Chap6: Suites numériques

# Chap6: Suites numériques ## Raisonnement par récurrence ### Introduction Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration mathématique essentielle, utilisée pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels à partir d'un certain rang. Il est particulièrement utile pour les propriétés concernant les suites, les sommes, les inégalités, ou la divisibilité. Ce chapitre vous expliquera les principes et les étapes de cette méthode puissante. ### Concepts Clés #### Principe du Raisonnement par Récurrence Le raisonnement par récurrence repose sur l'idée suivante : si une propriété est vraie pour le premier cas, et si sa véracité pour un cas quelconque implique sa véracité pour le cas suivant, alors cette propriété est vraie pour tous les cas à partir du premier. #### Les étapes du Raisonnement par Récurrence Pour prouver qu'une propriété \( P(n) \) est vraie pour tout entier naturel \( n \) supérieur ou égal à un certain entier \( n_0 \), on suit trois étapes cruciales : ##### 1. Initialisation (ou Cas de base) Cette étape consiste à vérifier que la propriété \( P(n) \) est vraie pour la plus petite valeur de \( n \) pour laquelle nous voulons la prouver, c'est-à-dire \( n_0 \). * **Objectif :** Montrer que \( P(n_0) \) est vraie. * **Exemple :** Si on veut prouver une propriété pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on vérifie souvent pour \( n_0=0 \) ou \( n_0=1 \). ##### 2. Hérédité (ou Étape inductive) Cette étape est le cœur du raisonnement. Elle consiste à montrer que si la propriété est vraie pour un certain entier \( k \) (appelé hypothèse de récurrence), alors elle est également vraie pour l'entier suivant, \( k+1 \). * **Hypothèse de récurrence :** On suppose que \( P(k) \) est vraie pour un entier \( k \geq n_0 \) arbitraire. * **Démonstration :** À partir de cette hypothèse, on doit démontrer que la propriété \( P(k+1) \) est vraie. * **Formellement :** On prouve l'implication \( P(k) \Rightarrow P(k+1) \). ##### 3. Conclusion Une fois l'initialisation et l'hérédité établies, on peut conclure. * **Énoncé :** Puisque la propriété \( P(n) \) est vraie pour \( n_0 \) (initialisation) et qu'elle est héréditaire (hérédité), alors elle est vraie pour tout entier naturel \( n \) supérieur ou égal à \( n_0 \). #### Quand utiliser le Raisonnement par Récurrence ? Le raisonnement par récurrence est particulièrement adapté pour prouver des propriétés qui s'énoncent pour "tout entier naturel \( n \)" ou "pour tout entier \( n \geq n_0 \)". Cela inclut : * Des formules de sommes (par exemple, la somme des \( n \) premiers entiers). * Des propriétés de divisibilité. * Des inégalités. * Des propriétés sur les suites numériques. ### Vocabulaire * **Propriété \( P(n) \) :** L'énoncé mathématique que l'on souhaite prouver, dépendant de l'entier \( n \). * **Initialisation :** La première étape qui consiste à prouver \( P(n_0) \) pour le premier cas. * **Hérédité :** La deuxième étape qui prouve que si \( P(k) \) est vraie, alors \( P(k+1) \) l'est aussi. * **Hypothèse de récurrence :** L'hypothèse que \( P(k) \) est vraie pour un certain entier \( k \geq n_0 \). * **Cas de base (ou rang initial) \( n_0 \) :** La plus petite valeur de \( n \) pour laquelle la propriété est vérifiée. ### Exemples #### Exemple 1 : Somme des \( n \) premiers entiers Soit la propriété \( P(n) \) : Pour tout entier naturel non nul \( n \), la somme des \( n \) premiers entiers est donnée par la formule \[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \] 1. **Initialisation :** Pour \( n=1 \). \( \sum_{i=1}^{1} i = 1 \). D'autre part, \( \frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1 \). Donc \( P(1) \) est vraie. 2. **Hérédité :** Supposons que \( P(k) \) est vraie pour un entier \( k \geq 1 \). C'est-à-dire, on suppose que \[ \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2} \] Montrons que \( P(k+1) \) est vraie. C'est-à-dire, montrons que \[ \sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{(k+1)(k+1+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \] On a : \( \sum_{i=1}^{k+1} i = \left( \sum_{i=1}^{k} i \right) + (k+1) \) En utilisant l'hypothèse de récurrence : \( = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \) Factorisons par \( (k+1) \) : \( = (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) \) \( = (k+1) \left( \frac{k+2}{2} \right) \) \( = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \) Donc \( P(k+1) \) est vraie. 