Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

# Primitives d'une fonction continue sur un intervalle ## Introduction La notion de primitive est l'une des notions fondamentales de l'analyse. Elle constitue l'opération inverse de la dérivation : étant donné une fonction $f$, on cherche une fonction $F$ dont la dérivée est exactement $f$. Cette notion est au cœur du calcul intégral, qui permet de calculer des aires, des volumes, et de résoudre de nombreuses équations différentielles. Dans ce chapitre, nous étudierons la définition d'une primitive, les conditions d'existence, les méthodes de détermination pour les fonctions usuelles, ainsi que les techniques de calcul pour des familles particulières de fonctions rencontrées fréquemment dans les sciences et technologies de l'information. --- ## I. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle : définition et exemples ### I.1. Définition d'une primitive > **Définition (Primitive)** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On appelle **primitive** de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ : > $$F'(x) = f(x)$$ **Exemple 1** : La fonction $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 2x = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. **Exemple 2** : La fonction $F(x) = \sin x$ est une primitive de $f(x) = \cos x$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = \cos x = f(x)$. **Exemple 3** : La fonction $F(x) = \ln x$ est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$, car $F'(x) = \dfrac{1}{x} = f(x)$ pour tout $x > 0$. ### I.2. Ensemble des primitives d'une fonction > **Théorème (Ensemble des primitives)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est : > $$\left\{ F + C \mid C \in \mathbb{R} \right\}$$ > Autrement dit, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. **Démonstration** : Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$. Alors $F' = f$ et $G' = f$ sur $I$. Considérons la fonction $H = F - G$. On a : $$H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0 \quad \text{pour tout } x \in I$$ Puisque $H' = 0$ sur l'intervalle $I$, la fonction $H$ est constante sur $I$. Il existe donc $C \in \mathbb{R}$ tel que $H(x) = C$ pour tout $x \in I$, c'est-à-dire $F(x) - G(x) = C$, donc $F(x) = G(x) + C$. **Exemple 4** : Les primitives de $f(x) = 3x^2$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $F(x) = x^3 + C$, où $C \in \mathbb{R}$. ### I.3. Existence de primitives pour une fonction continue > **Théorème (Existence)** : Toute fonction **continue** sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Ce théorème est fondamental : il garantit que le problème de recherche de primitives a toujours une solution pour les fonctions continues, ce qui est le cas de la plupart des fonctions rencontrées dans la pratique. **Exemple 5** : La fonction $f(x) = e^{-x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions continues), donc elle admet des primitives sur $\mathbb{R}$, même si celles-ci ne peuvent pas s'exprimer à l'aide des fonctions élémentaires usuelles. ### I.4. Tableau des primitives usuelles > **Tableau des primitives usuelles** (sur les intervalles où les fonctions sont définies) : > > | Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | > |---|---| > | $a$ (constante) | $ax + C$ | > | $x^n$ ($n \in \mathbb{N}$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | > | $x^r$ ($r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$) | $\dfrac{x^{r+1}}{r+1} + C$ | > | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ | > | $e^x$ | $e^x + C$ | > | $\cos x$ | $\sin x + C$ | > | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | > | $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ | > | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | **Exemple 6** : Déterminons une primitive de $f(x) = x^5$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$$ **Exemple 7** : Déterminons une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0, +\infty[$. On écrit $f(x) = x^{-2}$. Alors : $$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$ --- ## II. Détermination de la primitive $F$ sur $I$ d'une fonction $f$ continue sur $I$ qui prend la valeur $a$ en $b$ ### II.1. Problème de la condition initiale Le problème consiste à trouver, parmi toutes les primitives de $f$ sur $I$, celle qui vérifie une condition particulière : $F(b) = a$, où $a$ et $b$ sont des réels donnés avec $b \in I$. > **Théorème (Primitive vérifiant une condition