Chap1: Équations, inéquations et systèmes

# Chap1: Équations, inéquations et systèmes ## Equations et inéquations associées aux fonctions Leçon 2 : Équations du second degré ### Introduction Bienvenue à la deuxième leçon sur les équations et inéquations. Aujourd'hui, nous allons plonger dans le monde des équations du second degré, des outils fondamentaux en mathématiques qui vous aideront à résoudre de nombreux problèmes en sciences, en ingénierie et même en économie. Nous apprendrons à les identifier, à les résoudre à l'aide d'une méthode puissante (le discriminant) et à étudier le signe des expressions associées. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une équation du second degré Une équation du second degré, également appelée équation quadratique, est une équation qui peut être écrite sous la forme générale : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où : * \( x \) est l'inconnue. * \( a, b, c \) sont des coefficients réels, avec la condition essentielle que \( a \neq 0 \). Le terme \( ax^2 + bx + c \) est appelé un trinôme du second degré. #### 2. Le discriminant (\( \Delta \)) Le discriminant, noté \( \Delta \) (delta majuscule), est un outil crucial pour déterminer le nombre de solutions d'une équation du second degré. Il est défini par la formule : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] #### 3. Résolution des équations du second degré La valeur du discriminant \( \Delta \) nous indique directement la nature des solutions de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \). ##### Cas 1 : Si \( \Delta > 0 \) L'équation admet deux solutions réelles distinctes (appelées aussi racines) : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] ##### Cas 2 : Si \( \Delta = 0 \) L'équation admet une unique solution réelle (dite racine double) : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] ##### Cas 3 : Si \( \Delta < 0 \) L'équation n'admet aucune solution réelle. Les solutions existent dans l'ensemble des nombres complexes, mais ce n'est pas au programme de Première. #### 4. Factorisation d'un trinôme du second degré La factorisation d'un trinôme \( ax^2 + bx + c \) dépend de l'existence de ses racines : * **Si \( \Delta > 0 \)** (deux racines \( x_1 \) et \( x_2 \)) : \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \] * **Si \( \Delta = 0 \)** (une racine double \( x_0 \)) : \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 \] * **Si \( \Delta < 0 \)** (aucune racine réelle) : Le trinôme ne peut pas être factorisé dans l'ensemble des nombres réels. #### 5. Signe d'un trinôme du second degré \( ax^2 + bx + c \) L'étude du signe d'un trinôme est essentielle pour résoudre les inéquations du second degré. Le signe dépend de \( \Delta \) et du signe du coefficient \( a \). ##### Cas 1 : Si \( \Delta < 0 \) Le trinôme \( ax^2 + bx + c \) est toujours du même signe que \( a \) pour toutes les valeurs de \( x \). ##### Cas 2 : Si \( \Delta = 0 \) Le trinôme \( ax^2 + bx + c \) est toujours du même signe que \( a \) pour \( x \neq x_0 \) et s'annule en \( x_0 \). | \( x \) | \( -\infty \) | \( x_0 \) | \( +\infty \) | | :------: | :-----------: | :-----: | :-----------: | | \( a \) | signe \( a \) | 0 | signe \( a \) | ##### Cas 3 : Si \( \Delta > 0 \) Le trinôme \( ax^2 + bx + c \) est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines (entre \( -\infty \) et \( x_1 \), et entre \( x_2 \) et \( +\infty \)) et du signe opposé à \( a \) entre les racines (entre \( x_1 \) et \( x_2 \)). Supposons \( x_1 < x_2 \) : | \( x \) | \( -\infty \) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \( +\infty \) | | :------: | :-----------: | :-----: | :-----: | :-----------: | | \( a \) | signe \( a \) | 0 | signe \( -a \) | 0 | signe \( a \) | ### Vocabulaire * **Équation du second degré** : Équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * **Trinôme du second degré** : Expression de la forme \( ax^2 + bx + c \). * **Coefficients** : Les nombres \( a, b, c \) dans l'équation du second degré. * **Discriminant** : La valeur \( \Delta = b^2 - 4ac \) qui détermine le nombre de solutions. * **Racines** (ou solutions) : Les valeurs de \( x \) qui satisfont l'équation du second degré. * **Racine double** : Lorsque \( \Delta = 0 \), il y a une seule solution qui est comptée deux fois. * **Factorisation** : Écrire un trinôme sous forme de produit de facteurs. ### Exemples #### Exemple 1 : Résoudre \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) Ici, \( a=1, b=-5, c=6 \). Calculons le discriminant : \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \). Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions distinctes : \( x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) Les solutions sont \( S = \{2, 3\} \). #### Exemple 2 : Résoudre \( x^2 + 4x + 4 = 0 \) Ici, \( a=1, b=4, c=4 \). Calculons le discriminant : \( \Delta = (4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \). Puisque \( \Delta = 0 \), il y a une solution double : \( x_0 = \frac{-4}{2(1)} = -2 \) La solution est \( S = \{-2\} \). #### Exemple 3 : Résoudre \( x^2 + x + 1 = 0 \) Ici, \( a=1, b=1, c=1 \). Calculons le discriminant : \( \Delta = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \). Puisque \( \Delta < 0 \), il n'y a pas de solution réelle. \( S = \emptyset \). #### Exemple 4 : Factoriser \( 2x^2 + 3x - 2 \) Résolvons \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \). \( a=2, b=3, c=-2 \). \( \Delta = (3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \). \( x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \) \( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) La factorisation est \( a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - (-2))(x - \frac{1}{2}) = 2(x + 2)(x - \frac{1}{2}) \). On peut aussi écrire \( (x + 2)(2x - 1) \). #### Exemple 5 : Étudier le signe de \( -x^2 + x + 2 \) Résolvons \( -x^2 + x + 2 = 0 \). \( a=-1, b=1, c=2 \). \( \Delta = (1)^2 - 4(-1)(2) = 1 + 8 = 9 \). \( x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-1 - 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2 \) \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-1 + 3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 \) Les racines sont \( -1 \) et \( 2 \). Le coefficient \( a = -1 \) est négatif. | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :------: | :-----------: | :-----: | :-----: | :-----------: | | Signe de \( -x^2+x+2 \) | \( - \) | 0 | \( + \) | 0 | \( - \) | ### Exercices 1. Résolvez les équations du second degré suivantes : a) \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) b) \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \) c) \( 2x^2 - x + 5 = 0 \) d) \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \) 2. Factorisez les trinômes suivants (si possible) : a) \( x^2 + 2x - 15 \) b) \( 4x^2 - 12x + 9 \) 3. Établissez le tableau de signes pour les trinômes suivants : a) \( x^2 + 3x - 4 \) b) \( -2x^2 + 5x - 3 \) ### Devoirs 1. Déterminez les valeurs de \( m \) pour lesquelles l'équation \( x^2 + (m+1)x + 4 = 0 \) admet une unique solution réelle. 