Chap12 : Suites numériques

# Chap12 : Suites numériques ## Généralités sur les suites Leçon 42: Calcul des termes et repérage sur l'un des axes du repère Leçon 43: Suites arithmétiques et suites géométriques numériques ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée aux suites numériques. Les suites sont des outils mathématiques fondamentaux qui permettent de modéliser des phénomènes évolutifs, qu'il s'agisse de l'évolution d'une population, de l'amortissement d'un prêt ou de la croissance d'un capital. Dans ce chapitre, nous allons découvrir ce qu'est une suite, comment calculer ses termes, comment les représenter graphiquement et nous étudierons en détail deux types particuliers de suites : les suites arithmétiques et les suites géométriques. ### Concepts Clés #### 1. Généralités sur les Suites Numériques Une suite numérique est une fonction qui, à chaque nombre entier naturel \( n \) (ou à chaque entier naturel supérieur ou égal à un certain entier \( n_0 \)), associe un nombre réel unique, appelé terme de la suite. * **Notation :** Une suite est généralement notée \( (u_n) \) ou \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Le terme d'indice \( n \) est noté \( u_n \). * **Termes :** Les termes d'une suite sont \( u_0, u_1, u_2, \dots, u_n, \dots \). L'indice \( n \) indique le rang du terme. #### 2. Modes de Définition d'une Suite Une suite peut être définie de deux manières principales : ##### a. Définition explicite Une suite est définie explicitement lorsque chaque terme \( u_n \) est exprimé directement en fonction de son indice \( n \). On a alors une formule du type \( u_n = f(n) \). * **Exemple :** La suite définie par \( u_n = 2n + 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Pour trouver \( u_5 \), on remplace \( n \) par 5 : \( u_5 = 2(5) + 3 = 13 \). ##### b. Définition par récurrence Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne son premier terme (ou ses premiers termes) et une relation permettant de calculer un terme à partir du ou des termes précédents. On a une relation du type \( u_{n+1} = f(u_n) \). * **Exemple :** La suite définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = 2u_n - 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * \( u_1 = 2u_0 - 1 = 2(1) - 1 = 1 \) * \( u_2 = 2u_1 - 1 = 2(1) - 1 = 1 \) #### 3. Calcul des Termes et Repérage Graphique ##### a. Calcul des termes * Pour une suite explicite, il suffit de remplacer \( n \) par la valeur de l'indice souhaité dans la formule. * Pour une suite par récurrence, il faut calculer les termes de proche en proche à partir du premier terme donné. ##### b. Repérage sur l'un des axes du repère Pour représenter graphiquement une suite \( (u_n) \) : * **Suite définie explicitement :** On place les points de coordonnées \( (n, u_n) \) dans un repère orthogonal. Les abscisses sont les indices \( n \) et les ordonnées sont les termes \( u_n \). * **Suite définie par récurrence :** Pour visualiser les termes \( u_n \) sur l'axe des abscisses (ou ordonnées), on peut utiliser la courbe de la fonction \( f \) telle que \( u_{n+1} = f(u_n) \) et la droite d'équation \( y=x \). On part de \( u_0 \) sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe de \( f \), on se déplace horizontalement jusqu'à la droite \( y=x \), puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour trouver \( u_1 \), et ainsi de suite. #### 4. Suites Arithmétiques ##### a. Définition Une suite \( (u_n) \) est arithmétique s'il existe un nombre réel \( r \) (appelé la **raison**) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = u_n + r \). Chaque terme s'obtient en ajoutant la raison au terme précédent. ##### b. Formule explicite Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme \( u_0 \) et de raison \( r \) est donné par : \[ u_n = u_0 + nr \] Si le premier terme