Chap9: Coniques

# Chap9: Coniques ## Présentation générale des conique et propriétés ### Introduction Les coniques sont des courbes fascinantes qui apparaissent dans de nombreux domaines des sciences et de l'ingénierie, de l'astronomie à l'optique. Historiquement, elles ont été étudiées dès l'Antiquité grecque par des mathématiciens comme Euclide et Apollonius. Ce chapitre vous propose de découvrir ces courbes en explorant leur définition géométrique, leur définition focale et leurs propriétés fondamentales. ### Concepts Clés #### 1. Définition Géométrique des Coniques Les coniques sont obtenues par l'intersection d'un cône de révolution double et d'un plan. Un cône de révolution est une surface générée par la rotation d'une droite (appelée génératrice) autour d'un axe, la droite et l'axe se coupant en un point appelé le sommet. Selon l'inclinaison du plan par rapport au cône, on obtient différentes courbes: * **Le Cercle:** Le plan de coupe est perpendiculaire à l'axe du cône et ne passe pas par le sommet. * **L'Ellipse:** Le plan de coupe n'est pas perpendiculaire à l'axe, ne passe pas par le sommet, et coupe toutes les génératrices d'une même nappe du cône. * **La Parabole:** Le plan de coupe est parallèle à une génératrice du cône et ne passe pas par le sommet. * **L'Hyperbole:** Le plan de coupe est parallèle à l'axe du cône, ou coupe les deux nappes du cône. * **Cas Dégénérés:** Si le plan passe par le sommet, les intersections peuvent être un point (cercle/ellipse), une droite (parabole) ou deux droites sécantes (hyperbole). #### 2. Définition Focale des Coniques Une conique peut également être définie comme l'ensemble des points \( M \) du plan tels que le rapport de la distance de \( M \) à un point fixe \( F \) (appelé **foyer**) à la distance de \( M \) à une droite fixe \( d \) (appelée **directrice**) est une constante positive \( e \) (appelée **excentricité**). Mathématiquement, cela s'écrit: \[ \frac{MF}{Md} = e \] Où \( Md \) est la distance du point \( M \) à la droite \( d \). La valeur de l'excentricité \( e \) détermine le type de conique: * **Ellipse:** Si \( 0 < e < 1 \). Pour l'ellipse, il existe deux foyers \( F \) et \( F' \) et deux directrices \( d \) et \( d' \). La somme des distances d'un point de l'ellipse aux deux foyers est constante: \( MF + MF' = 2a \). * **Parabole:** Si \( e = 1 \). La distance d'un point de la parabole au foyer est égale à sa distance à la directrice: \( MF = Md \). * **Hyperbole:** Si \( e > 1 \). Pour l'hyperbole, il existe deux foyers \( F \) et \( F' \) et deux directrices \( d \) et \( d' \). La valeur absolue de la différence des distances d'un point de l'hyperbole aux deux foyers est constante: \( |MF - MF'| = 2a \). #### 3. Équations Réduites (Présentation Sommaire) Les coniques ont des équations cartésiennes simplifiées lorsqu'elles sont placées dans un repère bien choisi. Voici les formes classiques: * **Cercle (centré à l'origine de rayon \( R \)):** \[ x^2 + y^2 = R^2 \] * **Ellipse (centrée à l'origine):** \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] * **Hyperbole (centrée à l'origine):** \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] ou \[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \] * **Parabole (sommet à l'origine):** \[ y^2 = 2px \] ou \[ x^2 = 2py \] ### Vocabulaire Important * **Conique:** Courbe plane obtenue par l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan. * **Cône de révolution:** Surface générée par la rotation d'une droite autour d'un axe fixe. * **Génératrice:** Droite formant le cône de révolution. * **Nappe:** Une des deux parties symétriques du cône. * **Sommet:** Point d'intersection de l'axe et des génératrices du cône. * **Axe:** L'axe de symétrie du cône. * **Foyer (F, F'):** Point(s) fixe(s) utilisé(s) dans la définition focale d'une conique. * **Directrice (d, d'):** Droite(s) fixe(s) utilisée(s) dans la définition focale d'une conique. * **Excentricité (e):** Rapport constant \( \frac{MF}{Md} \) qui caractérise le type de conique. * **Grand axe / Petit axe:** Axes de symétrie principaux de l'ellipse. * **Asymptotes:** Droites vers