3. **Conclusion :** La propriété \( P(n) \) est initialisée pour \( n=1 \) et est héréditaire. Par conséquent, d'après le principe de récurrence, la formule \[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \] est vraie pour tout entier naturel non nul \( n \). #### Exemple 2 : Inégalité Soit la propriété \( P(n) \) : Pour tout entier naturel \( n \geq 0 \), \( 2^n > n \). 1. **Initialisation :** Pour \( n=0 \). \( 2^0 = 1 \) et \( n=0 \). On a \( 1 > 0 \). Donc \( P(0) \) est vraie. 2. **Hérédité :** Supposons que \( P(k) \) est vraie pour un entier \( k \geq 0 \). C'est-à-dire, on suppose que \( 2^k > k \). Montrons que \( P(k+1) \) est vraie. C'est-à-dire, montrons que \( 2^{k+1} > k+1 \). On part de \( 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \). D'après l'hypothèse de récurrence, \( 2^k > k \). Donc : \( 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k \). Maintenant, nous devons comparer \( 2k \) à \( k+1 \). * Si \( k=0 \), \( 2^{0+1} = 2 \) et \( 0+1 = 1 \), \( 2 > 1 \) est vrai. * Si \( k \geq 1 \), alors \( k \geq 1 \). Donc \( 2k = k+k \geq k+1 \). Dans les deux cas (\( k=0 \) et \( k \geq 1 \)), nous avons \( 2k \geq k+1 \). Ainsi, \( 2^{k+1} > 2k \geq k+1 \). Par conséquent, \( 2^{k+1} > k+1 \). Donc \( P(k+1) \) est vraie. 3. **Conclusion :** La propriété \( P(n) \) est initialisée pour \( n=0 \) et est héréditaire. Par conséquent, d'après le principe de récurrence, \( 2^n > n \) est vraie pour tout entier naturel \( n \geq 0 \). ### Exercices 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), la somme des \( n+1 \) premières puissances de 2 est donnée par \[ \sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1}-1 \] 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \( n \), le nombre \( n^3+2n \) est divisible par 3. 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \geq 4 \), \( 2^n < n! \). ### Devoir à la maison 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \( n \), la somme des carrés des \( n \) premiers entiers est donnée par la formule \[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] 2. Soit une suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = 2u_n + 1 \) pour tout entier naturel \( n \). Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), \( u_n = 2^{n+1}-1 \). 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \( n \), le nombre \( 7^n - 1 \) est divisible par 6. ### Résumé Le raisonnement par récurrence est un outil fondamental pour prouver des propriétés valides pour tous les entiers naturels (ou à partir d'un certain rang). Il se décompose en trois étapes incontournables : 1. **L'Initialisation :** Vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme (le cas de base \( n_0 \)). 2. **L'Hérédité :** Montrer que si la propriété est vraie pour un rang \( k \) (hypothèse de récurrence), alors elle l'est aussi pour le rang suivant \( k+1 \). 3. **La Conclusion :** Affirmer que la propriété est vraie pour tous les entiers \( n \geq n_0 \) grâce aux deux étapes précédentes. Apprenez bien ces étapes, car elles vous serviront régulièrement en mathématiques ! ## Monotonie d'une suite ### Introduction Dans le monde des mathématiques, les suites numériques sont des listes ordonnées de nombres. Pour comprendre leur comportement, il est essentiel d'étudier comment leurs termes évoluent au fur et à mesure que l'indice augmente. C'est là qu'intervient la notion de **monotonie**. Une suite est dite monotone si elle est soit toujours croissante, soit toujours décroissante. Cette leçon vous guidera à travers les définitions, les méthodes et les exemples pour déterminer la monotonie d'une suite. ### Concepts Clés #### Définition de la monotonie La monotonie d'une suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) (ou à partir d'un certain rang \( n_0 \)) décrit la manière dont ses termes successifs évoluent. * **Suite Croissante**: * Une suite \( (u_n) \) est dite **croissante** si, pour tout entier naturel \( n \) (ou \( n \ge n_0 \)), \( u_{n+1} \ge u_n \). * Elle est dite **strictement croissante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} > u_n \). * **Suite Décroissante**: * Une suite \( (u_n) \) est dite **décroissante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} \le u_n \). * Elle est dite **strictement décroissante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} < u_n \). * **Suite Constante**: * Une suite \( (u_n) \) est dite **constante** si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = u_n \). * **Suite Monotone**: * Une suite est dite **monotone** si elle est soit croissante, soit décroissante. Elle est dite **strictement monotone** si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante. #### Méthodes d'étude de la monotonie Pour déterminer la monotonie d'une suite, plusieurs méthodes peuvent être employées en fonction de sa définition. ##### Méthode 1: Étude du signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \) C'est la méthode la plus courante et la plus directe. On calcule la différence entre deux termes consécutifs et on étudie son signe. * Si \( u_{n+1} - u_n > 0 \), alors la suite est strictement croissante. * Si \( u_{n+1} - u_n < 0 \), alors la suite est strictement décroissante. * Si \( u_{n+1} - u_n = 0 \), alors la suite est constante. * Si le signe varie, la suite n'est pas monotone. ##### Méthode 2: Étude du rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) (pour suites à termes strictement positifs) Cette méthode est particulièrement utile pour les suites dont tous les termes sont strictement positifs. Il est crucial que \( u_n \) ne soit jamais nul et que son signe soit constant (généralement positif). * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \), alors la suite est strictement croissante. * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \), alors la suite est strictement décroissante. * Si \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 \), alors la suite est constante. ##### Méthode 3: Étude des variations d'une fonction associée Si la suite \( (u_n) \) est définie par \( u_n = f(n) \), où \( f \) est une fonction numérique, on peut étudier les variations de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [n_0, +\infty[ \). * Si \( f \) est croissante sur \( [n_0, +\infty[ \), alors \( (u_n) \) est croissante à partir du rang \( n_0 \). * Si \( f \) est décroissante sur \( [n_0, +\infty[ \), alors \( (u_n) \) est décroissante à partir du rang \( n_0 \). ##### Méthode 4: Raisonnement par récurrence Pour les suites définies par récurrence (c'est-à-dire où \( u_{n+1} \) est donné en fonction de \( u_n \)), le raisonnement par récurrence est souvent nécessaire. Il consiste à prouver que \( u_{n+1} \ge u_n \) (ou \( u_{n+1} \le u_n \)) pour tout \( n \). * **Initialisation**: Vérifier que la propriété \( P(n) \) est vraie pour le premier terme (ex: \( u_1 \ge u_0 \)). * **Hérédité**: Supposer que la propriété est vraie pour un rang \( k \) donné (ex: \( u_k \ge u_{k-1} \)) et montrer qu'elle est vraie pour le rang \( k+1 \) (ex: \( u_{k+1} \ge u_k \)). * **Conclusion**: La propriété est vraie pour tout \( n \). ### Vocabulaire * **Suite numérique**: Une fonction définie sur \( \mathbb{N} \) (ou une partie de \( \mathbb{N} \)) à valeurs dans \( \mathbb{R} \). * **Terme**: Chaque élément de la suite, noté \( u_n \). * **Indice**: Le petit nombre \( n \) qui accompagne le terme \( u_n \) et indique sa position dans la suite. * **Suite croissante (strictement)**: Une suite dont les termes augmentent (strictement) ou restent égaux. * **Suite décroissante (strictement)**: Une suite dont les termes diminuent (strictement) ou restent égaux. * **Suite constante**: Une suite dont tous les termes sont identiques. * **Suite monotone**: Une suite qui est soit croissante, soit décroissante. * **Raisonnement par récurrence**: Une méthode de démonstration utilisée pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang. ### Exemples #### Exemple 1: Utilisation de la différence \( u_{n+1} - u_n \) Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 2n - 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Calculons la différence \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} - u_n = (2(n+1) - 3) - (2n - 3) \] \[ = (2n + 2 - 3) - 2n + 3 \] \[ = 2n - 1 - 2n + 3 \] \[ = 2 \] Puisque \( u_{n+1} - u_n = 2 > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \), la suite \( (u_n) \) est **strictement croissante**. #### Exemple 2: Utilisation du rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Notons que tous les termes sont strictement positifs. Calculons le rapport \( \frac{v_{n+1}}{v_n} \): \[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{(1/2)^{n+1}}{(1/2)^n} \] \[ = \frac{(1/2)^n \times (1/2)}{(1/2)^n} \] \[ = \frac{1}{2} \] Puisque \( \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{1}{2} < 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \), la suite \( (v_n) \) est **strictement décroissante**. #### Exemple 3: Utilisation d'une fonction associée Soit la suite \( (w_n) \) définie par \( w_n = n^2 - 4n + 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Considérons la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 1 \) définie sur \( [0, +\infty[ \). Calculons sa dérivée: \( f'(x) = 2x - 4 \). Étudions le signe de \( f'(x) \): * \( f'(x) > 0 \) si \( 2x - 4 > 0 \), c'est-à-dire \( 2x > 4 \), soit \( x > 2 \). * \( f'(x) < 0 \) si \( x < 2 \). * \( f'(x) = 0 \) si \( x = 2 \). Donc, la fonction \( f \) est décroissante sur \( [0, 2] \) et croissante sur \( [2, +\infty[ \). Par conséquent, la suite \( (w_n) \) est décroissante pour \( n \in \{0, 1, 2\} \) et **croissante à partir du rang 2** (pour \( n \ge 2 \)). La suite \( (w_n) \) n'est pas monotone sur \( \mathbb{N} \) mais le devient à partir de \( n=2 \). ### Exercices Déterminez la monotonie des suites suivantes: 1. \( u_n = 3n + 5 \) pour \( n \in \mathbb{N} \). 2. \( v_n = -n^2 + 2n \) pour \( n \in \mathbb{N} \). 3. \( w_n = \frac{n+1}{n+2} \) pour \( n \in \mathbb{N} \). 4. \( x_n = \frac{3^n}{2^{n+1}} \) pour \( n \in \mathbb{N} \). 5. La suite \( (y_n) \) définie par \( y_0 = 0 \) et \( y_{n+1} = y_n + n^2 \) pour \( n \in \mathbb{N} \). ### Devoir à la maison 1. Étudiez la monotonie de la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+n} \) pour \( n \in \mathbb{N}^* \). 2. Étudiez la monotonie de la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = (n+1)! - n! \) pour \( n \in \mathbb{N} \). 3. On considère la suite \( (w_n) \) définie par \( w_0 = 3 \) et \( w_{n+1} = \frac{w_n + 1}{2} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Montrez par récurrence que \( (w_n) \) est une suite décroissante. ### Résumé La monotonie d'une suite est une propriété fondamentale qui décrit son comportement : croissante, décroissante ou constante. Pour l'étudier, vous disposez de plusieurs outils essentiels : * **La différence \( u_{n+1} - u_n \)** : Son signe détermine si la suite croît ou décroît. * **Le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \)** : Pour les suites à termes strictement positifs, le comparer à 1 permet de statuer sur la monotonie. * **La fonction associée \( f(x) \)** : Si \( u_n = f(n) \), l'étude des variations de \( f \) permet de déduire la monotonie de \( (u_n) \). * **Le raisonnement par récurrence** : Indispensable pour les suites définies par une relation de récurrence. Maîtriser ces méthodes vous permettra d'analyser le sens de variation de nombreuses suites numériques. ## Convergence/divergence d'une suite ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel sur les suites numériques ! Après avoir étudié les différentes manières de définir une suite, nous allons maintenant nous intéresser à leur comportement "à long terme". Une question fondamentale en mathématiques est de savoir si une suite de nombres s'approche d'une valeur fixe à mesure que l'on avance dans la suite, ou si elle s'en éloigne indéfiniment. C'est précisément l'objet de l'étude de la convergence et de la divergence des suites. Comprendre ces concepts est crucial pour de nombreuses applications en sciences, en économie et en ingénierie. ### Concepts Clés #### 1. Suites convergentes Une suite \( (u_n) \) est dite convergente si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur réelle fixe L, appelée sa limite, lorsque n tend vers l'infini. Intuitivement, cela signifie que, peu importe la "précision" que l'on souhaite, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont aussi proches de L que l'on veut. ##### Définition formelle de