Limites et continuité d’une fonction (suite)

# Limites et continuité d’une fonction (suite) ## Propriétés sur les fonctions continues Leçon 26: Prolongement par continuité ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer une propriété importante des fonctions continues : le prolongement par continuité. Il arrive qu'une fonction ne soit pas définie en un certain point, mais que son comportement à l'approche de ce point suggère qu'elle "devrait" y avoir une valeur. Le prolongement par continuité nous permet de "combler le trou" dans le domaine de définition de la fonction, de sorte que la nouvelle fonction ainsi définie soit continue en ce point. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que le prolongement par continuité ? Considérons une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) à l'exception d'un point \(a otin I\). Si la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) existe et est finie, c'est-à-dire si \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) où \(L\) est un nombre réel, alors nous pouvons définir une nouvelle fonction \(\tilde{f}\) (prononcé "f tilde") qui est continue en \(a\). La fonction \(\tilde{f}\) est définie comme suit : * \(\tilde{f}(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\) (c'est-à-dire pour \(x \neq a\)). * \(\tilde{f}(a) = L\). Cette fonction \(\tilde{f}\) est appelée le **prolongement par continuité** de \(f\) au point \(a\). #### Conditions pour le prolongement par continuité Pour qu'une fonction \(f\) puisse être prolongée par continuité en un point \(a\), deux conditions doivent être remplies : 1. La fonction \(f\) doit être définie dans un voisinage du point \(a\), mais pas nécessairement en \(a\) lui-même. C'est souvent le cas lorsque \(a\) est une valeur qui annule un dénominateur ou rend une expression indéfinie. 2. La limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) doit exister et être un nombre **fini** \(L\). Si la limite est infinie ou n'existe pas, il n'y a pas de prolongement par continuité possible. #### Méthode pour trouver le prolongement Pour déterminer si une fonction \(f\) peut être prolongée par continuité en un point \(a\) et, le cas échéant, trouver son prolongement : 1. **Identifier le point \(a\)** où la fonction \(f\) n'est pas définie (point de discontinuité ou d'indétermination). 2. **Calculer la limite** de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\). Utilisez les techniques de calcul de limites (factorisation, multiplication par l'expression conjuguée, équivalents, règle de l'Hôpital si autorisée, etc.). 3. **Analyser la limite :** * Si \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) (où \(L\) est un nombre réel fini), alors le prolongement par continuité existe. Définissez la fonction prolongée \(\tilde{f}\) comme décrit ci-dessus. * Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty\) ou si la limite n'existe pas, alors la fonction ne peut pas être prolongée par continuité en \(a\). ### Vocabulaire * **Prolongement par continuité :** Processus d'extension du domaine de définition d'une fonction à un point où elle était auparavant indéfinie, de manière à ce que la fonction résultante soit continue à ce point. * **Limite finie :** Une limite qui converge vers un nombre réel spécifique (par exemple, \(L\)). * **Point d'indétermination :** Un point où la fonction prend une forme indéterminée telle que \(0/0\), \(\infty/ \infty\), \(\infty - \infty\), etc., et où sa valeur n'est pas directement calculable. C'est souvent là que l'on cherche un prolongement. ### Exemples #### Exemple 1 Considérons la fonction \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). Cette fonction n'est pas définie en \(x = 1\) car le dénominateur s'annule. Calculons la limite lorsque \(x\) tend vers \(1\) : \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \] Puisque la limite est \(2\) (un nombre fini), la fonction \(f\) peut être prolongée par continuité en \(x = 1\). Le prolongement \(\tilde{f}\) est défini par : \begin{cases} \tilde{f}(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ \tilde{f}(1) = 2 & \end{cases} #### Exemple 2 Considérons la fonction \(g(x) = \frac{\sin x}{x}\). Cette fonction n'est pas définie en \(x = 0\). On connaît la limite fondamentale : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] Puisque la limite est \(1\) (un nombre fini), la fonction \(g\) peut être prolongée par continuité en \(x = 0\). Le prolongement \(\tilde{g}\) est défini par : \begin{cases} \tilde{g}(x) = \frac{\sin x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ \tilde{g}(0) = 1 & \end{cases} ### Exercices Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez si elle peut être prolongée par continuité au point indiqué. Si oui, donnez la définition du prolongement. 1. \(f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}\) au point \(x = 1\). 2. \(g(x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\) au point \(x = 0\). 3. \(h(x) = \frac{1}{x}\) au point \(x = 0\). 4. \(k(x) = \frac{\cos x - 1}{x^2}\) au point \(x = 0\). ### Devoir 1. Soit la fonction \(f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}\). Montrez qu'elle peut être prolongée par continuité en \(x = 2\) et définissez son prolongement. 2. Soit la fonction \(g(x) = \frac{e^{2x} - 1}{x}\). Déterminez si elle admet un prolongement par continuité en \(x = 0\). Si oui, définissez-le. 3. Considérons la fonction \(h(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\). Déterminez les valeurs de \(a\) et \(b\) pour lesquelles \(h(x)\) admet un prolongement par continuité en \(x = 3\) et que ce prolongement soit égal à \(5\) en ce point. ### Résumé Le prolongement par continuité est un outil puissant pour "réparer" des fonctions qui présentent une discontinuité "artificielle" en un point. Il est possible si et seulement si la limite de la fonction en ce point existe et est finie. La fonction prolongée \(\tilde{f}\) coïncide avec la fonction originale partout où celle-ci est définie et prend la valeur de la limite au point de discontinuité, assurant ainsi la continuité.