Séries statistiques regroupées en classes de même amplitude (suite)

# Séries statistiques regroupées en classes de même amplitude (suite) ## Caractéristiques de position et de dispersion ### 1. Introduction Dans la leçon précédente, nous avons appris à regrouper des données statistiques en classes de même amplitude. Aujourd'hui, nous allons aller plus loin en étudiant comment caractériser ces séries de données. Nous allons calculer et interpréter des mesures qui nous renseignent sur "où se situent" nos données (caractéristiques de position) et sur "comment elles sont étalées" (caractéristiques de dispersion). Ces outils sont essentiels pour analyser et comprendre n'importe quelle série statistique. ### 2. Rappel : Séries statistiques regroupées en classes Lorsque nous avons un grand nombre de données, il est souvent plus simple de les regrouper en intervalles appelés **classes**. Une classe est définie par une borne inférieure et une borne supérieure. L'**amplitude** d'une classe est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure. Le **centre de classe** est le milieu de l'intervalle. #### Effectifs et Fréquences * L'**effectif** d'une classe est le nombre de valeurs appartenant à cette classe. * La **fréquence** d'une classe est le rapport de son effectif sur l'effectif total. \[ f_i = \frac{n_i}{N} \] * Les **effectifs cumulés croissants** (ECC) et les **fréquences cumulées croissantes** (FCC) nous indiquent le nombre (ou la proportion) de données inférieures ou égales à la borne supérieure de chaque classe. Ils sont cruciaux pour le calcul des caractéristiques de position. ### 3. Caractéristiques de position Les caractéristiques de position nous donnent une idée de la valeur "centrale" ou "typique" des données. #### La Médiane (\( Me \)) La médiane est la valeur qui partage la série statistique en deux parties égales. 50% des données sont inférieures ou égales à la médiane, et 50% sont supérieures ou égales. Pour une série regroupée en classes, la médiane est estimée par **interpolation linéaire** : 1. Calculez l'effectif total \( N \) et l'effectif médian \( \frac{N}{2} \). 2. Localisez la **classe médiane** : c'est la première classe dont l'effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à \( \frac{N}{2} \). 3. Utilisez la formule d'interpolation : \[ Me = L + a \times \frac{(\frac{N}{2} - F_{avant})}{f_{med}} \] Où : * \( L \) : borne inférieure de la classe médiane * \( a \) : amplitude de la classe médiane * \( N \) : effectif total * \( F_{avant} \) : effectif cumulé croissant de la classe *précédente* à la classe médiane * \( f_{med} \) : effectif de la classe médiane #### Les Quartiles (\( Q_1 \) et \( Q_3 \)) Les quartiles divisent la série en quatre parties égales : * Le **premier quartile (\( Q_1 \))** est la valeur qui sépare les 25% les plus petites données des 75% restantes. * Le **troisième quartile (\( Q_3 \))** est la valeur qui sépare les 75% les plus petites données des 25% restantes. Le calcul de \( Q_1 \) et \( Q_3 \) est similaire à celui de la médiane, mais on utilise \( \frac{N}{4} \) pour \( Q_1 \) et \( \frac{3N}{4} \) pour \( Q_3 \) : * Pour \( Q_1 \) : on cherche la classe dont l'ECC est \( \ge \frac{N}{4} \) et on applique : \[ Q_1 = L + a \times \frac{(\frac{N}{4} - F_{avant})}{f_{Q1}} \] * Pour \( Q_3 \) : on cherche la classe dont l'ECC est \( \ge \frac{3N}{4} \) et on applique : \[ Q_3 = L + a \times \frac{(\frac{3N}{4} - F_{avant})}{f_{Q3}} \] ### 4. Caractéristiques de dispersion Les caractéristiques de dispersion nous renseignent sur l'étalement des données autour d'une valeur centrale. #### L'Étendue L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série. Pour une série regroupée en classes, c'est la différence entre la borne supérieure de la dernière classe et la borne inférieure de la première classe. #### L'Intervalle Interquartile (\( IIQ \)) L'intervalle interquartile est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile : \[ IIQ = Q_3 - Q_1 \]. Il représente l'étendue des 50% des données centrales de la série et est moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue. #### La Moyenne (\( \bar{x} \)) Avant de parler de variance et d'écart-type, rappelons le calcul de la moyenne pour des données regroupées en classes. On utilise le **centre de chaque classe** pour estimer les valeurs : \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i c_i}{N} \] Où : * \( n_i \) : effectif de la classe \( i \) * \( c_i \) : centre de la classe \( i \) * \( N \) : effectif total * \( k \) : nombre total de classes #### La Variance (\( V \) ou \( \sigma^2 \)) La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne. Plus la variance est grande, plus les données sont dispersées. Pour une série regroupée en classes : \[ V = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (c_i - \bar{x})^2}{N} \] Ou, en utilisant la formule de König-Huygens, souvent plus simple pour le calcul : \[ V = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i c_i^2}{N} - \bar{x}^2 \] #### L'Écart-type (\( \sigma \)) L'écart-type est la racine carrée de la variance : \[ \sigma = \sqrt{V} \]. Il est exprimé dans la même unité que les données, ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance. Un petit écart-type indique que les données sont regroupées autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart-type indique qu'elles sont très étalées. ### 5. Vocabulaire * **Médiane (\( Me \))** : Valeur qui divise la série en deux parties égales (50% en dessous, 50% au-dessus). * **Quartile (\( Q_1, Q_3 \))** : Valeurs divisant la série en quatre parties égales (25%, 75%). * **Étendue** : Différence entre la valeur maximale et minimale d'une série. * **Intervalle Interquartile (\( IIQ \))** : \( Q_3 - Q_1 \), étendue des 50% des données centrales. * **Moyenne (\( \bar{x} \))** : Somme des valeurs (estimées par les centres de classes) divisée par l'effectif total. * **Variance (\( V \) ou \( \sigma^2 \))** : Mesure de la dispersion des données par rapport à la moyenne, moyenne des carrés des écarts à la moyenne. * **Écart-type (\( \sigma \))** : Racine carrée de la variance, donne une mesure de dispersion dans l'unité des données. * **Centre de classe** : Milieu d'une classe (borne inférieure + borne supérieure) / 2. * **Interpolation linéaire** : Méthode d'estimation d'une valeur à l'intérieur d'un intervalle. ### 6. Exemples pratiques Considérons la répartition des salaires mensuels (en €) d'une entreprise : | Salaires (€) | Effectif (\( n_i \)) | Centre de classe (\( c_i \)) | ECC (\( F_i \)) | \( n_i c_i \) | \( n_i c_i^2 \) | |---|---|---|---|---|---| | [1500 ; 2000[ | 10 | 1750 | 10 | 17500 | 30625000 | | [2000 ; 2500[ | 25 | 2250 | 35 | 56250 | 126562500 | | [2500 ; 3000[ | 40 | 2750 | 75 | 110000 | 302500000 | | [3000 ; 3500[ | 15 | 3250 | 90 | 48750 | 158437500 | | [3500 ; 4000[ | 10 | 3750 | 100 | 37500 | 140625000 | | **Total** | **N = 100** | | | **\( \sum n_i c_i = 270000 \)** | **\( \sum n_i c_i^2 = 758125000 \)** | #### Calcul de la Médiane (\( Me \)) 1. Effectif total \( N = 100 \). La médiane correspond à la \( 50^{ème} \) valeur (\( \frac{N}{2} = 50 \)). 2. La classe médiane est [2500 ; 3000[ car son ECC (75) est le premier \( \ge 50 \). 3. \( L = 2500 \), \( a = 500 \), \( F_{avant} = 35 \) (ECC de la classe précédente), \( f_{med} = 40 \). \[ Me = 2500 + 500 \times \frac{(50 - 35)}{40} = 2500 + 500 \times \frac{15}{40} = 2500 + 187.5 = 2687.5 \] La médiane des salaires est de \( 2687.5 \) €. 50% des employés gagnent moins de \( 2687.5 \) €. #### Calcul des Quartiles (\( Q_1 \) et \( Q_3 \)) 1. Pour \( Q_1 \) : \( \frac{N}{4} = \frac{100}{4} = 25 \). La classe de \( Q_1 \) est [2000 ; 2500[ (ECC = 35 \( \ge 25 \)). \( L = 2000 \), \( a = 500 \), \( F_{avant} = 10 \), \( f_{Q1} = 25 \). \[ Q_1 = 2000 + 500 \times \frac{(25 - 10)}{25} = 2000 + 500 \times \frac{15}{25} = 2000 + 300 = 2300 \] Le premier quartile est de \( 2300 \) €. 