la convergence Une suite \( (u_n) \) converge vers L si et seulement si : \[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n > N, |u_n - L| < \epsilon \] On écrit alors \( \lim_{n \to +\infty} u_n = L \). ##### Propriétés des suites convergentes * **Unicité de la limite :** Si une suite converge, sa limite est unique. * **Opérations sur les limites :** Si \( \lim u_n = L \) et \( \lim v_n = L' \), alors : * \( \lim (u_n + v_n) = L + L' \) * \( \lim (k \cdot u_n) = k \cdot L \) (où k est une constante) * \( \lim (u_n \cdot v_n) = L \cdot L' \) * \( \lim \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{L}{L'} \) (si \( L' \neq 0 \) et \( v_n \neq 0 \)) ##### Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) Si trois suites \( (u_n) \), \( (v_n) \) et \( (w_n) \) vérifient les conditions suivantes : 1. Il existe un rang \( N_0 \) tel que pour tout \( n \ge N_0 \), \( u_n \le v_n \le w_n \) 2. \( \lim_{n \to +\infty} u_n = L \) et \( \lim_{n \to +\infty} w_n = L \) Alors, la suite \( (v_n) \) converge aussi vers L : \( \lim_{n \to +\infty} v_n = L \). #### 2. Suites divergentes Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente. Il y a principalement deux types de divergence : ##### Divergence vers l'infini * **Divergence vers \( +\infty \) :** Une suite \( (u_n) \) diverge vers \( +\infty \) si ses termes deviennent arbitrairement grands à mesure que n augmente. Formellement : \[ \forall A \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n > N, u_n > A \] On écrit alors \( \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \). * **Divergence vers \( -\infty \) :** Une suite \( (u_n) \) diverge vers \( -\infty \) si ses termes deviennent arbitrairement petits (très négatifs) à mesure que n augmente. Formellement : \[ \forall A \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n > N, u_n < A \] On écrit alors \( \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \). ##### Divergence sans limite Certaines suites divergentes n'ont pas de limite, ni finie ni infinie. Leurs termes peuvent osciller sans se stabiliser ni tendre vers l'infini. Un exemple classique est la suite \( ((-1)^n) \). #### 3. Théorème de convergence monotone Ce théorème est très utile pour prouver la convergence d'une suite sans forcément connaître sa limite exacte a priori. * **Suite croissante majorée :** Toute suite croissante et majorée (c'est-à-dire dont tous les termes sont inférieurs à un certain nombre M) converge. * **Suite décroissante minorée :** Toute suite décroissante et minorée (c'est-à-dire dont tous les termes sont supérieurs à un certain nombre m) converge. #### 4. Limite des suites de référence * **Suite géométrique \( (q^n) \) :** * Si \( q > 1 \), alors \( \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \) (diverge). * Si \( q = 1 \), alors \( \lim_{n \to +\infty} q^n = 1 \) (converge). * Si \( -1 < q < 1 \), alors \( \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \) (converge). * Si \( q \le -1 \), la suite diverge (sans limite pour \( q=-1 \), vers \( \pm \infty \) pour \( q<-1 \) mais pas de limite définie). * **Suite \( \left(\frac{1}{n^p}\right) \) :** Pour tout \( p > 0 \), \( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \). ### Vocabulaire * **Limite d'une suite :** La valeur vers laquelle les termes d'une suite tendent quand n tend vers l'infini. * **Suite convergente :** Une suite qui admet une limite finie. * **Suite divergente :** Une suite qui n'est pas convergente (soit elle tend vers \( \pm \infty \), soit elle n'admet pas de limite). * **Suite majorée :** Une suite \( (u_n) \) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n, \( u_n \le M \). * **Suite minorée :** Une suite \( (u_n) \) est minorée s'il existe un nombre réel m tel que pour tout n, \( u_n \ge m \). * **Suite bornée :** Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. * **Suite monotone :** Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. ### Exemples 1. **Exemple de suite convergente (méthode de simplification) :** Soit la suite \( (u_n) \) définie pour \( n \ge 1 \) par \( u_n = \frac{2n+1}{n+3} \). On factorise le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur : \( u_n = \frac{n(2 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}} \) Lorsque \( n \to +\infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \) et \( \frac{3}{n} \to 0 \). Donc, \( \lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{2+0}{1+0} = 2 \). La suite \( (u_n) \) converge vers 2. 