2. Résolvez l'inéquation \( x^2 - 2x - 3 > 0 \). 3. Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 3 cm. Si l'aire du rectangle est de 54 \( cm^2 \), quelles sont ses dimensions ? ### Résumé Les équations du second degré sont de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). Le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) est la clé de leur résolution : * Si \( \Delta > 0 \) : deux solutions réelles distinctes \( x_1, x_2 \). * Si \( \Delta = 0 \) : une solution réelle double \( x_0 \). * Si \( \Delta < 0 \) : aucune solution réelle. Le trinôme \( ax^2 + bx + c \) peut être factorisé en \( a(x-x_1)(x-x_2) \) si \( \Delta > 0 \), ou \( a(x-x_0)^2 \) si \( \Delta = 0 \). Son signe est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines et du signe opposé de \( a \) entre les racines (lorsqu'elles existent). Si \( \Delta < 0 \), il est toujours du signe de \( a \). ## Équations du second degré ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les équations du second degré. Ces équations sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans de nombreux domaines, de la physique à l'économie. Elles permettent de modéliser des situations variées, comme la trajectoire d'un projectile ou l'optimisation de surfaces. Comprendre comment les résoudre est une compétence essentielle pour votre parcours scientifique. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une équation du second degré Une équation du second degré, aussi appelée équation quadratique, est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où : * \( x \) est l'inconnue. * \( a, b, c \) sont des coefficients réels, avec \( a \neq 0 \) (si \( a=0 \), ce n'est plus une équation du second degré, mais une équation du premier degré). #### 2. Le Discriminant (\( \Delta \)) Pour résoudre une équation du second degré, on utilise un outil appelé le discriminant, noté \( \Delta \) (delta). La formule du discriminant est : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Le signe du discriminant détermine le nombre de solutions réelles de l'équation. #### 3. Résolution des équations du second degré Il y a trois cas possibles en fonction de la valeur du discriminant : ##### Cas 1 : \( \Delta > 0 \) (Discriminant strictement positif) L'équation admet deux solutions réelles distinctes, notées \( x_1 \) et \( x_2 \) : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] ##### Cas 2 : \( \Delta = 0 \) (Discriminant nul) L'équation admet une unique solution réelle (parfois appelée solution double), notée \( x_0 \) : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] ##### Cas 3 : \( \Delta < 0 \) (Discriminant strictement négatif) L'équation n'admet aucune solution réelle. (Elle admet des solutions complexes, que vous étudierez plus tard). #### 4. Forme canonique Toute expression \( ax^2 + bx + c \) peut être mise sous forme canonique : \[ a\left(x - \frac{-b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} \] ou plus simplement, si on note \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = -\frac{\Delta}{4a} \), alors : \[ a(x-\alpha)^2 + \beta \] Cette forme est utile pour l'étude de fonctions et la détermination du sommet de la parabole associée. #### 5. Factorisation d'un trinôme Selon le nombre de solutions, le trinôme \( ax^2 + bx + c \) peut être factorisé : * Si \( \Delta > 0 \) : \( a(x-x_1)(x-x_2) \) * Si \( \Delta = 0 \) : \( a(x-x_0)^2 \) * Si \( \Delta < 0 \) : Le trinôme ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré réels. #### 6. Somme et Produit des racines Si \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les racines d'une équation du second degré \( ax^2 + bx + c = 0 \) (avec \( \Delta \ge 0 \)), alors il existe des relations simples entre les racines et les coefficients : * Somme des racines : \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) * Produit des racines : \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \) Ces relations sont très utiles pour vérifier des solutions ou pour trouver une équation connaissant ses racines. ### Vocabulaire * **Équation du second degré** : Équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * **Coefficients** : Les nombres \( a, b, c \) dans l'équation. * **Inconnue** : La variable \( x \) dont on cherche la ou les valeurs. * **Discriminant (\( \Delta \))** : La valeur \( b^2 - 4ac \) qui détermine le nombre de solutions réelles. * **Racine (ou solution)** : Une valeur de \( x \) qui rend l'équation vraie. * **Trinôme du second degré** : L'expression \( ax^2 + bx + c \). * **Forme canonique** : Une écriture particulière du trinôme \( a(x-\alpha)^2 + \beta \) qui met en évidence le sommet de la parabole. * **Parabole** : La représentation graphique d'une fonction du second degré \( f(x) = ax^2 + bx + c \). ### Exemples #### Exemple 1 : Deux solutions (\( \Delta > 0 \)) Résolvons l'équation : \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \) Ici, \( a=2 \), \( b=5 \), \( c=-3 \). Calculons le discriminant : \( \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49 \) Puisque \( \Delta = 49 > 0 \), il y a deux solutions réelles distinctes : \( x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \) \( x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) Les solutions sont \( S = \{-3; \frac{1}{2}\} \). #### Exemple 2 : Une seule solution (\( \Delta = 0 \)) Résolvons l'équation : \( x^2 - 6x + 9 = 0 \) Ici, \( a=1 \), \( b=-6 \), \( c=9 \). Calculons le discriminant : \( \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 \) Puisque \( \Delta = 0 \), il y a une unique solution réelle : \( x_0 = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \) La solution est \( S = \{3\} \). #### Exemple 3 : Aucune solution réelle (\( \Delta < 0 \)) Résolvons l'équation : \( x^2 + 2x + 5 = 0 \) Ici, \( a=1 \), \( b=2 \), \( c=5 \). Calculons le discriminant : \( \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \) Puisque \( \Delta = -16 < 0 \), l'équation n'admet aucune solution réelle. #### Exemple 4 : Factorisation Factorisons le trinôme \( 2x^2 + 5x - 3 \) (issu de l'exemple 1). Nous avons trouvé les racines \( x_1 = -3 \) et \( x_2 = \frac{1}{2} \). En utilisant la formule \( a(x-x_1)(x-x_2) \) : \( 2(x - (-3))(x - \frac{1}{2}) = 2(x+3)(x-\frac{1}{2}) = (x+3)(2x-1) \) #### Exemple 5 : Utilisation de la somme et du produit des racines Supposons que \( x_1=2 \) et \( x_2=-5 \) sont les racines d'une équation du second degré dont le coefficient \( a=1 \). * Somme : \( x_1 + x_2 = 2 + (-5) = -3 \). Donc \( -b/a = -3 \), ce qui implique \( -b/1 = -3 \) donc \( b=3 \). * Produit : \( x_1 x_2 = 2 \times (-5) = -10 \). Donc \( c/a = -10 \), ce qui implique \( c/1 = -10 \) donc \( c=-10 \). L'équation est donc \( x^2 + 3x - 10 = 0 \). ### Exercices Résolvez les équations du second degré suivantes : 1. \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) 2. \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \) 3. \( x^2 + x + 1 = 0 \) 4. \( 4x^2 - 9 = 0 \) (Astuce : Identité remarquable) 5. \( -2x^2 + 3x + 5 = 0 \) Factorisez les trinômes suivants si possible : 6. \( x^2 - 7x + 10 \) 7. \( 3x^2 + 6x + 3 \) ### Devoirs 1. Résolvez les équations suivantes : a. \( 5x^2 - 2x - 3 = 0 \) b. \( (x+1)^2 - 4 = 0 \) c. \( x(2x+3) = 5 \) d. \( x^2 - 12x + 36 = 0 \) 2. Trouvez une équation du second degré (avec \( a=1 \)) dont les racines sont \( -4 \) et \( 7 \). 3. Un rectangle a un périmètre de 20 cm et une aire de 24 cm². Déterminez les dimensions de ce rectangle. (Conseil : Mettez le problème en équation). 4. Pour quelle(s) valeur(s) du réel \( m \) l'équation \( x^2 + mx + 4 = 0 \) admet-elle une unique solution réelle ? ### Résumé Nous avons exploré les équations du second degré, qui s'écrivent sous la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \). La clé de leur résolution est le **discriminant** \( \Delta = b^2 - 4ac \). * Si \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions réelles : \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). * Si \( \Delta = 0 \), il y a une unique solution réelle : \( x_0 = \frac{-b}{2a} \). * Si \( \Delta < 0 \), il n'y a pas de solution réelle. Nous avons également vu la forme canonique, la factorisation des trinômes et les relations entre la somme et le produit des racines et les coefficients. Ces outils vous permettent de résoudre et d'analyser une grande variété de problèmes mathématiques. ## Inéquations du second degré ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons apprendre à résoudre des inéquations impliquant des polynômes du second degré. Ces inéquations sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans de nombreux contextes, de la physique à l'économie. Comprendre comment les résoudre vous permettra de déterminer quand une fonction quadratique est positive, négative ou nulle. ### 1. Concepts Clés #### 1.1. Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ? Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut s'écrire sous l'une des formes suivantes : * \( ax^2 + bx + c > 0 \) * \( ax^2 + bx + c < 0 \) * \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) * \( ax^2 + bx + c \le 0 \) où \( a, b, c \) sont des nombres réels avec \( a \ne 0 \). #### 1.2. Méthode de résolution La résolution d'une inéquation du second degré se fait en plusieurs étapes cruciales : ##### Étape 1 : Ramener l'inéquation à une forme standard Assurez-vous que tous les termes sont du même côté de l'inégalité, de sorte que l'autre côté soit 0. Par exemple, si vous avez \( 2x^2 + 3x > 5 \), réécrivez-la comme \( 2x^2 + 3x - 5 > 0 \). ##### Étape 2 : Résoudre l'équation du second degré associée Considérez l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) associée à l'inéquation. Calculez son discriminant \( \Delta \) (delta) et trouvez ses racines (solutions). Le discriminant est donné par la formule : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] * **Cas 1 : \( \Delta > 0 \)** L'équation a deux racines réelles distinctes : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] * **Cas 2 : \( \Delta = 0 \)** L'équation a une racine réelle double : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] * **Cas 3 : \( \Delta < 0 \)** L'équation n'a pas de racines réelles. ##### Étape 3 : Étudier le signe du polynôme \( ax^2 + bx + c \) Le signe du polynôme \( ax^2 + bx + c \) dépend du signe de \( a \) et des racines de l'équation associée. * **Si \( \Delta > 0 \) (deux racines \( x_1, x_2 \)):** Le polynôme est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines et du signe opposé à celui de \( a \) entre les racines. | \( x \) | \( - \infty \) | \( x_1 \) | | \( x_2 \) | \( + \infty \) | |---|---|---|---|---|---| | \( ax^2+bx+c \) | signe de \( a \) | \( 0 \) | signe de \( -a \) | \( 0 \) | signe de \( a \) | * **Si \( \Delta = 0 \) (une racine double \( x_0 \)):** Le polynôme est toujours du signe de \( a \) (sauf en \( x_0 \) où il est nul). | \( x \) | \( - \infty \) | | \( x_0 \) | | \( + \infty \) | |---|---|---|---|---|---| | \( ax^2+bx+c \) | signe de \( a \) | | \( 0 \) | | signe de \( a \) | * **Si \( \Delta < 0 \) (pas de racines réelles):** Le polynôme est toujours du signe de \( a \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). | \( x \) | \( - \infty \) | | | \( + \infty \) | |---|---|---|---|---| | \( ax^2+bx+c \) | signe de \( a \) | | | signe de \( a \) | ##### Étape 4 : Déterminer l'ensemble des solutions En utilisant le tableau de signes et l'inégalité de départ, déterminez l'intervalle ou les intervalles de valeurs de \( x \) qui satisfont l'inéquation. N'oubliez pas d'inclure ou d'exclure les racines selon que l'inégalité est stricte (\( < \) ou \( > \)) ou large (\( \le \) ou \( \ge \)). ### 2. Vocabulaire * **Inéquation du second degré :** Une inégalité impliquant un polynôme du second degré. * **Polynôme du second degré :** Une expression de la forme \( ax^2 + bx + c \) où \( a \ne 0 \). * **Racines :** Les solutions de l'équation du second degré associée \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ce sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles le polynôme est nul. * **Discriminant (\( \Delta \)) :** La valeur \( b^2 - 4ac \) qui détermine le nombre de racines réelles d'une équation du second degré. * **Tableau de signes :** Un tableau utilisé pour résumer le signe d'une expression (ici, un polynôme du second degré) sur différents intervalles de \( x \). ### 3. Exemples #### Exemple 1 : Deux racines distinctes (\( \Delta > 0 \)) Résolvons l'inéquation \( x^2 - 3x + 2 > 0 \). 