2. Pour \( Q_3 \) : \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \). La classe de \( Q_3 \) est [2500 ; 3000[ (ECC = 75 \( \ge 75 \)). \( L = 2500 \), \( a = 500 \), \( F_{avant} = 35 \), \( f_{Q3} = 40 \). \[ Q_3 = 2500 + 500 \times \frac{(75 - 35)}{40} = 2500 + 500 \times \frac{40}{40} = 2500 + 500 = 3000 \] Le troisième quartile est de \( 3000 \) €. #### Calcul de l'Étendue et de l'Intervalle Interquartile (\( IIQ \)) * Étendue : \( 4000 - 1500 = 2500 \) €. * \( IIQ = Q_3 - Q_1 = 3000 - 2300 = 700 \) €. Cela signifie que 50% des salaires centraux s'étendent sur 700 €. #### Calcul de la Moyenne (\( \bar{x} \)) \[ \bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{N} = \frac{270000}{100} = 2700 \] Le salaire moyen est de \( 2700 \) €. #### Calcul de la Variance (\( V \)) et de l'Écart-type (\( \sigma \)) En utilisant la formule de König-Huygens : \[ V = \frac{\sum n_i c_i^2}{N} - \bar{x}^2 = \frac{758125000}{100} - 2700^2 \] \[ V = 7581250 - 7290000 = 291250 \] \[ \sigma = \sqrt{V} = \sqrt{291250} \approx 539.68 \] L'écart-type est d'environ \( 539.68 \) €. Cela signifie qu'en moyenne, les salaires s'écartent de \( 539.68 \) € de la moyenne de \( 2700 \) €. ### 7. Exercices Voici les notes obtenues par un groupe d'élèves à un examen, regroupées en classes : | Notes | Effectif | |---|---| | [0 ; 4[ | 2 | | [4 ; 8[ | 6 | | [8 ; 12[ | 10 | | [12 ; 16[ | 8 | | [16 ; 20] | 4 | Calculez et interprétez : 1. La médiane (\( Me \)) 2. Le premier quartile (\( Q_1 \)) 3. Le troisième quartile (\( Q_3 \)) 4. L'étendue 5. L'intervalle interquartile (\( IIQ \)) 6. La moyenne (\( \bar{x} \)) 7. La variance (\( V \)) et l'écart-type (\( \sigma \)) ### 8. Devoir Une étude a été menée sur le temps de sommeil quotidien (en heures) d'un échantillon de personnes. Les résultats sont présentés ci-dessous : | Temps de sommeil (h) | Nombre de personnes | |---|---| | [4 ; 6[ | 15 | | [6 ; 8[ | 40 | | [8 ; 10[ | 30 | | [10 ; 12[ | 15 | 1. Complétez un tableau avec les centres de classes, les ECC, \( n_i c_i \) et \( n_i c_i^2 \). 2. Déterminez les caractéristiques de position : médiane, premier quartile et troisième quartile. Interprétez chaque valeur. 3. Déterminez les caractéristiques de dispersion : étendue, intervalle interquartile, moyenne, variance et écart-type. Interprétez l'écart-type. 4. Un individu dort 7 heures par nuit. Comment se situe-t-il par rapport à la moyenne ? Et par rapport aux quartiles ? ### 9. Résumé Dans cette leçon, nous avons approfondi notre compréhension des séries statistiques regroupées en classes en explorant leurs caractéristiques de position et de dispersion. Les **caractéristiques de position** comme la **médiane (\( Me \))**, le **premier quartile (\( Q_1 \))** et le **troisième quartile (\( Q_3 \))** nous aident à situer les données et à comprendre leur centre. La médiane partage la série en deux, tandis que \( Q_1 \) et \( Q_3 \) la divisent en quarts. Les **caractéristiques de dispersion** comme l'**étendue**, l'**intervalle interquartile (\( IIQ \))**, la **variance (\( V \))** et l'**écart-type (\( \sigma \))** nous renseignent sur la façon dont les données sont étalées ou concentrées autour de la moyenne. Ces outils statistiques sont fondamentaux pour analyser et présenter de manière concise des ensembles de données complexes. ## Histogrammes ### Introduction Cet ensemble de notes de cours fait suite à notre exploration des séries statistiques. Nous allons nous concentrer sur une représentation graphique essentielle pour les données regroupées en classes de même amplitude : l'histogramme. L'histogramme est un outil puissant pour visualiser rapidement la distribution des données et en tirer des premières conclusions. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un histogramme ? Un histogramme est un graphique composé de rectangles adjacents (collés les uns aux autres). Chaque rectangle représente une classe de données d'une série statistique. C'est une représentation idéale pour les variables quantitatives continues ou discrètes regroupées en classes. #### Pourquoi utiliser un histogramme ? L'histogramme est particulièrement utile pour : * Visualiser la forme de la distribution des données (symétrie, asymétrie, présence de plusieurs modes). * Identifier la ou les classes où les données sont les plus concentrées. * Comprendre la dispersion des données. Il est le plus pertinent lorsque les classes de la série statistique ont la *même amplitude*. #### Construction d'un histogramme Pour construire un histogramme, suivez ces étapes : 1. **Axe des abscisses (horizontal) :** Représente les intervalles des classes de la variable étudiée. Les bornes des classes sont placées sur cet axe. 2. **Axe des ordonnées (vertical) :** Représente les effectifs (ou les fréquences) des classes. 