est \( u_p \), alors : \[ u_n = u_p + (n-p)r \] ##### c. Somme des termes La somme des \( N \) premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : \[ S_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1} = N \frac{u_0 + u_{N-1}}{2} \] Plus généralement, la somme de \( k \) termes consécutifs est : \( S_k = k \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2} \). #### 5. Suites Géométriques ##### a. Définition Une suite \( (u_n) \) est géométrique s'il existe un nombre réel \( q \) (appelé la **raison**) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} = u_n \times q \). Chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par la raison. ##### b. Formule explicite Le terme général d'une suite géométrique de premier terme \( u_0 \) et de raison \( q \) est donné par : \[ u_n = u_0 \times q^n \] Si le premier terme est \( u_p \), alors : \[ u_n = u_p \times q^{n-p} \] ##### c. Somme des termes La somme des \( N \) premiers termes d'une suite géométrique de raison \( q \) (avec \( q \neq 1 \)) est donnée par : \[ S_N = u_0 + u_1 + \dots + u_{N-1} = u_0 \frac{1-q^N}{1-q} \] Plus généralement, la somme de \( k \) termes consécutifs est : \( S_k = \text{Premier terme} \times \frac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \). ### Vocabulaire * **Suite numérique :** Liste ordonnée de nombres réels indexés par des entiers naturels. * **Terme :** Un élément de la suite, noté \( u_n \) où \( n \) est son indice ou son rang. * **Indice (ou rang) :** Le nombre entier qui identifie la position d'un terme dans la suite (ex: \( n \) dans \( u_n \)). * **Définition explicite :** Formule donnant \( u_n \) directement en fonction de \( n \). * **Définition par récurrence :** Formule donnant \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \) (ou des termes précédents) et d'un ou plusieurs premiers termes. * **Suite arithmétique :** Suite dont chaque terme s'obtient en ajoutant une constante (la raison) au terme précédent. * **Raison (arithmétique) :** La constante \( r \) ajoutée à chaque terme pour obtenir le suivant (\( u_{n+1} - u_n = r \)). * **Suite géométrique :** Suite dont chaque terme s'obtient en multipliant par une constante (la raison) le terme précédent. * **Raison (géométrique) :** La constante \( q \) par laquelle on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant (\( u_{n+1} / u_n = q \), si \( u_n \neq 0 \)). * **Croissance / Décroissance :** Une suite est croissante si \( u_{n+1} \ge u_n \) pour tout \( n \) ; décroissante si \( u_{n+1} \le u_n \). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de termes Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = n^2 - 3n + 1 \) pour \( n \in \mathbb{N} \). Calculez \( u_0, u_1, u_2, u_3 \). * \( u_0 = 0^2 - 3(0) + 1 = 1 \) * \( u_1 = 1^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \) * \( u_2 = 2^2 - 3(2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 \) * \( u_3 = 3^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1 \) #### Exemple 2 : Suite définie par récurrence Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 4 \) et \( v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n + 1 \). Calculez \( v_1, v_2, v_3 \). * \( v_1 = \frac{1}{2}v_0 + 1 = \frac{1}{2}(4) + 1 = 2 + 1 = 3 \) * \( v_2 = \frac{1}{2}v_1 + 1 = \frac{1}{2}(3) + 1 = 1.5 + 1 = 2.5 \) * \( v_3 = \frac{1}{2}v_2 + 1 = \frac{1}{2}(2.5) + 1 = 1.25 + 1 = 2.25 \) #### Exemple 3 : Suite Arithmétique Soit une suite arithmétique \( (w_n) \) de premier terme \( w_0 = 5 \) et de raison \( r = -2 \). 1. Donnez l'expression de \( w_n \) en fonction de \( n \). \[ w_n = w_0 + nr = 5 + n(-2) = 5 - 2n \] 2. Calculez \( w_{10} \). \[ w_{10} = 5 - 2(10) = 5 - 20 = -15 \] 3. Calculez la somme des 5 premiers termes (de \( w_0 \) à \( w_4 \)). \( w_4 = 5 - 2(4) = 5 - 8 = -3 \) \[ S_5 = 5 \frac{w_0 + w_4}{2} = 5 \frac{5 + (-3)}{2} = 5 \frac{2}{2} = 5 \] #### Exemple 4 : Suite Géométrique Soit une suite géométrique \( (x_n) \) de premier terme \( x_0 = 3 \) et de raison \( q = 2 \). 