Suites numériques

# Suites numériques ## Introduction Les suites numériques constituent un outil fondamental de l'analyse mathématique. Elles permettent de modéliser des phénomènes discrets, d'étudier des processus itératifs et servent de base à la notion de limite, concept central du calcul infinitésimal. Dans ce chapitre, nous aborderons successivement le raisonnement par récurrence, l'étude des variations et de la borne des suites, la convergence des suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, et enfin la définition rigoureuse de la limite avec le critère d'epsilon ($\varepsilon$). Ces notions sont essentielles pour la résolution de problèmes concrets en informatique, en économie et dans les sciences de l'ingénieur. --- ## I. Raisonnement par récurrence sur $\mathbb{N}$ ### I.1. Principe du raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration utilisée pour prouver qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$, où $n_0$ est un entier fixé. > **Définition clé (Principe de récurrence)** : Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$. Pour démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$, il suffit de : > 1. **Initialisation** : Vérifier que $P(n_0)$ est vraie. > 2. **Hérédité** : Démontrer que si $P(k)$ est vraie pour un entier $k \geq n_0$ (hypothèse de récurrence), alors $P(k+1)$ est vraie. > > Si ces deux conditions sont satisfaites, alors $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$. **Justification intuitive** : L'initialisation établit la propriété au premier rang. L'hérédité permet, à partir de la vérité de $P(n_0)$, d'en déduire $P(n_0+1)$, puis de $P(n_0+1)$ on déduit $P(n_0+2)$, et ainsi de suite, comme une cascade de dominos. ### I.2. Exemple fondamental : somme des entiers naturels **Énoncé** : Démontrer que pour tout entier naturel $n \geq 1$, on a : $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$ **Démonstration** : **Initialisation** : Pour $n = 1$, on a $1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1$. La propriété est vraie. **Hérédité** : Supposons que pour un entier $k \geq 1$, on ait : $$1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}$$ (hypothèse de récurrence) Montrons que la propriété est vraie au rang $k+1$ : $$1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$$ Factorisons $(k+1)$ : $$= (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = (k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ On reconnaît la formule au rang $k+1$ : $\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$. La propriété est donc héréditaire. **Conclusion** : Par le principe de récurrence, pour tout $n \geq 1$, $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. ### I.3. Exemple : inégalité de Bernoulli **Énoncé** : Démontrer que pour tout réel $a > -1$ et tout entier naturel $n$, on a : $$(1+a)^n \geq 1 + na$$ **Démonstration** : **Initialisation** : Pour $n = 0$, on a $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$. L'inégalité est vérifiée (égalité). **Hérédité** : Supposons que pour un entier $k \geq 0$, on ait $(1+a)^k \geq 1 + ka$ (hypothèse de récurrence). Comme $a > -1$, on a $1 + a > 0$. Multiplions l'hypothèse de récurrence par $(1+a)$ (qui est positif, donc le sens de l'inégalité est conservé) : $$(1+a)^{k+1} = (1+a)^k \times (1+a) \geq (1+ka)(1+a)$$ Développons : $$(1+ka)(1+a) = 1 + a + ka + ka^2 = 1 + (k+1)a + ka^2$$ Comme $ka^2 \geq 0$ (car $k \geq 0$ et $a^2 \geq 0$), on a : $$1 + (k+1)a + ka^2 \geq 1 + (k+1)a$$ Par transitivité : $$(1+a)^{k+1} \geq 1 + (k+1)a$$ La propriété est héréditaire. **Conclusion** : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $a > -1$, $(1+a)^n \geq 1 + na$. > **À retenir** : L'inégalité de Bernoulli $(1+a)^n \geq 1 + na$ pour $a > -1$ est un outil puissant pour établir des inégalités et des limites. ### I.4. Récurrence et suites définies par récurrence Le raisonnement par récurrence est particulièrement adapté aux suites définies par une relation de