lesquelles l'hyperbole tend infiniment sans jamais les atteindre. ### Exemples #### Exemple 1: Identification Géométrique Décrivez le type de conique obtenu si un plan coupe un cône de révolution de manière à être parallèle à l'une de ses génératrices, sans passer par le sommet. **Solution:** C'est la définition géométrique d'une **parabole**. #### Exemple 2: Utilisation de l'Excentricité Un point \( M \) d'une conique est situé à une distance de 5 unités de son foyer \( F \) et à 4 unités de sa directrice \( d \). Quelle est l'excentricité de cette conique et de quel type s'agit-il ? **Solution:** Nous avons \( MF = 5 \) et \( Md = 4 \). L'excentricité \( e \) est donnée par \( e = \frac{MF}{Md} \). Donc, \( e = \frac{5}{4} = 1.25 \). Puisque \( e = 1.25 > 1 \), il s'agit d'une **hyperbole**. #### Exemple 3: Applications * **Astronomie:** Les trajectoires des planètes, comètes et satellites sont des ellipses (ou des hyperboles/paraboles pour les objets ne restant pas en orbite). * **Optique:** Les miroirs paraboliques sont utilisés dans les télescopes et les phares de voitures pour concentrer les rayons lumineux en un foyer ou les rendre parallèles. * **Architecture:** L'arche du Jefferson National Expansion Memorial (St. Louis, USA) a la forme d'une caténaire inversée, qui est une courbe proche d'une parabole. ### Exercices 1. Un plan de coupe est perpendiculaire à l'axe du cône et ne passe pas par le sommet. Quelle conique obtient-on ? 2. Si l'excentricité d'une conique est \( e = 0.8 \), de quel type de conique s'agit-il ? Justifiez votre réponse. 3. Donnez la définition focale d'une parabole en utilisant les termes foyer, directrice et excentricité. 4. Vrai ou Faux : Une hyperbole a une excentricité \( e < 1 \). ### Devoir Maison 1. Recherchez et décrivez une application concrète des coniques dans les domaines de la physique ou de l'ingénierie (autre que celles mentionnées dans les exemples). Illustrez votre réponse si possible. 2. Considérez un point \( M \) et une directrice \( d \). Si le foyer \( F \) est situé sur \( d \), quelle serait la conique obtenue selon la définition focale ? Expliquez pourquoi ce cas est dégénéré. 3. Expliquez la différence entre un grand axe et un petit axe pour une ellipse. Tracez une ellipse simple et identifiez ces axes. ### Résumé Ce cours a introduit les coniques, ces courbes remarquables que sont le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Nous avons vu qu'elles peuvent être définies géométriquement comme des intersections d'un plan et d'un cône, ou de manière plus abstraite par leur définition focale impliquant un foyer, une directrice et l'excentricité \( e \). La valeur de l'excentricité \( e \) est cruciale: \( e < 1 \) pour l'ellipse, \( e = 1 \) pour la parabole, et \( e > 1 \) pour l'hyperbole. Comprendre ces bases est essentiel pour l'étude approfondie de chacune de ces courbes dans les chapitres suivants. ## Tangente en un point à une conique ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les tangentes aux coniques ! Une tangente est une droite qui "touche" une courbe en un seul point, appelé le point de tangence, sans la traverser. Comprendre comment trouver l'équation d'une tangente est fondamental en géométrie analytique et a de nombreuses applications en physique (optique, mécanique céleste) et en ingénierie. Dans ce chapitre, nous allons découvrir les méthodes pour déterminer l'équation de la tangente à un cercle, une ellipse, une parabole et une hyperbole en un point donné. ### Concepts Clés #### Rappel sur les coniques Les coniques sont des courbes obtenues par l'intersection d'un plan avec un double cône. Il existe quatre types principaux de coniques non dégénérées : * **Le Cercle** : Cas particulier de l'ellipse où les deux axes sont égaux. * **L'Ellipse** : Courbe fermée, ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers est constante. * **La Parabole** : Courbe ouverte, ensemble des points équidistants d'un foyer et d'une droite directrice. * **L'Hyperbole** : Courbe ouverte en deux branches, ensemble des points dont la valeur absolue de la différence des distances à deux foyers