1. **Forme standard :** Déjà sous la forme \( ax^2 + bx + c > 0 \). Ici \( a=1, b=-3, c=2 \). 2. **Équation associée :** \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). Calculons le discriminant : \[ \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \] Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux racines réelles distinctes : \[ x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] 3. **Tableau de signes :** \( a=1 \) est positif. Le polynôme est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. | \( x \) | \( - \infty \) | \( 1 \) | | \( 2 \) | \( + \infty \) | |---|---|---|---|---|---| | \( x^2-3x+2 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | 4. **Ensemble des solutions :** Nous cherchons \( x^2 - 3x + 2 > 0 \), c'est-à-dire quand le polynôme est positif. D'après le tableau, c'est pour \( x \in ]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[ \). #### Exemple 2 : Une racine double (\( \Delta = 0 \)) Résolvons l'inéquation \( -x^2 + 4x - 4 \ge 0 \). 1. **Forme standard :** Déjà sous la forme \( ax^2 + bx + c \ge 0 \). Ici \( a=-1, b=4, c=-4 \). 2. **Équation associée :** \( -x^2 + 4x - 4 = 0 \). Calculons le discriminant : \[ \Delta = (4)^2 - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0 \] Puisque \( \Delta = 0 \), il y a une racine réelle double : \[ x_0 = \frac{-4}{2(-1)} = \frac{-4}{-2} = 2 \] 3. **Tableau de signes :** \( a=-1 \) est négatif. Le polynôme est toujours du signe de \( a \) (négatif) sauf en \( x_0=2 \) où il est nul. | \( x \) | \( - \infty \) | | \( 2 \) | | \( + \infty \) | |---|---|---|---|---|---| | \( -x^2+4x-4 \) | \( - \) | | \( 0 \) | | \( - \) | 4. **Ensemble des solutions :** Nous cherchons \( -x^2 + 4x - 4 \ge 0 \), c'est-à-dire quand le polynôme est positif ou nul. D'après le tableau, le polynôme est négatif partout sauf en \( x=2 \) où il est nul. Donc, l'ensemble des solutions est \( \{2\} \). #### Exemple 3 : Pas de racines réelles (\( \Delta < 0 \)) Résolvons l'inéquation \( 2x^2 + x + 1 < 0 \). 1. **Forme standard :** Déjà sous la forme \( ax^2 + bx + c < 0 \). Ici \( a=2, b=1, c=1 \). 2. **Équation associée :** \( 2x^2 + x + 1 = 0 \). Calculons le discriminant : \[ \Delta = (1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 \] Puisque \( \Delta < 0 \), il n'y a pas de racines réelles. 3. **Tableau de signes :** \( a=2 \) est positif. Le polynôme est toujours du signe de \( a \) (positif) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). | \( x \) | \( - \infty \) | | | \( + \infty \) | |---|---|---|---|---| | \( 2x^2+x+1 \) | \( + \) | | | \( + \) | 4. **Ensemble des solutions :** Nous cherchons \( 2x^2 + x + 1 < 0 \), c'est-à-dire quand le polynôme est négatif. D'après le tableau, le polynôme est toujours positif. Il n'est jamais négatif. Donc, l'ensemble des solutions est l'ensemble vide, noté \( \emptyset \). ### 4. Exercices Résolvez les inéquations suivantes : 1. \( x^2 + 5x + 6 \le 0 \) 2. \( -x^2 + 2x - 1 < 0 \) 3. \( 3x^2 - x + 2 > 0 \) 4. \( 2x^2 \ge 8 \) 5. \( (x-3)(x+5) > x^2 - 1 \) ### 5. Devoirs 1. Résolvez l'inéquation \( -2x^2 + 7x - 3 \ge 0 \). 2. Déterminez les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'expression \( x^2 - 6x + 9 \) est strictement positive. 3. Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) la parabole d'équation \( y = x^2 + 2x - 3 \) est-elle située sous l'axe des abscisses ? 4. Une entreprise fabrique \( x \) objets par jour. Le coût de production est donné par \( C(x) = x^2 - 10x + 50 \) et le revenu par \( R(x) = 20x \). Pour que l'entreprise soit rentable, le revenu doit être supérieur au coût. Déterminez le nombre d'objets \( x \) que l'entreprise doit produire pour être rentable. (Attention, \( x \) doit être un entier positif). ### 6. Résumé * Pour résoudre une inéquation du second degré \( ax^2 + bx + c \lesseqgtr 0 \), on commence par la ramener à une forme où un côté est nul. * On résout ensuite l'équation associée \( ax^2 + bx + c = 0 \) en calculant le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \). * Le nombre et la valeur des racines dépendent de \( \Delta \). * On utilise un tableau de signes pour déterminer les intervalles où le polynôme est positif, négatif ou nul, en se basant sur le signe de \( a \) et la position des racines. * Enfin, on déduit l'ensemble des solutions de l'inéquation en fonction de l'inégalité de départ. * N'oubliez pas les crochets pour inclure ou exclure les racines selon que l'inégalité est large ou stricte. ## Inéquations du second degré ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les inéquations du second degré ! Après avoir maîtrisé les équations du second degré, nous allons maintenant étendre nos connaissances pour résoudre des inégalités impliquant des polynômes de degré 2. Ces outils sont essentiels en mathématiques et ont de nombreuses applications dans d'autres sciences et dans le monde réel, notamment pour l'optimisation ou l'étude de fonctions. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ? Une inéquation du second degré est une inégalité où l'inconnue apparaît à la puissance 2 (et pas plus), et qui peut être ramenée à l'une des formes suivantes, où \( a \), \( b \), \( c \) sont des nombres réels avec \( a \neq 0 \): * \( ax^2 + bx + c > 0 \) * \( ax^2 + bx + c < 0 \) * \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) * \( ax^2 + bx + c \le 0 \) #### Méthode de résolution d'une inéquation du second degré La résolution d'une inéquation du second degré suit une méthode structurée en plusieurs étapes cruciales : ##### Étape 1 : Ramener l'inéquation à la forme \( ax^2 + bx + c \ ⋠ \ 0 \) Avant de commencer, assurez-vous que tous les termes sont regroupés d'un seul côté de l'inégalité, de sorte que l'autre côté soit 0. Par exemple, si vous avez \( x^2 - 3x > -2 \), il faut la réécrire comme \( x^2 - 3x + 2 > 0 \). ##### Étape 2 : Résoudre l'équation du second degré associée \( ax^2 + bx + c = 0 \) C'est la partie la plus familière. Il s'agit de trouver les racines du trinôme \( ax^2 + bx + c \). Pour cela, on calcule le discriminant \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trois cas sont possibles : * **Cas 1 : \( \Delta > 0 \)** L'équation a deux racines réelles distinctes : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] * **Cas 2 : \( \Delta = 0 \)** L'équation a une seule racine réelle (dite racine double) : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] * **Cas 3 : \( \Delta < 0 \)** L'équation n'a aucune racine réelle. Le trinôme ne s'annule jamais dans l'ensemble des nombres réels. ##### Étape 3 : Étudier le signe du trinôme \( ax^2 + bx + c \) C'est l'étape clé pour les inéquations. Le signe du trinôme \( ax^2 + bx + c \) dépend du signe de \( a \) et de la valeur de \( \Delta \). On utilise généralement un tableau de signes. * **Si \( \Delta > 0 \) (deux racines \( x_1, x_2 \) avec \( x_1 < x_2 \))** : * Entre les racines (pour \( x \in ]x_1 ; x_2[ \)), le trinôme est du signe **opposé** à celui de \( a \). * À l'extérieur des racines (pour \( x \in ]-\infty ; x_1[ \cup ]x_2 ; +\infty[ \)), le trinôme est du signe de \( a \). * Le trinôme est nul en \( x_1 \) et \( x_2 \). | \( x \) | \( -\infty \) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \( +\infty \) | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | Signe de \( ax^2+bx+c \) | Signe de \( a \) | 0 | Signe opposé de \( a \) | 0 | Signe de \( a \) | * **Si \( \Delta = 0 \) (une racine double \( x_0 \))** : * Le trinôme est toujours du signe de \( a \) pour tout \( x \neq x_0 \). * Le trinôme est nul en \( x_0 \). | \( x \) | \( -\infty \) | \( x_0 \) | \( +\infty \) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | Signe de \( ax^2+bx+c \) | Signe de \( a \) | 0 | Signe de \( a \) | * **Si \( \Delta < 0 \) (aucune racine réelle)** : * Le trinôme est toujours du signe de \( a \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). * Il ne s'annule jamais. | \( x \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | | :---: | :---: | | Signe de \( ax^2+bx+c \) | Signe de \( a \) | ##### Étape 4 : Conclure sur l'ensemble des solutions En vous référant à l'inégalité de départ (par exemple \( > 0 \), \( < 0 \), \( \ge 0 \), \( \le 0 \)), lisez le tableau de signes et écrivez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle(s). ### Vocabulaire * **Trinôme du second degré** : Un polynôme de la forme \( ax^2 + bx + c \) avec \( a \neq 0 \). * **Inéquation du second degré** : Une inégalité impliquant un trinôme du second degré. * **Discriminant (\( \Delta \))** : La valeur \( b^2 - 4ac \) qui détermine le nombre de racines réelles d'une équation du second degré. * **Racines** : Les valeurs de \( x \) pour lesquelles le trinôme \( ax^2 + bx + c \) s'annule (c'est-à-dire les solutions de \( ax^2 + bx + c = 0 \)). * **Tableau de signes** : Un tableau qui récapitule le signe d'une expression (ici, un trinôme) en fonction des intervalles définis par ses racines. * **Intervalle** : Un sous-ensemble de nombres réels. Par exemple, \( [2 ; 5] \) inclut 2 et 5, tandis que \( ]2 ; 5[ \) ne les inclut pas. ### Exemples #### Exemple 1 : Résoudre \( x^2 - 3x + 2 > 0 \) 1. L'inéquation est déjà sous la forme \( ax^2 + bx + c > 0 \) avec \( a=1 \), \( b=-3 \), \( c=2 \). 2. Résolution de l'équation associée \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) : \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \). Comme \( \Delta > 0 \), il y a deux racines distinctes : \( x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3-1}{2} = 1 \) \( x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3+1}{2} = 2 \) 3. Étude du signe de \( x^2 - 3x + 2 \) : \( a=1 \) est positif. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. | \( x \) | \( -\infty \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | Signe de \( x^2-3x+2 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | 4. Conclusion : Nous cherchons \( x^2 - 3x + 2 > 0 \), c'est-à-dire les intervalles où le signe est positif. L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty ; 1[ \cup ]2 ; +\infty[ \). #### Exemple 2 : Résoudre \( -x^2 + 4x - 4 \ge 0 \) 1. L'inéquation est déjà sous la forme \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) avec \( a=-1 \), \( b=4 \), \( c=-4 \). 2. Résolution de l'équation associée \( -x^2 + 4x - 4 = 0 \) : \( \Delta = (4)^2 - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0 \). Comme \( \Delta = 0 \), il y a une racine double : \( x_0 = \frac{-4}{2(-1)} = \frac{-4}{-2} = 2 \) 3. Étude du signe de \( -x^2 + 4x - 4 \) : \( a=-1 \) est négatif. Le trinôme est toujours du signe de \( a \) (négatif) sauf en \( x_0=2 \) où il est nul. | \( x \) | \( -\infty \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :---: | :---: | :---: | | Signe de \( -x^2+4x-4 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( - \) | 4. Conclusion : Nous cherchons \( -x^2 + 4x - 4 \ge 0 \), c'est-à-dire les intervalles où le signe est positif ou nul. Le seul point où le trinôme est \( \ge 0 \) est quand il est égal à 0. L'ensemble des solutions est \( S = \{2\} \). #### Exemple 3 : Résoudre \( 2x^2 + x + 1 < 0 \) 1. L'inéquation est déjà sous la forme \( ax^2 + bx + c < 0 \) avec \( a=2 \), \( b=1 \), \( c=1 \). 2. Résolution de l'équation associée \( 2x^2 + x + 1 = 0 \) : \( \Delta = (1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 \). Comme \( \Delta < 0 \), il n'y a aucune racine réelle. 