initiale)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $b \in I$ et $a \in \mathbb{R}$. Il existe une **unique** primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(b) = a$. **Démonstration** : Soit $F_0$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$ (elle existe d'après le théorème d'existence). Toute primitive de $f$ s'écrit $F = F_0 + C$ avec $C \in \mathbb{R}$. La condition $F(b) = a$ donne : $$F_0(b) + C = a \iff C = a - F_0(b)$$ La constante $C$ est donc déterminée de manière unique, ce qui prouve l'existence et l'unicité de la primitive cherchée. ### II.2. Méthode de résolution **Méthode** : Pour déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(b) = a$ : 1. Déterminer une primitive $F_0$ de $f$ sur $I$ (en utilisant le tableau des primitives usuelles). 2. Écrire la forme générale : $F(x) = F_0(x) + C$. 3. Résoudre l'équation $F(b) = a$ pour trouver $C$. 4. Écrire la primitive cherchée. **Exemple 8** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 3$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 4$. **Solution** : 1. Une primitive de $f$ est $F_0(x) = x^2 + 3x$. 2. La forme générale est $F(x) = x^2 + 3x + C$. 3. On impose $F(1) = 4$ : $$1^2 + 3(1) + C = 4 \iff 1 + 3 + C = 4 \iff C = 0$$ 4. La primitive cherchée est $F(x) = x^2 + 3x$. **Vérification** : $F'(x) = 2x + 3 = f(x)$ et $F(1) = 1 + 3 = 4$. ✓ **Exemple 9** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \cos x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2$. **Solution** : 1. Une primitive de $f$ est $F_0(x) = \sin x$. 2. La forme générale est $F(x) = \sin x + C$. 3. On impose $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2$ : $$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 2 \iff 1 + C = 2 \iff C = 1$$ 4. La primitive cherchée est $F(x) = \sin x + 1$. **Vérification** : $F'(x) = \cos x = f(x)$ et $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 + 1 = 2$. ✓ **Exemple 10** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0, +\infty[$ telle que $F(2) = \dfrac{1}{2}$. **Solution** : 1. On écrit $f(x) = x^{-2}$. Une primitive est $F_0(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}$. 2. La forme générale est $F(x) = -\dfrac{1}{x} + C$. 3. On impose $F(2) = \dfrac{1}{2}$ : $$-\frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \iff C = 1$$ 4. La primitive cherchée est $F(x) = -\dfrac{1}{x} + 1$. **Vérification** : $F'(x) = \dfrac{1}{x^2} = f(x)$ et $F(2) = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$. ✓ **Exemple 11** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = -1$. **Solution** : 1. Une primitive est $F_0(x) = x^3 - x^2 + x$. 2. La forme générale est $F(x) = x^3 - x^2 + x + C$. 3. On impose $F(0) = -1$ : $$0 - 0 + 0 + C = -1 \iff C = -1$$ 4. La primitive cherchée est $F(x) = x^3 - x^2 + x - 1$. **Vérification** : $F'(x) = 3x^2 - 2x + 1 = f(x)$ et $F(0) = -1$. ✓ --- ## III. Détermination de primitives de fonctions particulières ### III.1. Primitives de $x \mapsto ax^r$ avec $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ > **Propriété** : Soit $a \in \mathbb{R}^*$ et $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$. Sur tout intervalle où $x^r$ est définie, les primitives de $f(x) = ax^r$ sont : > $$F(x) = \frac{a}{r+1} x^{r+1} + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Démonstration** : On vérifie que $F'(x) = \dfrac{a}{r+1} \cdot (r+1) x^{r} = ax^r = f(x)$. **Exemple 12** : Déterminer les primitives de $f(x) = 5x^3$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = \frac{5}{3+1} x^{3+1} + C = \frac{5}{4} x^4 + C$$ **Exemple 13** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{2}{x^3}$ sur $]0, +\infty[$. On écrit $f(x) = 2x^{-3}$. Alors : $$F(x) = \frac{2}{-3+1} x^{-3+1} + C = \frac{2}{-2} x^{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C$$ **Exemple 14** : Déterminer les primitives de $f(x) = 3\sqrt{x}$ sur $]0, +\infty[$. On écrit $f(x) = 3x^{1/2}$. Alors : $$F(x) = \frac{3}{\frac{1}{2}+1} x^{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{3}{\frac{3}{2}} x^{3/2} + C = 2x^{3/2} + C = 2x\sqrt{x} + C$$ **Exemple 15** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{4}{\sqrt[3]{x^2}}$ sur $]0, +\infty[$. On écrit $f(x) = 4x^{-2/3}$. Alors : $$F(x) = \frac{4}{-\frac{2}{3}+1} x^{-\frac{2}{3}+1} + C = \frac{4}{\frac{1}{3}} x^{1/3} + C = 12\sqrt[3]{x} + C$$ ### III.2. Primitives de $x \mapsto A\cos(ax+b)$ et $x \mapsto A\sin(ax+b)$ > **Propriété** : Soient $A, a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \neq 