3. **Les rectangles :** * La base de chaque rectangle correspond à l'amplitude de la classe sur l'axe des abscisses. * Dans le cas où toutes les classes ont la *même amplitude*, la hauteur de chaque rectangle est directement proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) de la classe. Vous pouvez donc utiliser l'effectif (ou la fréquence) comme hauteur. * Les rectangles sont tracés adjacents, sans espace entre eux, car ils représentent des intervalles de valeurs continues. * L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. Pour des classes de même amplitude, cela signifie que la hauteur est aussi proportionnelle à l'effectif. #### Interprétation d'un histogramme Une fois l'histogramme tracé, vous pouvez l'analyser : * **Forme de la distribution :** Est-elle symétrique ? Asymétrique (penchée à gauche ou à droite) ? Présente-t-elle plusieurs "pics" (distribution bimodale ou multimodale) ? * **Classe modale :** La classe correspondant au rectangle le plus haut est la classe modale. C'est là que les données sont les plus fréquentes. * **Dispersion :** L'étalement des rectangles indique la dispersion des données. Des rectangles étroits et hauts suggèrent une faible dispersion, tandis que des rectangles larges et bas indiquent une plus grande dispersion. ### Vocabulaire Clé * **Histogramme :** Représentation graphique d'une série statistique quantitative regroupée en classes, formée de rectangles adjacents. * **Classe :** Un intervalle de valeurs qui regroupe une partie des données d'une série statistique. Exemple : \[ [10; 20[ \]. * **Amplitude (d'une classe) :** La longueur de l'intervalle d'une classe. Pour une classe \[ [a;b[ \], l'amplitude est \( b-a \). * **Effectif (d'une classe) :** Le nombre d'observations (données) qui appartiennent à une classe donnée. * **Fréquence (d'une classe) :** La proportion de l'effectif d'une classe par rapport à l'effectif total. Elle se calcule par la formule : \[ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la classe}}{\text{Effectif total}} \]. ### Exemples Considérons le temps (en minutes) mis par 50 élèves pour se rendre au lycée, regroupé en classes de même amplitude : | Temps (minutes) | Effectif | | :-------------- | :------- | | \[ [0;10[ \] | 8 | | \[ [10;20[ \] | 15 | | \[ [20;30[ \] | 12 | | \[ [30;40[ \] | 10 | | \[ [40;50[ \] | 5 | | **Total** | **50** | **Construction de l'histogramme :** 1. **Axe des abscisses :** Graduez de 0 à 50 avec des marques à 0, 10, 20, 30, 40, 50 pour les bornes des classes. Chaque segment représente une amplitude de 10 minutes. 2. **Axe des ordonnées :** Graduez pour représenter les effectifs. L'effectif maximal est 15, donc une graduation jusqu'à 20 serait appropriée. 3. **Rectangles :** * Pour la classe \[ [0;10[ \], dessinez un rectangle dont la base s'étend de 0 à 10 et la hauteur atteint 8 sur l'axe des effectifs. * Pour la classe \[ [10;20[ \], dessinez un rectangle dont la base s'étend de 10 à 20 et la hauteur atteint 15. * Continuez de la même manière pour les classes \[ [20;30[ \] (hauteur 12), \[ [30;40[ \] (hauteur 10) et \[ [40;50[ \] (hauteur 5). L'histogramme ainsi obtenu montrera visuellement que la classe \[ [10;20[ \] est la classe modale, indiquant que le temps de trajet le plus fréquent est entre 10 et 20 minutes. ### Exercices 1. Une étude sur le poids (en kg) de nouveau-nés a donné les résultats suivants, regroupés en classes de même amplitude : | Poids (kg) | Effectif | | :------------ | :------- | | \[ [2.0;2.5[ \] | 3 | | \[ [2.5;3.0[ \] | 10 | | \[ [3.0;3.5[ \] | 18 | | \[ [3.5;4.0[ \] | 7 | | \[ [4.0;4.5[ \] | 2 | * a) Quelle est l'amplitude de chaque classe ? * b) Construisez l'histogramme représentant cette série. * c) Identifiez la classe modale. * d) Calculez la fréquence relative de la classe \[ [3.0;3.5[ \]. ### Devoir 1. Le tableau ci-dessous indique la répartition des salaires horaires (en euros) dans une petite entreprise : | Salaire (euros) | Effectif | | :-------------- | :------- | | \[ [10;12[ \] | 10 | | \[ [12;14[ \] | 25 | | \[ [14;16[ \] | 30 | | \[ [16;18[ \] | 15 | | \[ [18;20[ \] | 5 | * a) Tracez l'histogramme de cette série statistique. * b) Décrivez la forme de la distribution des salaires observée à partir de votre histogramme. * c) Quelle proportion d'employés gagne moins de 14 euros de l'heure ? ### Résumé L'histogramme est une représentation graphique clé pour les séries statistiques regroupées en classes, en particulier lorsque ces classes ont la même amplitude. Il se compose de rectangles adjacents dont la base représente l'amplitude de la classe et la hauteur l'effectif (ou la fréquence) de cette classe. Cet outil visuel permet une analyse rapide de la distribution des données, en mettant en évidence les zones de forte concentration (classes modales) et la forme générale de la répartition. ## Histogrammes ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des séries statistiques en étudiant les histogrammes. Un histogramme est un outil graphique essentiel pour visualiser la distribution de données quantitatives qui ont été regroupées en classes. Nous nous concentrerons particulièrement sur les cas où ces classes ont la même amplitude, ce qui simplifie grandement leur construction et leur interprétation. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un histogramme ? Un histogramme est une représentation graphique utilisée pour montrer la distribution d'une variable quantitative continue ou discrète dont les valeurs sont regroupées en classes (intervalles). Il est composé de rectangles contigus. #### Différence entre diagramme en bâtons et histogramme * **Diagramme en bâtons** : Utilisé pour les variables discrètes (nombre de frères et sœurs, nombre de pièces) ou qualitatives. Les "bâtons" sont généralement séparés, car les catégories sont distinctes ou les valeurs exactes. La hauteur représente l'effectif ou la fréquence. * **Histogramme** : Utilisé pour les variables quantitatives continues (tailles, poids, temps) ou discrètes regroupées en classes. Les rectangles sont **contigus** (se touchent) pour montrer la continuité de la variable. La base de chaque rectangle représente l'amplitude de la classe et la hauteur est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. #### Construction d'un histogramme pour des classes de même amplitude Pour construire un histogramme lorsque les classes ont la même amplitude, suivez ces étapes : 1. **Identifier les classes** : Ce sont les intervalles de valeurs de la variable (par exemple, \( [0; 10[ \), \( [10; 20[ \), etc.). 2. **Définir les axes** : * L'axe des abscisses (horizontal) représente les valeurs de la variable, avec les bornes des classes clairement indiquées. * L'axe des ordonnées (vertical) représente les effectifs ou les fréquences des classes. 3. **Dessiner les rectangles** : * Pour chaque classe, dessinez un rectangle. * La **base** du rectangle correspond à l'amplitude de la classe sur l'axe des abscisses. * La **hauteur** du rectangle est directement égale à l'effectif (ou à la fréquence) de cette classe sur l'axe des ordonnées. Cette simplification est possible uniquement quand les amplitudes des classes sont égales. #### Interprétation d'un histogramme Un histogramme permet de visualiser rapidement : * La **forme de la distribution** : Est-elle symétrique, asymétrique (étalée vers la gauche ou la droite) ? * La **concentration des données** : Où se situent la plupart des observations ? * La **classe modale** : C'est la classe qui a le plus grand effectif (ou la plus grande fréquence), et donc le rectangle le plus haut. C'est l'équivalent du mode pour les données regroupées. ### Vocabulaire * **Histogramme** : Représentation