récurrence. **Exemple** : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \leq 2$. **Démonstration** : **Initialisation** : $u_0 = 2$, donc $0 < u_0 \leq 2$. Vrai. **Hérédité** : Supposons que $0 < u_k \leq 2$ pour un entier $k$. Alors $u_k + 2 > 2$ et $u_k + 2 \leq 4$. Comme la fonction racine carrée est croissante sur $[0, +\infty[$ : $$\sqrt{2} < \sqrt{u_k + 2} \leq \sqrt{4} = 2$$ Donc $u_{k+1} = \sqrt{u_k + 2}$ vérifie $0 < u_{k+1} \leq 2$. La propriété est héréditaire. **Conclusion** : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \leq 2$. --- ## II. Suites monotones, suites bornées, suites majorées ou minorées ### II.1. Suites monotones > **Définition clé (Suite croissante)** : Une suite $(u_n)$ est **croissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geq u_n$. Elle est **strictement croissante** si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$. > **Définition clé (Suite décroissante)** : Une suite $(u_n)$ est **décroissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leq u_n$. Elle est **strictement décroissante** si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$. > **Définition clé (Suite monotone)** : Une suite est **monotone** si elle est soit croissante, soit décroissante. **Méthodes pour étudier la monotonie d'une suite** : 1. **Méthode de la différence** : On calcule $u_{n+1} - u_n$ et on étudie son signe. - Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$, la suite est croissante. - Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour tout $n$, la suite est décroissante. 2. **Méthode du quotient** (si $u_n > 0$ pour tout $n$) : On calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et on compare à 1. - Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$, la suite est croissante. - Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$, la suite est décroissante. 3. **Méthode fonctionnelle** : Si $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction dérivable, on étudie les variations de $f$ sur $[0, +\infty[$. **Exemple 1** : Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{2n+1}{n+2}$ pour $n \geq 0$. Étudions sa monotonie. **Méthode de la différence** : $$u_{n+1} - u_n = \frac{2(n+1)+1}{(n+1)+2} - \frac{2n+1}{n+2} = \frac{2n+3}{n+3} - \frac{2n+1}{n+2}$$ Réduisons au même dénominateur : $$= \frac{(2n+3)(n+2) - (2n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$$ Développons le numérateur : $$(2n+3)(n+2) = 2n^2 + 4n + 3n + 6 = 2n^2 + 7n + 6$$ $$(2n+1)(n+3) = 2n^2 + 6n + n + 3 = 2n^2 + 7n + 3$$ Donc : $$u_{n+1} - u_n = \frac{(2n^2 + 7n + 6) - (2n^2 + 7n + 3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{3}{(n+3)(n+2)}$$ Pour tout $n \geq 0$, $(n+3)(n+2) > 0$, donc $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est **strictement croissante**. **Exemple 2** : Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = \frac{v_n}{2} + 1$. Étudions sa monotonie. **Méthode de la différence** : $$v_{n+1} - v_n = \left(\frac{v_n}{2} + 1\right) - v_n = 1 - \frac{v_n}{2} = \frac{2 - v_n}{2}$$ Le signe de $v_{n+1} - v_n$ dépend de $v_n$. Démontrons par récurrence que $v_n > 2$ pour tout $n$. **Initialisation** : $v_0 = 3 > 2$. Vrai. **Hérédité** : Si $v_k > 2$, alors $v_{k+1} = \frac{v_k}{2} + 1 > \frac{2}{2} + 1 = 2$. Donc $v_{k+1} > 2$. Ainsi, pour tout $n$, $v_n > 2$, donc $v_{n+1} - v_n = \frac{2 - v_n}{2} < 0$. La suite $(v_n)$ est **strictement décroissante**. ### II.2. Suites majorées, minorées, bornées > **Définition clé (Suite majorée)** : Une suite $(u_n)$ est **majorée** s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Le réel $M$ est appelé un **majorant** de la suite. > **Définition clé (Suite minorée)** : Une suite $(u_n)$ est **minorée** s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Le réel $m$ est appelé un **minorant** de la suite. > **Définition clé (Suite bornée)** : Une suite $(u_n)$ est **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe un réel $M > 0$ tel que $|u_n| \leq