0$. Sur $\mathbb{R}$, les primitives de $f(x) = A\cos(ax+b)$ sont : > $$F(x) = \frac{A}{a} \sin(ax+b) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ > et les primitives de $g(x) = A\sin(ax+b)$ sont : > $$G(x) = -\frac{A}{a} \cos(ax+b) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Démonstration** : On vérifie que $\left(\dfrac{A}{a} \sin(ax+b)\right)' = \dfrac{A}{a} \cdot a \cos(ax+b) = A\cos(ax+b)$. De même, $\left(-\dfrac{A}{a} \cos(ax+b)\right)' = -\dfrac{A}{a} \cdot (-a) \sin(ax+b) = A\sin(ax+b)$. **Exemple 16** : Déterminer les primitives de $f(x) = 3\cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = \frac{3}{2} \sin(2x) + C$$ **Exemple 17** : Déterminer les primitives de $f(x) = -2\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = -\frac{-2}{3} \cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + C = \frac{2}{3} \cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + C$$ **Exemple 18** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 4\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(\pi) = 1$. **Solution** : 1. Les primitives sont $F(x) = \dfrac{4}{1/2} \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) + C = 8\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) + C$. 2. On impose $F(\pi) = 1$ : $$8\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 1 \iff 8(1) + C = 1 \iff C = -7$$ 3. La primitive cherchée est $F(x) = 8\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) - 7$. **Vérification** : $F'(x) = 8 \cdot \dfrac{1}{2} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 4\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = f(x)$ et $F(\pi) = 8(1) - 7 = 1$. ✓ ### III.3. Primitives de $x \mapsto \cos^n x$ et $x \mapsto \sin^n x$ #### III.3.1. Cas où $n$ est impair > **Méthode (puissance impaire)** : Pour $n = 2k+1$ impair, on utilise $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ (ou $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$) pour réduire la puissance, puis on effectue un changement de variable. **Exemple 19** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : $$\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x)\cos x$$ On pose $u = \sin x$, alors $du = \cos x \, dx$. Ainsi : $$\int \cos^3 x \, dx = \int (1 - u^2) \, du = u - \frac{u^3}{3} + C = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$$ **Vérification** : $F'(x) = \cos x - \sin^2 x \cos x = \cos x(1 - \sin^2 x) = \cos x \cdot \cos^2 x = \cos^3 x$. ✓ **Exemple 20** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin^5 x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : $$\sin^5 x = \sin^4 x \cdot \sin x = (\sin^2 x)^2 \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x)^2 \sin x$$ On pose $u = \cos x$, alors $du = -\sin x \, dx$, donc $\sin x \, dx = -du$. Ainsi : $$\int \sin^5 x \, dx = \int (1 - u^2)^2 (-du) = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du$$ $$= -\left(u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}\right) + C = -\cos x + \frac{2\cos^3 x}{3} - \frac{\cos^5 x}{5} + C$$ #### III.3.2. Cas où $n$ est pair > **Méthode (puissance paire)** : Pour $n = 2k$ pair, on utilise les formules de linéarisation : > $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}, \quad \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$ **Exemple 21** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos^2 x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$ $$\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin(2x)}{2}\right) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$ **Vérification** : $F'(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2\cos(2x)}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\cos(2x)}{2} = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} = \cos^2 x$. ✓ **Exemple 22** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin^4 x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : $$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$$ $$= \frac{1}{4} - \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos^2(2x)}{4}$$ Or $\cos^2(2x) = \dfrac{1 + \cos(4x)}{2}$, donc : $$\sin^4 x = \frac{1}{4} - \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{8} = \frac{3}{8} - \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos(4x)}{8}$$ Ainsi : $$\int \sin^4 x \, dx = \frac{3x}{8} - \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C$$ **Exemple 23** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos^4 x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : Par un calcul analogue (ou en utilisant $\cos^4 x = \left(\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\right)^2$) : $$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos(4x)}{8}$$ $$\int \cos^4 x \, dx = \frac{3x}{8} + \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C$$ #### III.3.3. Cas général : produit de puissances de $\sin$ et $\cos$ **Exemple 24** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin^2 x \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : $$\sin^2 x \cos^3 x = \sin^2 x \cos^2 x \cos x = \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x$$ On pose $u = \sin x$, $du = \cos x \, dx$ : $$\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx = \int u^2(1 - u^2) \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$$ ### III.4. Primitives de $x \mapsto \dfrac{a}{(cx+d)^r}$ avec $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ > **Propriété** : Soient $a, c, d \in \mathbb{R}$ avec $c \neq 0$, et $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$. Sur tout intervalle où $(cx+d)^r$ est définie, les primitives de $f(x) = \dfrac{a}{(cx+d)^r}$ sont : > $$F(x) = \frac{a}{c(r+1)} (cx+d)^{r+1} + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Démonstration** : On vérifie que $F'(x) = \dfrac{a}{c(r+1)} \cdot c(r+1)(cx+d)^r = a(cx+d)^r = \dfrac{a}{(cx+d)^{-r}}$. En notant que $f(x) = a(cx+d)^{-r}$, on a bien $F'(x) = a(cx+d)^{-r} = f(x)$. **Exemple 25** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{3}{(2x+1)^4}$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$. **Solution** : On écrit $f(x) = 3(2x+1)^{-4}$. Alors : $$F(x) = \frac{3}{2(-4+1)} (2x+1)^{-4+1} + C = \frac{3}{2(-3)} (2x+1)^{-3} + C = -\frac{1}{2(2x+1)^3} + C$$ **Exemple 26** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{5}{\sqrt{3x-2}}$ sur $\left]\dfrac{2}{3}, +\infty\right[$. **Solution** : On écrit $f(x) = 5(3x-2)^{-1/2}$. Alors : $$F(x) = \frac{5}{3\left(-\frac{1}{2}+1\right)} (3x-2)^{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{5}{3 \cdot \frac{1}{2}} (3x-2)^{1/2} + C = \frac{10}{3}\sqrt{3x-2} + C$$ **Exemple 27** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{2}{(x-1)^3}$ sur $]1, +\infty[$ telle que $F(2) = 3$. **Solution** : 1. On écrit $f(x) = 2(x-1)^{-3}$. Les primitives sont : $$F(x) = \frac{2}{1(-3+1)} (x-1)^{-3+1} + C = \frac{2}{-2} (x-1)^{-2} + C = -\frac{1}{(x-1)^2} + C$$ 2. On impose $F(2) = 3$ : $$-\frac{1}{(2-1)^2} + C = 3 \iff -1 + C = 3 \iff C = 4$$ 3. La primitive cherchée est $F(x) = -\dfrac{1}{(x-1)^2} + 4$. **Vérification** : $F'(x) = \dfrac{2}{(x-1)^3} = f(x)$ et $F(2) = -1 + 4 = 3$. ✓ ### III.5. Primitives de $x \mapsto au'u^r$ avec $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ > **Propriété (Formule de la puissance)** : Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, $a \in \mathbb{R}^*$ et $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$. Sur tout intervalle où $u^r$ est définie, les primitives de $f(x) = a \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^r$ sont : > $$F(x) = \frac{a}{r+1} [u(x)]^{r+1} + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Démonstration** : On vérifie que $F'(x) = \dfrac{a}{r+1} \cdot (r+1) \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^r = a \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^r = f(x)$. **Exemple 28** : Déterminer les primitives de $f(x) = 2x(x^2+1)^3$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : On reconnaît $u(x) = x^2+1$, $u'(x) = 2x$, $r = 3$, $a = 1$. Alors : $$F(x) = \frac{1}{3+1} (x^2+1)^{3+1} + C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$$ **Vérification** : $F'(x) = \dfrac{1}{4} \cdot 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 2x(x^2+1)^3 = f(x)$. ✓ **Exemple 29** : Déterminer les primitives de $f(x) = 3x^2\sqrt{x^3+2}$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : On écrit $f(x) = 3x^2(x^3+2)^{1/2}$. On reconnaît $u(x) = x^3+2$, $u'(x) = 3x^2$, $r = \dfrac{1}{2}$, $a = 1$. Alors : $$F(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}+1} (x^3+2)^{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{\frac{3}{2}} (x^3+2)^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^3+2)^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^3+2)\sqrt{x^3+2} + C$$ **Exemple 30** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{2x}{(x^2-1)^3}$ sur $]1, +\infty[$. **Solution** : On écrit $f(x) = 2x(x^2-1)^{-3}$. On reconnaît $u(x) = x^2-1$, $u'(x) = 2x$, $r = -3$, $a = 1$. Alors : $$F(x) = \frac{1}{-3+1} (x^2-1)^{-3+1} + C = \frac{1}{-2} (x^2-1)^{-2} + C = -\frac{1}{2(x^2-1)^2} + C$$ **Exemple 31** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$ sur $\left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$. **Solution** : On écrit $f(x) = \cos x \cdot (\sin x)^{-1/2}$. On reconnaît $u(x) = \sin x$, $u'(x) = \cos x$, $r = -\dfrac{1}{2}$, $a = 1$. Alors : $$F(x) = \frac{1}{-\frac{1}{2}+1} (\sin x)^{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{\frac{1}{2}} (\sin x)^{1/2} + C = 2\sqrt{\sin x} + C$$ **Exemple 32** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{3x^2+2}{(x^3+2x)^4}$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : On écrit $f(x) = (3x^2+2)(x^3+2x)^{-4}$. On reconnaît $u(x) = x^3+2x$, $u'(x) = 3x^2+2$, $r = -4$, $a = 1$. Alors : $$F(x) = \frac{1}{-4+1} (x^3+2x)^{-4+1} + C = \frac{1}{-3} (x^3+2x)^{-3} + C = -\frac{1}{3(x^3+2x)^3} + C$$ **Exemple 33** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 6x(3x^2+1)^2$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 2$. **Solution** : 1. On reconnaît $u(x) = 3x^2+1$, $u'(x) = 6x$, $r = 2$, $a = 1$. Les primitives sont : $$F(x) = \frac{1}{2+1} (3x^2+1)^{2+1} + C = \frac{(3x^2+1)^3}{3} + C$$ 2. On impose $F(0) = 2$ : $$\frac{(3(0)^2+1)^3}{3} + C = 2 \iff \frac{1}{3} + C = 2 \iff C = \frac{5}{3}$$ 3. La primitive cherchée est $F(x) = \dfrac{(3x^2+1)^3}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{(3x^2+1)^3 + 5}{3}$. **Vérification** : $F'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot 3(3x^2+1)^2 \cdot 6x = 6x(3x^2+1)^2 = f(x)$ et $F(0) = \dfrac{1+5}{3} = 2$. ✓ ### III.6. Synthèse : stratégie de détermination des primitives > **Méthode générale** : > 1. **Identifier la forme** de la fonction : puissance, trigonométrique, fraction rationnelle, produit. > 2. **Appliquer la formule adaptée** : tableau des primitives usuelles, formule de la puissance $au'u^r$, linéarisation pour les puissances trigonométriques. > 3. **Vérifier** le résultat en dérivant la primitive trouvée. > 4. Si une **condition initiale** est donnée, déterminer la constante $C$. **Exemple 34 (Baccalauréat TI, type)** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{2x+1}{(x^2+x+3)^2}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 1$. **Solution** : 1. On reconnaît $u(x) = x^2+x+3$, $u'(x) = 2x+1$, $r = -2$, $a = 1$. 2. Les primitives sont : $$F(x) = \frac{1}{-2+1} (x^2+x+3)^{-2+1} + C = \frac{1}{-1} (x^2+x+3)^{-1} + C = -\frac{1}{x^2+x+3} + C$$ 3. On impose $F(0) = 1$ : $$-\frac{1}{0+0+3} + C = 1 \iff -\frac{1}{3} + C = 1 \iff C = \frac{4}{3}$$ 4. La primitive cherchée est $F(x) = -\dfrac{1}{x^2+x+3} + \dfrac{4}{3}$. **Vérification** : $F'(x) = \dfrac{2x+1}{(x^2+x+3)^2} = f(x)$ et $F(0) = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{3} = 1$. ✓ **Exemple 35** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin x \cos^2 x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : On reconnaît $u(x) = \cos x$, $u'(x) = -\sin x$, $r = 2$. On écrit $f(x) = -\sin x \cdot \cos^2 x \cdot (-1) = -u'(x) \cdot u(x)^2$. Donc $a = -1$ : $$F(x) = \frac{-1}{2+1} \cos^3 x + C = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$$ **Vérification** : $F'(x) = -\dfrac{1}{3} \cdot 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = \sin x \cos^2 x = f(x)$. ✓ --- ## Conclusion La notion de primitive est essentielle en analyse. Nous avons vu que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, et que celles-ci diffèrent d'une constante. La détermination d'une primitive particulière se fait grâce à une condition initiale $F(b) = a$, qui fixe la constante d'intégration. Les techniques de calcul présentées dans ce chapitre couvrent les familles de fonctions les plus courantes : les puissances $x^r$, les fonctions trigonométriques $\cos(ax+b)$ et $\sin(ax+b)$, les puissances de $\cos$ et $\sin$ (avec linéarisation pour les puissances paires et changement de variable pour les puissances impaires), les fractions rationnelles de la forme $\dfrac{a}{(cx+d)^r}$, et la formule générale de la puissance $au'u^r$ qui unifie de nombreux cas. Ces compétences sont fondamentales pour aborder le calcul intégral, la résolution d'équations différentielles, et de nombreuses applications en sciences et technologies de l'information (traitement du signal, modélisation, algorithmique). La maîtrise de ces techniques nécessite une pratique régulière et une vérification systématique des résultats par dérivation.