3. Étude du signe de \( 2x^2 + x + 1 \) : \( a=2 \) est positif. Puisqu'il n'y a pas de racines réelles et que \( a > 0 \), le trinôme est toujours positif pour tout \( x \in \mathbb{R} \). | \( x \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | | :---: | :---: | | Signe de \( 2x^2+x+1 \) | \( + \) | 4. Conclusion : Nous cherchons \( 2x^2 + x + 1 < 0 \), c'est-à-dire les intervalles où le signe est négatif. Or, le trinôme est toujours positif. L'ensemble des solutions est \( S = \emptyset \) (l'ensemble vide). ### Exercices Résolvez les inéquations du second degré suivantes : 1. \( x^2 - 5x + 6 \le 0 \) 2. \( 2x^2 + 5x - 3 > 0 \) 3. \( -x^2 + 6x - 9 < 0 \) 4. \( 3x^2 - x + 1 \ge 0 \) 5. \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \) ### Devoir Maison Résolvez les inéquations suivantes en montrant toutes les étapes de votre raisonnement : 1. \( 2x(x+1) \ge x^2 + 3x - 2 \) 2. \( (x-3)(x+5) < x^2 + 2x - 10 \) 3. \( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x - 1 < 0 \) 4. Déterminez les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) est strictement positive. 5. Trouvez l'ensemble des réels \( x \) tels que \( -3x^2 + 7x - 4 \le 0 \). ### Résumé Pour résoudre une inéquation du second degré, voici les étapes clés à retenir : 1. **Ramener à zéro :** Toujours regrouper tous les termes d'un côté de l'inégalité pour avoir la forme \( ax^2 + bx + c \ ⋠ \ 0 \). 2. **Équation associée :** Résoudre l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) en calculant le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) pour trouver les racines (s'il y en a). 3. **Tableau de signes :** Construire un tableau de signes pour le trinôme \( ax^2 + bx + c \). Rappelez-vous la règle des signes : * Si \( \Delta > 0 \), le trinôme est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines et du signe opposé à l'intérieur. * Si \( \Delta = 0 \), le trinôme est toujours du signe de \( a \) (s'annule en la racine double). * Si \( \Delta < 0 \), le trinôme est toujours du signe de \( a \) (ne s'annule jamais). 4. **Ensemble solution :** Interpréter le tableau de signes en fonction de l'inégalité de départ pour déterminer l'ensemble des solutions, généralement sous forme d'intervalle(s). ## Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues. Vous avez déjà rencontré des équations à une inconnue. Ici, nous allons apprendre à résoudre des problèmes où deux conditions doivent être satisfaites simultanément, impliquant deux quantités inconnues. Ces systèmes sont très présents en mathématiques, mais aussi en physique, en économie ou même dans la vie quotidienne pour modéliser des situations concrètes. Nous allons explorer différentes méthodes de résolution et comprendre ce que ces solutions représentent graphiquement. ### Concepts Clés #### Définition d'un système linéaire Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré, chacune contenant deux variables (généralement notées \( x \) et \( y \)). Le but est de trouver un couple de valeurs \( (x,y) \) qui vérifie simultanément les deux équations. La forme générale d'un tel système est la suivante: \[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \] Où \( a, b, c, a', b', c' \) sont des nombres réels connus, et \( x, y \) sont les inconnues. #### Méthodes de résolution algébrique Il existe deux principales méthodes pour résoudre algébriquement un système linéaire : ##### 1. Méthode par Substitution Cette méthode consiste à isoler une des inconnues dans l'une des équations, puis à substituer son expression dans l'autre équation. Cela permet de ramener le système à une seule équation à une seule inconnue. **Étapes :** 1. Choisissez une équation et exprimez une des inconnues (par exemple \( x \) ) en fonction de l'autre (ici \( y \) ). 2. Substituez cette expression dans la *deuxième* équation. Vous obtiendrez une équation à une seule inconnue. 3. Résolvez cette nouvelle équation pour trouver la valeur de l'inconnue. 4. Reportez la valeur trouvée dans l'expression de la première inconnue pour trouver sa valeur. 5. Vérifiez votre couple solution \( (x,y) \) en le substituant dans les deux équations originales. ##### 2. Méthode par Combinaison Linéaire (ou Addition) Cette méthode vise à éliminer une des inconnues en additionnant ou soustrayant les deux équations, après avoir multiplié chacune d'elles par un nombre approprié. **Étapes :** 1. Multipliez chaque équation par un nombre tel que les coefficients d'une des inconnues (par exemple \( x \) ) soient opposés (par exemple \( 2x \) et \( -2x \) ) ou égaux. 2. Additionnez (ou soustrayez) les deux équations membre à membre. L'inconnue choisie doit s'annuler, vous laissant avec une équation à une seule inconnue. 3. Résolvez cette nouvelle équation pour trouver la valeur de l'inconnue restante. 4. Reportez cette valeur dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de la première inconnue. 5. Vérifiez votre couple solution \( (x,y) \) en le substituant dans les deux équations originales. #### Interprétation Graphique et Nombre de Solutions Chaque équation linéaire du type \( ax + by = c \) représente une droite dans un repère cartésien. La solution d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues correspond au point d'intersection de ces deux droites. Il y a trois cas possibles : * **Un seul couple solution :** Les deux droites sont **sécantes**. Elles se coupent en un unique point. Le couple \( (x,y) \) de ce point est la solution unique du système. * **Aucune solution :** Les deux droites sont **strictement parallèles**. Elles n'ont aucun point commun. Le système n'a pas de solution. * **Une infinité de solutions :** Les deux droites sont **confondues**. Elles représentent la même droite. Tous les points de cette droite sont des solutions du système, il y a donc une infinité de solutions. ### Vocabulaire * **Système d'équations linéaires :** Ensemble de plusieurs équations linéaires à résoudre simultanément. * **Équation linéaire :** Équation du premier degré, sans terme au carré, au cube, ni produit d'inconnues (ex : \( 3x + 2y = 5 \) ). * **Inconnue :** Variable dont la valeur est à déterminer (souvent \( x \) et \( y \) ). * **Couple solution :** Ensemble des valeurs \( (x,y) \) qui vérifient toutes les équations du système. * **Méthode par substitution :** Technique algébrique de résolution où une inconnue est exprimée en fonction de l'autre. * **Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :** Technique algébrique de résolution où les équations sont combinées pour éliminer une inconnue. * **Interprétation graphique :** Représentation visuelle des équations sous forme de droites pour trouver la solution à leur intersection. * **Droites sécantes :** Droites qui se coupent en un seul point. * **Droites parallèles :** Droites qui ne se rencontrent jamais (sauf si elles sont confondues). * **Droites confondues :** Deux équations qui représentent la même droite. ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution par substitution Résoudre le système suivant : \[ \begin{cases} x + 2y = 7 (L_1)\\ 3x - y = 0 (L_2) \end{cases} \] 1. Dans \( (L_2) \), on exprime \( y \) en fonction de \( x \) : \( y = 3x \). 2. On substitue cette expression de \( y \) dans \( (L_1) \) : \( x + 2(3x) = 7 \) \( x + 6x = 7 \) \( 7x = 7 \) \( x = 1 \) 3. On utilise la valeur de \( x \) pour trouver \( y \) : \( y = 3(1) \) \( y = 3 \) 4. Le couple solution est \( (1,3) \). 5. Vérification : \( (L_1) : 1 + 2(3) = 1 + 6 = 7 \) (Vrai) \( (L_2) : 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0 \) (Vrai) #### Exemple 2 : Résolution par combinaison linéaire Résoudre le système suivant : \[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 (L_1)\\ 5x - 2y = 11 (L_2) \end{cases} \] 1. Pour éliminer \( y \), on multiplie \( (L_1) \) par 2 et \( (L_2) \) par 3 : \( 2 \times (L_1) \implies 4x + 6y = 24 \) \( 3 \times (L_2) \implies 15x - 6y = 33 \) 2. On additionne les deux nouvelles équations : \( (4x + 6y) + (15x - 6y) = 24 + 33 \) \( 19x = 57 \) \( x = \frac{57}{19} \) \( x = 3 \) 3. On substitue \( x=3 \) dans \( (L_1) \) : \( 2(3) + 3y = 12 \) \( 6 + 3y = 12 \) \( 3y = 6 \) \( y = 2 \) 4. Le couple solution est \( (3,2) \). 5. Vérification : \( (L_1) : 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 \) (Vrai) \( (L_2) : 5(3) - 2(2) = 15 - 4 = 11 \) (Vrai) #### Exemple 3 : Cas particuliers * **Aucune solution (droites parallèles) :** \[ \begin{cases} x + y = 3 (L_1)\\ 2x + 2y = 10 (L_2) \end{cases} \] Si on multiplie \( (L_1) \) par 2, on obtient \( 2x + 2y = 6 \). Or \( (L_2) \) est \( 2x + 2y = 10 \). On aurait donc \( 6 = 10 \), ce qui est faux. Le système n'a pas de solution. Les droites sont parallèles. * **Infinité de solutions (droites confondues) :** \[ \begin{cases} x + y = 3 (L_1)\\ 2x + 2y = 6 (L_2) \end{cases} \] Si on multiplie \( (L_1) \) par 2, on obtient \( 2x + 2y = 6 \). C'est exactement \( (L_2) \). Les deux équations sont équivalentes, elles représentent la même droite. Il y a une infinité de solutions. ### Exercices 1. Résolvez les systèmes suivants en utilisant la méthode par substitution : a. \[ \begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \] b. \[ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \] 2. Résolvez les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaison linéaire : a. \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} \] b. \[ \begin{cases} 4x + 3y = 1 \\ 2x - 5y = 7 \end{cases} \] 3. Pour chaque système, déterminez graphiquement le nombre de solutions (sans les résoudre) : a. \( y = -2x + 3 \) et \( y = -2x + 1 \) b. \( y = x + 4 \) et \( y = -x + 2 \) c. \( x - y = 1 \) et \( 2x - 2y = 2 \) ### Devoirs 1. Résolvez complètement les systèmes suivants par la méthode de votre choix (indiquez la méthode utilisée) : a. \[ \begin{cases} 4x - 2y = 10 \\ -2x + y = -5 \end{cases} \] b. \[ \begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \] c. \[ \begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 5 \\ x - \frac{1}{3}y = 1 \end{cases} \] 2. **Problème :** Un zoo propose deux tarifs d'entrée. Le tarif A est de 15€ pour les adultes et 8€ pour les enfants. Le tarif B est de 12€ pour les adultes et 10€ pour les enfants. Un groupe de 20 personnes (adultes et enfants) a payé un total de 200€ avec le tarif A. Un autre groupe de 15 personnes a payé 162€ avec le tarif B. Combien y a-t-il d'adultes et d'enfants dans chaque groupe ? (Vous devrez poser deux systèmes d'équations distincts ou un système pour chaque groupe) ### Résumé Nous avons exploré les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues, un outil fondamental en mathématiques. Voici les points essentiels à retenir : * Un système est constitué de deux équations du premier degré avec deux inconnues \( x \) et \( y \). * La solution est un couple \( (x,y) \) qui vérifie les deux équations simultanément. * Deux méthodes algébriques principales existent : * La **substitution** : isoler une inconnue dans une équation et la remplacer dans l'autre. * La **combinaison linéaire (ou addition)** : multiplier les équations pour éliminer une inconnue en les additionnant. * Graphiquement, chaque équation représente une droite. La solution est le point d'intersection des droites. * Il peut y avoir : * **Une solution unique** (droites sécantes). * **Aucune solution** (droites strictement parallèles). * **Une infinité de solutions** (droites confondues). N'oubliez pas de toujours vérifier vos solutions en les substituant dans les équations originales pour vous assurer de leur validité. ## Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les systèmes linéaires ! En mathématiques, nous rencontrons souvent des situations où plusieurs quantités inconnues sont liées par plusieurs équations. Pour résoudre de tels problèmes, nous utilisons des **systèmes d'équations**. Plus spécifiquement, nous allons nous concentrer sur les systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues, qui sont un outil fondamental pour modéliser et résoudre diverses situations concrètes. Vous apprendrez à les identifier et à utiliser différentes méthodes pour trouver leurs solutions. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues Un système de deux équations linéaires à deux inconnues \(x\) et \(y\) est un ensemble de deux équations de la forme : \[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \] Où \(a, b, c, a', b', c'\) sont des nombres réels connus, et \(x, y\) sont les inconnues que nous cherchons à déterminer. Une **solution** d'un tel système est un couple de nombres \((x_0, y_0)\) qui vérifie simultanément les deux équations. #### 2. Méthodes de Résolution Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ces systèmes. Les deux principales sont la substitution et la combinaison linéaire. ##### a) Méthode par Substitution Cette méthode consiste à exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir d'une des équations, puis à substituer cette expression dans la deuxième équation. Cela réduit le système à une seule équation à une seule inconnue. **Étapes :** 1. Choisissez une des équations et isolez-y une des inconnues (par exemple, exprimez \(y\) en fonction de \(x\)). 