0^+ \) (avec \( \alpha=2 \)) : \[ \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0 \] #### Exemple 3: Utilisation de la limite remarquable Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x} \). C'est une FI de type \( \frac{0}{0} \). Posons \( u = 2x \). Lorsque \( x \to 0 \), \( u \to 0 \). L'expression devient \( \frac{\ln(1+u)}{u/2} = 2 \frac{\ln(1+u)}{u} \). On sait que \( \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1 \). Donc, \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x} = 2 \times 1 = 2 \). ### Exercices Calculez les limites suivantes : 1. \( \lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x^3) \) 2. \( \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln(x) \) 3. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x} \) 4. \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x^2)}{x-1} \) 5. \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{4x} \) ### Devoir Pour la maison, calculez les limites suivantes en justifiant chaque étape : 1. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x - \ln(x)} \) 2. \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} \) 3. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x} \) 4. \( \lim_{x \to e} \frac{\ln(x)-1}{x-e} \) 5. \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos(x))}{x^2} \) ### Résumé En résumé, les limites de fonctions impliquant le logarithme népérien sont un aspect crucial de l'analyse. Nous avons revu les comportements fondamentaux de \( \ln(x) \) en \( 0^+ \) et \( +\infty \). Les croissances comparées sont des outils puissants pour lever les formes indéterminées. Rappelez-vous que \( \ln(x) \) croît "moins vite" que toute puissance de \( x \) en \( +\infty \) et que \( x \ln(x) \) tend vers \( 0 \) en \( 0^+ \). Enfin, la limite remarquable \( \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \) est essentielle pour les cas autour de \( x=1 \) ou \( x=0 \) avec des expressions de type \( \ln(1+f(x)) \).