est constante. #### Méthode Générale (Intuition et Formules) La détermination de l'équation d'une tangente à une courbe en un point \( (x_0, y_0) \) repose généralement sur l'utilisation de la dérivée pour trouver la pente de la tangente en ce point. Pour les coniques, des formules spécifiques, dérivées de cette méthode, existent et permettent de trouver directement l'équation de la tangente. #### Tangente à un Cercle L'équation cartésienne d'un cercle de centre \( (a,b) \) et de rayon \( R \) est : \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \] L'équation de la tangente au cercle en un point \( P(x_0, y_0) \) situé sur le cercle est donnée par : \[ (x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) = R^2 \] **Cas particulier : Cercle centré à l'origine.** Si le cercle est centré à l'origine \( (0,0) \), son équation est \( x^2 + y^2 = R^2 \). La formule de la tangente devient : \[ x x_0 + y y_0 = R^2 \] #### Tangente à une Ellipse L'équation cartésienne d'une ellipse centrée à l'origine est : \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] L'équation de la tangente à l'ellipse en un point \( P(x_0, y_0) \) situé sur l'ellipse est : \[ \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1 \] #### Tangente à une Parabole L'équation canonique d'une parabole d'axe focal l'axe des x est : \[ y^2 = 2px \] L'équation de la tangente à la parabole en un point \( P(x_0, y_0) \) situé sur la parabole est : \[ y y_0 = p(x + x_0) \] #### Tangente à une Hyperbole L'équation cartésienne d'une hyperbole centrée à l'origine est : \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] L'équation de la tangente à l'hyperbole en un point \( P(x_0, y_0) \) situé sur l'hyperbole est : \[ \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 \] ### Vocabulaire Clé * **Conique** : Courbe plane obtenue par l'intersection d'un cône double et d'un plan. * **Tangente** : Droite qui touche une courbe en un seul point sans la traverser. * **Point de tangence** : Le point où la tangente touche la courbe. * **Équation cartésienne** : Équation qui décrit une courbe ou une surface dans un système de coordonnées cartésiennes. * **Dérivée** : Mesure du taux de variation d'une fonction, dont la valeur en un point donne la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. * **Pente** : Inclinaison d'une droite. ### Exemples Pratiques #### Exemple 1 : Tangente à un Cercle Trouvez l'équation de la tangente au cercle \( x^2 + y^2 = 25 \) au point \( (3,4) \). **Solution** : Le cercle est centré à l'origine \( (a,b)=(0,0) \) et a un rayon \( R=5 \). Le point donné est \( (x_0, y_0) = (3,4) \). En utilisant la formule \( x x_0 + y y_0 = R^2 \) : \[ x(3) + y(4) = 25 \] L'équation de la tangente est donc \( 3x + 4y = 25 \). #### Exemple 2 : Tangente à une Ellipse Trouvez l'équation de la tangente à l'ellipse \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \) au point \( (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1) \). **Solution** : Pour cette ellipse, \( a^2=9 \) et \( b^2=4 \). Le point est \( (x_0, y_0) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1) \). En utilisant la formule \( \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1 \) : \[ \frac{x (\frac{3\sqrt{3}}{2})}{9} + \frac{y (1)}{4} = 1 \] \[ \frac{3\sqrt{3}x}{18} + \frac{y}{4} = 1 \] \[ \frac{\sqrt{3}x}{6} + \frac{y}{4} = 1 \] Pour éviter les fractions, on peut multiplier par 12 : \[ 2\sqrt{3}x + 3y = 12 \] #### Exemple 3 : Tangente à une Parabole Trouvez l'équation de la tangente à la parabole \( y^2 = 8x \) au point \( (2,4) \). **Solution** : La parabole est de la forme \( y^2 = 2px \), donc \( 2p = 8 \), ce qui signifie \( p=4 \). Le point est \( (x_0, y_0) = (2,4) \). En utilisant la formule \( y y_0 = p(x + x_0) \) : \[ y(4) = 4(x + 2) \] \[ 4y = 4x + 8 \] En divisant par 4 : \[ y = x + 2 \] ### Exercices 1. Déterminez l'équation de la tangente au cercle \( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 10 \) au point \( (2,1) \). 2. Trouvez l'équation de la tangente à l'ellipse \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \) au point \( (0,5) \). 