2. Substituez l'expression trouvée dans l'autre équation. 3. Résolvez l'équation à une inconnue obtenue. 4. Utilisez la valeur trouvée pour calculer la valeur de la deuxième inconnue. 5. Vérifiez votre solution en la substituant dans les deux équations originales. ##### b) Méthode par Combinaison Linéaire (ou Addition) Cette méthode vise à éliminer une des inconnues en multipliant chaque équation par un nombre approprié, de sorte que les coefficients de cette inconnue deviennent opposés. En additionnant (ou soustrayant) les deux équations modifiées, l'inconnue disparaît. **Étapes :** 1. Choisissez l'inconnue que vous souhaitez éliminer. 2. Multipliez chaque équation par un nombre choisi de manière à ce que les coefficients de l'inconnue choisie soient opposés (ou égaux si vous voulez soustraire). 3. Additionnez (ou soustrayez) membre à membre les deux équations obtenues. Cela vous donnera une équation à une seule inconnue. 4. Résolvez cette équation. 5. Utilisez la valeur trouvée pour calculer la valeur de la deuxième inconnue (en la substituant dans l'une des équations originales). 6. Vérifiez votre solution. #### 3. Interprétation Graphique des Solutions Chaque équation linéaire à deux inconnues représente une droite dans un repère cartésien. La solution d'un système de deux équations linéaires correspond au point d'intersection de ces deux droites. Plusieurs cas sont possibles : * **Une solution unique :** Les deux droites sont sécantes (elles se coupent en un seul point). * **Aucune solution :** Les deux droites sont strictement parallèles (elles ne se coupent jamais). * **Une infinité de solutions :** Les deux droites sont confondues (elles représentent la même droite). ### Vocabulaire * **Système d'équations :** Ensemble de plusieurs équations que l'on doit résoudre simultanément. * **Équation linéaire :** Équation où les inconnues sont de degré 1 (ex : \(ax+by=c\)). * **Inconnue :** Variable dont la valeur est à déterminer (souvent \(x\) et \(y\)). * **Solution d'un système :** Couple de valeurs \((x, y)\) qui vérifie toutes les équations du système. * **Méthode par substitution :** Technique de résolution où l'on exprime une inconnue en fonction de l'autre. * **Méthode par combinaison linéaire :** Technique de résolution où l'on additionne ou soustrait des équations pour éliminer une inconnue. * **Système compatible :** Système qui admet au moins une solution (solution unique ou infinité de solutions). * **Système incompatible :** Système qui n'admet aucune solution. * **Système indéterminé :** Système qui admet une infinité de solutions. ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution par substitution Résolvez le système : \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \quad (1) \\ 3x - 2y = 0 \quad (2) \end{cases} \] 1. De l'équation (1), isolons \(y\) : \(y = 7 - 2x\). 2. Substituons cette expression de \(y\) dans l'équation (2) : \(3x - 2(7 - 2x) = 0\) \(3x - 14 + 4x = 0\) \(7x = 14\) \(x = 2\) 3. Substituons \(x=2\) dans l'expression de \(y\) : \(y = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3\). La solution est le couple \((2, 3)\). #### Exemple 2 : Résolution par combinaison linéaire Résolvez le système : \[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \quad (1) \\ 5x - 3y = 1 \quad (2) \end{cases} \] 1. Pour éliminer \(y\), multiplions l'équation (1) par 3 et l'équation (2) par 2 : \(3 \times (3x + 2y) = 3 \times 12 \implies 9x + 6y = 36\) \(2 \times (5x - 3y) = 2 \times 1 \implies 10x - 6y = 2\) 2. Additionnons les deux nouvelles équations : \((9x + 6y) + (10x - 6y) = 36 + 2\) \(19x = 38\) \(x = 2\) 3. Substituons \(x=2\) dans l'équation (1) : \(3(2) + 2y = 12\) \(6 + 2y = 12\) \(2y = 6\) \(y = 3\) La solution est le couple \((2, 3)\). #### Exemple 3 : Problème concret Une ferme élève des poules et des lapins. On compte 20 têtes et 56 pattes au total. Combien y a-t-il de poules et de lapins ? Soit \(P\) le nombre de poules et \(L\) le nombre de lapins. * Nombre de têtes : \(P + L = 20\) * Nombre de pattes : \(2P + 4L = 56\) Le système à résoudre est : \[ \begin{cases} P + L = 20 \quad (1) \\ 2P + 4L = 56 \quad (2) \end{cases} \] 1. De (1), \(P = 20 - L\). 2. Substituons dans (2) : \(2(20 - L) + 4L = 56\) \(40 - 2L + 4L = 56\) \(2L = 16\) \(L = 8\) 3. Alors \(P = 20 - 8 = 12\). Il y a 12 poules et 8 lapins. ### Exercices Résolvez les systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix : 1. \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - y = 7 \end{cases} \] 2. \[ \begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ 2x - 5y = -1 \end{cases} \] 3. La somme de deux nombres est 30. Leur différence est 12. Quels sont ces deux nombres ? ### Devoir 1. Résolvez le système : \[ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1 \\ \frac{1}{4}x + \frac{2}{3}y = 2 \end{cases} \] 2. Trouvez les dimensions d'un rectangle dont le périmètre est de 48 cm et dont la longueur est le double de la largeur. 3. Déterminez la nature et la solution (si elle existe) du système : \[ \begin{cases} 6x - 2y = 10 \\ -3x + y = -5 \end{cases} \] ### Résumé Les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues sont un outil puissant pour résoudre des problèmes où plusieurs grandeurs sont liées. Nous avons appris que : * Un système est constitué de deux équations du premier degré avec deux inconnues.\(ax + by = c\) * Les principales méthodes de résolution sont la **substitution** et la **combinaison linéaire**. * Graphiquement, la solution correspond au point d'intersection de deux droites. * Un système peut avoir une **solution unique**, **aucune solution** ou une **infinité de solutions**. La maîtrise de ces techniques est essentielle pour la résolution de problèmes plus complexes en mathématiques et dans d'autres disciplines scientifiques.