Nombres complexes (suite)

# Nombres complexes (suite) ## Module d'un nombre complexe Leçon 47: Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul ### Introduction Dans les leçons précédentes, nous avons découvert les nombres complexes sous leur forme algébrique \( z = x + iy \) et le concept de module \( |z| \), représentant la distance à l'origine dans le plan complexe. Aujourd'hui, nous allons approfondir la représentation géométrique des nombres complexes en introduisant l'argument, qui est l'angle formé par le vecteur associé au nombre complexe. La combinaison du module et de l'argument nous permettra d'exprimer un nombre complexe sous une nouvelle forme, l'écriture trigonométrique, qui s'avère très utile pour visualiser et manipuler ces nombres. ### Concepts Clés #### Rappel du module d'un nombre complexe Le module d'un nombre complexe \( z = x + iy \) est un nombre réel positif ou nul, noté \( |z| \), défini par : \[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Géométriquement, \( |z| \) représente la distance entre l'origine du plan complexe et le point M d'affixe \( z \). #### Argument d'un nombre complexe non nul ##### Définition géométrique Soit \( z \) un nombre complexe non nul et M le point du plan complexe d'affixe \( z \). On note \( r = |z| \) son module. L'argument de \( z \), noté \( \arg(z) \), est une mesure de l'angle orienté \( (\vec{u}, \overrightarrow{OM}) \), où \( \vec{u} \) est le vecteur unitaire de l'axe des réels. * L'argument est défini à \( 2\pi \) près. Cela signifie que si \( \theta \) est un argument de \( z \), alors tout angle de la forme \( \theta + 2k\pi \) (où \( k \) est un entier relatif) est aussi un argument de \( z \). * Par convention, on appelle *argument principal* l'unique argument \( \theta \) qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). ##### Calcul de l'argument Pour un nombre complexe non nul \( z = x + iy \) et son module \( r = |z| \), l'argument \( \theta \) vérifie les relations suivantes : \[ \cos(\theta) = \frac{x}{r} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \frac{y}{r} \] En utilisant ces deux équations, on peut déterminer la valeur de \( \theta \) dans le cercle trigonométrique. #### Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul ##### Définition Tout nombre complexe non nul \( z \) peut s'écrire sous la forme : \[ z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \] où \( r = |z| \) est le module de \( z \) et \( \theta = \arg(z) \) est un argument de \( z \). Cette forme est appelée la **forme trigonométrique** (ou forme polaire) de \( z \). * **Notation abrégée (parfois utilisée)** : \( z = [r; \theta] \) ou \( z = r \text{ cis}(\theta) \). ##### Propriétés (aperçu) L'écriture trigonométrique est particulièrement utile pour la multiplication, la division et l'élévation à une puissance des nombres complexes: * **Multiplication** : Si \( z_1 = r_1(\cos(\theta_1) + i\sin(\theta_1)) \) et \( z_2 = r_2(\cos(\theta_2) + i\sin(\theta_2)) \), alors \[ z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)) \] (Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent). * **Division** : Si \( z_1 \) et \( z_2 \) (non nul) sont sous forme trigonométrique, alors \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)) \] (Les modules se divisent, les arguments se soustraient). * **Puissance** (Formule de De Moivre) : Pour tout entier \( n \), \[ z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \] ### Vocabulaire * **Module d'un nombre complexe** : La distance du point représentant le nombre complexe à l'origine du plan complexe. C'est un nombre réel positif ou nul. * **Argument d'un nombre complexe** : Une mesure de l'angle orienté entre l'axe des réels positifs et le vecteur représentant le nombre complexe dans le plan complexe. Il est défini à \( 2\pi \) près. * **Argument principal** : L'unique argument d'un nombre complexe qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). * **Forme trigonométrique** : Représentation d'un nombre complexe non nul sous la forme \( r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \), où \( r \) est son module et \( \theta \) est son argument. ### Exemples #### Exemple 1: Convertir \( z = 1 + i \) en forme trigonométrique 1. **Calcul du module** : \[ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 2. **Calcul de l'argument** : On cherche \( \theta \) tel que \( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \), \( \theta = \frac{\pi}{4} \). 3. **Forme trigonométrique** : \[ z = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \] #### Exemple 2: Convertir \( z = -\sqrt{3} + i \) en forme trigonométrique 1. **Calcul du module** : \[ |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \] 2. **Calcul de l'argument** : On cherche \( \theta \) tel que \( \cos(\theta) = \frac{-\sqrt{3}}{2} \) et \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \). Dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \), \( \theta = \frac{5\pi}{6} \). 3. **Forme trigonométrique** : \[ z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) \] #### Exemple 3: Convertir \( z = -4 \) en forme trigonométrique 1. **Calcul du module** : \( z = -4 + 0i \) \[ |z| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \] 2. **Calcul de l'argument** : On cherche \( \theta \) tel que \( \cos(\theta) = \frac{-4}{4} = -1 \) et \( \sin(\theta) = \frac{0}{4} = 0 \). Dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \), \( \theta = \pi \). 3. **Forme trigonométrique** : \[ z = 4(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \] ### Exercices 1. Calculez le module et l'argument principal des nombres complexes suivants : * \( z_1 = 3i \) * \( z_2 = -2 \) 2. Écrivez le nombre complexe \( z = 1 - i\sqrt{3} \) sous sa forme trigonométrique. 3. Écrivez le nombre complexe \( z = -5 - 5i \) sous sa forme trigonométrique. ### Devoirs 1. Convertissez les nombres complexes suivants sous leur forme trigonométrique : * \( z_1 = 2\sqrt{3} + 2i \) * \( z_2 = -1 + i \) * \( z_3 = -2i \) 2. Soit le nombre complexe \( z = 3(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) \). Écrivez \( z \) sous sa forme algébrique \( x+iy \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que tout nombre complexe non nul peut être caractérisé par son **module** (sa distance à l'origine) et son **argument** (l'angle qu'il forme avec l'axe réel positif). Cette représentation mène à la **forme trigonométrique** \( z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \), qui offre une interprétation géométrique claire et facilite certaines opérations sur les nombres complexes. La maîtrise de cette forme est essentielle pour la suite de l'étude des nombres complexes.