3. Calculez l'équation de la tangente à la parabole \( x^2 = 12y \) au point \( (6,3) \). ### Devoir à la maison 1. Trouvez l'équation de la tangente à l'hyperbole \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \) au point \( (2\sqrt{2}, 3) \). 2. Pour le cercle d'équation \( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \), trouvez son centre et son rayon, puis déterminez l'équation de la tangente en son point \( (6,2) \). 3. Considérons la parabole d'équation \( y = \frac{1}{4}x^2 \). Trouvez l'équation de la tangente à cette parabole au point \( (4,4) \). (Suggestion : réécrivez l'équation sous la forme \( x^2 = 4y \) pour utiliser la formule appropriée). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré comment trouver l'équation de la tangente à différentes coniques en un point donné. Les formules clés à retenir sont : * **Cercle** \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \) : \( (x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) = R^2 \) * **Ellipse** \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) : \( \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1 \) * **Parabole** \( y^2 = 2px \) : \( y y_0 = p(x + x_0) \) * **Hyperbole** \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) : \( \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 \) Ces formules sont des outils puissants pour l'analyse des propriétés géométriques des coniques et sont essentielles pour des études plus approfondies en mathématiques et en physique. ## Equation réduite d'une conique ### Introduction Les coniques sont des courbes fascinantes que l'on obtient en coupant un cône par un plan. Elles incluent les cercles, les ellipses, les paraboles et les hyperboles. L'étude de leurs "équations réduites" est cruciale car elle permet de simplifier leur analyse et de révéler leurs propriétés géométriques fondamentales. Dans cette leçon, nous allons explorer ces équations et apprendre à identifier chaque type de conique ainsi que ses éléments caractéristiques. ### Concepts Clés #### 1. Définition Générale d'une Conique Une conique est l'ensemble des points \( P \) du plan pour lesquels le rapport de la distance de \( P \) à un point fixe \( F \) (appelé **foyer**) et de la distance de \( P \) à une droite fixe \( D \) (appelée **directrice**) est une constante positive \( e \) (appelée **excentricité**). Ceci s'exprime par la relation: \[ \frac{PF}{d(P,D)} = e \] Selon la valeur de l'excentricité \( e \), nous distinguons trois types de coniques (hors cercle, cas particulier de l'ellipse avec \( e=0 \) et foyer confondu avec le centre): * Si \( e = 1 \), la conique est une **parabole**. * Si \( 0 < e < 1 \), la conique est une **ellipse**. * Si \( e > 1 \), la conique est une **hyperbole**. #### 2. La Parabole \( (e = 1) \) ##### Définition La parabole est l'ensemble des points équidistants d'un foyer \( F \) et d'une directrice \( D \). ##### Équation Réduite Dans un repère orthonormal bien choisi (où le sommet est à l'origine et l'axe focal est l'un des axes de coordonnées): * Pour une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des abscisses et qui s'ouvre vers la droite: \[ y^2 = 2px \] où \( p \) est le paramètre de la parabole. * Éléments caractéristiques: * **Foyer** \( F \): \( (\frac{p}{2}, 0) \) * **Directrice** \( D \): d'équation \( x = -\frac{p}{2} \) * **Sommet** \( S \): \( (0, 0) \) * **Axe focal**: L'axe des abscisses. #### 3. L'Ellipse \( (0 < e < 1) \) ##### Définition L'ellipse est l'ensemble des points \( P \) dont la somme des distances à deux foyers fixes \( F \) et \( F' \) est constante (égale à \( 2a \)). ##### Équation Réduite Pour une ellipse centrée à l'origine \( (0,0) \) et dont l'axe focal est l'axe des abscisses: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] avec \( a > b > 0 \). La relation entre \( a \), \( b \) et \( c \) (distance entre le centre et un foyer) est: \[ a^2 = b^2 + c^2 \] ##### Éléments caractéristiques * **Centre**: \( (0, 0) \) * **Foyers** \( F \) et \( F' \): \( (\pm c, 0) \) * **Sommets principaux**: \( (\pm a, 0) \) * **Sommets secondaires**: \( (0, \pm b) \) * **Grand axe**: Longueur \( 2a \) (sur l'axe des abscisses) * **Petit axe**: Longueur \( 2b \) (sur l'axe des ordonnées) * **Excentricité** \( e \): \( e = \frac{c}{a} \) * **Directrices** \( D \) et \( D' \): d'équations \( x = \pm \frac{a}{e} \) *Note*: Si l'axe focal est l'axe des ordonnées (c'est-à-dire si \( b > a \)), l'équation est toujours \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) mais les foyers seraient \( (0, \pm c) \), les sommets principaux \( (0, \pm b) \) et la relation \( b^2 = a^2 + c^2 \). #### 4. L'Hyperbole \( (e > 1) \) ##### Définition L'hyperbole est l'ensemble des points \( P \) dont la valeur absolue de la différence des distances à deux foyers fixes \( F \) et \( F' \) est constante (égale à \( 2a \)). ##### Équation Réduite Pour une hyperbole centrée à l'origine \( (0,0) \) et dont l'axe focal (axe transverse) est l'axe des abscisses: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] La relation entre \( a \), \( b \) et \( c \) est: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] ##### Éléments caractéristiques * **Centre**: \( (0, 0) \) * **Foyers** \( F \) et \( F' \): \( (\pm c, 0) \) * **Sommets**: \( (\pm a, 0) \) * **Axe transverse (focal)**: L'axe des abscisses, longueur \( 2a \). * **Axe conjugué**: L'axe des ordonnées, longueur \( 2b \). * **Excentricité** \( e \): \( e = \frac{c}{a} \) * **Directrices** \( D \) et \( D' \): d'équations \( x = \pm \frac{a}{e} \) * **Asymptotes**: d'équations \( y = \pm \frac{b}{a}x \) *Note*: Si l'axe focal est l'axe des ordonnées, l'équation est \( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \) (avec les foyers sur l'axe des ordonnées). #### 5. Identification des Coniques à partir de leurs Équations Réduites * **Parabole**: Un seul terme au carré (\( x^2 \) ou \( y^2 \)) et l'autre terme linéaire. * **Ellipse**: Deux termes positifs au carré (\( x^2 \) et \( y^2 \)) séparés par un \( + \). * **Hyperbole**: Deux termes au carré (\( x^2 \) et \( y^2 \)) séparés par un \( - \). ### Vocabulaire * **Conique**: Courbe plane obtenue par l'intersection d'un cône double et d'un plan. * **Foyer (F)**: Point fixe essentiel dans la définition d'une conique. * **Directrice (D)**: Droite fixe essentielle dans la définition d'une conique. * **Excentricité (e)**: Rapport constant \( \frac{PF}{d(P,D)} \) qui détermine le type de conique.\ * **Parabole**: Conique avec \( e = 1 \). * **Ellipse**: Conique avec \( 0 < e < 1 \). * **Hyperbole**: Conique avec \( e > 1 \). * **Sommet**: Points d'intersection de la conique avec son (ses) axe(s) de symétrie. * **Axe focal (ou transverse)**: Axe de symétrie qui passe par les foyers. * **Axe non-focal (ou conjugué)**: Autre axe de symétrie (pour ellipse et hyperbole), perpendiculaire à l'axe focal. * **Asymptotes**: Droites vers lesquelles l'hyperbole tend à l'infini. ### Exemples #### Exemple 1: Identifier une parabole Soit l'équation \( y^2 = 8x \). * **Identification**: C'est une parabole car un seul terme est au carré (\( y^2 \)) et l'autre est linéaire (\( x \)). * **Paramètre**: On a \( 2p = 8 \), donc \( p = 4 \). * **Foyer**: \( F = (\frac{p}{2}, 0) = (\frac{4}{2}, 0) = (2, 0) \). * **Directrice**: \( D \) est la droite d'équation \( x = -\frac{p}{2} \), soit \( x = -2 \). * **Sommet**: \( S = (0, 0) \). #### Exemple 2: Identifier une ellipse Soit l'équation \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \). * **Identification**: C'est une ellipse car les deux termes au carré sont positifs et sont additionnés. * **Paramètres**: \( a^2 = 25 \) donc \( a = 5 \). \( b^2 = 9 \) donc \( b = 3 \). * **Foyers**: On calcule \( c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \), donc \( c = 4 \). Les foyers sont \( (\pm 4, 0) \). * **Excentricité**: \( e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} \). * **Sommets principaux**: \( (\pm 5, 0) \). * **Sommets secondaires**: \( (0, \pm 3) \). #### Exemple 3: Identifier une hyperbole Soit l'équation \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \). * **Identification**: C'est une hyperbole car les deux termes au carré sont soustraits. * **Paramètres**: \( a^2 = 16 \) donc \( a = 4 \). \( b^2 = 9 \) donc \( b = 3 \). * **Foyers**: On calcule \( c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 \), donc \( c = 5 \). Les foyers sont \( (\pm 5, 0) \). * **Excentricité**: \( e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} \). * **Sommets**: \( (\pm 4, 0) \). * **Asymptotes**: \( y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{4}x \). ### Exercices 1. Identifier le type de conique et donner les coordonnées de son foyer, l'équation de sa directrice et son sommet pour l'équation: \( x^2 = 16y \). 