graphique d'une distribution de fréquences pour des données quantitatives regroupées en classes. Les rectangles sont contigus. * **Classe** : Intervalle de valeurs dans lequel les données d'une série statistique sont regroupées. Une classe est généralement notée \( [a; b[ \). * **Amplitude d'une classe** : La longueur de l'intervalle d'une classe. Pour une classe \( [a; b[ \), l'amplitude est \( b - a \). * **Effectif d'une classe** : Le nombre de données qui tombent dans une classe donnée. * **Fréquence d'une classe** : La proportion des données qui tombent dans une classe donnée, calculée par la formule : \[ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la classe}}{\text{Effectif total}} \] ### Exemples #### Exemple de construction d'un histogramme Imaginons que nous ayons relevé les temps de trajet quotidiens (en minutes) de 50 élèves pour se rendre au lycée. Les données ont été regroupées dans le tableau suivant : | Temps de trajet (min) | Effectif (nombre d'élèves) | Fréquence | | :-------------------- | :------------------------- | :-------- | | \( [0; 10[ \) | 5 | 0,10 | | \( [10; 20[ \) | 10 | 0,20 | | \( [20; 30[ \) | 15 | 0,30 | | \( [30; 40[ \) | 12 | 0,24 | | \( [40; 50[ \) | 8 | 0,16 | | **Total** | **50** | **1,00** | **Calcul des fréquences** : * Pour la classe \( [0; 10[ \) : \( \frac{5}{50} = 0,1 \) * Pour la classe \( [10; 20[ \) : \( \frac{10}{50} = 0,2 \) * Pour la classe \( [20; 30[ \) : \( \frac{15}{50} = 0,3 \) * etc. **Étapes de construction de l'histogramme** : 1. **Axes** : Dessinez un axe horizontal pour le temps de trajet (0, 10, 20, 30, 40, 50 minutes) et un axe vertical pour l'effectif (ou la fréquence, selon votre choix d'échelle). Dans cet exemple, nous utiliserons l'effectif. 2. **Rectangles** : * Pour la classe \( [0; 10[ \) : Dessinez un rectangle de base allant de 0 à 10 sur l'axe des abscisses, et de hauteur 5 sur l'axe des ordonnées. * Pour la classe \( [10; 20[ \) : Dessinez un rectangle de base allant de 10 à 20, et de hauteur 10. * Continuez de la même manière pour toutes les classes. Les rectangles se toucheront, car les classes sont contiguës et de même amplitude. En observant l'histogramme, on peut voir que la plupart des élèves ont un temps de trajet entre 20 et 30 minutes (classe modale). ### Exercices 1. Expliquez dans quelles situations il est plus approprié d'utiliser un histogramme plutôt qu'un diagramme en bâtons. 2. Voici les résultats d'un sondage sur le nombre d'heures par semaine que des lycéens consacrent au sport, regroupés en classes de même amplitude : * \( [0; 2[ \) heures : 10 élèves * \( [2; 4[ \) heures : 25 élèves * \( [4; 6[ \) heures : 30 élèves * \( [6; 8[ \) heures : 15 élèves * \( [8; 10[ \) heures : 5 élèves a) Quel est l'effectif total d'élèves interrogés ? b) Calculez la fréquence (en pourcentage) pour chaque classe. c) Décrivez comment vous construiriez l'histogramme associé à cette série statistique (sans le dessiner). ### Devoirs 1. Le tableau suivant présente la répartition des âges (en années) des clients d'une bibliothèque sur une journée, regroupés en classes de même amplitude : * \( [0; 15[ \) : 30 clients * \( [15; 30[ \) : 50 clients * \( [30; 45[ \) : 40 clients * \( [45; 60[ \) : 25 clients * \( [60; 75[ \) : 15 clients a) Quelle est l'amplitude de ces classes ? b) Représentez cette série statistique par un histogramme. (Dessinez-le sur une feuille à carreaux, en indiquant les échelles sur les axes). c) Quelle est la classe modale ? Justifiez votre réponse. d) Quel pourcentage de clients ont moins de 30 ans ? ### Résumé Un histogramme est une représentation graphique puissante pour les séries statistiques regroupées en classes. Pour les classes de même amplitude, chaque rectangle de l'histogramme a une base qui correspond à l'amplitude de la classe et une hauteur proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de cette classe. Les rectangles sont contigus, soulignant la nature continue des données. Il permet de visualiser rapidement la forme de la distribution des données et d'identifier la classe