2. **Exemple de suite divergente (vers l'infini) :** Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = n^2 - 5n + 1 \). On peut factoriser le terme dominant : \( v_n = n^2\left(1 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}\right) \) Lorsque \( n \to +\infty \), \( \frac{5}{n} \to 0 \) et \( \frac{1}{n^2} \to 0 \). Donc, \( \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = 1 \). Comme \( \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \), on a \( \lim_{n \to +\infty} v_n = (+ \infty) \cdot 1 = +\infty \). La suite \( (v_n) \) diverge vers \( +\infty \). 3. **Exemple utilisant le théorème des gendarmes :** Soit la suite \( (w_n) \) définie par \( w_n = \frac{\sin(n)}{n} \) pour \( n \ge 1 \). On sait que pour tout réel n, \( -1 \le \sin(n) \le 1 \). En divisant par \( n \) (qui est positif pour \( n \ge 1 \)), on obtient : \( \frac{-1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n} \) On sait que \( \lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0 \) et \( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \). D'après le théorème des gendarmes, \( \lim_{n \to +\infty} w_n = 0 \). La suite \( (w_n) \) converge vers 0. ### Exercices 1. Déterminez la limite (si elle existe) des suites suivantes et indiquez si elles convergent ou divergent : a. \( u_n = 3n^2 - 4n + 1 \) b. \( v_n = \frac{5n-2}{2n+7} \) c. \( w_n = (0.8)^n \) d. \( x_n = (-2)^n \) 2. Soit la suite \( (a_n) \) définie par \( a_n = 3 + \frac{(-1)^n}{n} \) pour \( n \ge 1 \). En utilisant le théorème des gendarmes, déterminez si cette suite converge et, le cas échéant, sa limite. 3. On considère la suite \( (b_n) \) définie par \( b_0 = 1 \) et \( b_{n+1} = \sqrt{2b_n} \). a. Calculez les premiers termes de la suite. (\( b_0, b_1, b_2 \)) b. On admet que la suite \( (b_n) \) est croissante et majorée par 2. Que peut-on en déduire concernant sa convergence ? c. Si elle converge vers une limite L, quelle équation L doit-elle vérifier ? Déduisez-en la limite. ### Devoir 1. **Analyse de suites :** Pour chacune des suites suivantes, déterminez si elle converge ou diverge, et calculez sa limite le cas échéant. Justifiez votre réponse en citant les propriétés ou théorèmes utilisés. a. \( u_n = \frac{n^2 + 3n - 5}{2n^2 - n + 1} \) b. \( v_n = 5 - \frac{1}{n^3} \) c. \( w_n = \frac{\cos(n\pi)}{n+1} \) d. \( z_n = (\frac{4}{3})^n \) 2. **Étude d'une suite arithmético-géométrique :** Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 0 \) et \( u_{n+1} = 0.5u_n + 3 \). a. Calculez les trois premiers termes de la suite (\( u_0, u_1, u_2 \)). b. On cherche à savoir si cette suite converge. On admet qu'elle est croissante. Démontrez par récurrence que \( u_n \le 6 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). (Indication : 6 est le point fixe de la relation de récurrence : \( L = 0.5L + 3 \)). c. En déduire que la suite \( (u_n) \) converge. Quelle est alors sa limite ? 3. **Vrai ou Faux :** Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez si elle est vraie ou fausse et justifiez votre réponse. a. Toute suite majorée est convergente. b. Toute suite qui ne tend pas vers \( +\infty \) est convergente. c. Si \( \lim u_n = L \) et \( u_n \le 5 \) pour tout n, alors \( L \le 5 \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les concepts fondamentaux de la convergence et de la divergence des suites numériques. Une suite **converge** si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur réelle unique appelée limite. Elle **diverge** si elle ne converge pas, c'est-à-dire si elle tend vers \( +\infty \), \( -\infty \) ou si ses termes oscillent sans se fixer sur une valeur. Nous avons revu les propriétés des limites pour les opérations arithmétiques et découvert des outils puissants comme le **théorème des gendarmes** et le **théorème de convergence monotone** (toute suite croissante majorée ou décroissante minorée converge) pour déterminer la nature d'une suite. La maîtrise de ces notions est essentielle pour aborder des concepts plus avancés en analyse