2. Identifier le type de conique et donner les coordonnées de ses foyers, ses sommets et son excentricité pour l'équation: \( \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \). 3. Identifier le type de conique et donner les coordonnées de ses foyers, ses sommets et les équations de ses asymptotes pour l'équation: \( \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1 \). 4. Écrire l'équation réduite d'une ellipse dont les foyers sont \( (\pm 3, 0) \) et dont le demi-grand axe est de longueur \( 5 \). ### Devoirs 1. Déterminer l'équation réduite d'une parabole dont le foyer est \( (0, 5) \) et la directrice est la droite d'équation \( y = -5 \). 2. Une hyperbole a pour équation \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \). Donner les coordonnées de ses foyers, ses sommets et les équations de ses asymptotes. 3. Quelle est l'excentricité d'une ellipse dont l'équation est \( \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1 \)? ### Résumé Les coniques (parabole, ellipse, hyperbole) sont des courbes fondamentales en géométrie, définies par une relation entre un foyer, une directrice et une excentricité \( e \). * La **parabole** (\( e=1 \)) est caractérisée par une équation du type \( y^2 = 2px \) ou \( x^2 = 2py \). * L'**ellipse** (\( 0 < e < 1 \)) a une équation de la forme \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), où les termes sont additionnés. * L'**hyperbole** (\( e > 1 \)) a une équation de la forme \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) ou \( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \), où les termes sont soustraits. La connaissance de ces équations réduites permet d'identifier rapidement la conique et de déduire ses propriétés géométriques essentielles (foyers, sommets, directrices, asymptotes, excentricité). ## Construction d'une conique ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux coniques ! Les coniques sont des courbes remarquables que l'on obtient en coupant un cône de révolution par un plan. Selon l'inclinaison du plan, on peut obtenir un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Ces formes fascinent les mathématiciens depuis l'Antiquité et ont de nombreuses applications en physique, en astronomie, en architecture et en ingénierie. Dans cette leçon, nous allons explorer les propriétés fondamentales de ces courbes et apprendre à les construire géométriquement. ### Concepts Clés #### 1. Définition Générale des Coniques Une conique est le lieu géométrique des points d'un plan dont le rapport des distances à un point fixe, appelé *foyer* (F), et à une droite fixe, appelée *directrice* (D), est constant. Ce rapport est appelé *excentricité* (e). Pour un point M de la conique, la distance à la directrice est notée \( d(M, D) \) et la distance au foyer est notée \( d(M, F) \). La relation est donc: \[ \frac{d(M, F)}{d(M, D)} = e \] Selon la valeur de l'excentricité \( e \), la conique est : * \( e = 0 \) : Cercle (la directrice est à l'infini) * \( 0 < e < 1 \) : Ellipse * \( e = 1 \) : Parabole * \( e > 1 \) : Hyperbole #### 2. Construction de la Parabole (e = 1) Une parabole est l'ensemble des points équidistants d'un foyer F et d'une directrice D. ##### Méthode de construction par points : 1. Tracez la directrice D (une droite) et placez le foyer F (un point) n'importe où, tant qu'il n'est pas sur D. 2. Tracez l'axe focal (l'axe de symétrie de la parabole), qui est la droite passant par F et perpendiculaire à D. 3. Le sommet S de la parabole est le milieu du segment joignant F à sa projection sur D. 4. Choisissez un point P sur la directrice D. 5. Tracez une droite perpendiculaire à D passant par P. C'est la droite \( L_P \). 