modale. ## Histogrammes ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les histogrammes ! Après avoir appris à regrouper des données en classes de même amplitude, il est essentiel de savoir comment visualiser ces données de manière claire et efficace. L'histogramme est un outil graphique puissant qui nous permet de représenter des séries statistiques regroupées en classes, en particulier lorsque les données sont continues ou que le nombre de valeurs est trop grand pour être représenté individuellement. Il nous aidera à percevoir rapidement la distribution, la dispersion et la forme générale de la série. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un histogramme ? Un histogramme est un type de graphique qui représente la distribution de fréquences de données continues ou regroupées en classes. Il est constitué de rectangles juxtaposés (c'est-à-dire collés les uns aux autres). Contrairement aux diagrammes en bâtons ou aux diagrammes à barres qui représentent des données discrètes ou catégorielles, les histogrammes sont spécifiquement utilisés pour des données quantitatives continues. #### Quand utiliser un histogramme ? Les histogrammes sont particulièrement adaptés pour : * Visualiser la distribution d'une série statistique regroupée en classes. * Comparer la forme, le centre et l'étendue de différentes distributions. * Identifier la présence de pics (modes) ou de lacunes dans les données. #### Construction d'un histogramme avec des classes de même amplitude Lorsque les classes d'une série statistique ont toutes la même amplitude (la même largeur), la construction de l'histogramme est simplifiée : 1. **Axe des abscisses (horizontal) :** Il est gradué avec les bornes des classes. Chaque segment représente une classe et sa largeur est l'amplitude de cette classe. Puisque les amplitudes sont égales, toutes les bases des rectangles auront la même largeur. 2. **Axe des ordonnées (vertical) :** Il est gradué avec les effectifs (ou les fréquences) de chaque classe. 3. **Rectangles :** Pour chaque classe, on dessine un rectangle : * Sa base s'étend sur l'intervalle de la classe sur l'axe des abscisses. * Sa hauteur est *directement proportionnelle* à l'effectif (ou à la fréquence) de la classe. Étant donné que les amplitudes des classes sont égales, la hauteur du rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence). Souvent, la hauteur est *égale* à l'effectif (ou à la fréquence) si l'échelle le permet. L'aire de chaque rectangle est alors également proportionnelle à l'effectif de la classe. **Propriété importante :** Pour des classes de même amplitude, la hauteur du rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence) de la classe. #### Interprétation d'un histogramme Un histogramme permet d'observer : * **La forme de la distribution :** Est-elle symétrique, asymétrique (étalée à droite ou à gauche), unimodale (un pic), bimodale (deux pics) ? * **Le centre de la distribution :** Où se situe la majorité des données ? * **L'étendue :** Quelle est la plage de valeurs couverte par les données ? * **Les valeurs aberrantes :** Y a-t-il des données très éloignées des autres ? ### Vocabulaire * **Histogramme :** Représentation graphique d'une série statistique regroupée en classes, utilisant des rectangles juxtaposés dont l'aire est proportionnelle à l'effectif de la classe. * **Classe :** Intervalle de valeurs dans lequel les données sont regroupées. Par exemple, \( [10; 20[ \). * **Amplitude de classe :** La largeur d'une classe, calculée par la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure. Pour la classe \( [a; b[ \), l'amplitude est \( b - a \). * **Effectif (d'une classe) :** Le nombre d'individus ou de données qui tombent dans une classe donnée. * **Fréquence (d'une classe) :** La proportion de l'effectif d'une classe par rapport à l'effectif total. \( \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la classe}}{\text{Effectif total}} \). ### Exemples **Exemple 1 : Construction d'un histogramme** Considérons les notes sur 20 obtenues par 30 élèves à un contrôle, regroupées en classes de même amplitude de 4 points : | Classes de notes | Effectifs | | :--------------- | :-------- | | \( [0; 4[ \) | 2 | | \( [4; 8[ \) | 5 | | \( [8; 12[ \) | 10 | | \( [12; 16[ \) | 8 | | \( [16; 20] \) | 5 | | **Total** | **30** | **Étapes pour construire l'histogramme :** 1. **Déterminer l'amplitude des classes :** Toutes les classes ont une amplitude de \( 4 - 0 = 4 \) points (ou \( 20 - 16 = 4 \) pour la dernière, qui est \( [16; 20] \)). 