mathématique. ## Propriétés sur les limites d'une suite ### Introduction Dans le chapitre précédent, nous avons découvert le concept de limite d'une suite, qui décrit le comportement d'une suite lorsque \( n \) tend vers l'infini. Il est essentiel de savoir si une suite converge vers une valeur finie ou diverge vers l'infini (positif ou négatif). Pour faciliter le calcul de ces limites, surtout pour des suites construites à partir d'opérations (somme, produit, quotient), nous allons étudier des propriétés fondamentales. Ces règles nous permettront de déterminer la limite d'une suite complexe en se basant sur les limites de ses composants. ### Concepts Clés #### 1. Opérations sur les limites de suites Soient \( (u_n) \) et \( (v_n) \) deux suites réelles, et \( L \), \( L' \) deux réels. ##### A. Limite d'une somme de suites | \( \lim u_n \) | \( \lim v_n \) | \( \lim (u_n + v_n) \) | |---|---|---| | \( L \) | \( L' \) | \( L + L' \) | | \( L \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | | \( L \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | | \( +\infty \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | | \( +\infty \) | \( -\infty \) | **Forme Indéterminée (F.I.)** | _Les formes indéterminées \( +\infty - \infty \) nécessitent une étude plus approfondie (factorisation, conjugué, etc.)._ ##### B. Limite d'un produit de suites | \( \lim u_n \) | \( \lim v_n \) | \( \lim (u_n \times v_n) \) | |---|---|---| | \( L \) | \( L' \) | \( L \times L' \) | | \( L \neq 0 \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) si \( L > 0 \), \( -\infty \) si \( L < 0 \) | | \( L \neq 0 \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) si \( L > 0 \), \( +\infty \) si \( L < 0 \) | | \( +\infty \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | | \( 0 \) | \( +\infty \) ou \( -\infty \) | **Forme Indéterminée (F.I.)** | _Les formes indéterminées \( 0 \times \infty \) nécessitent des techniques de levée d'indétermination._ ##### C. Limite d'un quotient de suites | \( \lim u_n \) | \( \lim v_n \) | \( \lim (u_n / v_n) \) | |---|---|---| | \( L \) | \( L' \neq 0 \) | \( L / L' \) | | \( L \neq 0 \) | \( 0^+ \) (tend vers 0 par valeurs positives) | \( +\infty \) si \( L > 0 \), \( -\infty \) si \( L < 0 \) | | \( L \neq 0 \) | \( 0^- \) (tend vers 0 par valeurs négatives) | \( -\infty \) si \( L > 0 \), \( +\infty \) si \( L < 0 \) | | \( L \) | \( +\infty \) ou \( -\infty \) | \( 0 \) | | \( +\infty \) ou \( -\infty \) | \( L' \neq 0 \) | \( +\infty \) ou \( -\infty \) (selon le signe de \( L' \) et de la limite de \( u_n \)) | | \( +\infty \) ou \( -\infty \) | \( +\infty \) ou \( -\infty \) | **Forme Indéterminée (F.I.)** | | \( 0 \) | \( 0 \) | **Forme Indéterminée (F.I.)** | _Les formes indéterminées \( \frac{\infty}{\infty} \) et \( \frac{0}{0} \) sont courantes et souvent résolues par factorisation du terme de plus haut degré ou simplification._ #### 2. Théorèmes de comparaison Ces théorèmes sont très utiles lorsque la limite d'une suite est difficile à calculer directement. ##### A. Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) Soient trois suites \( (u_n) \), \( (v_n) \) et \( (w_n) \). Si, pour tout \( n \) assez grand, on a \( v_n \le u_n \le w_n \), et si \( \lim_{n \to +\infty} v_n = L \) et \( \lim_{n \to +\infty} w_n = L \) (où \( L \) est un réel), alors \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = L \] ##### B. Théorèmes de comparaison à l'infini * Si, pour tout \( n \) assez grand, \( u_n \ge v_n \), et si \( \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \), alors \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \] * Si, pour tout \( n \) assez grand, \( u_n \le v_n \), et si \( \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty \), alors \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \] #### 3. Limites des suites géométriques Soit \( (q^n) \) une suite géométrique de raison \( q \). * Si \( q > 1 \), alors \[ \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \] * Si \( q = 1 \), alors \[ \lim_{n \to +\infty} q^n = 1 \] * Si \( -1 < q < 1 \), alors \[ \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \] * Si \( q \le -1 \), la suite \( (q^n) \) n'a pas de limite (elle diverge). ### Vocabulaire * **Limite