6. Tracez la médiatrice du segment FP (joignant le foyer au point P choisi sur la directrice). 7. L'intersection de la droite \( L_P \) et de la médiatrice du segment FP donne un point M de la parabole. 8. Répétez les étapes 4 à 7 avec d'autres points P sur D pour obtenir suffisamment de points et tracer la courbe. #### 3. Construction de l'Ellipse (0 < e < 1) Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers F1 et F2 est constante. Cette somme est égale à la longueur du grand axe, notée \( 2a \). ##### Méthode du jardinier (pour dessiner une ellipse) : 1. Plantez deux piquets (F1 et F2) dans le sol (ou deux épingles sur une feuille). 2. Attachez une corde non élastique aux deux piquets. La longueur de la corde doit être égale à \( 2a \) (la distance entre les deux foyers plus la longueur du grand axe). 3. Tendez la corde avec un crayon (ou un bâton). 4. Déplacez le crayon en maintenant la corde tendue. Le chemin tracé par le crayon est une ellipse. ##### Méthode de construction par points (avec règle et compas) : 1. Placez les deux foyers F1 et F2. Tracez l'axe focal passant par F1 et F2. 2. Décidez de la longueur du grand axe \( 2a \). Assurez-vous que \( 2a > d(F_1, F_2) \). 3. Choisissez un point X sur le segment F1F2 ou sur son prolongement. 4. Avec le compas, tracez un cercle de centre F1 et de rayon \( r_1 = d(A, X) \), où A est l'une des extrémités du grand axe. 5. Tracez un cercle de centre F2 et de rayon \( r_2 = 2a - r_1 \). 6. Les points d'intersection de ces deux cercles sont des points de l'ellipse. 7. Répétez les étapes 3 à 6 avec différents points X pour obtenir plusieurs points de l'ellipse. #### 4. Construction de l'Hyperbole (e > 1) Une hyperbole est l'ensemble des points dont la valeur absolue de la différence des distances à deux foyers F1 et F2 est constante. Cette différence est égale à \( 2a \), la distance entre les deux sommets (réels) de l'hyperbole. ##### Méthode de construction par points (avec règle et compas) : 1. Placez les deux foyers F1 et F2. Tracez l'axe focal passant par F1 et F2. 2. Décidez de la valeur \( 2a \), la distance entre les sommets réels (\( 2a < d(F_1, F_2) \)). 3. Choisissez un point X tel que \( d(F_1, X) > a \). 4. Avec le compas, tracez un cercle de centre F1 et de rayon \( r_1 = d(S, X) \), où S est l'un des sommets réels. 5. Tracez un cercle de centre F2 et de rayon \( r_2 = r_1 - 2a \) (pour une branche) ou \( r_2 = r_1 + 2a \) (pour l'autre branche, en inversant les rôles de F1 et F2). 6. Les points d'intersection de ces deux cercles sont des points de l'hyperbole. 7. Répétez les étapes 3 à 6 avec différents points X. ### Vocabulaire * **Conique** : Courbe obtenue par l'intersection d'un plan et d'un double cône. Ses types sont le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. * **Foyer (F)** : Point fixe utilisé dans la définition géométrique des coniques. Une ellipse et une hyperbole en ont deux, une parabole en a un. * **Directrice (D)** : Droite fixe utilisée dans la définition géométrique des coniques. Chaque foyer est associé à une directrice. * **Excentricité (e)** : Rapport constant de la distance d'un point de la conique au foyer et à la directrice associée (\( e = d(M,F) / d(M,D) \)). Elle détermine le type de conique. * **Ellipse** : Conique avec \( 0 < e < 1 \). Forme ovale. * **Parabole** : Conique avec \( e = 1 \). Forme en U ouverte. * **Hyperbole** : Conique avec \( e > 1 \). Composée de deux branches séparées. * **Grand axe (Ellipse)** : Le plus long diamètre d'une ellipse, passant par les deux foyers. * **Petit axe (Ellipse)** : Le plus court diamètre d'une ellipse, perpendiculaire au grand axe. * **Sommets** : Points d'intersection de la conique avec son ou ses axes de symétrie principaux. * **Asymptotes (Hyperbole)** : Droites que les branches de l'hyperbole approchent infiniment sans jamais les atteindre. ### Exemples #### Exemple 1: Construction d'une parabole Soit une directrice D (la droite \( x = -2 \)) et un foyer F (le point \( (2, 0) \)). 