M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **Exemple** : Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{\sin(n)}{n+1}$ pour $n \geq 0$. Pour tout $n \geq 0$, on a $-1 \leq \sin(n) \leq 1$, donc : $$-\frac{1}{n+1} \leq u_n \leq \frac{1}{n+1}$$ Comme $\frac{1}{n+1} \leq 1$ pour tout $n \geq 0$, on a : $$-1 \leq u_n \leq 1$$ La suite $(u_n)$ est **bornée** (majorée par 1 et minorée par $-1$). > **À retenir** : Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse : une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (par exemple $u_n = (-1)^n$ est bornée mais diverge). ### II.3. Théorème de convergence monotone > **Théorème fondamental (Convergence monotone)** : > - Toute suite **croissante et majorée** est **convergente**. > - Toute suite **décroissante et minorée** est **convergente**. > - Toute suite **croissante et non majorée** diverge vers $+\infty$. > - Toute suite **décroissante et non minorée** diverge vers $-\infty$. **Exemple d'application** : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **Étape 1 — Monotonie** : Démontrons que $(u_n)$ est croissante par récurrence. **Initialisation** : $u_1 = \sqrt{2+1} = \sqrt{3} \approx 1,732 > 1 = u_0$. Donc $u_1 > u_0$. **Hérédité** : Supposons $u_k > u_{k-1}$. Comme la fonction $x \mapsto \sqrt{2+x}$ est strictement croissante sur $[-2, +\infty[$ (car sa dérivée est $\frac{1}{2\sqrt{2+x}} > 0$), on a : $$\sqrt{2+u_k} > \sqrt{2+u_{k-1}}$$ c'est-à-dire $u_{k+1} > u_k$. Donc $(u_n)$ est **strictement croissante**. **Étape 2 — Majoration** : Démontrons que $u_n < 2$ pour tout $n$. **Initialisation** : $u_0 = 1 < 2$. Vrai. **Hérédité** : Si $u_k < 2$, alors $2 + u_k < 4$, donc $u_{k+1} = \sqrt{2+u_k} < \sqrt{4} = 2$. Donc $(u_n)$ est **majorée par 2**. **Étape 3 — Convergence** : $(u_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite finie $L$. **Étape 4 — Calcul de la limite** : Par passage à la limite dans la relation $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$, et par continuité de la fonction racine carrée : $$L = \sqrt{2+L}$$ Résolvons : $L^2 = 2 + L$, soit $L^2 - L - 2 = 0$. Les racines sont $L = 2$ ou $L = -1$. Comme $u_n \geq 1$ pour tout $n$, on a $L \geq 1$, donc $L = 2$. **Conclusion** : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$. --- ## III. Étude de la convergence de suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ ### III.1. Cadre général et théorème du point fixe Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. > **Théorème fondamental (Point fixe)** : Si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ et si $f$ est continue en $L$, alors $L$ est un **point fixe** de $f$, c'est-à-dire $f(L) = L$. **Démonstration** : Si $u_n \to L$ et $f$ est continue en $L$, alors $f(u_n) \to f(L)$. Or $u_{n+1} = f(u_n)$ et $u_{n+1} \to L$ (car c'est une sous-suite de $(u_n)$). Par unicité de la limite, $f(L) = L$. ### III.2. Méthode d'étude complète Pour étudier la convergence d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$, on procède généralement ainsi : 1. **Déterminer un intervalle stable** : Trouver un intervalle $I$ tel que $f(I) \subset I$ et $u_0 \in I$. 2. **Étudier la monotonie** de $f$ sur $I$ pour en déduire celle de $(u_n)$. 3. **Démontrer la convergence** à l'aide du théorème de convergence monotone. 4. **Calculer la limite** en résolvant $L = f(L)$. ### III.3. Exemple détaillé : $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ (méthode de Héron) Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **Étape 1 — Intervalle stable** : Montrons que pour tout $n \geq 1$, $u_n \geq \sqrt{2}$. Par l'inégalité arithmético-géométrique, pour tout $x > 0$ : $$\frac{1}{2}\left(x + \frac{2}{x}\right) \geq \sqrt{x \times \frac{2}{x}} = \sqrt{2}$$ Donc pour tout $n \geq 0$, $u_{n+1} \geq \sqrt{2}$. En particulier, pour tout $n \geq 1$, $u_n \geq \sqrt{2} > 0$. **Étape 2 — Monotonie** : Pour $n \geq 1$ : $$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right) - u_n = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{u_n} - u_n\right) = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}$$ Comme $u_n \geq \sqrt{2}$, on a $u_n^2 \geq 2$, donc $2 - u_n^2 \leq 0$. Ainsi $u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour tout $n \geq 1$. La suite $(u_n)$ est **décroissante** à partir du rang 1. **Étape 3 — Convergence** : $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$ (pour $n \geq 1$), donc elle converge vers une limite $L \geq \sqrt{2}$. **Étape 4 — Calcul de la limite** : Par continuité de $f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{2}{x}\right)$ sur $]0, +\infty[$, on a : $$L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{2}{L}\right)$$ Multiplions par $2L$ : $$2L^2 = L^2 + 2$$ $$L^2 = 2$$ Comme $L \geq \sqrt{2} > 0$, on a $L = \sqrt{2}$. **Conclusion** : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}$. Cette suite fournit une méthode itérative pour approcher $\sqrt{2}$. ### III.4. Représentation graphique de la convergence (toile d'araignée) Pour visualiser la convergence de $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la courbe (point $(u_0, u_1)$), puis on va horizontalement jusqu'à la droite $y = x$ (point $(u_1, u_1)$), et on répète le processus. ```onbuch-plot {"title":"Convergence de u_{n+1} = (1/2)(u_n + 2/u_n) vers sqrt(2)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (1/2)(x + 2/x)","points":[[0.5,2.25],[0.6,1.9667],[0.7,1.7786],[0.8,1.65],[0.9,1.5611],[1.0,1.5],[1.1,1.4591],[1.2,1.4333],[1.3,1.4192],[1.4,1.4143],[1.5,1.4167],[1.6,1.425],[1.7,1.4382],[1.8,1.4556],[1.9,1.4763],[2.0,1.5],[2.1,1.5262],[2.2,1.5545],[2.3,1.5848],[2.4,1.6167],[2.5,1.65],[2.6,1.6846],[2.7,1.7204],[2.8,1.7571],[2.9,1.7948],[3.0,1.8333]]},{"label":"y = x","points":[[0.5,0.5],[0.6,0.6],[0.7,0.7],[0.8,0.8],[0.9,0.9],[1.0,1.0],[1.1,1.1],[1.2,1.2],[1.3,1.3],[1.4,1.4],[1.5,1.5],[1.6,1.6],[1.7,1.7],[1.8,1.8],[1.9,1.9],[2.0,2.0],[2.1,2.1],[2.2,2.2],[2.3,2.3],[2.4,2.4],[2.5,2.5],[2.6,2.6],[2.7,2.7],[2.8,2.8],[2.9,2.9],[3.0,3.0]]}]} ``` ### III.5. Cas où $f$ est décroissante Si $f$ est décroissante sur $I$, la suite $(u_n)$ n'est pas monotone en général. On étudie alors les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. **Exemple** : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 1 - \frac{u_n}{2}$. La fonction $f(x) = 1 - \frac{x}{2}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. **Étude des suites extraites** : On a $u_{n+2} = f(f(u_n)) = 1 - \frac{1 - u_n/2}{2} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{u_n}{4} = \frac{1}{2} + \frac{u_n}{4}$. Soit $g(x) = \frac{1}{2} + \frac{x}{4}$, qui est croissante. Les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont donc monotones (une croissante, l'autre décroissante). **Calcul de la limite** : Cherchons le point fixe de $f$ : $L = 1 - \frac{L}{2}$, donc $\frac{3L}{2} = 1$, soit $L = \frac{2}{3}$. On peut vérifier que $u_{2n} \to \frac{2}{3}$ et $u_{2n+1} \to \frac{2}{3}$, donc $(u_n)$ converge vers $\frac{2}{3}$. > **À retenir** : Si $f$ est décroissante, la suite $(u_n)$ n'est pas monotone, mais les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ le sont. Si elles convergent vers la même limite $L$, alors $(u_n)$ converge vers $L$. ### III.6. Exemple avec une fonction rationnelle **Énoncé** : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \frac{3u_n + 1}{u_n + 3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Étudier la convergence de $(u_n)$. **Étape 1 — Étude de la fonction** : $f(x) = \frac{3x+1}{x+3}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{3(x+3) - (3x+1)}{(x+3)^2} = \frac{3x + 9 - 3x - 1}{(x+3)^2} = \frac{8}{(x+3)^2}$$ Pour tout $x \neq -3$, $f'(x) > 0$. Donc $f$ est **strictement croissante** sur $]-3, +\infty[$. **Étape 2 — Intervalle stable** : Montrons que pour tout $n$, $u_n > 1$. **Initialisation** : $u_0 = 4 > 1$. Vrai. **Hérédité** : Si $u_k > 1$, alors : $$u_{k+1} - 1 = \frac{3u_k + 1}{u_k + 3} - 1 = \frac{3u_k + 1 - u_k - 3}{u_k + 3} = \frac{2u_k - 2}{u_k + 3} = \frac{2(u_k - 1)}{u_k + 3}$$ Comme $u_k > 