d'une suite:** Valeur vers laquelle les termes de la suite se rapprochent lorsque \( n \) tend vers l'infini. * **Forme indéterminée (F.I.):** Expression mathématique dont la valeur ne peut pas être déterminée directement par les règles d'opérations sur les limites (ex: \( \infty - \infty \), \( 0 \times \infty \), \( \infty / \infty \), \( 0 / 0 \)). * **Théorème des gendarmes:** Théorème permettant de trouver la limite d'une suite en l'encadrant par deux autres suites qui convergent vers la même limite. * **Suite convergente:** Une suite qui admet une limite finie. * **Suite divergente:** Une suite qui n'admet pas de limite finie (soit elle tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \), soit elle n'a pas de limite). ### Exemples #### Exemple 1: Somme de suites Soit la suite \( u_n = n^2 + \frac{1}{n} \). On sait que \( \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \) et \( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \). Par la propriété de la somme, \( \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty + 0 = +\infty \). #### Exemple 2: Produit de suites Soit la suite \( u_n = (2n+1) \times \frac{1}{n} \). Il s'agit d'une forme indéterminée \( \infty \times 0 \). Levons l'indétermination : \( u_n = \frac{2n+1}{n} = \frac{n(2 + \frac{1}{n})}{n} = 2 + \frac{1}{n} \). On sait que \( \lim_{n \to +\infty} 2 = 2 \) et \( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \). Donc, \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 2 + 0 = 2 \). #### Exemple 3: Quotient de suites Soit la suite \( u_n = \frac{3n^2 - 1}{n^2 + n} \). Il s'agit d'une forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \). Levons l'indétermination en factorisant les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur : \( u_n = \frac{n^2(3 - \frac{1}{n^2})}{n^2(1 + \frac{1}{n})} = \frac{3 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} \). On sait que \( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0 \) et \( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \). Donc, \( \lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{3 - 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3 \). #### Exemple 4: Théorème des gendarmes Soit la suite \( u_n = \frac{\sin(n)}{n} \) pour \( n > 0 \). On sait que pour tout \( n \), \( -1 \le \sin(n) \le 1 \). En divisant par \( n \) (qui est positif), on obtient : \[ \frac{-1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n} \] On sait que \( \lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0 \) et \( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \). Selon le théorème des gendarmes, \( \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0 \). #### Exemple 5: Suite géométrique * Soit \( u_n = (0.5)^n \). Puisque \( -1 < 0.5 < 1 \), alors \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \). * Soit \( v_n = (2)^n \). Puisque \( 2 > 1 \), alors \( \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \). * Soit \( w_n = (-2)^n \). Puisque \( -2 \le -1 \), la suite \( w_n \) n'a pas de limite. ### Exercices Calculez les limites des suites suivantes : 1. \( a_n = 5n^3 - 2n^2 + 7 \) 2. \( b_n = \frac{4n+3}{2n-1} \) 3. \( c_n = (0.8)^n + n \) 4. \( d_n = \frac{\cos(n) + n}{n+1} \) 5. \( e_n = (\sqrt{n}+1)(-\frac{1}{n}) \) ### Devoir 1. Déterminez la limite de la suite \( f_n = \sqrt{n^2+n} - n \). (Indice : multipliez par l'expression conjuguée). 2. Soit la suite \( g_n = \frac{n \sin(n)}{n^2+1} \). Démontrez que \( \lim_{n \to +\infty} g_n = 0 \). 3. Calculez la limite de \( h_n = \frac{2^n + 3^n}{3^n - 2^n} \). (Indice : factorisez par le terme dominant au numérateur et au dénominateur). ### Résumé Ce cours a mis en lumière les outils essentiels pour manipuler et calculer les limites de suites. Nous avons appris à appliquer les propriétés des limites pour les sommes, produits et quotients de suites, tout en identifiant et en gérant les **formes indéterminées**. Les **théorèmes de comparaison** (notamment le théorème des gendarmes) se sont avérés puissants pour les suites encadrées ou dominées. Enfin, nous avons revu le comportement des **suites géométriques** en fonction de leur raison. Maîtriser ces propriétés est fondamental pour l'analyse de suites plus complexes et pour les chapitres futurs.