1. Donnez l'expression de \( x_n \) en fonction de \( n \). \[ x_n = x_0 \times q^n = 3 \times 2^n \] 2. Calculez \( x_5 \). \[ x_5 = 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96 \] 3. Calculez la somme des 4 premiers termes (de \( x_0 \) à \( x_3 \)). \[ S_4 = x_0 \frac{1-q^4}{1-q} = 3 \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \frac{1-16}{-1} = 3 \frac{-15}{-1} = 3 \times 15 = 45 \] ### Exercices 1. Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 5 - 3n^2 \) pour \( n \in \mathbb{N} \). Calculez \( u_0, u_1, u_2 \). 2. Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 2 \) et \( v_{n+1} = -v_n + 3 \). Calculez \( v_1, v_2, v_3 \). 3. La suite \( (w_n) \) est-elle arithmétique ou géométrique ? Justifiez votre réponse et donnez sa raison si c'est le cas. \( w_0 = 1, w_1 = 4, w_2 = 7, w_3 = 10 \) 4. La suite \( (x_n) \) est-elle arithmétique ou géométrique ? Justifiez votre réponse et donnez sa raison si c'est le cas. \( x_0 = 2, x_1 = 6, x_2 = 18, x_3 = 54 \) 5. Soit une suite arithmétique \( (a_n) \) de premier terme \( a_0 = 10 \) et de raison \( r = 3 \). a. Donnez la formule explicite de \( a_n \). b. Calculez \( a_{15} \). c. Calculez la somme des 10 premiers termes (de \( a_0 \) à \( a_9 \)). 6. Soit une suite géométrique \( (b_n) \) de premier terme \( b_0 = 1 \) et de raison \( q = \frac{1}{2} \). a. Donnez la formule explicite de \( b_n \). b. Calculez \( b_4 \). c. Calculez la somme des 5 premiers termes (de \( b_0 \) à \( b_4 \)). ### Devoir à la maison 1. On considère la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par \( u_n = 2n + 1 \). a. Calculez \( u_0, u_1, u_2 \). b. Représentez graphiquement les cinq premiers termes de la suite dans un repère orthogonal. c. Démontrez que la suite \( (u_n) \) est arithmétique et précisez sa raison. 2. Un capital de 2000€ est placé au taux annuel de 3% à intérêts composés. On note \( C_n \) le capital au bout de \( n \) années. a. Déterminez \( C_0, C_1, C_2 \). b. La suite \( (C_n) \) est-elle arithmétique ou géométrique ? Justifiez votre réponse et donnez sa raison. c. Donnez l'expression de \( C_n \) en fonction de \( n \). d. Quel sera le capital au bout de 10 ans ? 3. On considère la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 1 \) et \( v_{n+1} = \frac{2v_n}{v_n + 1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). a. Calculez \( v_1, v_2, v_3 \). b. Tracez la courbe de la fonction \( f(x) = \frac{2x}{x+1} \) et la droite \( y=x \) dans un repère. Utilisez-les pour visualiser les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses. c. On pose \( w_n = \frac{1}{v_n} \). Calculez \( w_0, w_1, w_2, w_3 \). Démontrez que la suite \( (w_n) \) est arithmétique. ### Résumé Cette leçon a été une introduction aux suites numériques. Nous avons vu que les suites peuvent être définies de manière **explicite** (\( u_n = f(n) \)) ou par **récurrence** (\( u_{n+1} = f(u_n) \)). Le calcul des termes se fait en substituant l'indice pour les suites explicites ou en progressant terme par terme pour les suites récurrentes. La représentation graphique permet de visualiser l'évolution des termes. Nous avons ensuite étudié en détail deux types de suites particulières : * **Suites arithmétiques :** Chaque terme s'obtient en ajoutant une **raison** constante \( r \). La formule explicite est \[ u_n = u_0 + nr \] et la somme des \( N \) premiers termes est \[ S_N = N \frac{u_0 + u_{N-1}}{2} \]. * **Suites géométriques :** Chaque terme s'obtient en multipliant par une **raison** constante \( q \). La formule explicite est \[ u_n = u_0 \times q^n \] et la somme des \( N \) premiers termes est \[ S_N = u_0 \frac{1-q^N}{1-q} \] (si \( q \neq 1 \)). Ces concepts sont fondamentaux pour aborder des études plus approfondies en mathématiques et leurs applications dans divers domaines. ## Généralités sur les suites Leçon 42: Calcul des termes et repérage sur l'un des axes du repère ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les suites numériques ! Les suites sont des outils fondamentaux en mathématiques qui nous permettent de modéliser des phénomènes évolutifs, comme l'évolution d'une population, le montant d'un placement financier, ou la croissance d'une plante. Dans cette leçon, nous allons apprendre ce qu'est une suite numérique, comment calculer ses termes, et comment représenter ces termes sur un axe. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une suite numérique ? Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Chaque nombre de la suite est appelé un **terme**. Ces termes sont généralement indexés par des nombres entiers naturels. * **Notation**: Une suite est généralement notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ou simplement \( (u_n) \). Le terme général de la suite est \(u_n\). * **Indice**: Le petit \(n\) en bas à droite s'appelle l'indice. Il indique la position du terme dans la suite. Par convention, l'indice \(n\) commence souvent à 0 ou à 1, selon le contexte. * \(u_0\) est le premier terme (si \(n\) commence à 0). * \(u_1\) est le premier terme (si \(n\) commence à 1). * \(u_n\) est le terme de rang \(n\) (ou \((n+1)^{\text{ème}}\), si \(n\) commence à 0). #### Modes de définition d'une suite Il existe principalement deux manières de définir une suite numérique : ##### 1. Formule explicite (ou terme général) Une suite est définie de manière explicite si chaque terme \(u_n\) est exprimé directement en fonction de son indice \(n\). On peut ainsi calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents. * **Forme générale**: \(u_n = f(n)\), où \(f\) est une fonction. * **Exemple**: La suite \( (u_n) \) définie par \(u_n = 2n + 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). ##### 2. Relation de récurrence Une suite est définie par récurrence si chaque terme est exprimé en fonction du ou des termes précédents. Pour définir une suite par récurrence, il faut donc connaître un ou plusieurs termes initiaux. * **Forme générale**: \(u_{n+1} = f(u_n)\) et un premier terme \(u_0\) (ou \(u_1\)). * **Exemple**: La suite \( (u_n) \) définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = u_n - 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). #### Calcul des termes d'une suite ##### A partir d'une formule explicite Pour calculer les termes d'une suite définie par une formule explicite, il suffit de remplacer l'indice \(n\) par la valeur désirée. * **Exemple**: Soit la suite \( (u_n) \) définie par \(u_n = n^2 - 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). * Pour \(n=0\), \(u_0 = 0^2 - 1 = -1\). * Pour \(n=1\), \(u_1 = 1^2 - 1 = 0\). * Pour \(n=2\), \(u_2 = 2^2 - 1 = 3\). ##### A partir d'une relation de récurrence Pour calculer les termes d'une suite définie par récurrence, il faut partir du terme initial connu et calculer les termes les uns après les autres. * **Exemple**: Soit la suite \( (u_n) \) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). * On connaît \(u_0 = 2\). * Pour \(n=0\), \(u_{0+1} = u_1 = 3u_0 + 1 = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7\). * Pour \(n=1\), \(u_{1+1} = u_2 = 3u_1 + 1 = 3(7) + 1 = 21 + 1 = 22\). * Pour \(n=2\), \(u_{2+1} = u_3 = 3u_2 + 1 = 3(22) + 1 = 66 + 1 = 67\). #### Repérage des termes sur un axe Repérer les termes d'une suite sur un axe consiste à placer les valeurs des termes \(u_n\) sur une droite numérique (l'axe des réels). Cela permet de visualiser l'évolution de la suite. * **Méthode**: Dessinez une droite graduée. Pour chaque terme \(u_n\) calculé, placez un point ou une marque sur la droite à la position correspondant à sa valeur. * **Exemple**: Repérons les premiers termes de la suite \( (u_n) \) définie par \(u_n = 2n - 1\) pour \(n \in \{0, 1, 2, 3\} \). * \(u_0 = 2(0) - 1 = -1\) * \(u_1 = 2(1) - 1 = 1\) * \(u_2 = 2(2) - 1 = 3\) * \(u_3 = 2(3) - 1 = 5\) Sur la droite numérique, vous placerez des points aux positions -1, 1, 3, et 5. ### Vocabulaire * **Suite numérique**: Une liste ordonnée de nombres. * **Terme**: Chacun des nombres qui composent une suite. * **Indice**: Nombre entier naturel qui indique la position d'un terme dans la suite (ex: \(n\) dans \(u_n\)). * **Terme général**: L'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) (formule explicite). * **Relation de récurrence**: Formule qui exprime un terme en fonction du ou des termes précédents. * **Premier terme**: Le terme initial de la suite (souvent \(u_0\) ou \(u_1\)). ### Exemples #### Exemple 1: Suite définie par formule explicite Soit la suite \( (v_n) \) définie par \(v_n = rac{n}{n+1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\). Calculez les quatre premiers termes et représentez-les sur un axe. * \(v_0 = rac{0}{0+1} = 0\) * \(v_1 = rac{1}{1+1} = rac{1}{2} = 0.5\) * \(v_2 = rac{2}{2+1} = rac{2}{3} \approx 0.67\) * \(v_3 = rac{3}{3+1} = rac{3}{4} = 0.75\) Représentation sur l'axe : Marquer 0, 0.5, 0.67, 0.75 sur une droite numérique. #### Exemple 2: Suite définie par relation de récurrence Soit la suite \( (w_n) \) définie par \(w_0 = 10\) et \(w_{n+1} = rac{w_n}{2} + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Calculez les quatre premiers termes. * \(w_0 = 10\) * \(w_1 = rac{w_0}{2} + 1 = rac{10}{2} + 1 = 5 + 1 = 6\) * \(w_2 = rac{w_1}{2} + 1 = rac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4\) * \(w_3 = rac{w_2}{2} + 1 = rac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3\) ### Exercices #### Exercice 1: Calcul de termes (formule explicite) Soit la suite \( (a_n) \) définie par \(a_n = n^2 - 3n + 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Calculez \(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4\). #### Exercice 2: Calcul de termes (relation de récurrence) Soit la suite \( (b_n) \) définie par \(b_0 = -1\) et \(b_{n+1} = 2b_n + 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Calculez \(b_1, b_2, b_3, b_4\). #### Exercice 3: Représentation sur un axe Représentez sur un axe les termes \(u_0, u_1, u_2, u_3, u_4\) de la suite définie par \(u_n = 5 - n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). ### Devoir #### Question 1 Soit la suite \( (c_n) \) définie par \(c_n = rac{(-1)^n}{n+1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Calculez \(c_0, c_1, c_2, c_3, c_4\) et \(c_{10}\). #### Question 2 Soit la suite \( (d_n) \) définie par \(d_1 = 81\) et \(d_{n+1} = rac{d_n}{3}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\). Calculez \(d_2, d_3, d_4, d_5\). #### Question 3 La suite \( (e_n) \) est définie par \(e_n = 2^n - 5\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. Calculez \(e_0, e_1, e_2, e_3\). 2. Représentez ces termes sur un axe numérique. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les généralités des suites numériques. Nous avons appris qu'une suite est une liste ordonnée de nombres, où chaque terme \(u_n\) est identifié par son indice \(n\). Nous avons distingué deux manières principales de définir une suite : * Par une **formule explicite** (ou terme général) \(u_n = f(n)\), permettant de calculer directement n'importe quel terme. * Par une **relation de récurrence** \(u_{n+1} = f(u_n)\), nécessitant le calcul des termes précédents à partir d'un terme initial. Enfin, nous avons vu comment **représenter graphiquement** les termes d'une suite en les plaçant sur un axe numérique, ce qui nous aide à visualiser leur évolution.