1. Tracez D et F. 2. L'axe focal est l'axe des x. Le sommet S est au milieu de la distance entre F et le point \( (-2,0) \) sur D, donc \( S=(0,0) \). 3. Choisissez un point P sur D, par exemple \( P(-2, 4) \). 4. Tracez la droite \( x = -2 \) (la directrice) et la droite \( y = 4 \) (perpendiculaire à D passant par P). 5. Le segment FP relie \( F(2,0) \) à \( P(-2,4) \). 6. La médiatrice de FP aura une pente \( m_\perp = -1/m_{FP} \). Le milieu de FP est \( ( (2-2)/2, (0+4)/2 ) = (0,2) \). 7. L'équation de la médiatrice de FP sera \( y-2 = -1 (x-0) \), soit \( y = -x+2 \). 8. L'intersection de \( y = 4 \) et \( y = -x+2 \) donne \( 4 = -x+2 \), donc \( x = -2 \). Le point est \( (-2,4) \). (C'est en fait le point P lui-même, car P est sur la directrice. Pour obtenir un point de la parabole, il faut l'intersection de la droite perpendiculaire à la directrice *passant par M*, et la médiatrice de FP. Mon exemple de construction par points de la parabole est légèrement erroné dans l'étape 7. Corrigeons-le pour les notes finales). **Correction de la Méthode de construction par points de la parabole:** 1. Tracez la directrice D et placez le foyer F. 2. Tracez l'axe focal (droite passant par F, perpendiculaire à D). 3. Pour tout point M de la parabole, \( d(M,F) = d(M,D) \). 4. Choisissez une distance \( d \) (qui sera \( d(M,D) \)). 5. Tracez une droite \( L_d \) parallèle à D et distante de \( d \) de D (cette droite est le lieu de tous les points à distance \( d \) de D). 6. Tracez un cercle de centre F et de rayon \( d \). 7. Les points d'intersection de la droite \( L_d \) et du cercle sont des points de la parabole. 8. Répétez avec différentes valeurs de \( d \). #### Exemple 2: Utilisation de la méthode du jardinier pour une ellipse Pour dessiner une ellipse avec les foyers \( F_1(-3,0) \) et \( F_2(3,0) \) et un grand axe de longueur \( 2a = 10 \) cm : 1. Plantez deux épingles à \( (-3,0) \) et \( (3,0) \). 2. La distance entre les foyers est \( d(F_1, F_2) = 6 \) cm. 3. La longueur de la corde doit être \( 2a = 10 \) cm. 4. Prenez une corde de 10 cm, attachez-en les extrémités aux épingles. 5. Tendez la corde avec un crayon et tracez la courbe. Vous obtiendrez une ellipse. ### Exercices #### Exercice 1: Identification de conique Sans effectuer de construction complète, identifiez le type de conique décrit par les propriétés suivantes : 1. Ensemble des points dont la distance à \( F(0,0) \) est égale à la distance à la droite \( y = 4 \). 2. Ensemble des points dont la somme des distances à \( F_1(-4,0) \) et \( F_2(4,0) \) est égale à 10. 3. Ensemble des points dont la valeur absolue de la différence des distances à \( F_1(0,-5) \) et \( F_2(0,5) \) est égale à 8. #### Exercice 2: Construction de parabole Utilisez la méthode de construction par points décrite ci-dessus pour tracer une parabole avec : * Foyer \( F(0, 3) \) * Directrice D : la droite \( y = -3 \) Choisissez au moins 5 valeurs pour \( d \) pour obtenir une courbe précise. ### Devoir à la maison #### Devoir 1: Application des coniques Faites une recherche et rédigez un court paragraphe (5-10 lignes) sur une application concrète des coniques dans l'un des domaines suivants : l'optique (lentilles, miroirs), l'astronomie (orbites planétaires, comètes), ou l'architecture (arches, ponts). #### Devoir 2: Construction d'hyperbole Tracez une hyperbole en utilisant la méthode de construction par points avec : * Foyers \( F_1(-5,0) \) et \( F_2(5,0) \) * Différence constante des distances \( 2a = 6 \) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le monde fascinant des coniques : la parabole, l'ellipse et l'hyperbole. Nous avons appris que chacune de ces courbes est définie par une propriété géométrique unique impliquant un foyer (ou deux) et une directrice. L'excentricité \( e \) est un paramètre clé qui détermine le type de conique. Nous avons également vu des méthodes de construction pas à pas pour la parabole et l'ellipse, ainsi que la méthode par points pour l'hyperbole. Comprendre ces constructions est essentiel pour visualiser et manipuler ces formes géométriques importantes qui se manifestent dans de nombreux phénomènes naturels et créations humaines.