2. **Axe des abscisses :** Graduer de 0 à 20, en marquant les bornes des classes (0, 4, 8, 12, 16, 20). 3. **Axe des ordonnées :** Graduer de 0 jusqu'à l'effectif maximal (ici, 10). Chaque unité sur l'axe représente un certain nombre d'élèves. 4. **Tracer les rectangles :** * Pour la classe \( [0; 4[ \), dessiner un rectangle de base \( [0; 4[ \) et de hauteur 2. * Pour la classe \( [4; 8[ \), dessiner un rectangle de base \( [4; 8[ \) et de hauteur 5. * Et ainsi de suite pour toutes les classes. Les rectangles doivent être juxtaposés, c'est-à-dire se toucher, car les données sont continues. ### Exercices **Exercice 1 :** Une enquête a été menée sur le temps (en minutes) passé par des élèves devant les écrans un jour de semaine. Les résultats sont regroupés comme suit : | Classes de temps (min) | Effectifs | | :--------------------- | :-------- | | \( [0; 60[ \) | 15 | | \( [60; 120[ \) | 35 | | \( [120; 180[ \) | 25 | | \( [180; 240[ \) | 10 | | \( [240; 300[ \) | 5 | 1. Quelle est l'amplitude de chaque classe ? 2. Quel est l'effectif total de cette série statistique ? 3. Quel pourcentage des élèves passent entre 60 et moins de 120 minutes devant les écrans ? 4. Décrivez comment vous construiriez l'histogramme correspondant à ces données (sans le dessiner). Précisez ce que représentent les axes et la hauteur des rectangles. **Exercice 2 :** Observez l'histogramme ci-dessous (imaginez un histogramme avec un pic vers le centre et des barres décroissantes de chaque côté, légèrement asymétrique à droite). Cet histogramme représente la répartition des salaires (en euros) dans une petite entreprise. 1. Selon cet histogramme, dans quelle tranche de salaires se trouve la majorité des employés ? 2. La distribution des salaires est-elle plutôt symétrique ou asymétrique ? Si asymétrique, de quel côté ? 3. Pouvez-vous estimer l'amplitude des classes si l'axe des abscisses montre des bornes comme [1500; 2000[, [2000; 2500[, etc. ? ### Devoirs **Devoir 1 :** Les longueurs (en cm) de 50 poissons pêchés dans un lac ont été relevées et regroupées en classes d'amplitude 5 cm : | Longueur (cm) | Nombre de poissons | | :------------ | :----------------- | | \( [10; 15[ \) | 3 | | \( [15; 20[ \) | 10 | | \( [20; 25[ \) | 18 | | \( [25; 30[ \) | 12 | | \( [30; 35[ \) | 7 | 1. Calculez la fréquence de chaque classe. 2. Tracez l'histogramme de cette série statistique sur papier millimétré ou à l'aide d'un logiciel graphique. 3. Interprétez la forme de la distribution obtenue : où se situe le pic ? Est-elle plutôt étalée ou concentrée ? **Devoir 2 :** Collectez une série de données (par exemple, les âges des membres de votre famille élargie, le nombre de messages reçus par jour sur votre téléphone pendant une semaine, ou les temps de parcours pour aller au lycée en une semaine). Regroupez ces données en 4 à 6 classes de même amplitude et construisez l'histogramme correspondant. Présentez votre travail en expliquant vos choix pour les classes et l'interprétation de votre graphique. ### Résumé L'histogramme est un outil graphique essentiel pour visualiser la distribution de séries statistiques quantitatives continues regroupées en classes de même amplitude. Il est composé de rectangles juxtaposés dont la base représente l'amplitude de la classe et la hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence) de cette classe. Il permet d'identifier la forme, le centre et l'étendue de la distribution des données, offrant une compréhension rapide des caractéristiques principales de la série statistique. Maîtriser sa construction et son interprétation est fondamental pour l'analyse de données.