1$, on a $u_k - 1 > 0$ et $u_k + 3 > 0$, donc $u_{k+1} - 1 > 0$, c'est-à-dire $u_{k+1} > 1$. **Étape 3 — Monotonie** : $$u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 1}{u_n + 3} - u_n = \frac{3u_n + 1 - u_n^2 - 3u_n}{u_n + 3} = \frac{1 - u_n^2}{u_n + 3}$$ Comme $u_n > 1$, on a $1 - u_n^2 < 0$ et $u_n + 3 > 0$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$. La suite $(u_n)$ est **strictement décroissante**. **Étape 4 — Convergence** : $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle converge vers $L \geq 1$. **Étape 5 — Limite** : Par continuité de $f$ en $L$ (car $L \geq 1 \neq -3$) : $$L = \frac{3L + 1}{L + 3}$$ Résolvons : $L(L+3) = 3L + 1$, soit $L^2 + 3L = 3L + 1$, donc $L^2 = 1$. Comme $L \geq 1$, on a $L = 1$. **Conclusion** : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$. --- ## IV. Limite d'une suite en utilisant epsilon ($\varepsilon$) ### IV.1. Définition rigoureuse de la convergence > **Définition clé (Limite finie avec $\varepsilon$)** : Une suite $(u_n)$ **converge vers un réel $L$** si, pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un entier naturel $N$ (dépendant de $\varepsilon$) tel que pour tout $n \geq N$ : > $$|u_n - L| < \varepsilon$$ > On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. **Interprétation géométrique** : Pour tout intervalle ouvert $]L - \varepsilon, L + \varepsilon[$ centré en $L$, tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$ appartiennent à cet intervalle. Seul un nombre fini de termes (ceux d'indice $< N$) peuvent être en dehors. > **Définition clé (Limite infinie avec $\varepsilon$)** : Une suite $(u_n)$ **diverge vers $+\infty$** si, pour tout réel $A > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n > A$. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. > **Définition clé (Limite infinie avec $\varepsilon$)** : Une suite $(u_n)$ **diverge vers $-\infty$** si, pour tout réel $A > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n < -A$. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. ### IV.2. Démonstration de convergence avec $\varepsilon$ **Exemple 1** : Démontrer avec $\varepsilon$ que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. **Démonstration** : Soit $\varepsilon > 0$ fixé. On cherche $N$ tel que pour tout $n \geq N$ : $$\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon$$ c'est-à-dire $\frac{1}{n} < \varepsilon$, ou encore $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Prenons $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ (la partie entière de $\frac{1}{\varepsilon}$ plus 1). Alors pour tout $n \geq N$, on a $n > \frac{1}{\varepsilon}$, donc $\frac{1}{n} < \varepsilon$. **Conclusion** : Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ tel que pour tout $n \geq N$, $\left|\frac{1}{n}\right| < \varepsilon$. Donc $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. **Exemple 2** : Démontrer avec $\varepsilon$ que $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = 2$. **Démonstration** : Soit $\varepsilon > 0$ fixé. On cherche $N$ tel que pour tout $n \geq N$ : $$\left|\frac{2n+1}{n+3} - 2\right| < \varepsilon$$ Calculons : $$\left|\frac{2n+1}{n+3} - 2\right| = \left|\frac{2n+1 - 2(n+3)}{n+3}\right| = \left|\frac{2n+1 - 2n - 6}{n+3}\right| = \left|\frac{-5}{n+3}\right| = \frac{5}{n+3}$$ On veut $\frac{5}{n+3} < \varepsilon$, c'est-à-dire $n + 3 > \frac{5}{\varepsilon}$, donc $n > \frac{5}{\varepsilon} - 3$. Prenons $N = \max\left(0, \left\lfloor \frac{5}{\varepsilon} - 3 \right\rfloor + 1\right)$. Alors pour tout $n \geq N$, on a $n > \frac{5}{\varepsilon} - 3$, donc $\frac{5}{n+3} < \varepsilon$. **Conclusion** : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = 2$. ### IV.3. Démonstration de divergence avec $\varepsilon$ **Exemple** : Démontrer avec $\varepsilon$ que $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$. **Démonstration** : Soit $A > 0$ fixé. On cherche $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $n^2 > A$. On a $n^2 > A$ si et