Chap4 : Fonctions dérivées

# Chap4 : Fonctions dérivées ## Fonction dérivée (formules usuelles) ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques de Première ! Nous allons explorer les fonctions dérivées, un outil puissant qui nous permet d'étudier le sens de variation des fonctions, de déterminer des tangentes à des courbes, et de résoudre de nombreux problèmes en physique, économie, et ingénierie. Aujourd'hui, nous nous concentrerons sur les formules de dérivation des fonctions les plus courantes et les règles pour dériver des combinaisons de fonctions. ### Concepts Clés #### Rappel : Notion de Nombre Dérivé et Fonction Dérivée Le nombre dérivé d'une fonction \(f\) en un point \(a\), noté \(f'(a)\), représente la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\). La fonction dérivée \(f'\) associe à chaque \(x\) de l'ensemble de dérivabilité de \(f\) le nombre \(f'(x)\). #### Dérivées des Fonctions Usuelles Voici un tableau récapitulatif des dérivées des fonctions de base à connaître absolument : * **Fonction constante** * Si \(f(x) = c\) (où \(c\) est une constante réelle), * alors \(f'(x) = 0\). * Exemple: Si \(f(x) = 5\), alors \(f'(x) = 0\). * **Fonction linéaire/affine** * Si \(f(x) = ax + b\) (où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles), * alors \(f'(x) = a\). * Exemple: Si \(f(x) = 3x - 2\), alors \(f'(x) = 3\). * **Fonction puissance (x^n)** * Si \(f(x) = x^n\) (où \(n\) est un entier relatif non nul), * alors \(f'(x) = nx^{n-1}\). * Exemple: Si \(f(x) = x^3\), alors \(f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2\). * Exemple: Si \(f(x) = x\), alors \(f'(x) = 1x^{1-1} = 1x^0 = 1\). * **Fonction inverse** * Si \(f(x) = \frac{1}{x}\) (ce qui est \(x^{-1}\)), pour \(x \neq 0\), * alors \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\). * On peut le vérifier avec la formule de puissance: \(f'(x) = -1x^{-1-1} = -1x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). * **Fonction racine carrée** * Si \(f(x) = \sqrt{x}\) (pour \(x > 0\)), * alors \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). * On peut le voir comme \(x^{\frac{1}{2}}\): \(f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (Attention, cette formule est souvent donnée directement en Première). #### Opérations sur les Fonctions Dérivées Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), et \(k\) une constante réelle. * **Dérivée d'une somme ou d'une différence** * La dérivée d'une somme (ou différence) est la somme (ou différence) des dérivées: * \[ (u+v)' = u' + v' \] * \[ (u-v)' = u' - v' \] * Exemple: Si \(f(x) = x^2 + 3x\), alors \(f'(x) = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3\). * **Dérivée d'un produit par une constante** * La dérivée de \(k \cdot u\) est \(k\) fois la dérivée de \(u\): * \[ (k \cdot u)' = k \cdot u' \] * Exemple: Si \(f(x) = 5x^3\), alors \(f'(x) = 5 \cdot (x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2\). * **Dérivée d'un produit** * La dérivée d'un produit \(u \cdot v\) est donnée par la formule: * \[ (u \cdot v)' = u'v + uv' \] * Exemple: Si \(f(x) = (x^2+1)(2x-3)\). Posons \(u(x) = x^2+1\) et \(v(x) = 2x-3\). Alors \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = 2\). * \(f'(x) = (2x)(2x-3) + (x^2+1)(2) * \(f'(x) = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 * \(f'(x) = 6x^2 - 6x + 2\). * **Dérivée d'un inverse** * Si \(v(x) \neq 0\), la dérivée de \(\frac{1}{v}\) est: * \[ \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \] * Exemple: Si \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\). Posons \(v(x) = x^2+1\), donc \(v'(x) = 2x\). * \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\). * **Dérivée d'un quotient** * Si \(v(x) \neq 0\), la dérivée d'un quotient \(\frac{u}{v}\) est: * \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] * Exemple: Si \(f(x) = \frac{x-1}{x+2}\). Posons \(u(x) = x-1\) et \(v(x) = x+2\). Alors \(u'(x) = 1\) et \(v'(x) = 1\). * \(f'(x) = \frac{(1)(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} * \(f'(x) = \frac{x+2 - x+1}{(x+2)^2} * \(f'(x) = \frac{3}{(x+2)^2}\). ### Vocabulaire * **Fonction dérivée (f')**: La fonction qui associe à chaque valeur de \(x\) le nombre dérivé de \(f\) en ce point. * **Dérivabilité**: Propriété d'une fonction à admettre une fonction dérivée sur un intervalle donné. * **Constante (c)**: Un nombre réel fixe qui ne change pas. * **Polynôme**: Une fonction définie par une somme de termes, où chaque terme est le produit d'une constante et d'une puissance entière non négative de la variable (ex: \(x^3 - 2x + 5\)). * **Fonction rationnelle**: Une fonction qui peut s'écrire comme le quotient de deux polynômes (ex: \(\frac{x^2+1}{x-3}\)). ### Exemples 1. **Calculer la dérivée de \(f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 1\).** * En utilisant la linéarité de la dérivation et la formule de \(x^n\) : * \(f'(x) = (4x^3)' - (2x^2)' + (7x)' - (1)' * \(f'(x) = 4(3x^2) - 2(2x) + 7(1) - 0 * \(f'(x) = 12x^2 - 4x + 7\). 2. **Calculer la dérivée de \(g(x) = (3x-1)\sqrt{x}\).** * On utilise la formule de la dérivée d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\). * Posons \(u(x) = 3x-1\), donc \(u'(x) = 3\). * Posons \(v(x) = \sqrt{x}\), donc \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). * \(g'(x) = 3\sqrt{x} + (3x-1)\frac{1}{2\sqrt{x}} * \(g'(x) = 3\sqrt{x} + \frac{3x-1}{2\sqrt{x}} * Pour simplifier, on met au même dénominateur: * \(g'(x) = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{3x-1}{2\sqrt{x}} * \(g'(x) = \frac{6x + 3x-1}{2\sqrt{x}} = \frac{9x-1}{2\sqrt{x}}\). 3. **Calculer la dérivée de \(h(x) = \frac{2x+5}{x-3}\).** * On utilise la formule de la dérivée d'un quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). * Posons \(u(x) = 2x+5\), donc \(u'(x) = 2\). * Posons \(v(x) = x-3\), donc \(v'(x) = 1\). * \(h'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+5)(1)}{(x-3)^2} * \(h'(x) = \frac{2x-6 - 2x-5}{(x-3)^2} * \(h'(x) = \frac{-11}{(x-3)^2}\). ### Exercices Calculez la dérivée des fonctions suivantes : 1. \(f(x) = -3x^2 + x - 8\) 2. \(g(x) = 6\sqrt{x} - \frac{1}{x}\) 3. \(h(x) = (x^2+x)(x-5)\) 4. \(k(x) = \frac{x^2}{x+1}\) 5. \(l(x) = \frac{1-x}{x^2+1}\) ### Devoir à la Maison Calculez les dérivées des fonctions suivantes et, si possible, simplifiez l'expression obtenue : 1. \(f(x) = x^4 - 5x^3 + 2x - 10\) 2. \(g(x) = (2x+3)(4-x)\) 3. \(h(x) = \frac{3}{x^2}\) 4. \(k(x) = \frac{x^2-2x+1}{x-1}\) (Attention, on peut simplifier la fonction avant de dériver !) 5. \(l(x) = (x^2+1)^2\) (Conseil : développez d'abord, ou appliquez la règle du produit \(u \cdot u\)) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris les formules de dérivation des fonctions usuelles et les règles de calcul pour dériver des sommes, des produits par une constante, des produits et des quotients de fonctions. Maîtriser ces formules est fondamental car elles constituent la base pour l'étude des variations de fonctions et la résolution de problèmes plus complexes. N'oubliez pas les formules clés : * \( (c)' = 0 \) * \( (ax+b)' = a \) * \( (x^n)' = nx^{n-1} \) * \( \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} \) * \( (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) * \( (u+v)' = u' + v' \) * \( (ku)' = ku' \) * \( (uv)' = u'v + uv' \) * \( \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \) * \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) Entraînez-vous régulièrement pour bien les mémoriser et les appliquer correctement !