seulement si $n > \sqrt{A}$. Prenons $N = \lfloor \sqrt{A} \rfloor + 1$. Alors pour tout $n \geq N$, $n > \sqrt{A}$, donc $n^2 > A$. **Conclusion** : Pour tout $A > 0$, il existe $N = \lfloor \sqrt{A} \rfloor + 1$ tel que pour tout $n \geq N$, $n^2 > A$. Donc $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$. ### IV.4. Propriétés des limites > **À retenir (Opérations sur les limites)** : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes avec $\lim u_n = L$ et $\lim v_n = L'$. > - $\lim (u_n + v_n) = L + L'$ > - $\lim (u_n \times v_n) = L \times L'$ > - Si $L' \neq 0$, $\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{L}{L'}$ > - $\lim |u_n| = |L|$ > **À retenir (Théorème des gendarmes)** : Si $u_n \leq w_n \leq v_n$ pour tout $n$ à partir d'un certain rang, et si $\lim u_n = \lim v_n = L$, alors $\lim w_n = L$. > **À retenir (Théorème de comparaison)** : Si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$. ### IV.5. Exemple d'application du théorème des gendarmes avec $\varepsilon$ **Énoncé** : Démontrer que $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$. **Démonstration** : Pour tout $n \geq 1$, on a $-1 \leq \sin(n) \leq 1$, donc : $$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n}$$ On sait que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$. **Vérification avec $\varepsilon$** : Soit $\varepsilon > 0$. On sait qu'il existe $N_1$ tel que pour tout $n \geq N_1$, $\frac{1}{n} < \varepsilon$ (par exemple $N_1 = \lfloor \frac{1}{\varepsilon} \rfloor + 1$). Alors pour tout $n \geq N_1$ : $$\left|\frac{\sin(n)}{n} - 0\right| = \frac{|\sin(n)|}{n} \leq \frac{1}{n} < \varepsilon$$ Donc $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$. ### IV.6. Unicité de la limite > **Théorème (Unicité de la limite)** : Si une suite $(u_n)$ converge, sa limite est unique. **Démonstration** : Supposons que $(u_n)$ converge vers $L$ et vers $L'$ avec $L \neq L'$. Posons $\varepsilon = \frac{|L - L'|}{2} > 0$. Par définition, il existe $N_1$ tel que pour tout $n \geq N_1$, $|u_n - L| < \varepsilon$, et il existe $N_2$ tel que pour tout $n \geq N_2$, $|u_n - L'| < \varepsilon$. Soit $N = \max(N_1, N_2)$. Pour tout $n \geq N$, on a à la fois $|u_n - L| < \varepsilon$ et $|u_n - L'| < \varepsilon$. Par l'inégalité triangulaire : $$|L - L'| = |L - u_n + u_n - L'| \leq |L - u_n| + |u_n - L'| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = |L - L'|$$ On obtient $|L - L'| < |L - L'|$, ce qui est une contradiction. Donc $L = L'$. ### IV.7. Lien entre convergence et bornitude > **Théorème** : Toute suite convergente est bornée. **Démonstration** : Soit $(u_n)$ convergeant vers $L$. Pour $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| < 1$, donc $|u_n| < |L| + 1$. Pour les termes d'indice $< N$, posons $M_0 = \max(|u_0|, |u_1|, \ldots, |u_{N-1}|)$. Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n| \leq \max(M_0, |L| + 1)$. La suite est bornée. --- ## Conclusion L'étude des suites numériques constitue un pilier de l'analyse mathématique en Terminale TI. Le raisonnement par récurrence fournit une méthode rigoureuse pour démontrer des propriétés portant sur tous les entiers naturels. L'étude de la monotonie et de la bornitude permet, grâce au théorème de convergence monotone, d'établir la convergence de nombreuses suites sans calcul explicite de leur limite. Pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$, l'analyse de la fonction $f$ (continuité, monotonie, points fixes) est essentielle. Enfin, la définition de la limite avec $\varepsilon$ donne un cadre rigoureux et universel pour caractériser la convergence, et constitue la base sur laquelle reposent toutes les notions de limite en analyse. Ces outils seront réinvestis dans l'étude des fonctions, du calcul intégral et des équations différentielles, et trouvent des applications directes en algorithmique (méthodes itératives), en économie (suites géométriques pour les intérêts composés) et en sciences physiques (phénomènes discrets).